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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修1-2练习:3.1 第1课时 数系的扩充和复数的概念]


选修 1-2

第三章

3.1

第 1 课时

一、选择题 1.若复数 2-bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则 b 的值为( A.-2 2 C.- 3 [答案] D [解析] 由题意得 2+(-b)=0,∴b=2. 2.(2014· 白鹭洲中学期中)复数 z=(m2+m)+mi(m∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实 数 m 的值为( A.0 或-1 C.1 [答案] D [解析]
2 ? ?m +m=0, ? ∵z 为纯虚数,∴ ∴m=-1,故选 D. ? ?m≠0,

)

2 B. 3 D.2

) B.0 D.-1

3.适合 x-3i=(8x-y)i 的实数 x、y 的值为( A.x=0 且 y=3 C.x=5 且 y=3 [答案] A
?x=0 ? [解析] 依题意得? , ?-3=8x-y ? ? ?x=0 解得? ,故选 A. ? ?y=3

)

B.x=0 且 y=-3 D.x=3 且 y=0

4.下列说法正确的是(

)

A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0,那么这两个复数相等 B.ai 是纯虚数(a∈R) C.如果复数 x+yi(x、y∈R)是实数,则 x=0,y=0 D.复数 a+bi(a、b∈R)不是实数 [答案] A [解析] 两个复数相等的充要条件是这两个复数的实部与虚部分别相等,即它们的实部 的差与虚部的差都为 0,故 A 正确;B 中当 a=0 时,ai 是实数 0;C 中若 x+yi 是实数,则 y=0 就可以了;D 中当 b=0 时,复数 a+bi 为实数.

5.复数 z=a2+b2+(a+|a|)i(a、b∈R)为实数的充要条件是( A.|a|=|b| C.a>0 且 a≠b [答案] D [解析] 复数 z 为实数的充要条件是 a+|a|=0,故 a≤0. 6.若 4-3a-a2i=a2+4ai,则实数 a 的值为( A.1 C.-4 [答案] C [解析]
2 ? ?4-3a=a 由题意得? 2 ,解得 a=-4. ?-a =4a ?

)

B.a<0 且 a=-b D.a≤0

)

B.1 或-4 D.0 或-4

二、填空题 7.如果 x-1+yi 与 i-3x 为相等复数,x、y 为实数,则 x=________,y=________ 1 [答案] x= ,y=1 4 [解析] 由复数相等可知

? ?x-1=-3x ?x= ? ? ,∴? 4 ?y=1 ? ?

1

?y=1

.

8.复数 z=3+( 3+1)i 的虚部是________,实部是________ [答案] 3+1 3

9.已知 A={1,2,(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i},B={-1,3},A∩B={3},则实数 a 的值为________. [答案] -1 [解析] 可以 A∩B={3}来寻找解题突破口,按题意 a2-3a-1+(a2-5a-6)i=3,
?a2-3a-1=3 ? ∴? 2 ,解得 a=-1. ? ?a -5a-6=0

三、解答题 a2-7a+6 10.已知复数 z= 2 +(a2-5a-6)i(a∈R).试求实数 a 分别为什么值时,z 分别 a -1 为: (1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数? [分析] 按复数 a+bi(a、b∈R)是实数,纯虚数和虚数的充要条件求解. [解析] (1)当 z 为实数时,则有 a2-5a-6=0 ①



a2-7a+6 有意义 a2-1



解①得 a=-1 且 a=6, 解②得 a≠± 1, ∴a=6,即 a=6 时,z 为实数. (2)当 z 为虚数时,则有 a2-5a-6≠0 且 a2-7a+6 有意义 a2-1 ③ ④

解③得 a≠-1 且 a≠6, 解④得 a≠± 1, ∴a≠± 1 且 a≠6, ∴当 a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z 为虚数. a -5a-6≠0 ? ? 2 (3)当 z 为纯虚数时,?a -7a+6 , =0 2 ? ? a -1 此方程组无解, ∴不存在实数 a 使 z 为纯虚数.
2

一、选择题 11.若复数 z1=sin2θ+icosθ,z2=cosθ+i 3sinθ(0∈R),z1=z2,则 θ 等于( A.kπ(k∈Z) π C.2kπ± (k∈Z) k [答案] D [解析] 由复数相等的定义可知, π B.2kπ+ (k∈Z) k π D.2kπ+ (k∈Z) 6 )

?sin2θ=cosθ , ? ?cosθ= 3sinθ
∴cosθ= 3 1 ,sinθ= . 2 2

π ∴θ= +2kπ,k∈Z,故选 D. 6 12.若 a、b∈R, 且 a>b,那么( A.ai>bi C.ai2>bi2 [答案] D ) B.a+i>b+i D.bi2>ai2

[解析] ∵i2=-1,a>b,∴ai2<bi2,故选 D. 13.若复数 m+1+(m-1)i 是实数,则实数 m 满足( A.m≠1 C.m=1 [答案] C [解析] ∵复数 m+1+(m-1)i 为实数,m∈R,∴m-1=0,∴m=1. 二、填空题 14.若 cosθ+(1+sinθ)i 是纯虚数,则 θ=________. π [答案] 2kπ+ (k∈Z). 2 [解析] 由 cosθ+(1+sinθ)i 是纯虚数,知
? ?cosθ=0 π ? ,所以 θ=2kπ+ (k∈Z). 2 ?1+sinθ≠0 ?

)

B.m≠=-1 D.m=-1

15.若 x 是实数,y 是纯虚数,且满足 2x-1+2i=y,则 x=________,y=________. [答案] [解析] 1 2 2i

设 y=bi(b∈R, 且 b≠0),则 2x-1+2i=bi,再利用复数相等的充要条件得 1 1 .∴x= ,y=2i. 2

? ? ?x= ?2x-1=0 ? ,解得? 2 ?2=b ? ?
三、解答题

?b=2

16.若不等式 m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10 成立,求实数 m 的值. m -3m=0 ? ? 2 [解析] 由题意,得?m -4m+3=0 , ? ?m2<10 m=0或m=3 ? ? ∴?m=3或m=1 ? ?|m|< 10
2



∴当 m=3 时,原不等式成立. m2+m-6 17.当实数 m 为何值时,复数 z= +(m2-2m)i 为 m (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数? [解析]
?m2-2m=0 ? (1)当? , ?m≠0 ?

即 m=2 时,复数 z 是实数. (2)当 m2-2m≠0,且 m≠0 即 m≠0 且 m≠2 时,复数 z 是虚数; m +m-6 ? ? =0 m (3)当? , 2 ? ?m -2m≠0 即 m=-3 时,复数 z 是纯虚数. 18.已知:复数 z=log2(x2-3x-3)+ilog2(x-3),其中 x∈R.求证:复数 z 不可能是纯 虚数. [解析] 假设复数 z 是纯虚数,
2 ? ?log2?x -3x-3?=0 ? 则有 ?log2?x-3?≠0 ② ? 2



由①得 x2-3x-3=1,解得 x=-1 或 x=4. 当 x=-1 时,log2(x-3)无意义; 当 x=4 时,log2(x-3)=0,这与 log2(x-3)≠0 矛盾,故假设不成立,所以复数 z 不可 能是纯虚数.



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