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数学建模教程


什么是模型? 什么是数学模型? 数学模型从哪里来,到哪里去? 如何去培养数学建模的自觉性?

你想了解数学建模竞赛吗?
——《数学建模教程》 令你耳目一新

本书从若干智力游戏、 历史趣题和一些看似简单 的实用问题入手,循序渐 进地引进数学建模的基本 思想和方法。 在简要介绍了规划模型、 经济数学模型、生物数学 模型等基础数学模

型之后, 对全国大学生数学建模竞 赛的若干典型赛题进行了 探讨。

数学建模教程
第1章 从实际问题到数学模型
1.1 初识数学模型 1.2 几个历史性问题 1.3 利益博弈 1.4 几项智力游戏 1.5 棋牌中的数学

第3章 竞赛题选讲
3.1 基金使用计划 3.2 车灯线光源的优化设计 3.3 锁具装箱 3.4 节水洗衣机问题 3.5 最优捕鱼策略 3.6 艾滋病疗法评价及疗效预测

第2章 基础数学模型
2.1 概率模型 2.2 几个简单的高等数学问题 2.3 万有引力定律与三个宇宙速度 2.4 规划模型 2.5 经济数学模型 2.6 生物种群增长的数学模型

3.7 长江竞渡
附:全国大学生数学建模竞赛章程

序 言
一、历史地看数学 二、从模型的角度看数学 三、数学的严谨性和实用性

一. 历史地看数学
恩格斯认为,“数学是研究现实世界的空间形式 和数量关系的科学”。 《九章算术》是我国古代的经典数学名著。 欧几里得的《几何原本》是近代数学公理化的楷模。 十七世纪,由于科学与技术上的要求促使数学家们研 究运动与变化。 十八世纪,解析几何与微积分创立。 十九世纪开始,概率论、拓扑学、运筹学、系统论、 控制论、数理统计学等学科产生并且迅速完善起来。

美国著名数学家R.柯朗指出:“毫无疑问,数学 的一切进展都不同程度地植根于实际的需要。但是,一 旦数学在实际需要的迫使下被推动了,它自身就不可避 免地便获得一种动量,使之超越出直接应用的界限。”
数学的内涵发生了变化,人们很难再去用代数、几 何以及空间形式和数量关系这样寥寥的词汇来给数学做 出令人信服地描述性定义了。因为数学已经深入研究了 数和形以外的太多的东西。 数学是关于抽象模型的科学。

二. 从模型角度看数学
“1”是最简单的数学模型。

3x+ = 1 10
方程是表现等量关系的数学模型 “点”、“面”、“线”都是抽象的模型,几何学可 以说是研究模型的科学。 非欧几何以及泛函分析、拓扑理论的诞生,几何这 种数学模型挣脱了直观和低维的束缚,空间的内涵有 了极大的改变。

数学的发展过程,就是不断地构建新的模型、完善模 型和从低层次模型过渡到高层次模型的过程。
至少可以说,数学是一门与抽象模型密切相关的科学。 当今和未来的很多数学研究,其对象或许是建立在已 有数学模型基础之上的更加抽象化的模型。

三. 数学的严谨性和实用性
自然科学的主要研究对象是 物质存在的自然规律 社会科学的主要研究对象的是 社会规律和主观意识
当然,自然科学不能脱离社会,社会科学也不 能与自然无关。

数学独立于自然科学和社会科学

科学和学说是对客观规律的理论解释.
牛顿是在苹果树下顿悟了万有引力定律,牛顿坚信质 量的恒定。 进入上个世纪以后,著名物理学家爱因斯坦推翻了 质量不变的神话。 m0 m? v2 1? 2 c

经验罗列是学科发展的最初级阶段 科学研究就是寻求事物的公共特征、探索其 公共属性 古罗马建筑的窗户宽长比大多接近0.618 均衡、知识的通用性和严密性 是学科审美的基本依据 数学具有独到的学科美

数学最基本的学科特征在于
来源的实践性、 结构的抽象性、

模型的多样性、
计算的精确性、 应用的广泛性。

推理的精密性、
体系的统一性、

华罗庚所说:“宇宙之大,粒子之多,化工之巧,地 球之变,生物之谜,日用之繁……无一不可用数学来表 达。” 任何应用问题,一旦建立起了数学的模型,就会立 即显现出解决问题的清晰途径和通向胜利的一线曙光。
把握均衡和追求精确的侧重取向 是工程师和学者的主要区别 精确地刻画均衡 期待数学的介入 很多直感美蕴含着价值因素,美的结论应该立足 于价值的精确性 首推数学模型 [返回]

第1章 从实际问题到数学模型
1.1 初识数学模型
1.2 几个历史性问题 1.3 利益博弈 1.4 几项智力游戏 1.5 棋牌中的数学

[返回]

