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专题18 同角三角函数的基本关系与诱导公式


专题十八 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 【高频考点解读】 sin α 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1, =tan α. cos α π 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ± α,π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式. 2 【热点题型】 题型一 同角三角函数基本关系式 ) 1+sin α 1 cos α 例 1、已知 =- ,则 的值是( cos α 2 sin α-1 1 A. 2 1 B.- 2 C.2

D.-2

【提分秘籍】 sin α 1.利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦与余弦的互化,利用 =tan α 可以实现 cos α 角 α 的弦切互化. 2.应用公式时注意方程思想的应用,对于 sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α 这三个 式子,利用(sin α± cos α)2=1± 2sin αcos α 可以知一求二. 3.注意公式的逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. 题型二 诱导公式 例 2、sin(-225° )=( A. 2 2 B.- 2 2 ) 1 C. 2 D. 3 2 2 .答案:A 2

解析:sin(-225° )=sin(-360° +135° )=sin 135° =sin 45° = 【提分秘籍】 应用诱导公式时应注意的问题

(1)由终边相同的角的关系可知,在计算含有 2π 的整数倍的三角函数式中可直接将 2π 的 整数倍去掉后再进行运算,如 cos(5π-α)=cos(π-α)=-cos α; (2)将任意角的三角函数化为锐角三角函数的流程 任意角的 任意正角的 0° 到360° 角的 锐角的三 → → → 三角函数 三角函数 三角函数 角函数

题型三

同角三角函数关系式的应用

π? ? π? 例 3、 已知 α∈? 则 lg(sin α+2cos α)-lg(3sin α+cos α)=________. ?0,2?且 tan ?α+4?=3,

【提分秘籍】 1.利用平方关系解决问题时,要注意开方运算结果的符号,需要根据角 α 的范围进行 确定. 2.已知 tan α,求 f(sin α· cos α)值时,注意构造商数关系,整体求值. 题型四 诱导公式 π 3 ? ?5π ? 例 4、(1)已知 cos? ?6+α?= 3 ,求 cos? 6 -α?的值; 7 ? 3 (2)已知 π<α<2π,cos (α-7π)=- ,求 sin(3π+α)· tan? ?α-2π?的值. 5

π ? sin? ?2-α? π cos α 3 ? ? =sin α· tan ?2-α?=sin α· =sin α· =cos α= . π sin α 5 ? cos? ?2-α? 【提分秘籍】 利用诱导公式化简求值时的原则

(1)“负化正”,运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数; (2)“大化小”,利用公式一将大于 360° 的角的三角函数化为 0° 到 360° 的角的三角函数,利 用公式二将大于 180° 的角的三角函数化为 0° 到 180° 的角的三角函数; (3)“小化锐”,利用公式六将大于 90° 的角化为 0° 到 90° 的角的三角函数; (4)“锐求值”,得到 0° 到 90° 的三角函数后,若是特殊角可直接求得,若是非特殊角可由计 算器求得. 题型五 巧用平方关系求解三角问题 3-1 ,则 tan θ= 2

例 6、已知 θ∈(0,π),sin θ+cos θ=

【提分秘籍】 对于平方关系 sin2α+cos2α=1 在命题中常涉及其变形应用, 如 sin α+cos α、 sin α-cos α、 sin αcos α 中“知一求二”问题,这三者之间在运用时很容易忽视 α 角范围判断导致失误. 1.常见的考查角度有: (1)已知 sin α+cos α 值,求 tan α、sin α-cos α. (2)已知 sin αcos α 求 sin α± cos α. 2.已知 sin θ± cos θ 及 θ 的范围求值时, 若使用平方处理往往会因为扩大角的范围而产生增

解,对于 sin θ+cos θ 在各象限的取值范围,可结合下列图象记忆



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