当前位置:首页 >> 数学 >>

史上最全的数列复习资料(经典+精练)


数列专题复习
等差数列 1. 等差数列的定义用递推公式表示为:
a n ?1 ? a n ? d ( n ? N )
?
? 或 a n ? a n ?1 ? d ( n ? 2 , n ? N ) ,其中 d 为常数,是这个

数列的公差。 2. 等差数列的通项公式:
a n ? a1 ? ( n ? 1)

d



{a } {a } 3. 等差数列的分类:当 d ? 0 时, n 是递增数列;当 d ? 0 时, n 是递 {a } 减数列;当 d ? 0 时, n 是常数列。 4. 等差中项:如果在 a, b 中间插入一个数 A ,使 a , A , b 成等差数列,那么
A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 5. 等差数列的前 n 项和公式:

A?

a?b 2



Sn ?

n ( a1 ? a n ) 2

, 或 d 2 d S n ? n ? ( a1 ? ) n 2 2

S n ? na 1 ?

n ( n ? 1) 2

d

, 此 式 还 可 变 形 为

6. 等差数列的主要性质: (1)

an ? ak ? (n ? k )d

? a ? an ? 2a p (2)若 m ? n ? 2 p ( m , n , p ? N ) ,则 m a ? an ? a p ? aq (3)若 m ? n ? p ? q ,则 m (反之也成立) 其中 (

m , n, p, q ? N ) a ? a n ? a 2 ? a n ?1 ? a 3 ? a n ? 2 ? ? 如: 1

?

一、思想方法: 1. 证明一个数列为等差数列的常用方法: a ? an ? (1)①(定义法)证明: n ?1 常数; a n ? 1 ? a n ?1 ? 2 a n ( n ? 2 )

②(等差中项法)证明:

a ? kn ? b (2)公差 d ? 0 的等差数列的通项是 n 的一次函数 n , (k,b 为 常数)

等比数列: 定义:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同 一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比;

公比通常用字母 q 表示 ( q ? 0) ,即: a n ?1 : a n ? q ( q ? 0) 。(注意:“从 第二项起”、“常数” q 、等比数列的公比和项都不为零) 1,2,4,8,16,?2 ; 1 1 1 ? , ,? , ? 2 4 8 ③
an ? 2 对于数列①,
n ?1
63



5,25,125,625,?;



1,

;

an a n ?1

?2

a n an ? 5 ; n ? 5 a n ?1 (n≥2) 对于数列②, an a n ?1 1 2

(n≥2)
a n ? ( ? 1)
n ?1

? 2

1
n ?1

;

??
n ?1

对于数列③,

(n≥2)

2. 等比数列的通项公式为: a n ? a 1 ? q

( a1 ? q ? 0 ) 。 说明: (1)由等比数列的通项公式可知:当公比 q ? 1 ,时该数列既是等比

数列也是等差数列; (2)由等比数列的通项公式可知:若 am m?n ?q a 则 n 。

{a n }

为等比数列,

3. 等比中项 如果在 a与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,那 么 G 叫做 a与 b 的等比中项 (两个符号相同的非零实数, 都有两个等比中项) 4. 一 般 地 , 设 等 比 数 列
a1 , a 2 , a 3 , ? , a n , ?

的 前 n 项 和 是
n

Sn ? S n ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n , q ? 1 时, 当 S ? na 1 当 q=1 时, n

a 1 (1 ? q ) 1? q

Sn ?

a1 ? a n q 1? q





5、若数列 若数列

{a n } {a n }

成等差数列,则 成等比数列,则

S k, S 2 k ? S k , S 3 k ? S 2 k … … S k, S 2 k ? S k, S 3 k ? S 2 k … …

成等差数列. 成等比数列.

等比数列的性质
a a ①等比数列任意两项间的关系:如果 n 是等比数列的第 n 项, m 是等比数 n?m 列的第 m 项,且 m ? n ,公比为 q ,则有 a n ? a m q ;

②对于等比数列

?a n ? ,若 n ? m ? u ? v ,则 a n ? a m
, 如

? au ? av

,也就是: 示 :

a1 ? a n ? a 2 ? a n ?1 ? a 3 ? a n ? 2 ? ? ?





1 ? ? ? ? ??n? ? ? ?? a1 , a 2 , a 3 , ? , a n ? 2 , a n ?1 , a n ??? ?? ?? ? ?

a ?a

a 2 ?a n ?1


? Sk

* ③若数列 ?a n ? 是等比数列,S n 是其前 n 项的和,k ? N , 那么 S k ,S 2 k



S 3k ? S 2 k

成等比数列。

数列综合
按照一定次序排列起来的一列数称为数列, 数列中的每一个数叫做这个数列 的项。 2. 数列的一般形式 数列的一般形式可以写成 a1,a2,a3,?,an,?,简记为{an},其中 a1 称 为数列{an}的第 1 项(或称为首项) a2 称为第 2 项,?,an 称为第 n 项. , ( n ? 1) ? S1 a S S 3. n 与 n 的关系:n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? a n ? ? ? S n ? S n ?1 ( n ? 2) 4. 数列通项公式的求法: ? S ? 1 (1)公式法: (2)利用 a n ? ? ? S n ? S n ?1 ? 构造法

? n ? 1? ?n ? 2?

