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高考数学一轮复习必备第70课时:第八章 圆锥曲线方程——圆锥曲线小结


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课题:圆锥曲线小结 一.课前预习: 1. 设抛物线 y 2 ? 2x , 线段 AB 的两个端点在抛物线上, 且 | AB |? 3 , 那么线段 AB 的中点 M 到 y 轴的最短距离是( B )
( A)
3 (B) 1 2

(C )

>
1 2

( D) 2

2.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴分别交于 A, B 两点,在 a 2 b2

劣弧 AB 上取一点 C ,则四边形 OACB 的最大面积为( B )
( A)
1 2 3 ab ( B ) ab (C ) ab ( D) ab 2 2 2

1 1 1 3. ?ABC 中, A 为动点, B(? , 0) , C ( , 0) ,且满足 sin C ? sin B ? sin A ,则 2 2 2 动点 A 的轨迹方程是( D ) 16 16 ( A) 16 x 2 ? y 2 ? 1( y ? 0) ( B ) 16 y 2 ? x 2 ? 1( x ? 0) 3 3 16 1 16 1 (C ) 16 x 2 ? y 2 ? 1( x ? ? ) ( D) 16 x 2 ? y 2 ? 1( x ? ) 3 4 3 4

4.已知直线 y ? x ? 1 与椭圆 mx2 ? ny 2 ? 1 (m ? n ? 0) 相交于 A, B 两点,若弦 AB 中
1 4 x2 y 2 点的横坐标为 ? ,则双曲线 2 ? 2 ? 1 的两条渐近线夹角的正切值是 . 3 3 m n

5.已知 A, B, C 为抛物线 y ? x2 ?1 上三点,且 A(?1, 0) , AB ? BC ,当 B 点在抛 物线上移动时,点 C 的横坐标的取值范围是 (??, ?3] [1, ??) . 二.例题分析:
x2 y 2 例 1.已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) , B 是右顶点, F 是右焦点,点 A a b

在 x 轴正半轴上,且满足 | OA |,| OB |,| OF | 成等比数列,过点 F 作双曲线在第一、 三象限内的渐近线的垂线 l ,垂足为 P , (1)求证: PA ? OP ? PA ? FB ; (2)若 l 与双曲线 C 的左、右两支分别交于点 D, E ,求双曲线 C 的离心率 e 的取

值范围.
a (1)证明:设 l : y ? ? ( x ? c ) , b

a ? y ? ? ( x ? c) ? a 2 ab ? b 由方程组 ? 得 P( , ) , c c ?y ? b x ? a ?

a2 ∵ | OA |,| OB |,| OF | 成等比数列,∴ A( , 0) , c

∴ PA ? (0, ?

ab a 2 ab b 2 ab ) , OP ? ( , ) , FP ? (? , ) , c c c c c

∴ PA ? OP ? ?

a 2b 2 a 2b 2 PA ? FP ? ? , ,∴ PA ? OP ? PA ? FB . c2 c2

(2)设 D( x1 , y1 ), E( x2 , y2 ) ,
a ? y ? ? ( x ? c) ? a 4 2 2a 4 c a 4c 2 ? b 2 ( b ? ) x ? x ? ( ? a 2b 2 ) ? 0 , 由? 2 得 2 2 2 2 b b b ?x ? y ?1 ? ? a 2 b2

∵ x1 ? x2 ? 0 ,∴

?(

a 4b 2 ? a 2b 2 ) 2 c ? 0 ,∴ b 2 ? a 2 ,即 c 2 ? 2a 2 ,∴ e ? 2 . 4 a b2 ? 2 b

所以,离心率的取值范围为 ( 2, ??) .

