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第五讲 P-S-N曲线,疲劳统计学


第五讲 p-S-N 曲线,疲劳统计学 前节回顾 影响疲劳性能的若干因素 荷载形式、尺寸效应、表面光洁度的影响、温度和环境的影响 应力集中的影响,缺口系数:理论弹性应力集中系数、疲劳缺口系 数、缺口敏感系数

1.疲劳数据的分散性 S-N 曲线为中值曲线,一般对同一应力水平实验点有分散性, 其分散性与材料、应力水平、环境等相关。 某铝合金构件的疲劳实验 应力水平

(MPa) ±207 ±240 ±275 ±310 ±430 应力水平低则寿命 长,分散性也大,在同 样应力水平下,疲劳寿 命可以相差几十到几百 倍。
lgN

件数 57 29 34 29 25

寿命 2?106~1?108 7?105~4?106 1?105~8?105 4?104~1?105 1.5?104~2?104

S

2.p-S-N 曲线

1

p-S-N 曲线是组成不同成活率 p 下的 S-N 曲线集,这一曲线集 给出了:1)在给定应力水平下失效循环次数 N 的分布数据;2)在 给定的有限寿命下疲劳强度 S 的分布数据;3)无限寿命或 N > NL 的 疲劳强度-疲劳极限的分布数据。 p-S-N 曲线由成组实验获得。 p-S-N 曲线在有限寿命段(103 < N <106)在双对数坐表系上 近似为直线。
S

3.疲劳寿命与疲劳强度 概率分布之间的关系 疲劳破坏是疲劳损伤 逐渐累积的结果,材料中 宏观或微观的不可逆变形 是疲劳损伤的主要形式。

p = 0.99 p = 0.5 lgN

疲劳寿命概率分布:在给定疲劳强度下构件的疲劳寿命概率分布形 式。一般可由疲劳实验获得。 疲劳强度概率分布:在给定疲劳寿命下构件的疲劳强度概率分布形 式。 设在一疲劳荷载作用下,构件在给定疲劳强度 S*下的疲劳寿命 N 的概率分布密度为 f(n?S*),而在给定疲劳寿命 N*下的疲劳强度 S 的概率分布密度为 g(s?N*),则可以证明

2

N*

? f (n S
0

*

)dn ? ? g ( s N * )ds
0

S*

S

即在给定的疲劳强度 S*下 疲劳寿命 N 小于或等于 N*的 概率与在给定的疲劳寿命 N* 下疲劳强度 S 小于或等于 S* 的概率相等。 令:
p ? ? g ( s N )ds , 则有:
0 N S

S*

N*

N

p ? ? f (n S )dn
0

N

对 S 求偏导,有:

g (S N ) ? ?

? f (n S )dn ?S 0

上式即为由给定疲劳强度 S 下的寿命分布求给定寿命 N 下疲劳 强度分布的表达式。

4.疲劳数据处理常用分布函数 分布函数的确定 对于给定循环应力水平的一组试样所得到的疲劳寿命,如将实 验数据在某种概率纸上的分布基本呈线性,则构件的疲劳寿命服从 该分布。 概率统计名词 随机变量:取值随偶然因素变化但遵从一定概率分布规律的变量 母体:所有可能观测结果的总和 样本:从母体中提取的一部分样品

3

样本特征数: 样本均值:
x? 1 n ? xk n k ?1 1 n ? ( xk ? x ) 2 n ? 1 k ?1
1 n ? ( xk ? x ) 2 n ? 1 k ?1

样本方差:

s2 ?

样本标准差:

s?

1)正态分布(Gaussian 分布) 密度函数和分布函数 正态分布的密度函数为:
f ( x) ? ? (x ? ?)2 ? exp?? ?, 2? 2 ? ? 2? ? 1

(-? < x < ?)

μ:母体均值 σ:母体标准差 f(x)表示随机变量 X 取值 为 x 的频繁程度。密度函数是 关于 x = μ 的对称函数
f (? ) ? 1

f(x)

x

μ

X

? 2?

母体标准差越小,则在 x = μ 附近取值的可能性越大。 一般,概率密度函数具有以下性质 a) f ( x) ? 0
??

b)

??

? f ( x)dx ? 1

4

正态分布函数为:
F ( x) ?

