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湖南省岳阳市2015届高考信息卷数学(理)试题


岳阳市 2015 届高考信息卷(理数)
时量:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求的) . 1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? { y | y ? 2x , x ? R} , B ? ?x | x ? 2? ,则下图中阴影部分所 表示的集合为( C ) A. ? C. (0, 2) 2. B. {0,1} D. (??, 2) U
A B

若复数 z 满足 ?1 ? i ? z ? 2 ? i ,则 z ? i ? ( B )

A. 3. 4.

1 2

B.

2 2

C. 2

D. 2

用辗转相除法求 294 和 84 的最大公约数,则所求 最大公约数为 ( B ) A. 21 B. 42 C.84 D.168 若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的直观图是( A )

A

B

(第 4 题图)

C
?

D

5.

已 知 等 比 数 列 {an } 的 各 项 均 为 正 数 , 对 k ? N , ak ak ?5 ? a , ak ?10ak ?15 ? b , 则

ak ?1 5ak ? 2 0?
( B ) A.

b2 a

B.

b b a

C.

b b a

D.

b2 b a

6.

在 ?ABC 中,若 AC ? AB ?| AC |2 ,则有( D ) A. | AC |?| BC |

??? ? ??? ?

??? ?

uuu r

uuu r

B. | BC |?| AC |

??? ?

??? ?

C. | AC |?| AB |

??? ?

??? ?

D. | AB |?| BC | )

??? ?

??? ?

7.

设命题 p : ?x ? R, ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,则命题 p 为假命题的一个充分不必要条件是( B

A. a≥1

B. a>1

C. a≤1

D. a<2

8.

已知定义在 R 的函数 f ( x ) 满足:① f (- x) = f ( x) ;② f ( x - 2) = f ( x) ; ③ " x1 , x2 ? [0,1] ( x1 ? x2 ) ,

f ( x2 ) - f ( x1 ) > 0 .则( C ) x2 - x1
1 对称 2
B. 函数 f ( x ) 的图像关关于点 ( , 0)

A.函数 f ( x ) 的图像关于直线 x = 对称

1 2

C.函数 f ( x + 1) 在区间 [2013,2014 ]内单调递增 D.函数 f ( x + 1) 的最小正周期为 1

9.

已知双曲线

x2 y2 2 2 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F1 作圆 x ? y ? a 的切线分别 a2 b2

交双曲线的左,右两支于点 B , C ,且 | BC |?| CF2 | ,则双曲线的渐近线方程为( C ) A. y ? ?3x B. y ? ?2 2 x C. y ? ?( 3 ? 1) x D. y ? ?( 3 ? 1) x

x ? ?2 , x ? 0 10. 设函数 f ( x) ? ? ,若对任意给定的 y ? (2, ??) ,都存在唯一的 x ? R ,满足 ? ?log2 x, x ? 0

f ( f ( x)) ? 2a2 y 2 ? ay ,则正实数 a 的最小值是( A )
A.
1 4

B.

1 2

C.2

D.4

二、填空题(本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分,把答案填在答题卡中对应 题号后的横线上. ) (一)选做题(11~13 题,考生只能从中选做二题,三题都做记前两题的得分) 11. 如图,已知 AB 是⊙ O 的一条弦, AC 是⊙ O 的直径, 点 P 为 AB 延长线上一点, 且 PC 为 ⊙ O 的一条切线,若 AO ? 2 , PB ? 2 ,则 PC 的长是 2 2 .
A

O

B

C

P

? x ? cos ? (? 为参数) 12. 已知在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C 的参数方程为 ? , 点 P 在曲线 C 上, ? y ? 2sin ?

( 3, ) 以 Ox 为极轴建立极坐标系,点 Q 的极坐标为 ,则 P , Q 两点距离的最大值为 2

?

2? 3 .
13. 不等式 | 2x ? 1 ? log3 ( x ? 1) |?| 2x ? 1| ? | log3 ( x ? 1) | 的解集是 (2, + ? ) . (二)必做题(14~16 题) 14. 各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则.一考生从某大学所给的 7 个专业中, 选择 3 个作为自己的第一、二、三专业志愿,其中甲、乙两个专业不能同时兼报,则该考 生有 180 种不同的填报专业志愿的方法(用数字作答) . 15. 已知下面的数列通项和递推关系: ①数列 ?an ?(an ? n) 有递推关系 an?2 ? 2an?1 ? an ; ②数列 ? bn ?(bn ? n 2 ) 有递推关系 bn?3 ? 3bn?2 ? 3bn?1 ? bn ;
4

③数列 ?cn ?(cn ? n 3 ) 有递推关系 cn+ 4 = 4cn+ 3 - 6cn+ 2 + 4cn+ 1 - cn ; ④数列 {dn }(dn = n ) 有递推关系 d n?5 ? 5d n?4 ? 10d n?3 ? 10d n?2 ? 5d n?1 ? d n ; 试猜测: 数 列

