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学)高一数学必修一函数复习()


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课时 2 函数
一.函数 (1) 函数的概念 ①设 A 、 B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中任何一个数 x ,在集 合 B 中都有唯一确定的数 f ( x ) 和它对应,那么这样的对应(包括集合 A , B 以及 A 到 B 的对应法 则 f )叫做集合 A 到 B 的一个函数,记作 f

: A ? B ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.

(2) 区间的概念及表示法 ①设 a , b 是两个实数,且 a ? b ,满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间,记做 [ a, b] ;满 足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做开区间,记做 ( a, b) ;满足 a ? x ? b ,或 a ? x ? b 的实数 x 的集合 叫做半开半闭区间,分别记做 [ a, b) , ( a, b] ;满足 x ? a, x ? a, x ? b, x ? b 的实数 x 的集合分别记做

[a, ??),(a, ??),(??, b],(??, b) .
注意:对于集合 {x | a ? x ? b} 与区间 ( a, b) ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必须 a ? b .

(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ① f ( x ) 是整式时,定义域是全体实数. ② f ( x ) 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③ f ( x ) 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于 1. ⑤ y ? tan x 中, x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) .

⑥零(负)指数幂的底数不能为零.

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⑦若 f ( x ) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时, 则其定义域一般是各基本初等函 数的定义域的交集. ⑧对于求复合函数定义域问题, 一般步骤是: 若已知 f ( x ) 的定义域为 [ a, b] , 其复合函数 f [ g ( x)] 的定义域应由不等式 a ? g ( x) ? b 解出. ⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在 一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的, 只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法: ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值. ②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函 数的值域或最值. ③判别式法:若函数 y ? f ( x) 可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程
2 则在 a( y) ? 0 时, 由于 x , y 为实数, 故必须有 a( y) x ? b( y) x ? c( y) ? 0 , a( y) x2 ? b( y) x ? c( y) ? 0 ,

则在 a( y) ? 0 时,由于 x , y 为实数,故必须有 ? ? b ( y) ? 4a( y) ? c( y) ? 0 ,从而确定函数的值域或最
2

值. ④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值. ⑤换元法:通过变量代换化繁为简,三角代换可将代数函数的最值问题转化三角函数最值问题 ⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法. 二.函数的表示法

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(1)函数的表示方法 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种. 解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间 的对应关系. (2)映射的概念 ①设 A 、 B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中任何一个元素,在集合 B 中 都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合 A ,B 以及 A 到 B 的对应法则 f )叫做集合 A 到 B 的映射,记作 f : A ? B . ②给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 a ? A, b ? B .如果元素 a 和元素 b 对应,那么我们把元 素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象. ①集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; ②集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; ③不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。

三.函数的基本性质 (1)函数的单调性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于属于定义域 I 内 某个区间上的任意两个 自变量的值 x1、x2,当 x < 1 . . . x 时,都有 f(x )<f(x ) , 2 1 2 . . . . . . . . . . . . . 那么就说 f(x) 在这个区 间上是增函数 . ... 图象 判定方法 (1)利用定义 (2)利用已知函数 的单调性 (3)利用函数图象 (在某个区间图 象上升为增) (4)利用复合函数
3

y y=f(X)
f(x1 )

函数的 单调性

f(x2)

o

x1

x2

x

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如果对于属于定义域 I 内 某个区间上的任意两个 自变量的值 x1、 x2, 当x < 1 . . . x 时,都有 f(x )>f(x ) , 2 1 2 . . . . . . . . . . . . . 那么就说 f(x) 在这个区 间上是减函数 . ...

y
f(x )
1

y=f(X)
f(x )
2

o

x1

x2

x

(1)利用定义 (2)利用已知函数 的单调性 (3)利用函数图象 (在某个区间图 象下降为减) (4)利用复合函数

②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为 增函数,减函数减去一个增函数为减函数. ③对于复合函数 y ? f [ g ( x)] ,令 u ? g ( x) ,若 y ? f (u ) 为增,u ? g ( x) 为增,则 y ? f [ g ( x)] 为增; 若 y ? f (u ) 为 减 , u ? g ( x) 为减 ,则 y ? f [ g ( x)] 为 增; 若 y ? f (u ) 为 增, u ? g ( x) 为 减, 则

y ? f [ g ( x)] 为减;若 y ? f (u ) 为减, u ? g ( x) 为增,则 y ? f [ g ( x)] 为减.
y

(2)打“√”函数 f ( x) ? x ?

