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山东省泰安市宁阳县宁阳一中高三第四次阶段性考试数学理


高三第四次阶段性考试

数 学 试 题 (理)
第 I 卷(选择题共 60 分)

2013.12

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.设集合 A= {x x ? a ? 1} ,B= {x x ? b ? 2} 若 A

? B,则实数 a, b 必满足 A. | a ? b |? 3 2.不等式 A. ? ? B. | a ? b |? 3 C. | a ? b |? 3 D. | a ? b |? 3

x ?1 ? 0 的解集为 2x ?1
B. ? ?

? 1 ? ,1? ? 2 ?

? 1 ? ,1? ? 2 ?
?

C. ? ? ?. ?

? ?

1? ? ? ?1,?? ? 2?

D. ? ? ?,? ? ? ?1,?? ? 2

? ?

1? ?

3.设 x ? R ,向量 a ? ( x,1), b ? (1, ?2), 且 a ? b ,则 | a ? b |? A. 5 B. 10 C. 2 5 D. 10

?

?

?

?

?

4.命题“存在实数 x ,使 x ? 1 ”的否定是 A.对任意实数 x , 都有 x ? 1 C.对任意实数 x , 都有 x ? 1 5. “ m ? B.不存在实数 x ,使 x ? 1 D.存在实数 x ,使 x ? 1

2 1 ”是“一元二次方程 x ? x ? m ? 0 ”有实数解的 4

A.充分非必要条件 C.必要非充分条件 6.设 l 是直线, ? , ? 是两个不同的平面 A.若 l // ? , l // ? , 则? // ? C.若 ? ? ? , l ⊥ ? ,则 l // ?
2

B.充分必要条件 D.非充分必要条件

B.若 l // ? , l ⊥ ? ,则 ? ? ? D.若 ? ? ? , l // ? ,则 l ⊥ ?

7.函数 y ? cos ( x ? ) 的图象沿 x 轴向右平移 a( a ? 0 ) 个单位, 所得图象关于 y 轴对称, 则a的 最小值为 A.

π 4

π 4

B.

π 2

C.

3π 4

D. π

1

8.设 a ? b ? 1 , c ? 0 ,给出下列三个结论: ①

c c c c ,② a ? b , ③ logb (a ? c) ? log a (b ? c) , ? a b
C.② ③ D.①②③

其中所有的正确结论的序号是 A.① B.① ② 9.若 0 ? ? ? ? , ?

?

? ? 3 ? 1 ? ,则 cos( ? ? ? 0 , cos( ? ? ) ? , cos( ? ) ? ?? )? 4 2 3 2 4 3 2
3 3
C.

A.

3 3

B. ?

5 3 9

D. ?

6 9

10.已知 {an } 为等比数列.下面结论中正确的是 A. a1 ? a3 ? 2a2 C.若 a1 ? a3 ,则 a1 ? a2 B. a1 ? a3 ? 2a2
2 2 2

D.若 a3 ? a1 ,则 a4 ? a2

11.对于正实数 ? ,记 M ? 为满足下述条件的函数 f ( x) 构成的集合: ?x1 , x2 ? R 且 x2 ? x1 ,有

?? ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ( x2 ? x1 ) .下列结论中正确的是
A.若 f ( x) ? M ?1 , g ( x) ? M ? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M ?1 ?? 2 B.若 f ( x) ? M ?1 , g ( x) ? M ? 2 且 ?1 ? ? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M ?1 ?? 2 C.若 f ( x) ? M ?1 , g ( x) ? M ? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M ?1 ?? 2 D.若 f ( x) ? M ?1 , g ( x) ? M ? 2 且 g ( x) ? 0 ,则

f ( x) ? M ?1 g ( x) ?2

12.已知函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? 1 对称,且当 x ? (??, 0), f ( x) ? xf '( x) ? 0 成立若 a=(2 )· f (2 ), b ? (1n 2) · f (1n 2), c ? (1og 1
0.2

0.2

2

1 1 ) · f (1og 1 ) ,则 a,b,c 的大小关系是 4 2 4

A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? a ? b D. a ? c ? b 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置。

? y?x ? 13. 已知不等式组 ? y ? ? x ? x?a ?

