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2.1.1简单随机抽样(高中数学人教A版必修三)


问题提出

1.我们生活在一个数字化时代,时 刻都在和数据打交道,例如,产品的合 格率,农作物的产量,商品的销售量, 电视台的收视率等.这些数据常常是通 过抽样调查而获得的,如何从总体中抽 取具有代表性的样本,是我们需要研究 的课题.

电视台的收视率

为了回答我们碰到的许多问题,必须收集相关数据. 如食品、饮料中的细菌是否超标,农作物的产量? 这些问题都需要通过收集数据作出回答.

统计学:
研究客观事物的数量特征和数量关系,它 是关于数据的搜集、整理、归纳和分析方 法的科学。

统计的基本思想:
用样本估计总体,即通常不直接去研究总体, 而是通过从总体中抽取一个样本,根据样本 的情况去估计总体的相应情况。

几个统计术语

总体
个体

每一 为了检验某食品店内100袋小包装饼干

30袋小包装饼干 卫生是否达标,从中抽取30袋小包装饼干

进行抽样调查。

样本 容量

样本

统计学中的几个概念

总体 所要考察对象的全体 个体 总体中的每一个对象
样本 从总体中抽取的一个部分 样本容量 样本中个体的数目 为了了解高一12(05)班54名同学的视力 情况,从中抽取10名同学进行检查。 这里面总体、个体、样本、样本容量分别是 什么?

不放回抽样与放回抽样
不放回抽样:当我们逐个地从总体中抽取个体时, 如果每次抽取的个体不再放回总体,这种抽样叫 做不放回抽样。 放回抽样:如果每次抽取一个个体后,先把它放 回总体,然后再抽取下一个个体,这种抽样叫 做放回抽样。

练习
为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄 情况,从中抽取100名运动员;就这个问题, 下列说法中正确的有 ④,⑤ ; ① 2000名运动员是总体; ② 每个运动员是个体; ③ 所抽取的100名运动员是一个样本; ④ 样本容量为100 100 ⑤ 每个运动员被抽到的概率相等,都是 2000

练习
某地有2000人参加自学考试,为了 了解他们的成绩,从中抽取一个样 本,若每个考生被抽到的可能性均 为0.04,求这个样本的容量 80 。

问题1 :为了了解全国高中生的视 力情况,需要将全中国所有高中生 逐一进行检查吗?
容量大!

问题2 :要检查某超市销售的牛奶 含菌量是否合格,需要将该超市 的所有牛奶的包装袋都打开逐一 检查吗?
有破坏性!

1、如何设计抽样方法,使抽取的样 本能真正代表总体?
合理、公平

如怎么判断一锅汤的味道如何?

高质量的数据来自“搅拌均匀”的总 体,使每个个体有同样的机会被抽中





一个著名的案例

在抽样调查中,样本的选择是至关重要 的,样本能否代表总体,直接影响着统计结 果的可靠性。下面的故事是一次著名的失败 的统计调查,被称为抽样中的泰坦尼克事件。 它可以帮助我们理解为什么一个好的样本如 此重要。

在1936年美国总统选举前,一份颇有名气的杂志的工 作人员做了一次民意调查。调查兰顿(当时任堪萨斯州州 长)和罗斯福(当时的总统)中谁将当选下一届总统。为 了了解公众意向,调查者通过电话簿和车辆登记簿上的名 单给一大批人发了调查表(注意在1936年电话和汽车 只有少数富人拥有)。通过分析收回的调查表,显示兰顿 非常受欢迎,于是杂志预测兰顿将在选举中获胜。

实际上选举结果正好相反,最后罗斯福在选举中获胜, 其数据如下:
候选人 罗斯福 预测结果 430 0 选举结果 62 0 0

兰顿

570 0

38 0 0

思 考

[问题] : 你认为预期结果出错的原因
是什么?

