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2014届高考总复习理科数学试题(1)


2014 届高考总复习理科数学试题(1)
参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 表示底面面积,h 表示锥体的高. 3

如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B). 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)=P(A)· P(B).

第Ⅰ卷

选择题(共 40 分)
1? i 等于( i C. 1 ? i
) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)1.复数 A. ?1 ? i 2.“ | x ? 1|? 2成立 ”是“ A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B. ?1 ? i ) D. 1 ? i

x ? 0 成立”的( x ?1

1 6 3.二项式 (2 x ? ) 的展开式中,常数项为 ( x
2



2 4

A.30 B.48 C.60 D.120 4.如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm) , 则此几何体的体积是( ) A. 96 cm
3

正视图

左视图

B. 80 cm

3

C. 80 ? 16 2 cm

?

?

3

224 3 D. cm 3

4

俯视图

(第 4 题 图)

2 1 5.若等比数列 ?a n ? 的首项为 ,且 a 4 = ? ? 2 x ? dx ,则数列 ?a n ? 的公比是( ) 1 9 1 1 A.3 B. C.27 D. 27 3

6.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, A ? 0, ? ? 0, ? ?

?
2

) 的部分图象如图所示,则

f ( x) 的解析式是(
A. f ( x) ? 2sin(? x ?



?
6

y

)( x ? R) )( x ? R)

2

(第 6 题

B. f ( x) ? 2sin(2? x ? C. f ( x) ? 2sin(? x ?

?
6

5 图) 6
o 2

?

3

)( x ? R) )( x ? R)

1 3

x

D. f ( x) ? 2sin(2? x ?

?
3

H

7. 如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时, 漏斗盛满液体,经 3 分钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是 一个常量,H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离,则 H 与下落 (第 7 题 图)

1

时间 t (分)的函数关系表示的图象只可能是(
H H H


H

O A

3

t

O B

3

t

O C

3 t

O D

3

t

8.函数 f ( x) ? ? (

b 2 3 x ? ax 2 ? 2bx(a, b ? R) 在区间 [?1, 2] 上单调递增,则 的取值范围是 a 3
B. (2, ??) C. (??, ?1) D. (?1, 2)

)A. (??, ?1) ? (2, ??)

第Ⅱ卷

非选择题(共 110 分)

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 13~15 题是选做题,考生 只需选做二题作答,三题全答的,只计算前两题得分) 9.按下列程序框图运算: 输入 x D x=3x D x=x-2 D 停止

x >244? 否



规定:程序运行到“判断结果 x >244?”为 1 次运算,若输入 x=5,则运算进行 次才停止。 10.某大型超市销售的乳类商品有四种:纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉,且纯奶、酸 奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有 30 种、10 种、35 种、25 种不同的品牌.现采用分层 抽样的方法从中抽取一个容量为 n 的样本进行三聚氰胺安全检测,若抽取的婴幼儿奶粉 的品牌数是 7,则 n= .

?x ? y ? 1 ? , 则z ? x ? 2 y 的最大值是 11.若实数 x、y 满足 ? y ? x ?y ? 0 ?

.12.已知平面向量 a, b, c

? ??

满足 a ? b ? c ? 0 ,且 a 与 b 的夹角为 135 , c 与 b 的夹角为 120 ,
0 0

? ? ?

?

?

?

?

?

A D E O B C

? ? | c |? 2 ,则 | a |?

. (★请考生在以下三个小题中任选做二题

作答,三题全答的,只计算前两题得分. )13.已知点 P 的极坐标是

(1, ? ) ,则过点 P 且垂直极轴的直线极坐标方程是



14.已知关于x的不等式 | x ? a | ? | x ?1| ?a ? 2009(a是常数) (第 15 题图) 的解是非空集合,则 a 的取值范围是 . 15.已知:如图,BE 是△ABC 的外接圆 O 的直径,CD 是△ABC 的高, 若 CD=6,AD=3,BD=8,则⊙O 的直径 BE 的长为 .

2

2 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 0 (★请在答题卷的指定区域内作答,否则该题计为零分. ) 0 16. (本题满分 12 分) 9 ?? A A B C b c 若 c s ) o i , 0 且其对边分别为 a 、 、 , m ? (?s n , 已知 A 、 、 为△ABC 的三内角, 2 2 ? ?? ? 1 5 A A n ? (cos ,sin ), 且m ? n ? . 2 2 2 2 0 (1)求角 A 的值; (2)若 a ? 2 3, b ? c ? 4, 求 ? ABC 的面积.

