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备课资料(集合间的基本关系)


备课资料 [备选例题] 【例 1】下面的 Venn 图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何 图形之间的关系,问集合 A、B、C、D、E 分别是哪种图形的集合?

图 1-1-2-6 思路分析:结合 Venn 图,利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定. 解:梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形,故 A={四边形};梯形不是平行四边形、菱 形、正方形,而菱形、正方形是平行四边形,故 B={梯形},C={平行四边形};正方形是菱形,故 E={正方形}, 即 A={四边形},B={梯形},C={平行四边形},D={菱形},E={正方形}. 【例 2】2006 全国高中数学联赛山东赛区预赛,3 设集合 A={x||x|2-3|x|+2=0},B={x|(a-2)x=2}, 则满足 B A 的 a 的值共有( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 分析:由已知得 A={x||x|=1 或|x|=2}={-2,-1,1,2},集合 B 是关于 x 的方程(a-2)x=2 的解集, ∵B A,∴B= ? 或 B≠ ? . 当 B= ? 时,关于 x 的方程(a-2)x=2 无解,∴a-2=0. ∴a=2.当 B≠ ? 时,关于 x 的方程(a-2)x=2 的解 x= ∴

2 ∈A, a?2

2 2 2 2 =-2 或 =-1 或 =1 或 =2. a?2 a?2 a?2 a?2

解得 a=1 或 0 或 4 或 3,综上所得,a 的值共有 5 个. 答案:D 【例 3】2005 天津高考,文 1 集合 A={x|0≤x<3 且 x∈N}的真子集的个数是( ) A.16 B.8 C.7 D.4 分析:A={x|0≤x<3 且 x∈N}={0,1,2},则 A 的真子集有 23-1=7 个. 答案:C 【例 4】已知集合 A={x|1≤x≤3},B={x|(x-1)(x-a)=0},试判断集合 B 是不是集合 A 的子集?是 否存在实数 a 使 A=B 成立? 解析:先在数轴上表示集合 A,然后化简集合 B,由集合元素的互异性,可知此时应考虑 a 的取值 是否为 1,要使集合 B 成为集合 A 的子集,集合 B 的元素在数轴上的对应点必须在集合 A 对应 的线段上,从而确定字母 a 的分类标准. 当 a=1 时,B={1},所以 B 是 A 的子集;当 1<a≤3 时,B 也是 A 的子集;当 a<1,或 a>3 时,B 不是 A 的子集.综上可知,当 1≤a≤3 时,B 是 A 的子集. 由于集合 B 最多只有两个元素,而集合 A 有无数个元素,故不存在实数 a,使 B=A. 点评: 分类讨论思想,就是科学合理地划分类别,通过“各个击破”,再求整体解决(即先化整为零, 再聚零为整)的策略思想.类别的划分必须满足互斥、无漏、最简的要求,探索划分的数量界限 是分类讨论的关键. [思考]

(1)空集中没有元素,怎么还是集合? (2)符号“∈”和“ ? ”有什么区别? 剖析:(1)疑点是总是对空集这个概念迷惑不解,并产生怀疑的想法.产生这种想法的原因是没 有了解建立空集这个概念的背景,其突破方法是通过实例来体会.例如,根据集合元素的性质, 方程的解能够组成集合,这个集合叫做方程的解集.对于

1 =0,x2+4=0 等方程来说,它们的解集 x

中没有元素.也就是说确实存在没有任何元素的集合,那么如何用数学符号来刻画没有元素的 集合呢?为此引进了空集的概念,把不含任何元素的集合叫做空集.这就是建立空集这个概念 的背景.由此看出,空集的概念是一个规定.又例如,不等式|x|<0 的解集也是不含任何元素,就称 不等式|x|<0 的解集是空集. (2)难点是经常把这两个符号混淆 ,其突破方法是准确把握这两个符号的含义及其应用范围 , 并加以对比.符号∈只能适用于元素与集合之间,其左边只能写元素,其右边只能写集合,说明 左边的元素属于右边的集合,表示元素与集合之间的关系,如-1∈Z,

1 ? Z;符号 ? 只能适用于 2

集合与集合之间,其左右两边都必须写集合,说明左边的集合是右边集合的子集 ,表示集合与 集合之间的关系,如{1} ? {1,0}, ? ? {x|x<0}. (设计者:王立青)


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