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高三文科数学一轮复习数列专题三


专题三 高考数列命题动向

高考命题分析 数列是高中数学的重要内容之一,是衔接初等数学与高等数学 的桥梁,在高考中的地位举足轻重,近几年来的新课标高考都 把数列作为核心内容来加以考查,并且创意不断,常考常 新.了解高考中数列问题的命题规律,掌握高考中关于数列问 题的热点题型的解法,针对性地开展数列知识的复习和训练, 对于在高考中取得理想的成绩具有十分重要的意

义.

高考命题特点 在新课标高考中,数列内容的主要考点包括三个方面:一是数 列的有关概念;二是等差数列的定义、通项公式与前n项和公 式;三是等比数列的定义、通项公式与前n项和公式.其中, 数列的有关概念是了解级要求,等差数列和等比数列一般是掌 握级要求.根据《考试说明》中“重视数学基本能力和综合能 力的考查”的精神,高考对数列的考查呈现出综合性强、立意 新、难度大的特点,注重在知识交汇点处设计试题,如常常与 函数、方程、不等式、三角变换、解析几何、导数、推理与证 明等内容有机地结合在一起,既重视对数列的基础知识的考 查,又突出对数学思想方法和数学能力的考查.

高考动向透视 等差、等比数列的基本运算
等差、等比数列是一个重要的数列类型,高考命题主要考查等 差、等比数列的概念、基本量的运算及由概念推导出的一些重 要性质,灵活运用这些性质解题,可达到避繁就简的目的.解 决等差、等比数列的问题时,通常考虑两类方法:①基本量 法,即运用条件转化成关于a1和d的方程(组);②巧妙运用等 差、等比数列的性质.

【示例1】?(2011· 江西)设{an}为等差数列,公差d=-2,Sn为 其前n项和.若S10=S11,则a1=( A.18 B.20 C.22 D.24 解析 由S10=S11,得a11=S11-S10=0,a1=a11+(1-11)d=0 +(-10)×(-2)=20.故选B. 答案 B ).

本小题主要考查等差数列的通项、性质、前n项和以及数列的 通项和前n项和的关系,解题的突破口是由S10=S11得出a11=0.

【训练】 (2011· 天津)已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7是a3与a9的等比中项,Sn为{an}的前n项和,n∈N*,则S10的 值为( ). C.90 D.110

A.-110 B.-90 解析

因为a7是a3与a9的等比中项,所以a 2 =a3a9,又因为公差 7

为-2,所以(a1-12)2=(a1-4)(a1-16),解得a1=20,通项公 式为an=20+(n-1)(-2)=22-2n.所以S10= 5×(20+2)=110,故选D. 答案 D 10?a1+a10? 2 =

等差、等比数列的判定
等差、等比数列的判定通常作为解答题的第1问来考查,一般 用下面的基本方法来判定:①利用定义:an+1-an=常数,或 an+1 =常数;②利用中项的性质:2an=an-1+an+1(n≥2)或a 2 = n an an-1an+1(n≥2).

【示例2】?(2011· 银川模拟)已知数列{an}满足a1=1,a2=3, an+2=3an+1-2an(n∈N*). (1)证明:数列{an+1-an}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明 ∵an+2=3an+1-2an,∴an+2-an+1=2(an+1-an), a n+2-an+1 ∵a1=1,a2=3,∴ =2(n∈N*). an+1-an ∴{an+1-an}是以a2-a1=2为首项,2为公比的等比数列. (2)解 由(1)得an+1-an=2n(n∈N*),

∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 =2n 1+2n 2+?+2+1=2n-1(n∈N*).
- -

本题主要考查等比数列的判定及数列求和,同时考查推理论 证能力及转化化归能力.

有关数列求和的考查
数列的求和是高考重点考查的内容,也是考纲明确提出的知识 点,年年在考,年年有变,变的是试题的外壳,即在题设的条 件上有变革,有创新,但在变中有不变性,即问题的解答常用 的方法可以归纳为几种.因此,考生有效地化归问题是正确解 题的前提,合理地构建方法是成功解题的关键,正确的处理过 程是制胜的法宝,这部分内容在高考中既有以选择题、填空题 形式的简单考查,也有以解答题重点考查的情况出现. 数列求和主要是分析通项,然后根据通项选择相应的求和方 法.

【示例3】?(2011· 新课标全国)等比数列{an}的各项均为正数, 且2a1+3a2=1,a2=9a2a6. 3 (1)求数列{an}的通项公式;
?1? ? ? (2)设bn=log3a1+log3a2+?+log3an,求数列?b ?的前n项和. ? ? ? n?



1 2 2 2 2 (1)设数列{an}的公比为q.由a3=9a2a6得a3=9a4,所以q = . 9

1 由条件可知q>0,故q= . 3 1 由2a1+3a2=1,得2a1+3a1q=1,所以a1= . 3 1 故数列{an}的通项公式为an=3n.

(2)bn=log3a1+log3a2+?+log3an n?n+1? =-(1+2+?+n)=- 2 .
?1 1 ? 1 2 ? 故b =- =-2?n-n+1?. ? n?n+1? n ? ? ?? 1? ?1 1? 1 1 1 ??1- ? ? - ? b1+b2+?+bn=-2?? 2?+?2 3?+? ?1 1 ?? 2n ? ?? +?n-n+1??=- . n+1 ? ?? ?1? 2n ? ? 所以数列?b ?的前n项和为- . ? ? n+1 ? n?

本题主要考查等比数列的通项公式、数列求和及对数运 算.考查灵活运用基本知识解决问题的能力、运算求解能力和 创新思维能力.对于通项公式,可以利用基本量求出首项和公 比;对于数列求和,可通过对数运算求出bn,然后利用裂项求 和.