a (a ? 0) 的图象与性质 x
为减

f ( x) 分别在 (??, ? a ] 、 [ a , ??) 上为增函数,分别在 [? a ,0) 、 (0, a ] 上
函数.
o

x

(3)最大(小)值定义 ①一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ,如果存在实数 M 满足: ( 1) 的 x ? I ,都有 f ( x) ? M ; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M .那么,我们称 M 是 的最大值,记作 f max ( x) ? M . ②一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ,如果存在实数 m 满足: ( 1 )对于任意的 x ? I ,都有 ( 2 )存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? m .那么,我们称 m 是函数 f ( x ) 的最小值,记作 f ( x) ? m ; 对于任意 函 数 f ( x)

f max ( x) ? m .
(4)函数的奇偶性 ①定义及判定方法

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函数的 性 质

定义 如果对于函数 f(x) 定义 域内任意一个 x ,都有 f( - - ,那么函 . . .x)= . . . .f(x) . . . . 数 f(x)叫做奇函数 . ...

图象

判定方法 (1)利用定义(要 先判断定义域是否 关于原点对称) (2)利用图象(图 象关于原点对称) (1)利用定义(要 先判断定义域是否 关于原点对称) (2)利用图象(图 象关于 y 轴对称)

函数的 奇偶性

如果对于函数 f(x) 定义 域内任意一个 x ,都有 f( - f(x) ,那么函数 . . .x)= . . . . . . . f(x)叫做偶函数 . ...

②若函数 f ( x ) 为奇函数,且在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 . ③奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相反. ④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数) ,两个偶函数 (或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.

四.函数的图象 基本函数图象的变换: ①平移变换
h?0,左移h个单位 k ?0,上移k个单位 y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x ? h) y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x) ? k h?0,右移|h|个单位 k ?0,下移|k|个单位

②伸缩变换
0?? ?1,伸 y ? f ( x) ???? ? y ? f (? x) ? ?1,缩 0? A?1,缩 y ? f ( x) ???? ? y ? Af ( x) A?1,伸

③对称变换
x轴 y ? f ( x) ?? ? ? y ? ? f ( x)
y轴 y ? f ( x) ??? ? y ? f ( ? x)

原点 y ? f ( x) ??? ? y ? ? f (?x)

直线y?x y ? f ( x) ???? ? y ? f ?1 ( x)

去掉y轴左边图象 y ? f ( x) ??????????????? ? y ? f (| x |) 保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象
保留x轴上方图象 y ? f ( x) ????????? ? y ?| f ( x) | 将x轴下方图象翻折上去

专项练习
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函数的概念 一.选择题 1.集合 A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从 A 到 B 的函数是( A. f : x ? y ? ) D. f : x ? y ?

1 x 2

B. f : x ? y ?

1 x 3

C. f : x ? y ?

2 x 3

x

2.某物体一天中的温度是时间 t 的函数: T (t ) ? t 3 ? 3t ? 60 ,时间单位是小时,温度单位为℃, t ? 0 表 示 12:00,其后 t 的取值为正,则上午 8 时的温度为( ) A.8℃ B.112℃ C.58℃ D.18℃ 3.函数 y= x+1+ 1 ? x 的定义域是 A. (-1,1) B.[0,1] C.[-1,1] D. (- ? ,-1) ? (1,+ ? ) ) D.可能两个以上 )

4.函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? a 的交点个数有( A.必有一个 5.函数 f ( x) ? A. R
2

B.一个或两个 C.至多一个

1 的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是( ax ? 4ax ? 3 3 3 3 B. [ 0 , ] C. [ ,?? ) D. [ 0, ) 4 4 4

二.填空题 6.某种茶杯,每个 2.5 元,把买茶杯的钱数 y(元)表示为茶杯个数 x(个)的函数,则 y=________,其定义 域为________. 7. 函数 y= x+1+ 三.解答题 8.求函数 y=x+ 1 的定义域. x2-4 1 的定义域是(用区间表示)________. 2-x

9.已知函数 f ( x) 的定义域为[0,1],求函数 f ( x ? a) ? f ( x ? a) 的定义域(其中 0 ? a ?