{en }(en = n5 )

















.n en?6 ? 6 en?5 ?1 5en?4 ? 2 0 en?3 ? 1 5 en?2 ? 6 en?1 ? e 16. 设实数 x1 , x2 ,?, xn 中的最大数为 max{x1 , x2 ,?, xn } ,最小数为 min{x1 , x2 ,?, xn } .已知

?1 x ? ?1 x ? 1 ? x ? y 且三数 1, x, y 能构成三角形的三边长,记 t ? max ? , , y ? ? min ? , , y ? , ?x y ? ?x y ?
求: (1)若 y ? x2 ,则 t 的最小值为 (2) t 的取值范围是 [1, 1 ;

1? 5 ) 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 向量 m = (4b, 7),n = (a ,sin A )满足

??

?

?? ? m // n .
(Ⅰ)求 sin B 的值; (Ⅱ)若 a, b, c 成等差数列,且公差大于 0,求 cos A ? cos C 的值. 【解析】 (Ⅰ)∵ m = (4b, 7), n = ( a,sin A) , m // n ,∴ 4b sin A ? 7a ,

??

?

?? ?

根据正弦定理得 4sin B sin A ? 7 sin A , ∴ sin B ?

7 . 4

………………………5 分

(Ⅱ )∵ a, b, c 成等差数列,∴ a + c = 2b ,

由正弦定理以及(Ⅰ)得 sin A ? sin C ? 设 cos A ? cos C ? x , ②

7 . 2



①2+②2,得 2 ? 2 cos( A ? C ) ?

7 ? x2 . 4



0 0 又 a ? b ? c , A ? B ? C ,∴ 0 ? B ? 90 , cos A ? cos C ,

故 cos( A ? C ) ? ? cos B ? ? 因此 cos A ? cos C ?

3 7 2 . 代入③式得 x ? , 4 4
………………………12 分

7 . 2

18. (本小题满分 12 分) 有 A,B,C 三个盒子,每个盒子中放有红,黄,蓝颜色的球各一个,所有的球仅有颜色 上的区别. (Ⅰ)从每个盒子中任意取出一个球,记事件 S 为“取得红色的三个球”,事件 T 为“取得 颜色互不相同的三个球”, 求 P(S)和 P(T) ; (Ⅱ)先从 A 盒中任取一球放入 B 盒,再从 B 盒中任取一球放入 C 盒,最后从 C 盒中任 取一球放入 A 盒,设此时 A 盒中红球的个数为 ? ,求 ? 的分布列与数学期望 E ? . 【解析】 (Ⅰ) P ( S ) ?
1 1 C 1C 2 C1 2 1 1 1 1 , P (T ) ? 3 ? ? ? ? . …………………………4 1 1 1 3 3 3 27 C 3C 3C 3 9

分 (Ⅱ) ? 的可能值为 0,1,2 . ①考虑 ? ? 0 的情形,首先 A 盒中必须取一个红球放入 B 盒,相应概率为 中有 2 红 2 非红;若从 B 盒中取一红球放入 C 盒,相应概率为 红,从 C 盒中只能取一个非红球放入 A 盒,相应概率为
C 盒,相应概率为

1 ,此时 B 盒 3

1 ,则 C 盒中有 2 红 2 非 2

1 ;若从 B 盒中取一非红球放入 2

1 ,则 C 盒中有 1 红 3 非红,从 C 盒中只能取一个非红球放入 A 盒, 2

相应概率为

3 . 4

故 P (? ? 0) ?

1 ?1 1 1 3? 5 . ? ? ? ? ?? 3 ? ? 2 2 2 4 ? 24

②考虑 ? ? 2 的情形,首先 A 盒中必须取一个非红球放入 B 盒,相应概率为 中有 1 红 3 非红;若从 B 盒中取一红球放入 C 盒,相应概率 为 红,从 C 盒中只能取一个红球放入 A 盒,相应概率为 盒,相应概率为 概率为
1 . 4

2 ,此时 B 盒 3

1 ,则 C 盒中有 2 红 2 非 4

1 ;若从 B 盒中取一非红球放入 C 2

3 ,则 C 盒中有 1 红 3 非红,从 C 盒中只能取一个红球放入 A 盒,相应 4

故 P (? ? 2) ?

2 ?1 1 3 1? 5 . ? ? ? ? ?? 3 ? ? 4 2 4 4 ? 24
5 5 7 . ? ? 24 24 12

③ P (? ? 1) ? 1 ? ∴ ? 的分布列为

?
P

0
5 24

1
7 12

2
5 24

? 的数学期望 E? ? 0 ?