原因是:用于统计推断的样本来自少数富人, 只能代表富人的观点,不能代表全体选民的观点 (样本不具有代表性)。

§2.1 随机抽样

问题3:假设你作为一名食品卫生工作人员, 要对某食品店内的一批小包装饼干进行卫生 达标检验,你准备怎么做? 将这批小包装饼干放入一个不透明的袋子 中,搅拌均匀,然后不放回的摸取(这样可 以保证每一袋饼干被抽取的机会相等),这 样我们就可以得到一个简单随机样本,相应 的抽样方法就是简单随机抽样

简单随机抽样
一般地,设一个总体的个体数为N, 从中逐个不放回地抽取n个个体作为一 个样本,如果每次抽取时总体内的各个 个体被抽到的机会相等,就称这样的抽 样为简单随机抽样。

简单随机抽样
一般地,设一个总体含有有限个个体,并记其个 体数为N。如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样 本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称 这样的抽样为简单随机抽样。
简单随机抽样的特点: (1)它要求被抽取样本的总体的个体数有限; (2)它是从总体中逐个地进行抽取; (3)它是一种不放回抽样;

(4)它是一种等概率抽样。

判断:下列抽取样本的方式是否属于 简单随机抽样?
(1)从无限多个个体中抽取100个个体作为样本 (2)盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进 行质量检验,在抽取操作时,从中任意拿出一 个零件进行质量检验后再把它放回盒子里。 (3)从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检(4)
从8台电脑中不放回的随机抽取2台进行质量检验(假 设8台电脑已编好号,对编号随机抽取)

(1)不是 (2)不是 (3)不是 (4)是

简单随机抽样—— 1.抽签法(抓阄法)
把总体中的N个个体编号,并把号码写 在形状、大小相同的号签上,将号签放在 同一个容器里,搅拌均匀后,每次从中抽 出1 个号签,连续抽取n次,得到一个容量 为n的样本。

实例一

为了了解高一(18)班54名 同学的视力情况,从中抽取10名 同学进行检查。

抽签决定

例1.为了了解高一(5)班54名同学的视力情况,从中 抽取10名同学进行检查。 开始

54名同学从1到54编号

抽 签 法

制作1到54个号签
将54个号签搅拌均匀 随机从中抽出10个签 对号码一致的学生检查

结束

抽签法的一般步骤:
(总体个数N,样本容量n) (1)将总体中的N个个体编 号(号码从1到N); (2)将这N个号码写在形状、大 小相同的号签上; (3)将号签放在同一箱中,并 搅拌均匀; (4)从箱中每次抽出1个号签, 并记录其编号,连续抽出n次; (5)将总体中与抽到的号签编 号一致的n个个体取出。

开始

54名同学从1到54编号
制作1到54个号签 将54个号签搅拌均匀 随机从中抽出10个签 对号码一致的学生检查

结束

抽签法的一般步骤:
(总体个数N,样本容量n) (1)将总体中的N个个体编号 (号码从1到N); (2)将这N个号码写在形状、 大小相同的号签上; (3)将号签放在同一箱中,并 搅拌均匀; (4)从箱中每次抽出1个号签, 并记录其编号,连续抽出n次; (5)将总体中与抽到的号签编 号一致的n个个体取出。
开始 编号 制签 搅匀 抽签 取出个体 结束

思考:你认为抽签法有什么优点和缺点?
优点:抽签法能够保证每个个体入选 样本的机会都相等

缺点:(1)当总体的个数较多时,制 作号签的成本将会增加
(2)号签很多时,“搅拌均匀”比较 困难,结果很难保证每个个体入选样 本的可能性相同

简单随机抽样——

2.随机数法

随机数表、随机数骰子、计算机产生的随机数 用随机数表法抽取样本的步骤: ①将总体中的所有个体编号(每个号码位数一致);

②在随机数表中选定开始的数字(确定行数列数); ③从选定的数开始按一定方向读数,若得到的号 码大于总体编号或与前面所取出的号码重复的去 掉,如此进行下去,直到取满为止;
④根据选定的号码抽取样本。

随机数表法例 下面举例说明如何用随机数表来抽取样本。 为了检验某种产品的质量,决定从40件产品中抽取10件 进行检查,在利用随机数表抽取这个样本时,可以按下 面的步骤进行: 第一步,先将40件产品编号,可以编为00,01,02,, 38,39。 第二步,在附录1随机数表中任选一个数作为开始,例 如从第8行第9列的数5开始,为便于说明,我们将附录1 中的第6行至第10行摘录如下。
16 84 63 33 57 22 42 01 21 60 77 17 63 12 86 94 53 78 34 32 39 31 59 29 44 49 57 16 78 09 54 24 95 64 47 43 55 55 56 27 54 06 67 07 96 82 88 19 82 54 17 37 93 23 78 77 04 74 47 67 98 10 50 71 75 52 42 07 44 38 49 17 46 09 62 87 35 20 96 43 21 76 33 50 25 12 86 73 58 07 15 51 00 13 42 90 52 84 77 27 84 26 34 91 64 83 92 12 06 76 44 39 52 38 79 99 66 02 79 54 08 02 73 43 28

