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26.2 二次函数的图象与性质(第1课时)


26.2 二次函数的图象与性质
(第1课时)

什么叫二次函数? 函数y=ax? +bx+c (a,b,c是 常数,a≠ 0) 叫做x的二次 函数.
我们学过用什么方法画函数 的图象?主要有哪些步骤?

2 用描点法画二次函数y=x 的图象
2 ?观察y=x 的表达式,选择适当x

值,并计算相应的y值,完成下 表:
x
2 y=x

… -3 -2 -1 0
… 9 4 1

1 2

3

… …

0 1

4 9

描点,连线
y
10 8 6 4

2 y= x

?
-4 -3 -2 -1

2 1 0 -2 1 2 3 4 x

观察图象,回答问题串
y
10

y= x2

?(1)你能描述图象的形状 8 吗?与同伴进行交流 . 6 4 ?(2)图象是轴对称图形吗? 2 如果是,它的对称轴是什么 ? 1 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 ,并与 4 x 请你找出几对对称点 -2 同伴交流.

观察图象,回答问题串
y
10

y= x2

?(3)图象 与x8轴有交点吗? 如果有,交点坐标是什么 ? 6 ?(4)在对称轴左侧,随着x值 2 1 的增大,y 的值如何变化?在 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 对称轴右侧呢? -2
4

观察图象,回答问题串
y
10 8

y= x2

?(5)当x取什么值时 ,y的值 6 4 最小?最小值是什么?你 2 是如何知道的? 1
-4 -3 -2 -1 0 -2 1 2 3 4 x

y ? x2

二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.

这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.

对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.

y?x

2

在对称轴的左 侧时,y随着x的 增大而减小.
在对称轴的右 侧时, y随着x的 增大而增大.

2在x轴的上方(除顶点外), 抛物线 y=x 当x=-2时,y=4 当x=1时,y=1 当 x=-1 时, y=1 顶点是它的最低点,开口向上 ,并且向 当x=2时,y=4 上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小, 最小值是0.

(1)二次函数y=-x2的图象是什么

形状?
x
y=-x2

-3 -2 -1 0 1 2 3 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9





(2)它与二次函数y=x2的图象有什么 关系?你能根据表格中的数据作出 猜想吗?

x

… -3 -2 -1 0 1

y=x2 … 9 4

1 2 3 0 1 4 9




x
2 y=x

… -3 -2 -1 0 … 9 4 1

1 2 3 0 1 4 9




描点,连线
-4 -3 -2 -1

y 2 0

-1 -2
-4 -6 -8 -10

1

2

3

4

x

y=-x2

yy

y ? ?x2

这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.

y

y ? ?x

2

在对称轴的左侧 时,y随着x的增大 而增大.
在对称轴的右侧 时, y随着x的增大 而减小.

抛物线y= -x2在x轴的下方(除顶点外), 顶点是它的最高点 , 开口向下 , 并且向下 当x=1 时,y= -1 当x= -2时,y= -4 当x= 2时,y= -4 无限伸展 ; 当 x=0 时 , 函数 y 的值最大 , 当x= -1时,y= -1 最大值是0.

抛物线

y=x2
( 0, 0) y轴

y= -x2
( 0, 0) y轴

顶点坐标

对称轴 位置 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方( 除顶点外) 向上 向下 开口方向 增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而 减小. 在对称轴的右侧, y随着x的 增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而 增大. 在对称轴的右侧, y随着x的 增大而减小.

当x=0时,最小值为0.

当x=0时,最大值为0.

2 ?函数y=ax (a≠0)的图象和性质

:

y

y

1.顶点坐标与对称轴 2.位置与开口方向
2 y=x

0

x

3.增减性与最值
y=-x2
0 x

y ? x2

二次函数y=ax2的性质
y ? ?x2

1.抛物线y=ax2的顶点是原点 ,对称轴是y轴.

2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外 ),它的开口向上,并且向上无限伸展; 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外), 它的开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小;在对 称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大;在对 称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.

1.已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8) (1)求此抛物线的函数解析式; (2)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上 ; (3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的 坐标; (4)若点(m,n)在此抛物线上,那么点 (-m,n)是否在此抛物线上?点(m,-n) 呢?

2.填空:
(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是( _____; 0, 0)
y轴 对称轴的右 侧, 对称轴是______; 在___________

y随着x的增大而增大;在对称轴的左 _________侧,
y随着x的增大而减小;当x= 0 时,函

数y的值最小,最小值是
y=2x2在x轴的

0 ;抛物线 上 方(除顶点外).

2 (2)抛物线 y ? ? x 2在x轴的 下 方(除 3
顶点外),

<0 时,y随着x的增大而增大; 当x_____

当x_____ >0 时,y随着x的,增大而减小
当x=0时,函数y的值最大,最大值是

0 _____,
当x

?

0时,y<0.

小结
?

拓展

回味无穷

由二次函数y=x2和y=-x2知:

? 1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴. ? 2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口 向上,并且向上无限伸展; 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向 下,并且向下无限伸展. ? 3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增 大而减小; 在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0 时函数y的值最小. 当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而 增大; 在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0 时,函数y的值最大.
y ? x2

y ? ?x2


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