表示的平面区域的面积为 4 ,点 P( x, y ) 在所给平面区域内,则

z ? 2 x ? y 的最大值为



.

2

14.图中的三个直角三角形是一个体积为 20cm2 的几何体的三视图,则 h=



cm

h 5 正视图 6 左视图

单位cm 俯视图

15.如图, 在平行四边形 ABCD 中 , AP⊥BD, 垂足为 P, AP ? 3 则 AP ? AC ? ▲ .

A P B C

D

16. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或 用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:

将三角形数 1,3,6,10,?记为数列 {a n } ,将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个 新数列 {bn } ,可以推测: b2014 是数列 {a n } 中的第____▲ ___项. 三、解答题;本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 12 分)已知锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 已知 sin A ? (Ⅰ)求 tan

2 2 , 3
2

B?C A ? sin 2 的值; 2 2
2,求b 的值.

(Ⅱ)若 a ? 2, S ?ABC ?

18. (本题满分 12 分)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 和 BDMN 都是矩形,且 MD⊥平面 ABCD,P 是 MN 的中点.若 AB=4,BC=3,MD=1, (Ⅰ)求证:DP∥平面 ANC; (Ⅱ)求二面角 N-AC-B 的余弦值.
A

M P D N C

B

3

19. (本题满分 12 分)在交通拥挤地段,为了确保交通安全,规定机动车相互之间的距离 d (米) 与车速 v (千米/小时)需遵循的关系是 d ? 定d ?

1 av 2 (其中 a (米)是车身长, a 为常量),同时规 2500

a . 2

a 时,求机动车车速的变化范围; 2 1000 v (Ⅱ)设机动车每小时流量 Q ? ,应规定怎样的车速,使机动车每小时流量 Q 最大. a?d
(Ⅰ)当 d ? 20. (本题满分 12 分) 定义在 R 上的函数 f ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? cx ? 2 同时满足以下条件: 3

① f ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 (1, ??) 上是增函数; ② f '( x) 是偶函数;③ f ( x) 在 x ? 0 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直. (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)设 g ( x) ? [ x ? f ( x)] ? e ,求函数 g ( x) 在 [m, m ? 1] ( m ? 0 )上的最小值.
3 x

1 3

21. (本题满分 12 分)已知:数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S n ? (Ⅰ)求证: {a n } 是等差数列; (Ⅱ)若 a ? 0且a 2 ? 2a ? 1, S 5 ? 5(3a ? 1) , 求证:

n(a1 ? a n ) , 2

1 1 1 ? 2 ? ????? ? 2 ? 2 a1 a 2 an

n a 2n ? 1 (1 ? )(1 ? a) 2 2
2

22. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (2 ? a) x . (I)讨论 f ( x) 的单调性; (II)设 a ? 0 ,证明:当 0 ? x ?

1 1 1 时, f ( ? x) ? f ( ? x) ; a a a

(III)若函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴交于 A,B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x 0 , 证明: f ' ( x 0 ) ? 0 .

4

高三第四次阶段性考试

数学试题答案(理)
一、选择题:D A B C A 二、填空题:13. 三、解答题 17. (本题满分 12 分)已知锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 已知 sin A ? (Ⅰ)求 tan 6 B A D C B 14. 4 15. A B 18 16. 5035

2013.12

2 2 , 3
2

B?C A ? sin 2 的值; 2 2
2,求b 的值.

(Ⅱ)若 a ? 2, S ?ABC ?

解: (Ⅰ)因为 △ABC 为锐角三角形,且 sin A ?
2

2 2 1 ,所以 cos A ? ???1 分 3 3

B?C ? ? sin ? 2 ? ? 1 ? cos A 2 B?C 2 A ? ? ? ????????2 分 tan ? sin 2 2 2 ? cos B ? C ? ? 2 ? ? ?
A 2 ? 1 ? cos A ? 1 ? cos A ? 1 ? cos A A 2 1 ? cos A 2 sin 2 2 1 将 cos A ? 代入得 3 B ? C A 7 = tan 2 ? sin 2 2 2 3 cos2
(Ⅱ)由 S ?ABC ? ????????4 分

????????6 分

1 2 bc sin A ? bc ? 2 ,得 bc ? 3 2 3

①??8 分

1 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A 得 4 ? b 2 ? c 2 ? 2 ? 3 ? , 3
即b ? c ? 6
2 2



??????????????????10 分 ??????????????????12 分

由①②解得 b ?

