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“抛物线及其标准方程(第一课时)”教学设计


“抛物线及其标准方程(第一课时) ”教学设计
一、教材分析 1、教材地位及作用 本节内容是《普通高中课程标准实验教科书》数学选修 1-1 第二 章圆锥曲线与方程的第三节内容,是在学生学习了椭圆,双曲线相关 知识的基础上展开的.本课是第一课时,它是探究抛物线的几何性质 及其应用的基础,起到了承上启下的作用. 2、教学内容分析 抛物线是中学数学的重要内容之一, 随着学生认知

水平的提高而 不断加深.尤其是在学习了椭圆、双曲线的标准方程及简单几何性质 之后,学生已基本具备了探讨这个问题的能力 .基于实际情况,我将 本节课的教学内容分为三个部分: (1)教师借助几何画板动态演示,引导学生给出抛物线的定义; (2)建立适当坐标系,求出焦点在 x 正半轴上的抛物线标准方程; (3)通过例题的讲解和习题的强化,让学生做到“学以致用” ,感 受到“学有所用”. 通过本节课的学习,为后面学习抛物线的几何性质及其在实际 问题中的应用奠定基础.同时,本节课有助于学生观察分析能力与抽 象概括能力的培养(归纳抛物线的定义的过程),有助于学生运算技 能的训练与提高(推导抛物线的标准方程的过程),有助于学生进一 步理解分类讨论和数形结合思想的内涵. 二、学情分析

抛物线作为圆锥曲线的一种,在日常生活中随处可见,学生对抛 物线的几何图形早已有了直观的认识.但他们对前后知识间的联系、 理解和应用有一定困难,思维性、灵活性也不是很好.基于学生实际 情况,教师在讲解时要放慢节奏,发挥学生主观能动性,引导学生积 极参与到分析问题和解决问题的过程中去,不要急于求成,要充分发 挥学生的主体作用和教师的主导作用. 三、教学目标设置与解析 目标设置: 1.经历从具体情景中抽象出抛物线几何特征的过程; 2.理解抛物线定义和标准方程; 3.进一步熟悉求曲线方程的基本步骤; 4.能进行抛物线的标准方程,焦点坐标和准线方程三者之间的灵 活转化; 5.感受抛物线在日常生活中的广泛应用,体会数学的美妙. 目标解析: 1.抛物线的尺规作图方法比较复杂,学生自己动手画抛物线,操 作起来比较困难, 因此我借助信息技术来动态演示抛物线的作图过程. 在这个情景过程中,引导学生去观察哪些特征在变化,哪些特征没有 改变,为学生从动画演示中抽象抛物线的几何特征奠定基础. 2.理解抛物线的定义,要求学生能用自己的话语描述抛物线的定 义,并能够判断满足一定条件的动点的轨迹是否为抛物线 .因此,紧 跟抛物线的定义,设置了一个动点的轨迹问题,以此来检测学生是否

真正意义上理解了抛物线的定义.同时,对于标准方程,学生必须做 到正确书写它的形式,说出标准方程的形式特点,以及方程中参数的 几何意义. 3.对于求曲线方程的基本步骤, 要求学生能够口述出来, 对于一个具 体的求曲线方程问题,能够自己动手实践.在此,对于抛物线标准方程的 建立过程,教师做适当的引导之后,完全交由学生完成,让他们进一步 熟悉求曲线方程的全过程.通过各小组学生代表在黑板上的板书情况,检 测学生的掌握情况. 4.给定一个抛物线的标准方程,能准确地求出它的焦点坐标和准 线方程;反之,根据焦点坐标或准线方程能够推导出抛物线的标准方 程,做到活学活用,举一反三. 5.抛物线模型与我们息息相关,在我们生活中随处可见,通过几 个常见的优美曲线,让学生感受抛物线在日常生活中的广泛应用,体 会数学的美妙,增强学习数学的兴趣. 四、教学重难点及教学流程 教学重点: 1.抛物线的定义及标准方程; 2.根据抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程,根据焦点坐标 或准线方程求抛物线的标准方程. 教学难点: 1.从抛物线的作图中抽象概括出抛物线的定义; 2.抛物线标准方程的建立过程.