17. (本题满分 12 分) 某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间 T (单位:年)有关. T≤1, 若 则销 售利润为 0 元;若 1<T≤3,则销售利润为 100 元;若 T>3,则销售利润为 200 元.设每台 该种电器的无故障使用时间 T≤1, 1<T≤3 及 T>3 这三种情况发生的概率分别为 p1, 2, 3, p p 又知 p1,p2 是方程 25x ? 15x ? a ? 0 的两个根,且 p2=p3. (1)求 p1,p2,p3 的值;
2

(2)记 ? 表示销售两台这种家用电器的销售利润总和,求 ? 的期望. C 18. (本题满分 14 分)已知直三棱柱 A
1 1

B
1

ABC ? A1B1C1中,?ACB ? 900 , AC ? CB ? AA1 ? 2, D 是 AB 的中点.
(1)求证:CD⊥平面 ABB1A1; (2)求二面角 D—A1C—A 的正切值; (3)求点 C1 到平面 A1CD 的距离.

C A B D (第 18 题图)

19. (本题满分 14 分) 已知 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ? 切于点 ?1,0 ? . (1)求直线 l 的方程及 g ( x) 的解析式; (2)若 h ? x ? ? f ? x ? ? g ' ? x ? (其中 g ' ? x ? 是 g ? x ? 的导函数) ,求函数 h ? x ? 的值域.

1 3 1 2 x ? x ? mx ? n ,直线 l 与函数 f ? x ?、g ? x ? 的图象都相 3 2

3

20. (本题满分 14 分) 已知定点 A(-2,0) ,动点 B 是圆 F : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 64 (F 为圆心)上一点,线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P. (1)求动点 P 的轨迹方程; (2) 是否存在过点 E (0, -4) 的直线 l 交 P 点的轨迹于点 R, T,
y B


-2

P x
O

??? ??? 16 ? ? 满足 OR ? OT ? (O 为原点) .若存在,求直线 l 的方程;若不存 7
在,请说明理由.

A

F

(第 20 题图)

21. (本题满分 14 分) 已知函数 F ( x) ?

3x ? 2 1 1 2 2008 , ( x ? ). (1)求 F ( ) ? F( ) ?? ? F ( ) 的值; 2x ?1 2 2009 2009 2009

(2)已知数列 {an }满足a1 ? 2, an?1 ? F (an ) ,求数列 {an } 的通项公式;求 证: a1a 2 a3 ?an ? 2n ?1 .

4

参考答案
一.选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 题号 答案 1 解: 1 D 2 B 3 C 4 D 5 A 6 A 7 B 8 A

1 ? i (1 ? i )i i ? 1 ? ? ? 1 ? i.故选D i i2 ?1 x ? 0得0 ? x ? 1.故选B 2 解:由 | x ? 1|? 2得 ? 1 ? x ? 3,由 x ?1 1 r r 2 6?r r 6?r r 12 ?3 r , 令12 ? 3r ? 0得r ? 4, 3 解:? Tr ?1 ? C6 (2 x ) (? ) ? C6 (2) ( ?1) x x

?T5 ? 60, 故选C
4 解: 体积V ? 4 ?
3

1 2 224 ?4 ?2 ? .故选D 3 3

2 5 解: a4 ? x2 |1 ? 22 ?12 ? 3,由a4 ? a1 ? q3得q ? 3.故选A.

6 解:

5 1 2? 1 ? ? 由A=2,T=4( ? )=2, ? ? ? ? ? ;由五点作图法知,? ? ? ? ? ,解得? ? .故选A 6 3 T 3 2 6
7 解:圆锥形漏斗中液面开始下降的速度慢,后来下降的速度越来越快。故选 B; 8 解:由题可知,

( 2) f ' ( x) ? ?2x2 ? 2ax ? 2b ? 0 在 ? 1, 上恒成立,

y

, 即 x ? ax ? b ? 0在(?1 2)上恒成立.
2

2x ? y ? 4 ? 0

故? 如图,

?1 ? a ? b ? 0 ?a ? b ? 1 ? 0 ,即? ?4 ? 2a ? b ? 0 ?2a ? b ? 4 ? 0

b 即为图中阴影部分的点与原点连线的斜率.故选 a

o

x

x ? y ?1 ? 0

A 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 13~15 题是选做题,考生 只需选做其中二题,三题全答的,只以前二题计分. ) 9.4; 10.20; 11.1; 12. 6 ; 15. 5 5. 9 解:记第 n 次运算的结果为

13. ? cos ? ? ?1 .

1004 14.( ? ?, )

an ,则 a1 ? 13, an ? 3an?1 ? 2, 解得 an ? 4 ? 3n ? 1,由 an ? 244解得n ? 4. 答案:4
10 解: n ? (30 ? 10 ? 35 ? 25) ?