1.1 初识数学模型
1.1.1 简化和替代 军队作战室中的沙盘、建筑开发商售楼的立体广 告,还有航空模型等等。 为了展示微观的分子结构,要把模型做大些。 象棋和军棋是从战争简化而来的,下棋过程可以理解 为战争的模型。 社会的经济增长率、人口增长预测对应着公式和图表 。
要是忽略和淡化应用的背景,所遇到的问题就转化成了公式、图 表、方程组等等,这样就得到了与实际问题相对应的数学模型。

数学是一门古老的科学,也是生命力极其旺盛的科 学。不同学科很多方面的应用问题,经过适当的简化和 提炼都归结成了数学。数学的知识和方法无处不在。 天气有冷有热,物体可重可轻。创造了温度计和秤, 冷热就有了度数,物体就有了重量。 有了度量标准,各方面因素都可以赋予一定的量值。 数学模型只是事物本质属性的某种替代品。
(以数学的抽象方式来体现事物规律的替代品)

1.1.2 数是抽象模型

“2+1”是数学模型.不同的问题可能得到 相同的数学模型. 分数和小数. 有理数与无理数. 虚数 i ?

?1



1.1.3 两道算术题 例1 两台不同功率的抽水机向一个大水池中注水。如 果第一台抽水机单独工作,4小时可以将水池注满;如 果第二台抽水机单独工作,6小时可以将水池注满。现 在由两台抽水机同时工作,需要多长时间注满水池?
设水池的总容量为1。两台抽水机同时工作所需要 时间为

1

1 1 + 4 6

=2.4

(小时)

例2 大孩和小孩带着一条狗在马路上奔跑。初始时刻小孩在大 孩和狗的前面100米,小孩以每分钟20米的速度向前跑,大孩以每 分钟30米的速度追赶小孩,狗的速度是每分钟50米。狗和大孩同 时开始追赶小孩,它追上小孩后立即折回跑向大孩,与大孩子相 遇后返身继续追小孩,…。从大孩子开始追小孩到追上小孩的这 段时间内,狗一共跑了多少路程?

请注意,狗奔跑的时间恰好等于大孩追赶小孩所需 的时间!

100 50 ? ? 500 (米) 30 ? 20

1.1.4 弧度制
弧度制是对角大小的另一种度量 方式,弧度制的基本原理与平面相 似形有关。
扇形 AOB 相似于扇形 A?OB?
O

A?

A

1 ?
B

A?B? OA? ? AB OA

?

A?B? AB ? OA? OA

B?

因此,可以用扇形弧长与半径之比来确定圆心角。 π 比如,当扇形的弧长与半径之比为 时,对应的圆心角是直角; 2
当扇形的弧长与半径之比为

π

时,对应的圆心角是平角(扇形刚好是半圆).

弧度制的主要特点是只用数就可以表示角的大小,并不需要在弧度值 [返回] 的后面再加量纲(名数)。

1.2 几个历史性问题
1.2.1 丢番图问题
例1 《孙子算经》中记载了这样的一个问题:“今有雏兔同笼, 上有三十五头,下有九十四足,问雏兔各几何?” 如果考虑“独脚鸡”和“双脚兔”的话,脚就由94只变成了47只。 每只“鸡”的头数与脚数之比变为1:1,
每只“兔”的头数与脚数之比变为1:2。

“独脚鸡”和“双脚兔”的脚的数量与他们的头的数量之差, 就是兔子的只数

47 ? 35 ? 12(只);

鸡的数量就是

35 ?12 ? 23 (只)。

例2 一百匹马,一百块瓦,大马驮仨,小马驮俩,马仔俩驮一 块。问大马、小马、马仔各几何。
解 设大马,小马,马仔分别为

x, y, z

匹,应有

? x ? y ? z ? 100 ? ? 1 3 x ? 2 y ? z ? 100 ? ? 2
分别消去

z和

y

可得 5 ? y ? (20 ? x) ? ? 3 ? ? z ? 2 (100 ? x) ? 3 ?

这是一个不完全方程组的求整数解问题——丢番图问题。

20 ? x,100 ? x 都是3的倍数,故可能取值如下。

x

2

5

8

11 14 17 20 5 0

5 y ? (20 ? x) 30 3 2 z ? (100 ? x) 68 3

25 20 15 10

70 72 74 76 78 80

可见,问题共有七组解。

[返回]

例3 华裔科学家李政道在中国科技大学少年班提出 “五猴分桃”的问题。

五只猴子分一大堆桃。第一只猴子单独来了,它发现桃子的总 数比5的某个倍数多1,于是它吃了一个桃子然后拿走了总数的五 分之一;第二只猴子来了,误以为自己最先到达,它发现桃子的 总数比5的某个倍数多1,它也吃了一个桃子然后拿走了总数的五 分之一,…,最后,第五只猴子发现桃子的总数比5的某个倍数多 1,它也吃了一个桃子然后拿走了总数的五分之一。试问起初的这 堆桃子至少要有多少个。
设这堆桃子共有

x 个,第五只猴子离开之后剩下 y 个桃子。
x ?1 ? 1 个桃子;剩下 5 ? x ?1 ? 4 x?? ? 1? ? ( x ? 1) (个)。 ? 5 ? 5

