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2.2.2用样本数字特征估计总体数字特征(2)


2.2 用样本估计总体
2.2.2用样本的数字特征估计总体的 数字特征
第二课时

知识回顾

如何根据样本频率分布直方图,分别 估计总体的众数、中位数和平均数?

(1)众数:最高矩形下端中点的横坐标.
(2)中位数:直方图面积平分线与横轴 交点的横坐标. (3)平均数:每个小矩形的面积

与小矩 形底边中点的横坐标的乘积之和.

知识探究:标准差
样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本 数据的“中心值”,其中众数和中位数容易计算, 不受少数几个极端值的影响,但只能表达样本数 据中的少量信息. 平均数代表了数据更多的信息, 但受样本中每个数据的影响,越极端的数据对平 均数的影响也越大.当样本数据质量比较差时,使 用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置, 可能与实际情况产生较大的误差,难以反映样本 数据的实际状况,因此,我们需要一个统计数字 刻画样本数据的离散程度.

思考1:在一次射击选拔赛中,甲、乙 两名运动员各射击10次,每次命中的环 数如下: 甲:7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙:9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 甲、乙两人本次射击的平均成绩分 别为多少环?

x甲 ? 7,

x乙 ? 7

思考2:甲、乙两人射击的平均成绩相等,观 察两人成绩的频率分布条形图,你能说明其 水平差异在那里吗?
频率 0.4 0.3 0.2 0.1 O

(甲)
0.4 0.3 0.2 0.1 O

频率

(乙)

4 5 6 7 8 9 10 环数

4 5 6 7 8 9 10 环数

甲的成绩比较分散,极差较大, 乙的成绩相对集中,比较稳定.

思考3:对于样本数据x1,x2,…,xn, 设想通过各数据到其平均数的平均距离 来反映样本数据的分散程度,那么这个 平均距离如何计算?

| x1 - x | + | x 2 - x | + L + | xn - x | n

思考4:反映样本数据的分散程度的大小,最 常用的统计量是标准差,一般用s表示.假设 样本数据x1,x2,…,xn的平均数为 x ,则标 准差的计算公式是:

s=

( x 1 - x ) + ( x 2 - x ) + L + (x n - x ) n

2

2

2

那么标准差的取值范围是什么?标准差为0 的样本数据有何特点? s≥0,标准差为0的样本数据都相等.

思考5:对于一个容量为2的样本:x1, x2(x1<x2),则

x1 + x 2 x 2 - x1 x= , s= 2 2

在数轴上,这两个统计数据有什么几何意义? 由此说明标准差的大小对数据的离散程度有 何影响?

标准差越大离散程度越大,数据较分散; 标准差越小离散程度越小,数据较集中 在平均数周围.

知识迁移
计算甲、乙两名运动员的射击成绩的 标准差,比较其射击水平的稳定性. 甲:7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙:9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 s甲=2,s乙=1.095.

知识补充

1.标准差的平方s2称为方差,有时用方 差代替标准差测量样本数据的离散度. 方差与标准差的测量效果是一致的,在 实际应用中一般多采用标准差. 2.现实中的总体所包含的个体数往往很 多,总体的平均数与标准差是未知的, 我们通常用样本的平均数和标准差去估 计总体的平均数与标准差,但要求样本 有较好的代表性.


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