7 ? 20 . 答案:20 35

11 解:画出二元一次不等式组表示的平面区域,由角点法得 z 的最大值为 1. 答案:1

5

12 解: 如图,令 a ? OA, b ? OB, c ? OC, 作平行四

?

??? ? ?

??? ? ??? ? ?

???? ??? ? ???? | OD | | BD | | OC | 边形 OBDC,则 ? ? , sin 600 sin 450 sin 450

B 600 750 D 13 O50 A

??? ? ? 解得 | OD |? 6,即| a |? 6 答案:

6
C

13 解: 点 P 的直角坐标为(-1,0), 则过点 P 且垂直极 轴的直线的直角坐标方程为 x ? ?1 ,极坐标方 程为 ? cos ? ? ?1 . 答案 ? cos ? ? ?1

14 解:由题可知, | a ? 1| ?a ? 2009.当a ? ?1 ,不等式恒成立;当a ? ?1 时 时,

解得a ? 1004.综上得a ? 1004.
得, AC ? 3 5,sin ?ABC ? 答案: 5 5.

( 1004 15 答案: ? ?, ) 解:由题可

3 AC .由正弦定理有,BE ? ? 5 5. 5 sin ?ABC

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 16.解: (1)由 m ? n ?

1 A A 1 1 , 得 : ? cos 2 ? sin 2 ? , 即 cos A ? ? , ???????4 分 2 2 2 2 2 2 ? A 为 ?ABC 的内角,? A ? ? . ?????????????6 分 3
2 2 2 2 2

?? ?

(2)由余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A ? a ? (b ? c) ? bc 即 12 ? 4 ? bc ? bc ? 4
2

?????????????????????10 分 ???????????????????12 分

又 S ?ABC ?

1 bc sin A ? 3 . 2

17. 解: (1)由已知得 p1 ? p2 ? p3 ? 1 ,∵ p2 ? p3 , ∴ p1 ? 2 p2 ? 1 . ?????2 分
2

∵ p1 、 p2 是方程 25x ? 15x ? a ? 0 的两个根, ∴ p1 ? p2 ? ∴ p1 ? 400

3 5.

?????4 分

1 2 , p2 ? p3 ? 5 5

???????6 分(2) ? 的可能取值为 0,100,200,300,

1 1 1 1 2 4 P(? ? 0) ? ? ? , P(? ? 100) ? 2 ? ? ? , 5 5 25 5 5 25

6

1 2 2 2 8 2 2 8 P(? ? 200) ? 2 ? ? ? ? ? , P (? ? 300) ? 2 ? ? ? , 5 5 5 5 25 5 5 25
2 2 4 P (? ? 400) ? ? ? 5 5 25 . ?????????????9 分
即 ? 的分布列为:

?
p
故 E? ? 0 ?

0

100

200

300

400

1 25

4 25

8 25

8 25

4 25

1 4 8 8 4 ? 100 ? ? 200 ? ? 300 ? ? 400 ? ? 240 ????12 分 25 25 25 25 25 18.解: (1)因为 AC=CB,所以 CD ? AB, 又因为 ABC—A1B1C1 是直三棱柱,所以 CD ? AA1,故 CD ? 平面 ABB1A1 . ????4 分 (2)取 AC 中点 E,则 DE ? AC,得:DE ? 平面 ACC1A1,作 DH 垂直 A1C 于 H,
则 ? DHE 就是二面角 D—A1C—A 的平面角???????????????6 分 在 Rt?ADC 中,DE=

1 2 1 2 AC=1.EH= ? AC ? 2 2 2 2
?9 分 (3)由

?tan ?DHE ? 2,即二面角D ? A1C ? A的正切值为 2.
VC1 ?A1CD ? VD?A1CC1 , 得:C1到平面A1CD的距离是

2 3 (1) . ?????14 分 19.解: 3

直线 l 是函数 f ? x ? ? ln x 在点 ?1,0 ? 处的切线,故其斜率 k ? f ' ?1? ? 1 ,

? 直线 l 的方程为 y ? x ? 1.

???????2 分

又因为直线 l 与 g ? x ? 的图象相切,且切于点 ?1,0 ? ,

1 1 ? g ? x ? ? x3 ? x 2 ? mx ? n 在点 ?1,0 ? 的导函数值为 1. 3 2

? ? g ?1? ? 0 ?m ? ?1 1 3 1 2 1 ? ?? 1 ,∴ g ? x ? ? x ? x ? x ? ??6 分 ? 3 2 6 ? g ' ?1? ? 1 ?n ? ? 6 ?
(2)? h ? x ? ? f ? x ? ? g ' ? x ? ? ln x ? x ? x ? 1? x ? 0?
2

???????7 分

∴ h '? x? ? 当0 ? x ?