第一只猴子连吃带拿,共得到

第二只猴子共得到

1?4 ? ? ( x ? 1) ? 1? ? 1个桃子;剩下的个数 5?5 ?
2

…… 第五只猴子离开之后,剩下桃子数目应该是
5 5

4 1 ?4 ? 4 ?4 ? ?4? ( x ? 10 ? ? ( x ? 1) ? 1? ? ? ( x ? 1) ? 1? ? ? ? 5 5 ?5 ? 5 ?5 ? ?5?
4

4 ?4? ?4? ?4? ?4? ?4? ? ? ? 4 ?4 ? 4 ?4 ?4 ? ? ? ( x ? 1) ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? ? ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ?5? ?5? ?5? ?5? ?5? 5 ?5 ? 5 ?5 ?5 ? ? ? ? ? ? ?
3 2

?4? ?? ? x? ?5?

5

4 ? ?4? ?1 ? ? ? 5 ? ?5? ? 1? 4 5

5

? ? 5 ? ?4? ?? ? ? ( x ? 4) ? 4 ?5?

于是,有

45 y ? 4 ? 5 ( x ? 4) , 55 ( y ? 4) ? 4 5 ( x ? 4) 5 5 5 故必有 y ? 4 是 4 的倍数且 x ? 4 是 5 的倍数。

y 最小的可能是 4 5 -4=1020, x 最小的可能是 5 5 -4=3121。

1.2 几个历史性问题
1.2.2 勾股定理和费尔马大定理
据《周髀算经》记载,早在公元前1100年,商高就知道: “勾广三,股修四,径隅五”。

32 ? 4 2 ? 5 2
毕达哥拉斯发现“勾三股四弦五”已经是500年以后的事情了。 毕达哥拉斯观察地下铺的方砖 发现

a2 ? a2 ? c2

中间的部分是等腰直角三角形。
他猜测,对于一般的直角三角形 应有

a2 ? b2 ? c2

丢番图认真研究后得到了方程 的通解

x ? 2uv , ? u 2 ? v 2, z ? u 2 ? v 2 u 和 v是任意正整数)。 y (

x2 ? y2 ? z 2

当自然数 n ? 2 时,方程 有否还有正整数解呢?

xn ? yn ? z n

法国17世纪的一位业余数学家费马断言:当 n ? 2 任何正整数 x, y, z 都不能满足这个方程。这就是著名的费马大定理。
大约在1637年,费马阅读一本名为《丢番图》的书,其中第二卷第8个命题说的 就是“把一个平方数分成两个平方数之和”的问题。费马信手在数的空白处下这样 一段话:“将一个立方数分成两个立方数、一个 4次方数分成两个 4

次方数,或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次的幂,这是 不可能的。关于此,我确信已经发现了一种美妙的证明,可惜这里 空白的地方太小,写不下。”
直到1993年,这一旷世难题被英国数学家安德鲁· 怀尔斯所破解。稍后他在理查· 泰勒的协助下终 于完成了全部证明,并因此获得菲尔茨特别奖和沃尔夫奖。

C

1.2.3 四色问题
在地图上,任何两个相邻的国家应该着上不同的颜。人们发现, 每幅地图上不管有多少个国家,只用四种颜色就可以。
这个问题最早是由毕业于伦敦大学的弗南西斯?格思里大约于 1852年提出来的。1872年,伦敦数学学会上提出了这个问题, 于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。

B
O
C

A

1890年,在牛津大学就读的年仅29岁的海伍德证明了 一个较弱的命题——五色定理。

1970年至1976年,美国伊利诺大学哈肯和阿佩尔合作,在美国伊利诺斯 大学的两台不同的电子计算机上,用了1200个小时,作了100亿判断,终 于完成了四色定理的证明。

四色问题的研究,是小问题引出大模型的实例。计算机参与证 明的合法地位也由此得到了认可。

1.2.4 哥尼斯堡七桥
1726年,瑞士数学家欧拉(1701-1783)受聘于沙俄科学院,后来出 任数学部主任。1736年秋天,欧拉收到来自东普鲁士首都哥尼斯堡(今属 奥地利)的一封信,哥尼斯堡大学的学生在来信中向他请教的是下面一个 问题。

布勒格尔河横穿市区,哥尼斯堡大学的校园就坐落于新旧河道交汇处。 校园附近有一个小岛,七座小桥分别连通着河岸、小岛和半岛。傍晚前后, 学生们三三两两地散步于小岛上与河岸边。

有人突发奇想,能不能在一个晚上走遍这七座桥而每座桥又都只通 过一次呢?