教学流程: 基于本节课教学重难点和学生的认知水平设计如下教学思路:
情境导学:生活中的抛 物线(图片、动画展示) 知识回顾:椭圆 与双曲线的第二 定义(学生口述) 问题探究:抛物线的形状 ( 在画图过程中挖掘抛物线的 几何特征)

巩固强化:定义及标准 方程 ( 灵活运用抛物线 的 定 义 及 标准 方 程解 决一些具体问题)

完善体系:抛物线 的标准方程 (学生自己动手, 按 照求曲线方程的基 本步骤得出结果)

获得新知: 抛物线的定义 (通过几何画板演示,抽 象概括出抛物线定义)

五、教学过程 (一)课堂导入 1.生活中的抛物线: (1)美丽赵州桥的桥拱形状是抛物线; (2)北京奥林匹克体育馆的弧顶形状是抛物线; (3)探照灯的形状是抛物线. 【设计意图】通过生活中的抛物线让学生认识到学习抛物线的必要 性. 2.回顾椭圆与双曲线的第二定义: 在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数 e 的点的轨迹. 当 0<e<1 时,是椭圆; 当 e>1 时,是双曲线. 猜想:当 e=1 时,它又是什么曲线 ?(让学生回答) 【设计意图】通过问题引发学生的认知冲突,激发学生的学习欲望. (二) 抛物线的定义

1.抛物线的画法 (1)尺规作图方法.(略) (2)几何画板作图. a、展示作图过程: 当 0<e<1 时,动点 M 的轨迹是椭圆(如图 1) :

图1

当 e>1 时,动点 M 的轨迹是双曲线(如图 2) :

图2

当 e=1 时,动点 M 的轨迹是抛物线(如图 3)

图3

b、分析作图过程: 问题 1:在画抛物线图像的过程中,动点 动点 满足的几何关系是:动点 满足的几何关系是什么?

到定点 F 的距离等于它到定

直线 l 的距离. 【设计意图】运用多媒体信息技术来演示画抛物线的过程. 通过问题 的设置,为学生从抛物线画法中发现它的几何特征奠定基础. 2.抛物线的定义 问题 2:同学们能给抛物线下个定义吗? 定义:平面内与一个定点 和一条定直线 ( 不过 )的距离相 等的点的轨迹叫作抛物线. 点 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物 线的准线. 问题 3:为什么定点 不能在定直线 上?(学生讨论回答) 若点 在直线 上,则轨迹为过定点 垂直于直线 的直线 .

【小试牛刀】 :在平面上,动点 M 到定点 F(2,1)的距离等于它到定直 线 l: 2x+y-5=0 的距离,则动点 M 的轨迹为( (A)直线 (B)抛物线 (C)双曲线 ) (D)椭圆

【设计意图】让学生抓住抛物线的几何特征,给出抛物线的定义,在 老师的引导下逐步完善定义. 这样的处理一方面增强了学生思维的严 谨性;另一方面加深了学生对定义中的条件“ 不过 “的理解. (三) 抛物线的标准方程 1.方程推导 (1)建系(让学生自己思考) 【设计意图】教材只给出了一种建系方式,但学生在建系时方法可能 不只一种.为了体现学生的主体地位,这里先让学生建系,自己动手 推导不同建系方式下的抛物线的方程,教师汇总学生的结果.

问题 4:以上三种建系方式,你认为哪种建系方式最好?说明理由. 【设计意图】关于怎样取坐标系才能得到抛物线标准方程的问题,在 此不宜作过多开放的探究, 因为在获得结果之前难于对方程形式作预

测,教师在这个问题上做适时的引导,第二种建系的方式比较适合. (2)第二种方法推导过程 解:取过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴,x 轴与 l 相交与 点 K,以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系 oxy.
p p F ( ,0 ) l:x?? | FK | ? p 2 2 设 ,则焦点 ,准线 ,设抛物线上任意一点
M ( x, y ) ,则

(x ?

p p p 2 p ) ? y 2 ?| x ? | ? ( x ? ) 2 ? y 2 ? ( x ? ) 2 2 2 2 2

? y 2 ? 2 px

因此, y 2 ? 2 px( p ? 0) 就是“顶点在原点、焦点在 x 正半轴上”的抛物 线的标准方程. (四)例题分析 例 1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 :
(1) y 2 ? 4 x
(2) x ? y2 (a ? 0) 4a

【强化练习】求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1)y2 -20x=0 (2)x=my2 (m>0)

例 2、根据下列条件写出抛物线的标准方程 (1)焦点是 F(3,0) (2)准线方程为 l:x=-1 【强化练习】已知抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上,且焦 点到准线的距离是 5,求抛物线的标准方程.

【设计意图】巩固和加深学生对抛物线及其标准方程的理解,使学生 在“练”的过程中通过反思、感悟,不断调整自己的认识结构,提高 自己的知识水平.

六、课堂小结 问题 6:这节课你学到了什么?谈谈你的收获. 一、知识 1.抛物线定义 二、方法 1.类比 2.数形结合 2.标准方程

七、课后作业 1、课本习题 2.3A 组 2、4 题 2、思考题:求过点 A(-3,2)的抛物线的标准方程.

八、板书设计

§2.4.1 抛物线及其标准方程 一、抛物线的定义 二、抛物线的标准方程 三、 例题讲解 学生板书 投影屏幕


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