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一轮复习 第五章 数列 5.3 等比数列及其前n项和课时规范训练


【高考领航】 2017 届高考数学大一轮复习 第五章 数列 5.3 等比数 列及其前 n 项和课时规范训练 理 北师大版
[A 级 基础演练] 1.(2014·高考重庆卷)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( A.a1,a3,a9 成等比数列 C.a2,a4,a8 成等比数列 B.a2,a3,a6 成等比数列 D.a3,a6,a9 成等比数列 )
<

br />解析:设等比数列的公比为 q,因为 = =q ,即 a6=a3a9,所以 a3,a6,a9 成等比数 列.故选 D. 答案:D 1 2.(2015·高考课标卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1= ,a3a5=4(a4-1),则 a2=( 4 A.2 C. 1 2
2

a6 a9 a3 a6

3

2

)

B.1 D. 1 8

解析:法一:∵a3a5=a4,a3a5=4(a4-1), ∴a4=4(a4-1),
2

a4 2 2 3 ∴a4-4a4+4=0,∴a4=2.又∵q = = =8, a1 1 4
1 1 ∴q=2,∴a2=a1q= ×2= ,故选 C. 4 2 法二:∵a3a5=4(a4-1),∴a1q ·a1q =4(a1q -1), 1 将 a1= 代入上式并整理,得 4
2 4 3

q6-16q3+64=0,解得 q=2,
1 ∴a2=a1q= ,故选 C. 2 答案:C 3.(2016·商丘一模)在递增的等比数列{an}中,已知 a1+an=34,a3·an-2=64,且前

n 项和 Sn=42,则 n=(
A.3 C.5

) B.4 D.6

解析:因为{an}为等比数列,所以 a3·an-2=a1·an=64,又 a1+an=34,所以 a1,an 是

1

方程 x -34x+64=0 的两根,解得?
? ?a1=2, ? ?an=32. ?

2

?a1=2, ? ?an=32 ?

或?

?a1=32, ? ?an=2, ?

又因为{an}是递增数列,所以

由 Sn=

a1-anq 2-32q n-1 n-1 = =42,解得 q=4,由 an=a1q =2×4 =32,解得 n= 1-q 1-q

3,故选 A. 答案:A 4.(2015·高考课标卷Ⅰ)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn 为{an}的前 n 项和.若

Sn=126,则 n=________.
解析:∵a1=2,an+1=2an, ∴数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 又∵Sn=126, ∴ 2?1-2 ? =126, 1-2
n

∴n=6. 答案:6 5. (2014·高考天津卷) 设{an}是首项为 a1, 公差为-1 的等差数列, Sn 为其前 n 项和. 若

S1,S2,S4 成等比数列,则 a1 的值为________.
解析:等差数列{an}的前 n 项和为 Sn=na1+ 所以 S1,S2,S4 分别为 a1,2a1-1,4a1-6. 因为 S1,S2,S4 成等比数列, 所以(2a1-1) =a1·(4a1-6), 1 解方程得 a1=- . 2 1 答案:- 2 6.(2016·郑州质检)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a5=2a3a6,S5=-62,则
2 2

n?n-1? d,
2

a1 的值是__________.
解析: 设{an}的公比为 q.由 a5=2a3a6 得(a1q ) =2a1q ·a1q , ∴q=2, ∴S5=
2 4 2 2 5

a1?1-25?
1-2

=-62,a1=-2. 答案:-2 7.(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1.
? 1? (1)证明?an+ ?是等比数列,并求{an}的通项公式; 2? ?

2

1 1 1 3 (2)证明 + +?+ < . a1 a2 an 2 1? 1 ? 证明:(1)由 an+1=3an+1 得 an+1+ =3?an+ ?. 2? 2 ? 1 3 又 a1+ = , 2 2
? 1? 3 所以?an+ ?是首项为 ,公比为 3 的等比数列. 2? 2 ?

an+ = ,因此{an}的通项公式为 an=
1 2 (2)由(1)知 = n . an 3 -1 因为当 n≥1 时,3 -1≥2×3
n n-1

1 2

3 2

n

3 -1 . 2

n

1 1 ,所以 n ≤ n-1. 3 -1 2×3

1? 3 1 1 1 1 1 3? 1 1 1 3 于是 + +?+ ≤1+ +?+ n-1= ?1- n?< .所以 + +?+ < . a1 a2 an 3 3 2? 3 ? 2 a1 a2 an 2 9 8.(2015·高考重庆卷)已知等差数列{an}满足 a3=2,前 3 项和 S3= . 2 (1)求{an}的通项公式; (2)设等比数列{bn}满足 b1=a1,b4=a15,求{bn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)设{an}的公差为 d,则由已知条件得

a1+2d=2,3a1+

3×2 9 d= , 2 2

3 1 化简得 a1+2d=2,a1+d= ,解得 a1=1,d= , 2 2 故{an}的通项公式 an=1+

n-1
2

,即 an=

n+1
2

.