(3)累加、累乘法; (4)

类型 1:形如“ a n ?1 ? a n ? f ( n ) ”的递推式 由此类递推式给出的数列,求通项公式,采用“累加法”.
a n ? a 1 ? ( a 2 ? a 1 ) ? ( a 3 ? a 2 ) ? ? ? ( a n ? a n ?1 ) ? a 1 ? f (1) ? f ( 2 ) ? ? ? f ( n ) ? a1 ?
n

?

f (k )

k ?1

2 3, ,且 例 1:数列 ? a n ? 中, a1 ? 2 , a n ?1 ? a n ? cn ( c 是常数, n ? 1,, ? )

a1, a 2, a 3 成公比不为 1 的等比数列.

(1)求 c 的值;

(2)

求 ? a n ? 的通项公式.

类型 2:形如“

a n ?1 an

? f ( n ) ”的递推式求通项.



a2 a1

? f (1),

a3 a2

? f ( 2 ), ? ,

an a n ?1

? f ( n ? 1) .

累乘可得

an a1

? f (1) f ( 2 ) ? f ( n ? 1)

即 a n ? a1 ? f ( k ) .
k ?1

n ?1

例 2:已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 2 , a n ?1 ?

n ?1 n

a n ,求 ?a n ? 的通项公式.

【解析】注意到递推公式是一个乘积形式,可以把它转化为商 的形式,用迭乘法便可消去中间项,从而求出其通项公式. ∵ a n ?1 ?
a2 a1
n ?1 n a n ,∴
a n ?1 an ? n ?1 n

.



? 2,

a3 a2

?

3 2

,

a4 a3

?

4 3

,? ,

an a n ?1

?

n n ?1

.

把上述等式相乘得
a2 a1 ? a3 a2 ? a4 a3 ??? an a n ?1 ? 2? 3 2 ? 4 3 ??? n n ?1 ,



an a1

? n , 而 a1 ? 2

∴ a n ? 2n .

类型 3:形如“ a n ?1 ?

Aa n Ba n ? C

( A , B , C 为常数) ” 的递推式求通项.

对于这类递推数列,可通过两边同时取倒数的方法得出关系 式. 例 3: (08 高考陕西卷·理 22) 已知数列 ?a n ? 的首项 a 1 ?
3 5 , a n ?1 ? 3a n 2a n ? 1 , n ? 1, 2 ,3, ?

(Ⅰ)求 ?a n ? 的通项公式;

类型 4:形如“ a n ?1 ? pa n ? q ” 的递推式求通项. 对于形如 a n ?1 ? pa n ? q 的递推式,通常采用换元法进行转化, 假设将递推式改写成 a n ?1 ? x ? p ( a n ? x ) , 比较系数可知 x ? 可令 a n ?1 ? x ? b n ?1 换元即可转化为第比数列来解决.
1 2
q p ?1



例题:数列 ? a n ? : a1 ?

, a n ? 4 a n ?1 ? 1( n ? 1). 求数列 ? a n ? 的通项公式。

类型 5:形如“ a n ?1 ? pa n ? f ( n ) ” 的递推式求通项. 这类数列较复杂,在此只研究两种较为简单的情况, f (n ) 是 多项式或者指数幂的形式. 例 5:设数列 ? a n ? 中, a1 ? 1, a n ?1 ? 3 a n ? 2 n ? 1 ,求数列 ? a n ? 的通 项公式. 【 解 析 】 采 用 待 定 系 数 法 , 设

a n ?1 ? A ( n ? 1) ? B ? 3( a n ? An ? B )
∴ a n ?1 ? 3 a n ? 2 An ? 2 B ? A

比较系数得

2A ? 2 2B ? A ? 1



A ?1 B ?1

∴ 由 a n ?1 ? 3 a n ? 2 n ? 1 可得

a n ?1 ? ( n ? 1) ? 1 ? 3( a n ? n ? 1)

令 b n ? a n ? n ? 1 ,则 b n ?1 ? 3b n
∴ b n ? b1 ? 3
n ?1

?3 ,
n

∴ an ? 3 ? n ? 1 .
n
n

例 6:数列 ? a n ? 中 a1 ? 1, a n ?1 ? 3 a n ? 2 ,求数列 ? a n ? 的通项公式

7、数列求和
一、常用公式法 直接利用公式求和是数列求和的最基本的方法.常用的数列 求和公式有:
等差数列求和公式:

等比数列求和公式:

二、错位相减法

可以求形如

的数列的和,其中

为等差数列,

为等比数列.