3

18. (本题满分 12 分)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 和 BDMN 都是矩形,且 MD⊥平面 ABCD, P 是 MN 的中点.若 AB=4,BC=3,MD=1,
5

(Ⅰ)求证:DP∥平面 ANC; (Ⅱ)求二面角 N-AC-B 的余弦值 (Ⅰ)证明:连接 BD 交 AC 于 O,连接 NO,???????????1 分 ∵四边形 ABCD,BDMN 都是矩形,

M P D O H N C

∴O 是 BD 的中点,又 P 是 MN 的中点, B A ∴PN∥DO ∴四边形 PNOD 是平行四边形, ∴DP∥ON????????????2 分 又 DP ? 平面 ANC,NO ? 平面 ANC ∴DP∥平面 ANC;???????????4 分 (Ⅱ)解法一:作 BH 垂直于 AC 于 H 连接 NH ,????????????????????6 分 ∵MD⊥平面 ABCD,DM∥NB, ∴NH⊥平面 ABCD, 由三垂线定理得:NH⊥AC,?????????????8 分 ∴∠NHB 是二面角 N-AC-B 的平面角,?????????9 分 在 RT△NBH 中,

AB ? BC 12 13 ? , NH ? NB 2 ? BH 2 ? ,???????11 分 AC 5 5 BH 12 ∴ COS?NHB ? ? , NH 13 12 ∴二面角 N-AC-B 的余弦值为 ??????????12 分 13

NB ? 1 , BH ?

解法二:建立如图所示的坐标系,

z
M P D N C

y
B

A

x
则:A(3,0,0),C(0,4,0),N(3,4,1),??????????????????7 分 设 n ? (1, x, y) 是平面 ANC 的一个法向量, 又 AC ? (?3,4,0) , AN ? (0,4,1)

?

? ? ?n ? AC ? ?3 ? 4 x ? 0 则? ? ? n ? AN ? 4 x ? y ? 0
解得: ?

3 ? ?x? 4 ? y ? ? 3 ?
6

∴ n ? (1, ,?3) ?????????9 分 又 m ? (0,0,1) 是平面 ABC 的一个法向量,???????????10 分 设二面角 N-AC-B 的大小为 ? ,

?

3 4

?

? ? m ? n 12 ? ? 则 cos? ? cos ? m, n ? ? ? ? ? , m n 13
∴二面角 N-AC-B 的余弦值为

12 ?????????????????12 分 13 1 av 2 (其中 a (米)是车身长, a 为常量),同时规 2500

19. (本题满分 12 分)在交通拥挤地段,为了确保交通安全,规定机动车相互之间的距离 d (米) 与车速 v (千米/小时)需遵循的关系是 d ? 定d ?

a . 2

a 时,求机动车车速的变化范围; 2 1000 v (Ⅱ)设机动车每小时流量 Q ? ,应规定怎样的车速,使机动车每小时流量 Q 最大. a?d a 1 2500 解: (Ⅰ)由 ? ??????2 分 av 2 得: v 2 ? 2 2500 2
(Ⅰ)当 d ? ∴ 0 ? v ? 25 2 ∴机动车车速的变化范围为 (0,25 2 ) ???????4 分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)得当 0 ? v ? 25 2 时, d ? ∴Q ?

a , 2

1000 v , ????????????????6 分 3 a 2
50000 2 ,?????????????7 分 3a

Q 是 v 的一次函数, ∴当 v ? 25 2 时,Q 的最大为 Qmax ? 当 v ? 25 2 时, ∵d ? ∴Q ?