哥尼斯堡是条顿骑士在1380年建立的,作为日耳曼势力最东端的前哨达 四百年之久。第二次世界大战以后,他被更名为加里宁格勒,成为前苏联最 大的海军基地。今天,哥尼斯堡位于立陶宛与波兰之间,加里宁格勒现仍属 俄罗斯。 店主桥 铁匠桥 木桥 内福夫岛
普雷盖尔河

新河道

蜜桥
绿桥 “馋嘴” 吉布莱茨桥 高桥 旧河道

B

欧拉在草纸上勾画出示意图。在 他看来,问题是否有可行的方案, 与岛、半岛的大小无关,也与河岸上
A
桥头的间隔及小桥的长度无关。因而不 妨将半岛、两侧河岸和小岛都缩为一点, 将各个小桥代之以线。

D

C

现在的问题是,能否用一只铅笔从“结点”A、 B、C、D之中的某一点开始,不抬笔地连续描完每一 条线而不出现线路重复呢?

类似这样的问题,后来被统称为“一笔画”问题。 作为一笔画,应该只有一个起点和一个终点,而其它点只能是通过点.

图中四个节点A、B、C、D都是奇节点。所以,这是一个不可 行的一笔画问题。

C

1.2.5 牛顿定律
牛顿定律的发现过程是艰苦细致的,其中包含数度猜想和大量的验证, 但是定律的最终体现方式确是数学的形式。力学三定律和万有引力定律一 般叙述如下。 第一定律:任何物体都保持静止或作匀速直线运动的状态,除非作用在它 上面的力迫使它改变这种状态; 第二定律:

F ? ma 。
F12 ? ? F21 ;

第三定律:作用力与反作用力大小相等方向相反,即
万有引力定律:

GMm F? r2



从数学的角度来看,第二定律是第一定律的特殊情况。第二定律、第 三定律和万有引力定律都是物理现象的数学模型。 [返回]

1.3

利益博奕

1.3.1 田忌赛马
战国时期,我国出现一位杰出的军事家孙膑。
起初,孙膑在魏国作官,由于同僚庞涓忌贤妒能百般迫害,孙膑几乎丧命于魏 国。后来被齐过使臣秘密救出送到了齐国引见给齐国的大将军田忌。

齐王酷爱赛马,田忌多次与国王赌输赢,屡赌屡输。一次赛马时,孙膑随 田忌来到赛马场。孙膑了解到,大家的马按奔跑的速度分为上中下三等,等 次不同装饰不同,各家的马依等次比赛,比赛为三赛二胜制。 比赛前田忌按照孙膑的主意,第一场,用上等马鞍将下等马装饰起来, 冒充上等马, 与齐王的上等马比赛。第二场,田忌用自己的上等马与国王 的中等马比赛,赢了第二场。 关键的第三场,田忌的中等马和国王的下等 马比赛,田忌的马略胜了一筹。结果二比一,田忌赢了国王。 后来,齐威王任命孙膑为齐国军师,取得了无数以少胜多、以弱制强 的辉煌战例。
即便是在运筹学理论非常完善了的今天,田忌赛马的故事仍不失为经典范例。

1.3.2 纳什均衡 一. 海滩占位
假定某海滩沿海岸线均匀分布着很多日光浴者。有两个出售 同种饮料的商贩来海滩设摊位,试问如何设位?

0

1 4

1 2

3 4

1

1 3 显然,在 和 处各设一个摊位最合理。 4 4 但是,红色的摊位如果向右移一点的话,情况如何?

不难预见,绿色摊位也愿意左移。 1 如果它们都在 附近的位置的话,哪个摊位还会有偏移的 2 打算呢?

二. 囚徒困惑
乙 甲

不投案 100\100 0\400

投案 400\0 200\200

有互不熟悉的两人在公共 场所斗殴,将接受处罚。

不投案 投案

若两人均投案,则因在公共场所斗殴各被罚款200元;若两人均不投案, 则只能按普通滋事各罚款100元;要是只有一人投案而另一人拒不承认,仍 可确定为斗殴,投案者免予处罚,不投案者被认定为是主要肇事方被罚款 400元。
我们站在甲的角度来看问题,他并不知道乙是否会投案。假若乙不投案, 甲也不投案将罚款100元,但若甲选择投案就会免予处罚;假若乙已经投案 的话,甲不投案将被罚款400元,投案则只罚款200元。

可见,不论乙是否会与警察配合,从甲的实际利益出发,他总会投 案的。 出于同样的原因,乙也会选择投案。

结果,甲乙二人均被罚款200元,虽然他们都知道还有各罚 100元的处罚方案,但那样的结果不太可能出现。
即便是重新征求各自的意见,甲和乙都没有 改变态度的愿望。

这一结果的出现,被称为纳什均衡。
约翰F.Nash(纳什)是著名的美国数学家,1928年生, 1950年获普林斯顿大学博士学位.1994年获诺贝尔经济学 奖。纳什均衡是他最具代表性的学术成果。