例 2.如图,过抛物线 x2 ? 4 y 的对称轴上任一点 P(0, m) (m ? 0) 作直线与抛物线 交于 A, B 两点,点 Q 是点 P 关于原点的对称点, (1)设点 P 分有向线段 AB 所成的比为 ? ,证明: QP ? (QA ? ?QB) ; (1) 设直线 AB 的方程是 x ? 2 y ? 12 ? 0 ,过 A, B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处 有共同的切线,求圆 C 的方程. (2) 解: ( 1 ) 设 直 线 AB 的 方 程 为 y ? kx ? m , 代 入 抛 物 线 方 程 x2 ? 4 y 得
x 2 ? 4kx ? 4m ? 0

设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1x2 ? ?4m , ∵点 P 分有向线段 AB 所成的比为 ? ,得
x1 ? x2 x ? 0 ,∴ ? ? ? 1 , 1? ? x2

又∵点 Q 是点 P 关于原点的对称点,∴ Q(0, m) ,∴ QP ? (0, 2m) , ∴ QA ? ?QB ? ( x1 ? ? x2 , y1 ? ? y2 ? (1? ?)m) ∴ QP ? (QA ? ?QB) ? 2m[ y1 ? ? y2 ? (1 ? ?)m]

? 2m[

x12 x1 x2 2 x ? ? ? (1 ? 1 )m] 4 x2 4 x2

y A P

x x ? 4m ?4m ? 4m B ? 2m( x1 ? x2 ) ? 1 2 ? 2m( x1 ? x2 ) ? ?0 4 x2 4 x2

O

x
Q

∴ QP ? (QA ? ?QB) .
? x ? 2 y ? 12 ? 0 (2)由 ? 2 得点 A(6,9), B(?4, 4) , ?x ? 4 y

由 x2 ? 4 y 得 y ?

1 2 1 x ,∴ y? ? x ,∴抛物线在点 A 处切线的斜率为 y? |x ?6 ? 3 , 4 2

设圆 C 的方程是 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,

1 ?b ? 9 ?? ? 则 ?a ? 6 , 3 2 2 2 2 ?(a ? 6) ? (b ? 9) ? (a ? 4) ? (b ? 4) ?
3 23 125 解得 a ? ? , b ? , r 2 ? , 2 2 2 3 23 125 ∴圆 C 的方程是 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? ,即 x2 ? y 2 ? 3x ? 23 y ? 72 ? 0 . 2 2 2 三.课后作业:
x y x2 y 2 ? 1 相交于 A, B 两点,该椭圆上的点 P 使 ?ABP 1.直线 ? ? 1 与抛物线 ? 4 3 16 9

的面积等于 6,这样的点 P 共有(
( A) 1 个 ( B ) 2 个



(C ) 3 个 ( D ) 4 个

2.设动点 P 在直线 x ? 1 上, O 为坐标原点,以 OP 为直角边,点 O 为直角顶点 作等腰 Rt ?OPQ ,则动点 Q 的轨迹是( )

( A) 圆 ( B ) 两条平行线 (C ) 抛物线 ( D) 双曲线

3.设 P 是直线 y ? x ? 4 上一点,过点 P 的椭圆的焦点为 F1 (2,0) , F2 (?2, 0) ,则 当椭圆长轴最短时,椭圆的方程为 4.椭圆 .

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点在 y 轴 12 3

上,那么 | PF1 | 是 | PF2 | 的 5.已知双曲线

倍.

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线 a 2 b2

的 右 支 上 , 且 | PF1 |? 4 | PF2 | , 则 此 双 曲 线 的 离 心 率 e 的 最 大 值 为 .

6.直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C : 2 x2 ? y 2 ? 1的右支交于不同的两点 A, B , (1)求实数 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k ,使得线段 AB 为直径的圆经过 双曲线 C 的右焦点 F ?若存在, 求出 k 的值; 若 y 不存在,说明理由.
Q
M
?

P

l
O

x

7.如图, P 是抛物线 C : y ?

1 2 x 上一点,直线 l 过点 P 并与抛物线 C 在点 P 的 2

切线垂直, l 与抛物线 C 相交于另一点 Q , (1)当点 P 的横坐标为 2 时,求直线 l 的方程; (2)当点 P 在抛物线 C 上移动时,求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程,并求点 M 到

x 轴的最短距离.


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