1 av 2 2500

1000 v 1000 ? , ?????????????8 分 1 1 v a? av 2 a( ? ) 2500 v 2500
1000 ? 25000 ????????????????9 分 a

? 2a

1 v ? v 2500

7

当且仅当

1 v ,即 v ? 50 时取“=” , ??????????????10 分 ? v 2500 25000 ∴当 v ? 50 时 Q 最大为 Qmax ? .????????????????11 分 a



25000 50000 2 ? a 3a

25000 ????????????????12 分 a 1 20. (本题满分 12 分) 定义在 R 上的函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? 2 同时满足以下条件: 3
∴ 当 v ? 50 时 Q 有最大: Qmax ? ① f ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 (1, ??) 上是增函数; ② f '( x) 是偶函数;③ f ( x) 在 x ? 0 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直. (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)设 g ( x) ? [ x ? f ( x)] ? e ,求函数 g ( x) 在 [m, m ? 1] ( m ? 0 )上的最小值.
3 x

1 3

解: (Ⅰ) f '( x) ? ax ? 2bx ? c ????????1 分
2

? a ? 2b ? c ? 0 ? f '(1) ? 0 ? ? 由已知得 ?b ? 0 ,即 ?b ? 0 ,????????3 分 ? c ? ?1 ? f '(0) ? ?1 ? ? ?a ? 1 ? 解得 ?b ? 0 。????????5 分 ? c ? ?1 ?
故函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ?

1 3 x ? x ? 2 ????????5 分 3
x x

(Ⅱ)∵ g ( x) ? [ x ? f ( x)] ? e ? ( x ? 2) ? e ,????????6 分
3

1 3

∴ g '( x) ? ( x ? 2) ? e ? e ? ( x ? 1)e ????????????7 分
x x x

令 g '( x) ? 0 得 x ? 1 ,当 x ? 1时,g '( x) ? 0 , 函数 g ( x) 单调递减; 当 x ? 1 时,g '( x) ? 0 , 函数 g ( x) 单调递增。????????8 分 若 m ? 1 ,在 [m, m ? 1] 上函数 g ( x) 单调递增, 此时 g ( x) min ? g (m) ? (m ? 2)e ;?????????????9 分
m

若 0 ? m ? 1 , 函 数 g ( x) 在 [m,1] 上 单 调 递 减 , 在 [1, m ? 1] 上 单 调 递 减 , 此 时

g ( x)min ? g (1) ? ?e ;????????????11 分
8

综上可知,函数 g ( x) 在 [m, m ? 1] 上的最小值为: 当 m ? 1 时, g ( x) min ? (m ? 2)e
m

当 0 ? m ? 1 时, g ( x) min ? ?e .??????????12 分

21. (本题满分 12 分)已知:数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S n ? (Ⅰ)求证: {a n } 是等差数列; (Ⅱ)若 a ? 0且a 2 ? 2a ? 1, S 5 ? 5(3a ? 1) , 求证:

n(a1 ? a n ) , 2

1 1 1 ? 2 ? ????? ? 2 ? 2 a1 a 2 an

n a 2n ? 1 (1 ? )(1 ? a) 2 2
n(a1 ? a n ) 2


证明: (Ⅰ)当 n ? 2 时, S n ?

S n ?1 ?

(n ? 1)( a1 ? a n ?1 ) 2 n(a1 ? a n ) (n ? 1)( a1 ? a n?1 ) ? 2 2



①-②得: a n ?

∴ 2a n ? nan ? (n ? 1)a n ?1 ? a1

③??????2 分 ④

2an?1 ? (n ? 1)an?1 ? nan ? a1
④-③得:

2an?1 ? 2an ? (n ? 1)an?1 ? 2nan ? (n ? 1)an?1 ????????????????3 分
∴ (n ? 1)a n ?1 ? (n ? 1)a n?1 ? 2(n ? 1)a n ????????????????4 分 即: an?1 ? an ?1 ? 2an ∴ {a n } 是等差数列;????????????????5 分 (Ⅱ)证法一:由 a 2 ? 2a ? 1, S 5 ? 5(3a ? 1) ? 5a3 得:

a3 ? 3a ? 1 ????????????????6 分
9

设公差为 d ,则 d ? a3 ? a 2 ? a , ∴ a n ? a 2 ? (n ? 2)d ? na ? 1 ????????????????7 分 ∴

2n ? 1 2n ? 1 a)(1 ? a) 2 2 1 1 1 ? ( ? ) ????????????????10 分 2n ? 1 2n ? 1 a 1? a 1? a 2 2 (1 ?
1 1 1 ? 2 ? ????? ? 2 2 a1 a 2 an

1 1 ? ? 2 a n (1 ? an) 2

1

因此,

?

1 ( a

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ???? ? ? ) 1 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1? a 1? a 1? a 1? a 1? a 1? a 2 2 2 2 2 2

?

1 1 1 n ?????????????12 分 ( ? )? 1 2n ? 1 a 2n ? 1 a 1? a 1? a (1 ? )(1 ? a) 2 2 2 2 1 1 ? ? 2 a1 (1 ? a) 2 1 不等式成立,????6 分 a 3 (1 ? )(1 ? a) 2 2

证法二: (数学归纳法) ① 当 n ? 1时,

② 假设 n ? k (k ? 1) 时,不等式成立, 即

1 1 1 ? 2 ? ????? ? 2 ? 2 a1 a 2 ak

k a 2k ? 1 (1 ? )(1 ? a) 2 2 k

????????????7 分

那么 n ? k ? 1时,

a 2k ? 1 (1 ? )(1 ? a) 2 2 k 1 ? ? a 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 3 (1 ? )(1 ? a) (1 ? a)(1 ? a) 2 2 2 2

1 1 1 1 ? 2 ? ????? ? 2 ? 2 ? 2 a1 a 2 a k a k ?1

?

1 ????8 分 [1 ? a(k ? 1)] 2

2k ? 3 a a) ? 1 ? 2 2 ? a 2k ? 1 2k ? 3 (1 ? )(1 ? a)(1 ? a) 2 2 2 k (1 ?
2k ? 1 a) 2 ? a 2k ? 1 2k ? 3 (1 ? )(1 ? a)(1 ? a) 2 2 2 (k ? 1)(1 ?
10

?

k ?1 a 2k ? 3 ????????????????????????11 分 (1 ? )(1 ? a) 2 2

即 n ? k ? 1时,不等式也成立, 由①②得,不等式恒成立. ??????????????????????12 分 22. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (2 ? a) x .
2

(I)讨论 f ( x) 的单调性; (II)设 a ? 0 ,证明:当 0 ? x ?

1 1 1 时, f ( ? x) ? f ( ? x) ; a a a

(III)若函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴交于 A,B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x 0 , 证明: f ' ( x 0 ) ? 0 . 解: (I) f ( x)的定义域为(0, ??), ???????????1 分

f ?( x) ?

1 (2 x ? 1)(ax ? 1) ? 2ax ? (2 ? a) ? ? . x x ???????????2 分

? (i)若 a ? 0, 则f ( x) ? 0, 所以f ( x)在(0, ??) 单调递增. ???????????3 分

a ? 0, 则由f ?( x) ? 0得x ?
(ii)若

1 , a 且当

1 1 x ? (0, )时, f ?( x) ? 0,当x ? 时, f ?( x) ? 0. a a 1 1 f ( x)在(0, ) ( , ??) a 单调递增,在 a 所以 单调递减. ???????????5 分 1 1 g ( x) ? f ( ? x) ? f ( ? x), a a (II)设函数 则
g ( x) ? ln(1 ? ax) ? ln(1 ? ax) ? 2ax, g ?( x) ? a a 2a 3 x 2 ? ? 2a ? . 1 ? ax 1 ? ax 1 ? a 2 x 2 ???????????7 分

1 0 ? x ? 时, g ?( x) ? 0, 而g (0) ? 0, 所以g ( x) ? 0 a 当 . 1 1 1 0 ? x ? 时 f ( ? x) ? f ( ? x). a , a a 故当 ???????????9 分
(III)由(I)可得,当 a ? 0时,函数y ? f ( x) 的图像与 x 轴至多有一个交点,
11

1 1 f ( ), 且f ( ) ? 0. a 故 a ? 0 ,从而 f ( x) 的最大值为 a ???????????11 分 A( x1 , 0), B( x2 , 0), 0 ? x1 ? x2 , 则0 ? x1 ? 1 ? x2 . a

不妨设

2 1 1 f ( ? x1 ) ? f ( ? ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 0. a a 由(II)得 a ???????????12 分
x2 ? x ? x2 1 2 ? x1 , 于是x0 ? 1 ? . a 2 a ???????????13 分
f ?( x0 ) ? 0.
???????????14 分

从而

由(I)知,

12


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