5 7 5 ? 1? ? 2? ? 1. 24 12 24

…………………………12 分

19. (本题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,PA ? 平面 ABCD , 四边形 ABCD 为平行四边形,AB ? 1 ,

BC ? 2 , ?ABC ? 45? ,点 E 在 PC 上, AE ? PC . (Ⅰ)证明:平面 AEB ⊥平面 PCD ; ? (Ⅱ)若二面角 B ? AE ? D 的大小为 150 ,求异面直线 PD 与 AB 所成角的大小.

(第 19 题图)

【解析】 (Ⅰ)∵











,∴





,∴





平面

,∴

,又∵





平面

,∵

平面









,又∵





平面



又∵

平面













.

………………………6 分

(Ⅱ) 如图, 以 为原点, 所在射线分别为 x,y,z 轴的正半轴,





建立空间直角坐标系 A-xyz,设













).







,∴

平 面



∴平面

的一个法向量为

.



,∴

.设









.

设平面

的一个法向量为

,∵







,令

,得

.

∵二面角

的大小为





,解得

.

∴在

中,



,∴

.



, ∴ 异 面 直 线



所 成 角 为



∴ 异 面 直 线



所 成 角 的 大 小 为

……………………………12 分 20. (本小题满分 13 分) 某企业投入 81 万元经销某产品,经销时间共 60 个月,市场调研表明,该企业在经销这

个产品期间第

个月的利润函数

(单位:万元) .为了获得

更多的利润,企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中.记第 利润率为

个月的

,例如



(Ⅰ)求

;及第

个月的当月利润率;

(Ⅱ)求该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大,并求出该月的当月利润 率.

【解析】 (Ⅰ)依题意得





………………………3 分



时,





时,

,则





也符合上式,故当

时,





时,



∴,第

个月的当月利润率为

.……………………8 分

(Ⅱ)当

时,

是减函数,此时

的最大值为





时,



当且仅当

,即

时,

有最大值为







时,

有最大值为

, 即 该 企 业 经 销 此 产 品 期 间 , 第 40 个 月 的 当 月 利 润 率 最 大 , 其 当 月 利 润 率 为

.………… 21. (本小题满分 13 分)

13 分

设抛物线

的焦点为

,点

,线段

的中点在抛物线上. 设动直线

与抛物线相切于点

,且与抛物线的准线相交于点

,以

为直径

的圆记为圆



(Ⅰ)求

的值;

(Ⅱ)证明:圆



轴必有公共点;

(Ⅲ)在坐标平面上是否存在定点

,使得圆

恒过

点 明理由.

?若存在,求出

的坐标;若不存在,说

【解析】 (Ⅰ)利用抛物线的定义得

,故线段

的中点的坐























.

……………………2 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为

,从而抛物线的准线方程为





得方程



由直线与抛物线相切,得





,从而

,即





,解得





的中点

的坐标为

,圆心



轴距离







∴圆



轴总有公共点.

(或 法二: 由



, 以线段

为直径的方程为:





,所圆与

轴总有公共点).

………………8 分

(Ⅲ)假设平面内存在定点

满足条件,由抛物线对称性知点



轴上,

设点

坐标为



由(Ⅱ)知





.



得,



,即



∴ 平 面 上 存 在 定 点

, 使 得 圆

恒 过 点

.

……………………13 分

证法二:由(Ⅱ)知







中点

的坐标为



∴圆

的方程为



整理得



上式对任意

均成立,

当且仅当

,解得



∴ 平 面 上 存 在 定 点

, 使 得 圆

恒 过 点

. 22. (本小题满分 13 分)

……………………13 分

已知函数

.

(Ⅰ)求函数

的单调区间;

(Ⅱ)如果对于任意的



总成立,求实数

的取值范围;

(Ⅲ)设函数



. 过点

作函数

图像的所有切线,令各切点的横坐标构成数列

,求数列

的所有项之和

的值.

【解析】 (Ⅰ)由于

,∴

.



,即

时,





,即

时,

.



的单调递增区间为

,单调递减区间为

.

…4 分

(Ⅱ)令

,要使

总成立,只需



.对

求导得





,则

,(

)







为增函数,∴

.



分类讨论:

①当

时,

恒成立,∴





为增函数,∴

,即

恒成立;

②当

时,

在上有实根

, ∵



上为增函数,

∴当

时,

,∴

,不符合题意;

③当

时,

恒成立,∴





为减函数,则

,不符合题意.

综合①②③可得,所求的实数 ……………………8 分

的取值范围是

.

(Ⅲ)∵

,∴



设切点坐标为

,则斜率为



切线方程为





的坐标代入切线方程,得

,即







, 则这两个函数的图像均关于点

对称,

它们交点的横坐标也关于

对称成对出现,方程



的根即所作的所有切线的切点横坐标构成的数列

的项也

关于

对称成对出现,



内共构成 1007 对,每对的和为























.

……………………13 分



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