(2)由(1)得 b1=1,b4=a15=
3

15+1 =8. 2

设{bn}的公比为 q,则 q = =8,从而 q=2, 故{bn}的前 n 项和

b4 b1

b1?1-qn? 1×?1-2n? n Tn= = =2 -1. 1-q 1-2
[B 级 能力突破] 1.(2016·许昌调研)设{an}是等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,对任意正整数 n,有

an+2an+1+an+2=0,又 a1=2,则 S101 的值为(
A.2 B.200

)

3

C.-2

D.0
2

解析:设等比数列的公比为 q.由 an+2an+1+an+2=0 得 an(1+2q+q )=0,因为 an≠0, 所以可得 1+2q+q =0,解得 q=-1,所以 S101=a1=2. 答案:A 2.若数列{an}满足
2

a2 n+1 =p(p 为正常数,n∈N+),则称{an}为“等方比数列”.甲:数 a2 n
)

列{an}是等方比数列;乙:数列{an}是等比数列,则( A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的充要条件 C.甲是乙的必要条件但不是充分条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析:乙? 甲,但甲 数列. 答案:C

乙,如数列 2,2,-2,-2,-2,是等方比数列,但不是等比

3.已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,若存在 m∈N+,满足 列{an}的公比为( A.-2 C.-3 解析:设公比为 q,若 q=1,则 与题中条件矛盾,故 q≠1. ) B.2 D.3

S2m a2m 5m+1 =9, = ,则数 Sm am m-1

S2m =2, Sm

a1?1-q2m? 1-q S2m m m ∵ = =q +1=9,∴q =8. Sm a1?1-qm? 1-q


a2m a1q2m-1 m 5m+1 = m-1 =q =8= , am a1q m-1
3

∴m=3,∴q =8,∴q=2. 答案:B 4.(2015·高考湖南卷)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和.若 a1=1,且 3S1,2S2,S3 成等 差数列,则 an=__________. 解析:因为 3S1,2S2,S3 成等差数列,所以 4S2=3S1+S3, 即 4(a1+a2)=3a1+a1+a2+a3.化简, 得 =3, 即等比数列{an}的公比 q=3, 故 an=1×3
-1

a3 a2

n

=3

n-1

.

4

答案:3

n-1

5.(2016·兰州模拟)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=m·2 ________. 解析:a1=S1=m-3, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=m·2 ∴a2=m,a3=2m, 又 a2=a1a3, ∴m =(m-3)·2m,整理得 m -6m=0, 则 m=6 或 m=0(舍去). 答案:6
2 2 2

n-1

-3,则 m=

n-2



6.(2014·高考广东卷)若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e ,则 ln a1 +ln a2+?+ln a20=________. 解析:因为 a10a11+a9a12=2a10a11=2e ,所以 a10a11=e . 所以 ln a1 + ln a2 +?+ ln a20 = ln(a1a2?a20) = ln[(a1a20)·(a2a19)·?·(a10a11)] = ln(a10a11) =10ln(a10a11)=10ln e =50ln e=50. 答案:50 1 1 7.(2016·豫东、豫北名校联考)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a3= ,且 S2+ , 8 16
10 5 5 5

5

S3,S4 成等差数列.数列{bn}满足 bn=8n.
(1)求数列{an}的通项公式;
? 1? (2)记数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求数列?an+ ?的前 n 项和. ?

Tn?

解:(1)设数列{an}的公比为 q, 1 因为 S2+ ,S3,S4 成等差数列, 16 1 1 故 2S3=S2+S4+ ,即 a3=a4+ , 16 16 1 1 a4 1 a3 1 又 a3= ,故 a4= ,故 q= = ,则 a1= 2= , 8 16 a3 2 q 2 1 ?1?n-1 ?1?n 故 an= ·? ? =? ? (n∈N+). 2 ?2? ?2? (2)因为 bn=8n(n∈N+), 1 2 故 Tn=4n +4n, =

Tn

1 ? 1 1? 1 = ? - . n n + 1? 4n?n+1? 4? ?

1 ? 1 1 1?1 所以 an+ = n+ ? - ?, Tn 2 4?n n+1?

5

? 1? 记数列?an+ ?的前 n 项和为 Qn. ?

Tn?

1? 1? ?1- n? 2? 2 ? 1? 1 ? 则 Qn= + ?1- ? 1 4? n+1? 1- 2 5 1 1 = - n- . 4 2 4?n+1?

6


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