1.3.3 海盗分金
5名海盗抢到了100块金币(大小完全相同),他们准备采用以 下的方法分赃。 抽签为每人确定1、2、3、4、5这五个不同的序号,先由抽到1 的人提出自己的分赃方案,如果他的方案被超过一半人赞同,那 么就按照他的意见分赃;但是如果他的意见没有得到过半数人赞 同的话,他将被扔进大海去喂鲨鱼。 当海盗1被投入大海之后,由序号是2的人重新制定分赃方案。 如果海盗2的方案在现有海盗中超过半数同意便执行,否则也将海 盗2投入大海。依次类推。 假定这五个海盗都是高智商且极其贪财的。试问海盗1会制定 出怎样的分赃方案,以使自己免于葬身鱼腹。

要想弄清楚海盗1应该制定怎样的分赃方案,还是从假若只剩下 两个人时的情况说起。 如果船上只剩下了海盗4和海盗5两个人的话,根据规则4号海盗只 能提出0:100 的分赃方案,5号独得全部,就不必反对了。四号才可 以活命。
海盗3 能够预见到自己被投海后将发生的事情,他应该懂得:自己制定 的分赃方案只要能给海盗4一块钱,海盗4就会满足的。于是,3号提出的方 案一定是99:1:0 。让5号白白去投反对票好了。 海盗2要想避免被扔下海,它必须争取两张赞同票。但是,即便分给海盗 3全部100块中的98块金币,贪婪的海盗3也不会赞成,可以争取的两张赞同 票只能是海盗4和海盗5了。 其实,只要共拿出3块金币分给海盗4和海盗5,就可以用最小的成本获得 平安。于是,海盗2的方案就选择了97:0:2:1。

现在回到问题的开始。

海盗1不能指望任何方案能使海盗2满意,它可以制定出94 : 0 : 1 : 3 : 2的分赃方案。那样,它可以获得三张赞成票。

然而,视钱如命的海盗1不会浪费哪怕是一枚金币,他实际拿出 来的分赃方案将是

97 : 0 : 1 : 0 : 2。
海盗2号和海盗4当然会反对了,但是海盗3和海盗5都不反对,因 为这已经是他们最好的收益了。

1.3.4 权力指数
某公司有A、B、C、D、E五个股东,遵循“一股一票”的决策原则。 他们的股份分别为:A占36股,B占16股,C占16股,D占16股,E占16股。 公司在做出重大决策的时候,需要按股权进行投票表决。在很多情形 下,大股东的态度对于决策有着出人意料的巨大影响。 具体的说,某项决议的通过,按照股权进行表决时有以下几种可能。
(1)假若A暂时不在场,B、C、D、E是否可以直接做出决定而无需顾及A的态度? (2)假若股东B暂时不在场,A 、C、D、E是否可以直接做出决定而无需顾及A的态度? (3)同样道理,假若股东 C、D、E暂时不在场,情况怎样?

否定其他股东预决议的能力称为他的

权力指数。

(1)假若A暂时不在场,由 B、 C、D、E对于某项议案进行了初步 的表决,我们称之为预决策。
如果在预决策过程中,赞成票持股的 总和或者反对票持股的总和已经超过了 总数100股一半的50股的话,其实无须 再征求A的意见便可执行预决策 。 但如果预决策中赞成票持股的总和与 反对票持股的总和都没有达到50股的话, 就必须征求A的意见才能形成最后的决 议!此时,A的态度决定着议案被取舍。

情形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

B ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳

C ○ ○ ○ ○ ╳ ╳ ╳ ╳ ○ ○ ○ ○ ╳

D ○ ○ ╳ ╳ ○ ○ ╳ ╳ ○ ○ ╳ ╳ ○

E ○ ╳ ○ ╳ ○ ╳ ○ ╳ ○ ╳ ○ ╳ ○

赞成股/ 反对股

预决策能 否被改变 ╳ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

64/0

48/16
48/16 32/32 48/16 32/32 32/32 16/48 48/16 32/32 32/32 16/48 32/32

预决策时,共有 2 4= 种情形。 16 除掉情形1)和情形16以外,其 余的14种情形下,议案能否通过是 完全由A的态度所取舍的。因此,

13

14
15 16


╳ ╳


╳ ╳


╳ ╳


○ ╳

16/48
16/48 0/64


○ ╳

A的权力指数为14。

(2)假若股东B暂时不在场,A 、C、D、E预决策的选择也 有种情形。 然而, B推翻预决策的能力却是微弱的!具体地说,A同意时只 有C、D、E均反对才由B的态度所取舍, A不同意时则只有C、D、 E 均赞成的情形才由B的态度来决定。其它情形的预决策都不会被 B所改变。 股 股份 权力 权力指 (%) 东 指数 数比(%) B的权力指数为2。