??

?

x

f ( x)dx ?

? (x ? ?)2 ? exp?? ? dx ? 2? 2 ? ? ??? 2?
x

1

分布函数 F(x)表示随机变量 X 取值小于等于 x 的概率。随机变 量 X 取值大于 x 的概率为 1-F(x)。

2)标准正态分布 令:
u ? (x ? ?) ?

得到 u 的密度函数为
? (u) ? f ( x)
dx ? du ? 1 ? exp? ? u 2 ? , 2? ? 2 ? 1

(-? < x < ?)

即:u 服从均值 μ = 0,标准差 σ = 1 的正态分布。 标准正态分布函数
?(u) ?
φ (u)

??

?

u

? 1 ? ?x??? exp? ? u 2 ? ? ?? ? 2? ? 2 ? ? ? ? 1

标准正态分布特性 Φ(0) = 0.5; Φ(?u) = 1-Φ(u) p(a < u < b) = Φ(b)–Φ(a)
Φ(u) ?u u 1-Φ(u) X

变换是一一对应,因此随机变量 X ? x 的概率等于随机变量 U ? u 的概率 F(x) = Pr(X ? x) = Pr(U ? u) = Φ(u) 只需求出标准正态分布函数 Φ(u)即可求出正态分布函数 F(x)。标准 正态分布函数 Φ(u)可查表得出

5

正态函数分布值
u -3.719 -3.090 -3.000 -2.326 -2.000 -1.645 Φ(u)?100 0.01 0.10 0.13 1.00 2.28 5.00 u -1.282 -1.000 -0.842 -0.524 -0.253 0 Φ(u)?100 10.00 15.87 20.00 30.00 40.00 50.00 u 0.253 0.524 0.842 1.000 1.282 1.645 Φ(u)?100 60.00 70.00 80.00 84.13 90.00 95.00 u 2.000 2.326 3.000 3.090 3.719 Φ(u)?100 97.72 99.00 99.87 99.90 99.99

3)对数正态概率坐标纸 以 lgN 作为横坐标,F(x)为纵坐标的坐标纸,如在某一应力水平 下的实验数据在该坐标纸上的分布接近线性,则对数疲劳寿命服从 正态概率分布。 由疲劳试验数据样本 Ni,xi = lgNi,则与 xi 对应的破坏概率为
pf ? i n ?1

某铝合金构件的疲劳实验数据

6

4) 给定疲劳寿命下的破坏概率 问题:在给定应力水平下,寿命为 N 时的破坏概率(或存活率) 设对数疲劳寿命服从正态分布,则只需由样本的观测数据求出 样本的均值 x 和标准差 s 并作为母体均值和标准差的估计值,即可求 出给定破坏率(存活率)下构件的寿命或给定寿命下的破坏率。 破坏概率为 pf 的对数疲劳寿命 xp 为
x p ? ? ? u p?

?

xp ? x ? up s

up:与破坏概率为 pf 对应的标准正态偏量 则破坏概率 pf = Pr(X ? x) =Φ(up),存活概率为 1?pf 例:在某给定应力水平下测得一组(10 件)试样的疲劳寿命为: 160,181,134,140,135,138,147,154,166,124 千周,试确 定存活率为 99.9%的安全寿命。 解:将试验结果从小到大列于下表中,并计算 xi、xi2、pf 值 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Σ Ni 124 134 135 138 140 147 154 160 166 181 xi = lgNi 2.0934 2.1271 2.1303 2.1399 2.1461 2.1673 2.1875 2.2041 2.2201 2.2577 21.6735 pf = i/(n+1) 0.0909 0.1818 0.2727 0.3636 0.4545 0.5455 0.6364 0.7273 0.8182 0.9091

7

1)样本的均值和标准差
x? 1 n ? xk ? 2.1674 n k ?1

s?

1 n ? ( xk ? x ) 2 ? 0.05 n ? 1 k ?1

2)确定标准正态偏量 up 破坏概率:pf = 1-0.999 = 0.001 = 0.1% 由表查出:up = -3.09 3)估计破坏率为 0.1%的寿命
x p ? x ? u p s ? 2.1674? 3.09? 0.05 ? 2.013

N p ? 10 p ? 103(千周)
x

8


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