? 2 x ? 1? ( x ? 1) 1 1 ? 2 x2 ? x ? 2x ?1 ? ?? x x x
1 1 时, h ' ? x ? ? 0 ;当 x ? 时, h ' ? x ? ? 0 2 2
7

???????9 分

???????11 分

因此,当 x ?

1 时, h ? x ? 取得极大值,由于极值唯一, 2
????14 分

1 ?1? 1 ? ? ??h( x)?max ? h ? ? ? ? ln 2 ∴函数 h ? x ? 的值域是 ? ??, ? ln 2 ? 4 ?2? 4 ? ?

20.解: (1)由题意得|PA|=|PB|且|PB|+|PF|=r=8. 故|PA|+|PF|=8>|AF|=4 ∴P 点轨迹为以 A、F 为焦点的椭圆.??????????? 3 分 设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

, ? 8, a ? 4, a2 ? b2 ? c2 ? 4, 故b2 ? 12 2a
? p点轨迹方程为 x2 y 2 ? ? 1.??????????? 6 分 16 12

(2)假设存在满足题意的直线 L.易知当直线的斜率不存在时, OR ? OT ? 0 不满足题意 故设直线 L 的斜率为 k , R(x1 , y1 ), T(x2 , y2 )

??? ??? ? ?

??? ??? 16 ? ? 16 ? OR ? OT ? , ? x1 x2 ? y1 y2 ? . ??????????????????7 分 7 7

? y ? kx ? 4 ? 由? x 2 y 2 得(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 32kx ? 16 ? 0. ??????????????8 分 ?1 ? ? ?16 12
1 由? >0得,(-32k ) 2 ? 4(3 ? 4k 2 ) ?16 ? 0解得k 2 ? . ???????? 4 32k 16 ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? . ?????????????????10 分 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2


? y1 ? y2 ? (kx1 ? 4)(kx2 ? 4) ? k 2 x1x2 ? 4k ( x1 ? x2 ) ?16. ?????????11 分
故x1 x2 ? y1 y2 ?
k ? ?1.

16 16k 2 128k 2 16 ? ? ? 16 ? . 解得k 2 ? 1. ?②由①、②解得 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 7

?直线 l 的方程为y= ? x ? 4. ???????????13 分
故存在直线 l : x ? y ? 4 ? 0或x ? y ? 4 ? 0 满足题意. ????????14 分
21.解:(1)因为 F ? x ? ? F ?1 ? x ? ?

3x ? 2 3 ?1 ? x ? ? 2 ? ?3 2 x ? 1 2 ?1 ? x ? ? 1

. ?????????2 分

8

所以设 S= F ?

? 1 ? ? 2 ? ? 2008 ? ?? F? ? ? ... ? F ? ? ; ????(1) ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ?

S= F ? (1)+(2)得:

? 2008 ? ? 2007 ? ? 1 ? ??F? ? ? ... ? F ? ? ???(2) ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ? .

? ? 1 ? ? ? 2008 ? ? 2008 ?? ? ? 2 ? ? 2007 ?? ? 1 ?? 2S ? ? F ? ?? F? ?? ? ? F ? ?? F? ?? ? ... ? ? F ? ?? F? ?? ? 2009 ?? ? ? 2009 ? ? 2009 ?? ? 2009 ? ? ? ? 2009 ? ? ? 2009 ?
= 3 ? 2008 ? 6024 ,所以 S=3012. ??????????5 分 (2)由 an?1 ? F ? an ? 两边同减去 1,得 an ?1 ? 1 ?

3an ? 2 a ?1 ?1 ? n 2an ? 1 2an ? 1 . ??????7 分

所以

1 an?1 ? 1
1

?

2an ? 1 2 ? an ? 1? ? 1 1 , ? ? 2? an ? 1 an ? 1 an ? 1

所以

? 1 ? 1 1 ? 2,? ? 1 为首项的等差数列, ? 是以 2 为公差以 an?1 ? 1 an ? 1 a1 ? 1 an ? 1 ? ?
?
1 2n 1 ? ? 2 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1 ? an ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 . ????10 分 an ? 1
2 2

所以

(3)因为 ? 2n ? ? ? 2n ? ? 1 ? ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 所以

2n 2n ? 1 2 3 4 5 2n 2n ? 1 ? ? ? , ? ,... ? 2n ? 1 2n 1 2 3 4 2n ? 1 2n . ?????12 分

所以 a1a2 a3 ...an ?

? a1a2a3...an ?

2

?

2 2 4 4 2n 2n ? ? ? ...... ? 1 1 3 3 2 n ? 1 2n ? 1

>

2 3 4 5 2n 2 n ? 1 ? ? ? ...... ? ? 2n ? 1 1 2 3 4 2n ? 1 2n

9


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