C、D、E 的权力指 数也都是2。 在多数情形下,大股 东A的好恶决定着决策 取向。

A B C D E

36 16 16 16 16

14 2 2 2 2

63.636 9.091 9.091 9.091 9.091

1.3.5 议员名额的分配

议会是一些国家的决策机构, 议员的名额分配应该兼顾不同 区域国民的利益。

某国家有区域大小不等(不同民族)的六个地区。根据人口的不同比例, 国家议会的议员人数按地区分配如下表。

地区

A

B

C

议员数
地区 议员数

10
D 3

9
E 1

7
F 1

地区 议员 权力 人数 指数 A 10 16

指数比 (%) 33.3

B
C D E F

9
7 3 1 1

16
16 0 0 0

33.3
33.3 0 0 0

议员的总人数是31。虽然地区 A、地区B、地区C的议员都不足 以单独左右议会决议,但这三个 地区中任何两个地区的票数之和 都已经超过了议会的半数。

有人建议将A地区的议员人数恢复到12人。这时,议员总数增 加到33人。
即便增加地区的权力指数, D、E、F地区的权力指数已经为零,不必担心继续降低。

重新计算会发现,地区A的权力指数上升了1.615,地区B和地区 C的权力指数有了明显的下降。
那是因为9+7=16的票数达不到总票数的一半,A、D、E、F的联合足以对抗B+C。

出人意料的结果是:

地区 议员 人数 A 12

权力 指数 18

指数比 (%) 34.615

D、E、F的权力指数 都不再是零!

B
C D

9
7 3

14
14 2

26.923
26.923 3.846

E
F

1
1

2
2

3.846
3.846

(2)假若股东B暂时不在场,A 、C、D、E预决策的选择也 有种情形。 然而, B推翻预决策的能力却是微弱的!具体地说,A同意时只 有C、D、E均反对才由B的态度所取舍, A不同意时则只有C、D、 E 均赞成的情形才由B的态度来决定。其它情形的预决策都不会被 B所改变。 股 股份 权力 权力指 (%) 东 指数 数比(%) B的权力指数为2。

C、D、E 的权力指 数也都是2。 在多数情形下,大股 东A的好恶决定着决策 取向。

A B C D E

36 16 16 16 16

14 2 2 2 2

63.636 9.091 9.091 9.091 9.091
[返回]

1.4 几项智力游戏
1.4.1 幻方
大禹治水的时代诞生了河图洛书。 右图所示的就是洛书中的算图。用现 代数学语言来演绎,它表示的是三阶 幻方。 三阶幻方俗称九宫格,就是在平面 上画好的表格,再把1-9这九个数字 分别填写在这九个方格内。要求每行 的三个数字之和、每列的三个数字之 和以及每条对角线上三个数字之和都 相等。
当幻方的阶数高于3阶时,问题会变 得复杂起来。

4

9

2

3
8

5
1

7
6

从已经填好的右表来看,1、2、3这三 个较小的数分别填在了既不同行又不同列 的位置上,9、8、7这三个较大的数也分 别填在了既不同行又不同列的位置,这应 该是起码的游戏常识。 把最小的数字“1”填在第一行中间的 方格内是可以理解的。次小的数字“2” 和以后的数字都应该填在哪里呢?
(1)如果刚刚填完的数字既不在表格的第 一行,也不在最后一列,则下一个数字填 写在这个数字的右上角。 (2)如果刚刚填完的数字正好在表格的第一 行,但是不在最后一列,则下一个数字填写 在表格的最下边一行右边的一列; (3)应该填写的位置如果已经有了数字,则 填写在下一行相同的位置。

8

1

6

3
4

5
9

7
2

8 3 4

1 5 9

6 7 2

上述方法不但适用于三 阶幻方,也适用于五阶、 七阶的幻方。 表中每一行、每一列五个数字 的和都是65,两条对角线上 五个数字的和也是65。

17 24 23

1
7

8
14

15 16 22

4
10 11

5 6
12 18

13 20 19 21 25

3 9

2

按照以上的填写方法, 任何奇数阶的幻方都不难 完成。 但需要指出的是,这种方法用于偶数阶的幻方的时候,会出现 一定的问题。首先遇到的问题是“1”应该填在那里。

这两个表都是已经填好的四阶幻方. 16 3 2 13 15 10 3 6

5
9 4

10
6 15

11
7 14

8
12 1

4
14 1

5
11 8

16
2 13

9
7 12

偶数阶的幻方可以采取一分为四的预填写办法,预 填写之后对调少数数字进行调整,这一般来说是可行 的。

1.4.2 韩信故事两则
一.走马分油
两人在路边分油。有一只容量10斤的篓,里面装满了油。还有一 只7斤的空罐和3斤空葫芦。两人想要把这10斤油平分成每人5斤。

韩信骑在马上说: “葫芦归罐罐归篓,二人分油回家 走。”说完了,打马远去。

两个人按照韩信的办法倒来倒去,果然把油分成每 人5斤,各自回家。

二人到底是怎样把油分开的呢?
葫芦可以量出3斤,关键在于如何量出另外的2斤油来。
这其实可以是一个用加减号连接10、7、3构造算式的问题,运算过程 的中间的数不能超过10,而最终得数是5。这里,出现2是关键性的企盼。 这道算术题的答案是

