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2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共 150 分. 考试用时 120 分钟. 第 Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 5 页. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用 条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答

饪ㄉ, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本 试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷
注意事项: 1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮 擦干净后, 再选凃其他答案标号. 2. 本卷共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 参考公式: · 如果事件 A, B 互斥, 那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) · 棱柱的体积公式 V=Sh, 其中 S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱 柱的高. · 如果事件 A, B 相互独立, 那么 P( AB) ? P( A) P( B)
4 · 球的体积公式 V ? ? R3 . 3 其中 R 表示球的半径.

一.选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合 A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则 A ? B ? (A) (??, 2] (B) [1,2] (C) [-2,2] (D) [-2,1]
?3 x ? y ? 6 ? 0, ? (2) 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 则目标函数 z = y ? y ? 3 ? 0, ?

-2x 的最小值为 (A) -7 (C) 1

(B) -4 (D) 2

(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入 x 的值 为 1, 则输出 S 的值为 (A) 64 (C) 512 (4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的
1 , 则其体积缩小到原来 2

(B) 73 (D) 585

1 的 ; 8 ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;

③直线 x + y + 1 = 0 与圆 x2 ? y 2 ? 其中真命题的序号是: (A) ①②③ (C) ②③ (5) 已知双曲线

1 相切. 2

(B) ①② (D) ②③

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线分别交于 a 2 b2

A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 3 , 则 p = (A) 1 (6) 在△ABC 中, ?ABC ? (A)
10 10

(B)

3 2

(C) 2

(D) 3

?
4

, AB ? 2, BC ? 3, 则 sin?BAC =
10 5

(B)

(C)

3 10 10

(D)

5 5

(7) 函数 f ( x) ? 2 x | log 0.5 x | ?1 的零点个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (8) 已 知 函 数 f ( x) ? x(1 ? a | x |) . 设 关 于 x 的 不 等 式 f ( x ? a) ? f ( x) 的 解 集 为 A, 若
? 1 1? ? ? 2 , 2 ? ? A , 则实数 a 的取值范围是 ? ?

-22013 高考真题

?1? 5 ? (A) ? ? 2 ,0 ? ? ? ? ?1? 5 ? ? 1? 3 ? (C) ? ? 2 ,0 ? ? ? 0, 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

?1? 3 ? (B) ? ? 2 ,0 ? ? ? ? ? 1? 5 ? (D) ? ??, ? ? 2 ? ? ?

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

理 科 数 学
第Ⅱ卷
注意事项: 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共 12 小题, 共 110 分. 二.填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. (9) 已知 a, b∈R, i 是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则 a + bi =
1 ? ? (10) ? x ? ? x? ?
6

.

的二项展开式中的常数项为

.

? ?? (11) 已知圆的极坐标方程为 ? ? 4cos? , 圆心为 C, 点 P 的极坐标为 ? 4, ? , 则|CP| = ? 3?

.

(12) 在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, ?BAD ? 60? , E 为 CD 的中点. 若 ???? ??? ? AD· ? 1 , 则 AB 的长为 BE . (13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且 BD//AC. 过点 A 做圆的切线与 DB 的延长线交于点 E, AD 与 BC 交于点 F. 若 AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段 CF 的长为 . (14) 设 a + b = 2, b>0, 则当 a = 时,
1 |a| ? 取得最小值. 2|a| b

三.解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) ?? ? 已知函数 f ( x) ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 6sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1, x ? R . 4? ? (Ⅰ) 求 f(x)的最小正周期; ? ?? (Ⅱ) 求 f(x)在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?
-32013 高考真题

(16) (本小题满分 13 分) 一个盒子里装有 7 张卡片, 其中有红色卡片 4 张, 编号分别为 1, 2, 3, 4; 白色卡片 3 张, 编号分 别为 2, 3, 4. 从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的 4 张卡片中, 含有编号为 3 的卡片的概率. (Ⅱ) 再取出的 4 张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为 X, 求随机变量 X 的分布列和数学期望. (17) (本小题满分 13 分) 如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E 为棱 AA1 的中点. (Ⅰ) 证明 B1C1⊥CE; (Ⅱ) 求二面角 B1-CE-C1 的正弦值. (Ⅲ) 设点 M 在线段 C1E 上, 且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值为
2 , 求线段 AM 的长. 6

(18) (本小题满分 13 分)
3 x2 y 2 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, 离心率为 2 3 a b 4 3 得的线段长为 . 3 (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若

设椭圆

???? ??? ???? ??? ? ? AC· ? AD· ? 8 , 求 k 的值. DB CB

(19) (本小题满分 14 分) 已知首项为
3 的等比数列 {an } 不是递减数列, 其前 n 项和为 Sn (n ? N *) , 且 S3 + a3, S5 + a5, S4 + 2

a4 成等差数列. (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 设 Tn ? Sn ?
1 (n ? N *) , 求数列 {Tn } 的最大项的值与最小项的值. Sn

(20) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ln x . (Ⅰ) 求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ) 证明: 对任意的 t>0, 存在唯一的 s, 使 t ? f ( s ) . (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s ? g (t ) , 证明: 当 t >e 2 时, 有

-42013 高考真题

2 ln g (t ) 1 ? ? . 5 ln t 2

-52013 高考真题

-62013 高考真题

-72013 高考真题

-82013 高考真题

-92013 高考真题

- 10 2013 高考真题

- 11 2013 高考真题


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