第三步,从选定的数5开始向右读下去,得到一个两位 数字号码59,由于59>39,将它去掉;继续向右读,得 到16,将它取出;继续下去,又得到 19,10,12,07,39,38,33,21,随后的两位数字号码是12,由 于它在前面已经取出,将它去掉,再继续下去,得到34。 至此,10个样本号码已经取满,于是,所要抽取的样本 号码是 16 19 10 12 07 39 38 33 21 34 注 将总体中的N个个体编号时可以从0开始,例如 N=100时编号可以是00,01,02,99,这样总体中的 所有个体均可用两位数字号码表示,便于运用随机 数表。

注:当随机地选定开始读数的数后,读数的方向可以
向右,也可以向左、向上、向下等等。 在上面每两位、每两位地读数过程中,得到一串两位 数字号码,在去掉其中不合要求和与前面重复的号码 后,其中依次出现的号码可以看成是依次从总体中抽 取的各个个体的号码。由于随机数表中每个位置上出 现哪一个数字是等概率的,每次读到哪一个两位数字 号码,即从总体中抽到哪一个个体的号码也是等概率 的。因而利用随机数表抽取样本保证了各个个体被抽 取的概率相等。

例2:从800袋牛奶中抽取60袋进行质量检查,利 用 随机数法设计抽样方案。
第一步:将800袋牛奶编号,号码是000,001,…,799;
第二步:在随机数表中任选一个数作为开始,例如选出第 8行第7列的数“7”;(随机数表中一位数即一列)_

第三步:从数“7”开始,向右读,得到一个三位数785, 由于785<799,说明号码785在总体编号内,将它取出;继 续向右读,得到916,由于916>799,将它去掉,按照这种 方法继续向右读,又取出567,199,507, …,依次下去, 直到样本的60个号码全部取出; 第四步:以上号码对应的60袋牛奶就是要抽取的对象。

用随机数法抽取样本的步骤: ①将总体中的所有个体编号(每个号码位数一致); ②在随机数表中选定开始的数字(确定行数列数); ③从选定的数开始按一定方向读数,若得到的号 码大于总体编号或与前面所取出的号码重复的去 掉,如此进行下去,直到取满为止;

④根据选定的号码抽取样本。

练习:要从某厂生产的300台机器中用随机数表法 抽出10台作为样本,试设计抽样方案。
第一步:将300台机器编号,号码是000,001,…,299; 第二步:在随机数表中任选一个数作为开始,例如选出第 3行第2列的数“6”;

第三步:从数“6”开始,向右读,每次读取3位,凡不在 000~299中的数跳过去不读,前面已经读过的也跳过去不 读,依次可得到:026,141,012,269,050,101,243, 099,006,184; 第四步:以上号码对应的10台机器就是要抽取的对象。

例2:假设我们要考察某公司生产的袋装牛奶的 质量是否达标,现从800袋牛奶中抽取60袋进行 检验,利用随机数表抽取样本时,可以按照下 面的步骤进行: ① 先将800袋牛奶编号,可以编为000,001,?, 799; ② 在随机数表中任选一个数; ③ 从选定的数开始向右(读数的方向可以是向 左,向上,向下等),得到满足的数将它取出, 继续向右读,直到样本的60个号码全部取出。

随机数表法
1、随机数表是统计工作者用计算机生成的 随机数,并保证表中的每个位置上的数字是 等可能出现的。 2、用随机数表抽取样本,可以任选一个数作 为开始,读数的方向可以向左,也可以向右、 向上、向下等等。因此并不是唯一的.

3、由于随机数表是等可能的,因此利用随 机数表抽取样本保证了被抽取个体的可能性 是相等的。

小结
1.简单随机抽样的概念和特点
结论:如果用简单随机抽样从个体数为N的总 体中抽取一个容量为n的样本,那么每个个体被 抽到的概率都等于 n
N

2.简单随机抽样的方法:

抽签法

随机数表法

注:随机抽样并不是随意或随便抽取,因为随意或
随便抽取都会带有主观或客观的影响因素.

用抽签法抽取样本的步骤:
简记为:编号;制签;搅匀;抽签;取个体。

用随机数表法抽取样本的步骤:

简记为:编号;选数;读数;取个体。


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