(3 ? 3 ? 3 ? 7) ? 3 ? 5
把这个算式变成实际操作见下表,表中各列代表着每个步骤三种容器盛油量。

篓(10) 10 罐(7) 葫芦 (3) 0 0

7 0 3

7 3 0

4 3 3

4 6 0

1 6 3

1 7 2

8 0 2

8 2 0

5 2 3

5 5 0

分油的过程还可以用下图来演示。 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 2 斤 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

图中从左向右的几个箭头指明了利用3斤的葫芦一再从篓中盛油 到罐中,当7斤的罐装满之后,在右侧斜线所表示的葫芦中余下2斤 油。至此,分出5斤油就容易做到了。

二.韩信点兵

“三人同行七十稀,五束梅花廿一支,七子团圆整半月, 除百零五便得之。”
韩信在此只是就小数字的情形来说明自己的点兵之法。这28个字 的实际含义是: 先命令士兵站成三列,将最后一排的人数乘以70 ; 再重新站成五列,将最后一排的人数乘以21; 然后改站成七列,将最后一排的人数乘以15。 把这三个乘积加起来,去掉105的整数倍,得到的就是士兵人数。

为了说明韩信点兵的数学原理,可以用

x 表示士兵总人数。设

? x ? 3m ? m 0 ? ? x ? 5n ? n 0 ? x ? 7k ? k 0 ?

70 x ? 21x ? 15 x ? 210 m ? 105 n ? 105 k ? 70 m0 ? 21n0 ? 15k 0

106 x ? 105 ? (2m ? n ? k ) ? 70 m0 ? 21n0 ? 15k 0

x ? 70 m0 ? 21n0 ? 15k 0 ? 105 ? ( x ? 2m ? n ? k )
注意到 x ? 2m ? n ? k 一定是一个整数, 便知:

“三人同行七十稀,五束梅花廿一支,七子团圆整半月, 除百零五便得之。”

1.4.3 华容道
游戏借喻于三国故事华容道上 蜀将关羽义释战败的曹操。

赵 云

曹操 关羽

张 飞

游戏的基本要求是充分利用剩 余的空间,合理滑动这些棋子, 使得大正方形(曹操)率先从下 面的缺口处移出。 我们注意到:图中的剩余空间可 容纳两个兵,而两个兵的面积等 于任何一个矩形的面积,曹操又 刚好等于矩形面积的2倍。

黄 忠

兵 兵

兵 兵

马 超

游戏的基本要领是适当运动这四个兵,为其它棋子创造移动空间。 游戏者要利用尽可能少的行棋步数,想方设法从缺口处放走曹操。

(一)

(二)

13

27

(三)

(四)

42

61

(五)

(六)

67

94

行棋过程请注意以下要领:
(1)为了便于运行其它的兵将,曹操的下行路径应该是沿着左侧或右侧 而不是中央,因而首先要让曹操离开中央位置;

(2)关羽同其它四个矩形擦肩而过的时候,上下各需要两枚兵填 充位置; (3)既然“华容道”借喻的是三国故事,最终当然应该是关羽率兵 放走了曹操。

完成上述过程需要行棋近百步,已知的最好成绩约80步。
用华容道的这十枚棋子还可以构造不同的游戏,其规则与此相同。 为区别这三种不同的构图,上图称为“横刀立马”,这两图分别称为 “过五关”和“水泄不通”。

兵 曹操 兵

兵 曹操

黄忠 马超 赵云 兵 兵 张飞 兵 兵


张飞 马超 关羽

赵云 黄忠

关 羽

横刀立马

水泄不通

1.4.4 棋盘麦粒 梵塔 九连环
印度有一个古老的传说:舍罕王厌倦了皇宫单调的生活,一些 大臣千方百计地寻找种种新奇的玩艺儿帮他解闷。

西塔献上一种新发明的玩具。他用木头雕刻出王、后、车、马、 相、兵共三十二个棋子,一半被染成黑色。画出的64个小方格,在 不相邻的一半方格内图上黑色。
国王打算奖赏国际象棋的发 明人西塔,问他想要什么。
梵塔说:“陛下,请您在这张 棋盘的第1个小格里,赏给我1粒 麦子,在第2个小格里给2粒,第3 小格给4粒,以后每一小格都比前 一小格加一倍,直至摆完64个格 子。 国王觉得微不足道,告诉侍者 计算一下粒数,下午就请西塔拿 着口袋来装麦子 。

可是,下午西塔并没有领奖赏他的麦子,因为宫廷总管还没有算 出来。直到三天后,总管告诉国王说:“西塔要的麦子太多,把全 国所有的麦子都给他也不够!”

西塔要求得到的麦粒到底有多少呢?

x ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? ? 2 63
2 x ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? ? ? 2 64
x ? 2 x ? x ? (2 ? 4 ? 8 ? 16 ? ? ? 2 64 ) ? (1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? ? 2 63 )

? 2 64 ? 1 ? 1844674407 3709551615 ? 1.8 ? 1019
人们估计,全世界两千年也难以生产这么多麦子!