例 1:求和:

.

说明:错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.

三、裂项相消法
适用于{

1 a n a n ?1

},其中{

}是各项不为 0 的等差数列,c 为常数;部分

无理数列也可以用此法 1 1 1 1 * 1? ? ? ??? (n ? N ) 1? 2 ? 3?? ? n 例 1:求和: 1 ? 2 1 ? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? 4 。

例2

求数列{1/(



)}的前 n 项和

四、分组求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类 数列适当拆开,能分为几个等差、等比或常见的数列,则对拆开 后的数列分别求和,再将其合并即可求出原数列的和.
例 3 已知集合 A={a|a=2n+9n-4,n∈N 且 a<2000},求 A 中元素的个

数,以及这些元素的和 解: 由 210=1024,211=2048 知 210+9× 10-4<2000 11 2 +9× 10-4>2000 ∴ A 中有 10 个元素,记这些元素的和为 S10,则 (首项为 9,公差为 9 的等差数列) 2 3 10 S10=2+2 +2 +…+2 +9+18+…+90-4× 10 (首项为 2,公比为 2 的等比数列) =2(210-1)+99× 5-40=2501

五、倒序相加法求和
例题:设 f ( x ) ?
4
x x

4 ?2

, (1)证明: f ( x ) ? f (1 ? x ) ? 1
)? f( 2 2002 ) ?? ? f ( 2001 2002

(2)求和 S ? f (

1 2002

)

8、技巧:对于 a n 与 S n 的混合关系式,莫忘利用 a n ? s n ? s n ?1 化掉 s n ,特 殊的化掉 a n

【反馈练习】
S , {a } a ? 1, S n ?1 ? 4 a n ? 2 例 1、 设数列 n 的前 n 项和为 n 已知 1 。 {b n } {a } bn ? a n ?1 ? 2a n (I)设 ,证明数列 是等比数列; (II)求数列 n 的通

项公式。

例 2、设数列{ a n }的前 n 项和 S n .已知首项 a1=3,且 S n ? 1 + S n =2 a n ? 1 ,试求此 数列的通项公式 a n 及前 n 项和 S n .

例 3. 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 它满足条件
n lg 中, bn ? a n · a .

a ?1
n

Sn

? 1?

1 a

.数列 {b n }

(1)求数列 {b n } 的前 n 项和 Tn ;

(2)若 a=2,判断数列 {b n } 的单调性

例 4.已知 f(x)在(﹣1,1)上有定义,

,且满足 x,y∈(﹣

1,1)有

.对数列{xn}有

(1)证明:f(x)在(﹣1,1)上为奇函数. (2)求 f(xn)的表达式. * (3)是否存在自然数 m,使得对于任意 n∈N 且 < 小值. 成立?若存在,求出 m 的最

例 5:已知数列 ?a n ? :a 1 ,a 2 ,a 3 ,??,a n ,??,构造一新数列:a 1 ,
( a 2 ? a 1 ) , ( a 3 ? a 2 ) ,??, ( a n ? a n ?1 ) ,??此数列是首项为 1,公比



1 3

的等比数列。 求数列 ?a n ? 的通项 a n ; 求数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n (1) (2)

【巩固练习】
1. (本题满分 12 分) 已知数列 前 n 项和为
Tn

?a n ? 的通项公式为 a n

? 2n ? 1

, 数列

{b n }



,且满足

Tn ? 1 ? bn
1

(I)求

{b n }

的通项公式;

(II)在

? a n ? 中是否存在使得 a n ? 9 是 {b n }

中的项,若存 在,请写出满足题意的一项(不要求写出所有的项) ;若不存在,请说明理 由.

2. (本小题满分 12 分)等差数列 {a n }中 , a 2 ? 4 ,其前 n 项和 S n 满足
S n ? n ? ? n ( ? ? R ).
2

(I)求实数 ? 的值,并求数列 { a n } 的通项公式; (II) 若数列 {
1 Sn ? bn } 是首项为 ? 、 公比为 2 ? 的等比数列, 求数列 {b n }

的前 n 项和 T n .

3、数列{ a n } 中 a1=

1

?1? ,前 n 项和 S n 满足 S n ?1 - S n = ? ? 3 ?3?

n ?1

(n ? N ) .
*

( I ) 求数列{ a n }的通项公式 a n 以及前 n 项和 S n ; (II)若 S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列,求实数 t 的值。

4 已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ?

1 2

, a n ?1 ? a n ?

1 n ?n
2

,求 a n 。

5. 数列{a n }满足 a 1 =1, 3 a n ?1 ? a n ? 7 ? 0 ,求数列{a n }的通项公式。

6. 已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 1 ,且 a n ?1 ? 3 a n ? 2 ,求 a n .

n 7.已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 1 , a n ? 3 ? 2 a n ?1 ( n ? 2 ) ,求 a n .