有关数列与不等式的综合考查
数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题,与不等式 相关的大多是数列的前n项和问题,对于这种问题,在解答时 需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决, 要掌握常见的解决不等式的方法,以便更好地解决问题.主要 考查考生的推理论证能力和分析、解决问题的能力、以及转化 化归的思想和数学素养.

【示例4】?(2011· 浙江)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1 1 1 1 为a(a∈R),且 , , 成等比数列. a1 a2 a4 (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 1 1 (2)对n∈N ,试比较a +a +a +?+a 与a 的大小. 2 22 23 2n 1
*



?1? 1 1 2 (1)设等差数列{an}的公差为d,由题意可知 ?a ? = · ,即 a1 a4 ? 2?

(a1+d)2=a1(a1+3d),从而a1d=d2. 因为d≠0,所以d=a1=a.故通项公式an=na. 1 1 1 (2)记Tn= + +?+ ,因为a2n=2na, a2 a22 a2n 1? 1? 1 1 所以Tn=a?2+22+?+2n? ? ? 1? ?1?n? ?1-? ? ? 1 2? ?2? ? 1? ?1?n? ? ? ? ? =a· 1 =a?1-?2? ?. 1- 2 1 1 从而,当a>0时,Tn<a ;当a<0时,Tn>a . 1 1

本题主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式、等比数 列的求和等基础知识,同时考查运算求解能力及推理论证能 力.

【训练】 已知数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对 于任意的n∈N*满足关系式2Sn=3an-3. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设数列{bn}的通项公式是bn= ,前n项和为Tn, log3an· 3an+1 log 求证:对于任意的正数n,总有Tn<1.

(1)解

?2S =3a -3, ? n n ? 由已知得 ?2Sn-1=3an-1-3 ?

(n≥2).

故2(Sn-Sn-1)=2an=3an-3an-1,即an=3an-1(n≥2). 故数列{an}为等比数列,且公比q=3. 又当n=1时,2a1=3a1-3,∴a1=3,∴an=3n. 1 1 1 (2)证明 ∵bn= = - . n?n+1? n n+1 ∴Tn=b1+b2+?+bn
?1 ? 1 ? 1? ?1 1? ? =?1-2?+?2-3?+?+?n-n+1? ? ? ? ? ? ? ?

1 =1- <1. n+1

考查数列的综合问题
以等差数列、等比数列为载体,考查函数与方程、等价转化和 分类讨论等数学思想方法,是新课标高考数列题的一个重要特 点,因试题较为综合,故难度一般较大.

【示例5】?(2011· 天津)已知数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1 3+?-1?n 1 =(-2)n+1,bn= ,n∈N*,且a1=2. 2 (1)求a2,a3的值; (2)设cn=a2n+1-a2n-1,n∈N*,证明{cn}是等比数列; S2n-1 S2n S1 S2 1 (3)设Sn为{an}的前n项和,证明 + +?+ + ≤n- (n a1 a2 3 a2n-1 a2n ∈N*).


- ?2,n为奇数, ? 3+?-1?n 1 * (1)解 由bn= ,n∈N ,可得bn=? 2 ?1,n为偶数. ?

又bn+1an+bnan+1=(-2)n+1, 3 当n=1时,a1+2a2=-1,由a1=2,可得a2=-2; 当n=2时,2a2+a3=5,可得a3=8. (2)证明 对任意n∈N*, a2n-1+2a2n=-22n-1+1,① 2a2n+a2n+1=22n+1.② ②-①,得a2n+1-a2n-1=3×22n-1, 即cn=3×2
2n-1

cn+1 ,于是 c =4.所以{cn}是等比数列. n

(3)证明

a1=2,由(2)知,当k∈N*且k≥2时,

a2k-1=a1+(a3-a1)+(a5-a3)+(a7-a5)+?+(a2k-1-a2k-3)=2 2?1-4k-1? 2k-1 +3(2+23+25+?+22k-3)=2+3× =2 , 1-4 故对任意k∈N*,a2k-1=22k 1.由①得22k 1+2a2k=-22k 1+1, 1 2k-1 所以a2k=2-2 ,k∈N*. k 因此,S2k=(a1+a2)+(a3+a4)+?+(a2k-1+a2k)=2.
- - -

k-1 2k-1 于是,S2k-1=S2k-a2k= +2 . 2 k-1 2k-1 k S2k-1 S2k k-1+22k 2 +2 2 k 故 +a = +1 = - 2k =1- 2k-1 22k a2k-1 2 2 -1 2k -22k-1 2 k 1 .所以,对任意n∈N*. k- k k 4 4 ?4 -1?
?S2n-1 S ? S2n-1 S2n ?S1 S2? ?S3 S4? S1 S2 2n? ? + ?+? + ?+?+? + ?= + +?+ + = ?a a2n? a1 a2 a2n-1 a2n ?a1 a2? ?a3 a4? -1 ? 2n ? ? ? ? 1 2 1 n 1 1? ? ? ? ? ?1- - ? + ?1- 2- 2 2 +?+ ?1-4n-4n?4n-1?? =n- ? 4 4 ?4 -1?? 4 12? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?1 ?1 2 n 1 ? ?1 1? ? ? ? ? ? + ? - ? 2+ 2 2 ? ? n+ 4 12? ?4 4 ?4 -1?? -?- ?4 4n?4n-1?? ≤n- ?4+12? =n ? ? ? ?

1 -3.

本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识,考 查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力 及分类讨论的思想方法,难度较大.


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