1 ). 2

2 10.已知函数 f ( x) ? x ? x ? 1 .(1)求 f ( 2) (2)求 f ( ? 1) (3)若 f ( x) ? 5 ,求 x 的值.

1 x

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函数相等、函数的值域 1.下列各题中两个函数是否表示同一函数? (1) f ( x) ? 1 , g ( x) ? x0 ( ) (2) f ( x) ?

x2 ? 4 , g ( x) ? x ? 2 x?2

( )

(3) f ( x) ? x 2 ? 2x , g (t ) ? t 2 ? 2t 2.下列函数中值域是(0,+ ? )的是 A. y ? 2 x ? 1( x ? 0)

( )(4) f ( x) ?| x ? 1 | , g ( x) ? ?

? x ? 1( x ? 1) ?1 ? x( x ? 1)

( )

B. y ? x 2

C. y ?

1 x ?1
2

D.

2 ( x ? 0) x

3.设函数 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 1 ,则 f (a) ? f (?a) ? A.0 B. ? 6 a C. 2 a ? 2
2

D. 2a ? 6a ? 2
2

4.已知 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f (? x) ? 3x ? 2 ,且 f (?2) ? ?

16 ,则 f (2) ? 3
1 3

1 x2 5.已知函数 f ( x) ? (1)计算 f ( 2) 与 f ( ) 2 2 1? x

(2)计算 f (3) 与 f ( )

(2)计算 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ... ? f (2011) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ... ? f (

1 2

1 3

1 4

1 ) 2011

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6.求下列函数的值域: (1) y ?

2x ? 4 x?3

(2) y ? x 2 ? 4 x ? 6, x ?[1,5)

(3) y ? 1 ? x 2 , x ?{?2,?1,0,1,2}

7.求函数 f ( x) ? 2x ? 3 ? 13? 4x 的定义域和值域.(提示:设 t ? 13 ? 4 x )

函数的表示法 1.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程.在下图中纵轴表示离 学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图四个图形中较符合该学生走法的是( )

2.已知 f (2 x) ? 2 x ,则 f ( x) ? A. 2 x B. x C.

x 2

D. 4 x )

3.已知函数 f(x)=x2+px+q 满足 f(1)=f(0)=0,则 f(4)的值是( A.5 B.-5 C.12 D.20

4.已知 f ( x) 是一次函数,若 2 f (2) ? 3 f (1) ? 5 , 2 f (0) ? f (?1) ? 1,则 f ( x) 的解析式为 A. f ( x ) ? 3 x ? 2 B. f ( x ) ? 3 x ? 2 C. f ( x ) ? 2 x ? 3 ) D. f ( x ) ? 2 x ? 3

5.定义域为 R 的函数 f(x)满足 f ( x) ? 2 f (? x) ? 2 x ? 1,则 f ( x) =( A.-2x+1 1 B.2x- 3 C.2x-1 1 D.-2x+ 3

6.若 g ( x) ? 1 ? 2 x , f ( g ( x)) ? A.1 B.15

1 1? x2 ,则 f ( ) 的值是 2 2 x
C .4 D.30
8

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7.函数 f ( x) 的图象经过点(1,1),则函数 f ( x ? 4) 的图象过点 8.已知 f ( x) 是二次函数, f (0) ? 0, f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 ,求 f ( x) .

9.若 f ( f ( f ( x))) ? 27x ? 26,求一次函数 f ( x) 的解析式.

分段函数与映射 x +3 ? ? 1.已知 f(x)=?1 ? ?x+4 A.-4 2 已知函数 f ( x) ? ?
2

(x>0), (x=0), (x<0). B .4 C.3 , D.-3 则 f(f(f(-4)))=( )

?? 2 x ? 1( x ? 1)
2 ?x ? 2 x( x ? 1)

(1)试比较 f ( f (?3)) 与 f ( f (3)) 的大小. (2)若 f (a) ? 3 ,求 a 的值.