8. 已知数列 ? a n ? 满足 a1 ? 1, a 2 ? 3, a n ? 2 ? 3 a n ?1 ? 2 a n ( n ? N * ). (I)证明:数列 ? a n ?1 ? a n ? 是等比数列; (II)求数列 ? a n ? 的通项公式;

9. 数列 ?a n ? 满足 a1 ? 2 , a 2 ? 5, a n ? 2 ? 3 a n ?1 ? 2 a n =0,求数列{a n }的通项 公式。

数列小题训练
例 1 设{an}是等差数列, a2=3, 7 =13, 若 a 则数列{an}前 8 项的和为 ( A.128 B.80 C.64 )

D.56 (福建卷第 3 题)

例 2 已知等比数列 { a n } 满足 a1 ? a 2 ? 3, a 2 ? a 3 ? 6 ,则 a 7 ? ( A.64 B.81 C.128



D.243 (全国Ⅰ卷第 7

题)
a a 例 3 已知等差数列 ? a n ? 中, 2 ? 6 , 5 ? 15 , bn ? a 2 n , 若 则数列 ? b n ?

的前 5 项和等于( A.30

) B.45

C.90

D. (北京卷第 7 题) 186

例 4 记等差数列的前 n 项和为 S n ,若 S 2 ? 4, S 4 ? 20 ,则该数列的公 差d ? ( ) A.2 第 4 题)

B.3

C.6

D.7 (错误!未找到引用源。

a 例 5 在数列 { a n } 中, n ? 4 n ?

5 2

n a , 1 ? a 2 ? ? ? a n ? an ? bn , ? N ,
2
*

其中 a , b 为常数,则 ab ?

. (安徽卷第 15 题)

例 6 在数列 { a n } 中,a1 ? 2 , a n ?1 ? a n ? ln(1 ? A. 2 ? ln n C. 2 ? n ln n 例 7 设 数 列 B. 2 ? ( n ? 1) ln n

1 n

) ,则 a n ? (



D. 1 ? n ? ln n (江西卷第 5 题) 中 , a1 ? 2, a n ?1 ? a n ? n ? 1 , 则 通 项 a n ?

?an ?

___________. (四川卷第 16 题)


相关文章:
等差、等比数列复习经典练习题
等差、等比数列复习经典练习题_数学_高中教育_教育专区。等差、等比数列性质及应用...19. 在等差数列{an}中,若 a1=25 且 S9=S17,求数列前多少项和最大. 1 ...
高中数列经典习题(含答案)
高中数列经典习题(含答案)_高考_高中教育_教育专区...则有 q ?1, r ?1 .依据题设条件,有 a 1? ...高中数学 数列基础练习... 7页 免费 ©2015 Baidu...
2014届高三数列测试试题(经典)(含答案)
2014届高三数列测试试题(经典)(含答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。一线名师手笔,精典题型,快速提高学生数列水平。2014 届高三数学一轮复习 数 列 1 姓名...
必修五-数列经典练习题带答案
必修五-数列经典练习题带答案_数学_高中教育_教育专区。高一数列基础练习题,必修五整章习题!必修五-数列 评卷人 得分 一、选择题(题型注释) 1.数列 1,3,6,...
高一数列专项典型练习题及解析答案
高一数列专项典型练习题及解析答案_数学_高中教育_教育专区。高一数列练习题及详细解析 一.选择题(共 11 小题) * 1. (2014?天津模拟)已知函数 f(x)= (a>...
高考经典练习题数列选填题
高考经典练习题数列选填题_数学_高中教育_教育专区。高考经典练习数列选填题 2013 年高考题 1、 (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学 (理) WORD 版含...
等差等比数列综合练习题(经典基础题)
等差等比数列练习题(含答... 8页 1下载券 等差、等比数列复习经典... 3页...等差等比数列综合练习题一、选择题 1、 (2009 辽宁卷文)已知 ?an ? 为等差...
数列经典练习(含答案)
数列经典练习(含答案)_数学_高中教育_教育专区。强项实验学校数学组 数列一.填空...本题考查前 n 项和公式和等差数列的性质. ,△ ABC 的面积为 , 菁优网...
...的综合应用知识点总结、经典例题解析、高考练习题带...
数列的综合应用知识点总结、经典例题解析、高考练习题带答案_数学_高中教育_教育...考点三:数列的综合应用 一、数列与函数的综合 二、等差与等比数列的综合 2 三...
经典等差数列练习题(含答案)
经典等差数列练习题(含答案)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。经典等差数列练习题(含答案) 等差数列一、选择题: 1. 2005 是数列 7,13,19, 25,31,?, 中...
更多相关标签: