方法教育——概率【2014中考复习课件】

方法教育
2014中考复习特意呈现

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本课课程 概率

基础知识

自主学习

要点梳理
1. 概率表示事件发生的可能性的大小，不能说明某种肯定的

结果．
2. 概率这一概念就是建立在频率这一统计量稳定性的基础之 上

的，在大量重复进行同一试验时，可以用某一事件发生

的频率近似地作为该事件发生的概率．
3. 模拟试验：由于有时手边恰好没有相关的实物或者用实物 进行试验的难度很大，这时可用替代物进行模拟试验，但

必须保证试验在相同的条件下进行，否则会影响其结果．

[难点正本

疑点清源]

1．正确理解频率与概率的关系 概率被我们用来表示一个事件发生的可能性的大小．如果一 个事件是必然事件，它发生的概率就是1；如果一个事件是不可能 事件，它发生的概率就是0；随机事件发生的概率通常大于0且小 于1. 对事件可能性大小的感觉通常来自观察这个事件发生的频 率，即该事件实际发生的次数与试验总次数的比值，由于观察的 时间有长短，随机事件的发生与否也有随机性，所以在不同的试

验中，同一个随机事件发生的频率可以彼此不相等．比如抛掷一 1 枚普通硬币，硬币落地后“正面朝上”的概率是 .当试验次数少 2 的 1 时候，“正面朝上”的频率有可能是0，有可能1或者是其他的数， 2 但是，经过大量的重复试验，“正面朝上”的频率会稳定在

2．用频率估计概率 谁也无法预测随机事件在每次试验中是否会发生，但是，在 相同条件下，进行大量的试验后，事件出现的频率会逐渐稳定， 稳定后的频率可以作为概率的估计值．反之，如果知道一个事件 发生的概率，就可以由此推断：大量试验后该事件发生的频率接 近其概率． 需要注意的是：用试验的方法得出的频率只是概率估计值， 要想得到近似程度比较高的概率估计值，通常需要大量的重复试 验．

基础自测
1．(2011· 连云港)已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为 1 ，下列 2 说法正确的是( ) A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上 B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上 C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次 D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 答案 解析 D 抛一枚均匀硬币双方赢的概率都是
1 ，游戏对双方是公 2

平的．

2．(2011· 福州)从1, 2，－3三个数中，随机抽取两个数相乘，积 是正数的概率是( )

A.0
答案 解析 B

1 B. 3

2 C. 3

D．1

随机抽取的两个数相乘，有1×2＝2,1×(－3)＝－3,

2×(－3)＝－6这3种情况，积是正数的概率P＝ 1 .

3

3．(2011· 衢州)5月19日为中国旅游日，衢州推出“读万卷书，行 万里路，游衢州景”的主题系列旅游惠民活动，市民王先生准 备在优惠日当天上午从孔氏南宗家庙、烂柯河、龙游石窟中随 机选择一个地点；下午从江郎山、三衢石林、开化根博园中随 机选择一个地点游玩．则王先生恰好上午选中孔氏南宗庙，下 午选中江郎山这两个地点的概率是( )

1 A. 9
答案 A

1 B. 3

2 C. 3

2 D. 9

1 解析 可先求出上午选中孔氏南宗庙的概率是 ，下午选中 3 1 1 1 1 江郎山的概率是 ，所以本题的答案 P＝ × ＝ . 3 3 3 9

4．(2011· 绍兴)在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个

黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出 一个球，它是白球的概率为 2 ，则黄球的个数为( ) 3 A．2 B．4 C．12 D．16
答案 B

解析

8 2 设盒子中有 x 只黄球， ＝ ，则 x＝4. 8＋x 3

5．(2011· 兰州)一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，

每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概
率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是( A．m＝3，n＝5 B．m＝n＝4 )

C．m＋n＝4
答案 D

D．m＋n＝8

解析

m＋n 8 据题意，有 ＝ ，则 m＋n＝8. m＋8＋n m＋8＋n

题型分类

深度剖析

题型一 计算等可能事件的概率
【例 1】如图，随机闭合开关S1、

S2、S3中的两个，求能让灯泡
发光的概率．

解

∵随机闭合关开S1、S2、S3中的两个，共有3种情况： S1S2、S1S3、S2S3.能让灯泡发光的有S1S3、S2S3两种情况， ∴能让灯泡发光的概率为 2 .

探究提高

本题可列举所有的情况，求出结果．

3

知能迁移 1

(2010· 连云港)从甲地到乙地有 A1、A2 两条路线，

从乙地到丙地有 B1、B2、B3 三条路线，从丙地到丁地有 C1、 C2 两条路线，一个人任意选了一条从甲地到丁地的路线，求 他恰好选到 B2 路线的概率是多少？
解 ∵从甲地到丁地的路线，有 A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，

A1B2C2，A1B3C1，A1B3C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2， A2B3C1，A2B3C2 共有 12 种路线，恰好选到 B2 的有 4 种， 4 1 概率 P＝ ＝ . 12 3

题型二

用统计频率的方法估计概率

【例 2】

池塘中放养了鲤鱼 8000 条，鲢鱼若干，在几次

随机捕捞中，共抓到鲤鱼 320 条，鲢鱼 400 条，估计池 塘中原来放养了鲢鱼________条． 答案 10000
解析 鲢鱼 400 5 根据捕捞的情况，可得 ＝ ＝ ，则可估计整个 320 4 鲤鱼

池塘鲢鱼与鲤鱼的比也为 5∶4，所以池塘可能放养了鲢鱼 5 8000× ＝10000 条，应填 10000. 4
探究提高 本题每捕捞一次就相当于做了一次试验，因此大量 重复的试验获取的频率可以估计概率．

知能迁移2

从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发

芽试验，有关数据如下：

种子粒数

100

400

800

1000

2000

5000

发芽种子粒数 发芽频率

85 0.850

298 0.745

652 0.815

793 0.793

1604 0.802

4005 0.801

根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为

___ ． (精确到0.1)
答案 0.8

题型三

概率与统计综合题

【例 3】下表抄录了北京奥运会官方票务网公布的三种球类比赛的部分门 票价格，某公司购买的门票种类、数量绘制的统计图表如下： 比赛项目 足球 票价(张/元) 1 000

800 男篮 依据上列图表，回答下列问题： x 乒乓球 (1)其中观看足球比赛的门票有________张；观看乒乓球比赛的门票占全

部
门票的________%； (2)公司决定采用随机抽取的方式把门票分配给100名员工，在看不到门 票 的条件下，每人抽取一张(假设所有的门票形状、大小、质地完全相 同 且充分洗匀)，则员工小华抽到男篮门票的概率是________； (3)若购买乒乓球门票的总款数占全部门票总款数的，求每张乒乓球门票 的

解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！

解：(1)50,20.[2 分] 3 (2) (或填 0.3)．[4 分] 10 20x 1 (3)根据题意，有 ＝ ， 1000×50＋800×30＋20x 8 解得 x≈529.[6 分] 经检验，x＝529 是原方程的解． 答：每张乒乓球门票的价格约为 529 元．[8 分]

知能迁移3

(2010·河源)某校九年级有200名学生参加了全国初

中数学联合竞赛的初赛，为了了解本次初赛的成绩情况，从中 抽取了50名学生，将他们的初赛成绩(得分为整数，满分为100

分)分成五组：第一组49.5～59.5；第二组59.5～69.5；第三
组69.5～79.5；第四组79.5～89.5；第五组89.5～100.5.统计 后得到如图所示的频数分布直方图(部分)．观察图形的信息，

回答下列问题：

(1)第四组的频数为________(直接写答案)；

(2)若将得分转化为等级，规定：得分低于59.5分评为“D”，
59.5～69.5分评为“C”，69.5～89.5分评为“B”，89.5～ 100.5分评为“A”．那么这200名参加初赛的学生中，参赛成

绩评为“D”的学生约有________名(直接填写答案)；
(3)若将抽取出来的50名学生中成绩落在第四、第五组的学生组成 一个培训小组，再从这个培训小组中随机挑选2名学生参加决

赛．用列表法或画树状图法求：挑选的2名学生的初赛成绩恰
好都在90分及以上的概率．

解 (1)2.

(2)64.

(3)依题意得第四组的频数是2，第五组的频数也是2，设第四组的2名学生 分别为A1、A2，第五组的2名学生为B1、B2，列表(或画树状图)如下:

A1 A1 A2 B1 B2 —— A2、A1 B1、A1 B2、A1

A2 A1、A2 —— B1、A2 B2、A2

B1 A1、B1 A2、B1 —— B2、B1

B2 A1、B2 A2、B2 B1、B2 ——

由上表可知共有 12 种结果，其中两个都是 90 分及以上的 1 有 2 种结果，所以恰好都是在 90 分及以上的概率 P＝ . 6

题型四
【例 4】

概率与方程、函数的综合
(2009· 济南)有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数

字外，其它均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从 中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达

式中的k，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，把上
面标有的数字记作一次函数表达式中的b. (1)写出k为负数的概率；

(2)求一次函数y＝kx＋b的图象经
过二、三、四象限的概率． (用树状图或列表法求解)

解

2 (1)因为 k 为负数的情况有两种，所以 k 为负数的概率 P＝ . 3 (2)

k、b 的取值情况共有 6 种，要使图象经过二、三、四象限， 则 k<0，b<0，而其中 k<0 且 b<0 的情况有 2 种，所以经过 2 1 第二、三、四象限的概率是 ＝ . 6 3
探究提高 直线y＝kx＋b经过二、三、四象限的条件是 k＜0且b＜0，熟练掌握一次函数基础知识及概率相关知 识是解答本题的基础．

知能迁移 4

已知一个口袋中装有 7 个只有颜色不同的球，

其中 3 个白球，4 个黑球． (1)求从中随机抽取出一个球是黑球的概率是多少？ (2)若往口袋中再放入 x 个白球和 y 个黑球，从口袋中随机 1 抽出一个白球的概率是 ，求 y 与 x 之间的函数关系式． 4
解 4 (1)P(黑球)＝ . 7 3＋x 1 (2) ＝ ，7＋x＋y＝4(x＋3)，7＋x＋y＝4x＋12， 7＋x＋y 4 ∴y＝3x＋5.

易错警示
12．不能准确用列表法或树状图法求等可能事件的概率 试题 如图，电路图中有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭

合开关D或同时闭合A、B、C都可使小灯泡发光．

(1)任意闭合一个开关，则小灯泡发光的概率等于________； (2)任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小 灯泡的发光的概率．

学生答案展示

剖析

1 1 (1) (2) 2 4 本题是结合物理电路图的概率问题，关键是理解电路图，

理解概率的意义．
正解 1 (1) 4 1 (2) 2

正确画出树状图如下：

批阅笔记 正确地列表或画出树状图，利用公式求概率，关键是 找出在这一试验中所有可能的结果总数，以及事件本身所包含 的结果数．

思想方法
方法与技巧

感悟提高

1. 确定可能事件发生的概率大小，可分为以下两种情形． 情形一：不用做实验，直接从理论上推算出该可能事件发生 的概率． 情形二：无法凭公式计算或理论上推导而得概率值，只能通 过大量重复进行同一实验后，用稳定的频率值来估计该可能发生 的概率． 2. 游戏是否公平取决于双方赢的概率是否相等．

失误与防范
1．解决分类问题的关键是找出分类的动机，即为什么要分类；找 出分类的对策，即怎样分类；分类要逐级展开，不重不漏，最后总结． 例如：一个袋内装有红色、白色球各一个，从中可放回地摸两次， 两次都摸到白色球的概率是多大？ 错解：所有可能出现的结果共有3种，表格如下： 可能出现的情况 相应概率

(红、红)
1 3

(红、白)
1 3

(白、白)
1 3

上面的错解疏漏了(白、红)这种情况，原因是将(红、白)与(

白、红)这两种情况视为一种．
正确的解答如下：所有可能出现的结果共有4种，表格如下：

第二次

第一次
红球 白球

红球 (红、红) (白、红)

白球 (红、白) (白、白)

1 故知两次都摸到白球的概率 P＝ . 4

2．概率的应用中，评判某事件是否合算、评判游戏是否公平 时，常常不能抓住问题的本质，分析不全面，选择方法不恰当， 概率计算错误而导致判断错误． 例如：有两个信封，每个信封内各装有四张卡片，其中一个 信封内的四张卡片上分别写有1,2,3,4四个数，另一个信封内的四 张卡片上分别写有5,6,7,8四个数，甲、乙两人商定了一个游戏， 规则是：从这两个信封中各随机抽取1张卡片，然后把卡片上的两 个数相乘，如果得到的积大于20，则甲获胜，否则乙获胜． (1)请你通过列表(或画树状图)计算甲获胜的概率； (2)你认为这个游戏公平吗？为什么？

错解：画树状图可知，该游戏所有可能的结果共 16 种， 其中两卡片上的数字之积大于 20 的有 6 种，所以甲获 3 胜的概率为 P＝ . 8 分析：所有可能的结果共 16 种，但两卡片上数字之积大 于 20 的只有 5 种，画树状图中计算错误(或把 20 也计 入其中了)．最好是选用列表法得出所有可能的结果， 这样会更一目了然．

正确解答：(1)用列表法得出所有可能的结果，如下表：

1 5 6 7 8 5 6 7 8

2 10 12 14 16

3 15 18 21 24

4 20 24 28 32

5 甲获胜的概率为 P＝ . 16 5 (2)这个游戏对双方不公平，因为甲获胜的概率为 P 甲＝ ， 16 11 乙获胜的概率为 P 乙＝ ，所以游戏对双方是不公平的 16

完成考点跟踪训练19