3.画出下列函数的图象,并写出值域.
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(1) f ( x) ?| x |

(2) f ( x) ?| x 2 ? 2 x |

(3) f ( x) ?| x ? 5 | ? | x ? 3 |

函数的单调性

1.在区间(0,+∞)上不是增函数的是 A.y=2x-1 B.y=3x2-1 C.y=





2 x

D.y=2x2+x+1 ( )

2.设函数 f ( x) ? (2a ? 1) x ? b 是(-∞,+∞)上的减函数,若 a∈R, 则 A. a ?

1 2

B. a ?

1 2

C. a ? ?

1 2

D. a ?

1 2

3.函数 y=4x2-mx+5 在区间 ?2, ? ? ? 上是增函数,在区间 ?? ?, 2? 上是减函数,则 m=________; 4.根据图象写出函数 y=f(x)的单调区间:增区间 y -3 0 -1 3 x ;减区间:

5.函数 f(x)=ax2-(5a-2)x-4 在 ?2,??? 上是增函数, 则 a 的取值范围是______________. 6.判断函数 y ? x ?

4 在在 ?2, ? ?? 上的单调性,并用定义证明. x

7.函数 f ( x), g ( x) 在区间 [a, b] 上都有意义,且在此区间上
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① f ( x) 为增函数, f ( x) ? 0 ; ② g ( x) 为减函数, g ( x) ? 0 . 判断 f ( x) g ( x) 在 [a, b] 的单调性,并给出证明.

函数的最大(小)值与值域 1.当 x ? [0,5] 时,函数 f ( x) ? 3x ? 4 x ? 1 的值域为()
2

A. [ f (0), f (5)] 2.函数 f ( x ) ? A. ,1

B. [ f (0), f ( )]

2 3

C. [ f ( ), f (5)]

2 3

D. ( f (0), f (5)]

1 5

1 在区间 [2,6] 上的最大值和最小值分别是() x ?1 1 1 1 B. 1, C. ,1 D. 1, 5 7 7

3.函数 f ( x) ? 2x ?1 ? x 的值域是() A. [ ,?? )

1 2

B. (?? , ]

1 2

C. (0,??)

D. [1,??)

? 2 x ,0 ? x ? 1 ? 4. f ( x) ? ?2,1 ? x ? 2 的值域是() ?3, x ? 2 ?
A. R 5.若 0 ? t ? B. [0,3] C. [0,??) D. [0,2] ? {3}

1 1 ,则代数式 ? t 的最小值是() t 4
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A. ? 2

B.

15 4

C.2

D.0

6.函数 y ? f ( x) 的定义域为 [?4,6] ,且在区间 [?4,?2] 上递减,在区间 (?2,6] 上递增,且 f (?4) ? f (6) ,则函 数 y ? f ( x) 的最小值是 ,最大值是

7.函数 y ? 2 x 2 ? 1, x ? N * 的最小值为 8.已知函数 y ? x 2 ? 2x ? 3 在区间 [0, m] 上有最大值 3,最小值 2,求 m 的取值范围.

函数的奇偶性

1.下面说法正确的选项





A.函数的单调区间可以是函数的定义域 B.函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C.具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2.函数 f ( x) ? x 2 ? x 是 A.偶函数 ( ) C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数 ( )

B.奇函数

3.函数 y ? x | x | ? px , x ? R 是 A.偶函数 B.奇函数

C.非奇非偶函数 D.与 p 有关 ( )

4.如果偶函数在 [a, b] 具有最大值,那么该函数在 [?b,?a] 有 A.最大值 B.最小值

C .没有最大值 D. 没有最小值

5.如果函数 f ( x), x ? R 是奇函数,且 f (1) ? f (2) ,则必有 A. f (?1) ? f (?2) B. f (?1) ? f (?2) C . f (?1) ? f (1) D. f (?1) ? f (?2) .

6.函数 f ( x) 在 R 上为奇函数,且 f ( x) ? 7. (12 分)判断下列函数的奇偶性 ① f ( x) ? x ?
3

x ? 1, x ? 0 ,则当 x ? 0 , f ( x) ?

1 ; x

② f ( x) ?

2 x ?1 ? 1 ? 2 x ;

③ f ( x) ? x ? x ;
4

1? x2 f ( x) ? ④ | x ? 2 | ?2 。

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8. (12 分)已知 f ( x) ? x

2005

? ax 3 ?

b ? 8 , f (?2) ? 10 ,求 f (2) . x

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