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一道数学竞赛题的解答、推广与反思


新课 哥 l导 学   n 1 4 .   ?教 学 案例 与评 析 ?   一 道 数 学 竞 赛题 的 解 答 、 推 广 与 反 思  浙江省德清县教育局  余静学  a+c , 题 目: ( 第2 1 届希望杯数学邀请赛 ) 已知椭圆 c:   +   =1 , 过左焦点 F, 且斜率 为 1的直线交椭 圆于 A、 B两点 , 若  则 有 e = 『 雨 1

- d   I , 与 公 式 ( 9 ) 相 符 。   而本题中令 = 1 , d = 9 丁 + 4  ̄- , 历 A F = 9 — + 丁 4 4 一 ' 2 - , 则椭圆的离心率等于 (   )   得 e = ÷ 。   , A . ÷  B . ÷  c . ÷  D . 孚   解: 设 F( 一 C , 0 ) , A B直线方程 为 y = x + c , 联立方程得  r y   x+c   e =  从 以上可以看出 :   ( 1 ) 当斜率为 , J H  = L , A山 ' A   F= d ( d ≠1 )则  1 - +。 d   l 。   , {  +   2 : 1 , 消 元 得a 2 + 6   ) y 2 — 2 b   c ) , + 6 2 C 2 _ 2 6   = 0 ,   La   D   ( 2 ) 当斜率为 , 且 给出  =1 , 则这样 的椭 圆不存在 。   yl +y 2=   由韦达定理 , 得  2 b 2 c ( 1 ) ( 3 ) 当斜率不存在时 , 则A 而 F : 1此 时 无 法 求 出 e 。   y 。 , ,   = b 百 2 c 2 _ a 2 b 2 ( 2 )   我 们 不 妨 将 椭 圆 孥 广   双 曲 线 形 式 。   已知双曲 线C   :  一 告= l , 过左焦点F , 且斜率为k 的   a  o  设   : l  I = d , 于 是 有 y   = 一   , 代 人 ( 1 ) 、 ( 2 ) , 有   ( 1  = 筹 ( 3 )   =   b 2 c 2   _ a 2 b 2 ( 4 )   显然 d ≠1 , 于是将 ( 3 ) 代 人( 4 ) , 得  。   脚 e 2 :   ,   直线交双曲线于 A 、 B两点, 若而 A F = d求双 曲线 的离 心率 。   , 1 . 先考虑斜率不为零 的情形 , 不 妨 设 经 过 F 的 直 线 方  程为 x = m y — c , 联 立 消元 , 可得 ( b z m   一 a   ) Y   一 2 b   m c y + b   c   一   a 2 b  :0 .  于 是 有 e =   I 曷l ,   2 -得 e 本题 中, 令d : 9 — + 4   , / :   1 一 由韦 达 定 理 , 得  y .   =   0   m   一  a  。   ( 1 。 ) - d '   y 。 y : = b 丽 2 c 2 _ a 2 b 2 o  m 一  a  ( 1 1 )   困  , 同 样 令  =   再推广到一般  。   ( 1 ) 当A 、 B  壶于同 支 时, 可以 得出Y 。 = 一  : , 将 其代   人( 1 0 ) 、 ( 1 1 ) , 得  ( 1 - d ) y  ̄ :  2 b Z m c 已 知椭圆c :   + { 『 = 1

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