在印度北部的圣庙里,一块黄铜板上插着三根宝石针。 印度教的主神梵天在创造世界的时候,于其中一根针上从 下到上地穿好了由大到小的64片金片,这就是所谓梵塔。
不论白天黑夜,总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片:一次 只移动一片,不管在哪根针上,小片必须在大片上面。

把64片金片,由一根针上移到另一根针上,并且始终保持上小下 大的顺序,这一共需要移动多少次金片呢?

移动第1片只需1次,第2片则需2次,第3片需4次,…, 第64片需移动金片共有2的63次方次之多。 不管把哪一片金箔移到另一根针上,移动的次数都要比 移动上面一片的次数增加一倍。 借助于计算机计算出了结果,全部次数为 18446744073709551615次。 这和"麦粒问题"的计算结果是完全相同的! 假如每秒钟移动一次,共需要多长时间呢? 一年大约有 31556926秒,计算表明,移完这些金片需要五千八百 多亿年!

“九连环”

游戏的目标是将所有的金属圈儿从手柄上摘下来。
想要摘下右数第一个圈儿和第二个圈儿是容易做到的的,只要抽动手柄, 金属圈儿就可以从手柄的中间落下来。 但是要想摘下第三个圈儿的话,却需要卸掉第一个圈儿而保留第二个圈儿; 要想摘下第四个圈儿的话,需要卸掉第一个和第二个圈儿而保留第三个圈 儿;…;要想摘下第九个圈儿的话,需要卸掉第一个至第七个圈儿而保留 第八个圈儿。 如果将圈儿的个数增加到与金箔数相等的64个而做成“六十四连环”的话, 完成操作所需要的时间必将会远远超过上面的五千八百亿年!

1.4.5 猴子过河
有三只母猴各带一只小猴子,准备利用一条小船渡河。试设计渡
河方案。注意:

(1)每只猴子都会划船,但船上每次只能承载两只猴子(不论大 猴还是小猴); (2)每只小猴子在接触到其它母猴的时候必须有自己的母亲在场, 否则将被伤害。 将三个大猴分别记为A,B,C, 对应的三个小猴子分别记为a, b,c。
A B C c

b

a

首先过河的可以是Aa(Bb、Cc同理)或ab(bc、ac同理), 但最先渡河的不能是AB(BC、AC同理)。 总之,当船第一次回到北岸时,留在南岸的是a。 第二次过河的只有一种可能,就是bc,其它方案都不可行。再 由c将船送回北岸。 第三次过河的只能是AB,其它方案都不可行。 现在的问题是,由谁将船送回北岸?
a A C b B 北岸 c

只能由Aa(或 Bb)送船 !
南岸

1.4.6 猜帽子
某老师有三个非常聪明的学生,为考察其中那个学生最聪明,老 师展示了三黑二白一共有五顶帽子。要求学生闭上眼睛后,给每位 学生戴上一顶帽子。然后,让他们同时睁开眼睛,通过观察别人来 断定自己头上帽子的颜色。
结果,三个学生互相看了看,都稍稍犹豫一下,同时说自己戴的 是黑色帽子。试说明理由。

答案:事先,三个学生就都可以想到,老师不可能用上两个白帽子。 否则,第三个学生可以毫不犹豫地断定自己头上戴的是黑帽子,这 显然不公平。 为此,只要看到一个同学戴的是白帽子的话,就可以说自己头上 的帽子是黑色了。这一点,相信其他学生也清楚。 但是,在睁开眼睛的一瞬间,每一位同学都注意到,另两个同学没 有马上做出回答,这说明什么?

充分证明了自己戴的必然不是白色帽子(其实已经断定所有人 带的都是黑色帽子)!

1.4.7 打水排队 有若干人在水龙头前排队打水,每人的水桶大小不 同。请问应如何排队才能使总体的等待时间最少?

假设已经排好队,有持大桶(15分钟可接满)、小 桶(10分钟可接满)两人相邻。谁排在前面,能使两 人总的等待时间最短?
大桶15分 钟接满 小桶10分 钟接满 10X2+15=35(分)

小桶10分 钟接满

大桶15分 钟接满 15X2+10=40(分)

任何相邻两只桶都应该“前小后大”。否则就应该 调换位置。

结论:小桶在前面
对于上述结论,不妨进行公决。你能猜到投票的结 果吗?

[返回]

1.5 棋牌中的数学
1.5.1 智取棋子
将101粒棋子堆放在棋盘内,参赛的两人轮流从棋盘内取走棋子。 规定每人每次至少取走1粒棋子,也可以取2粒或者3粒,但每次取 棋子不能多于3粒。两人轮换取走棋子,直至取完为止,拿到最后 一粒棋子为胜利者。 现在, 由甲首先出手, 试问是否有必胜的方法。 甲要使自己能够取胜,必须创造条件,使得当乙在最后一次取棋 子时棋盘上有且仅有4粒棋子! 这样,不论乙拿走几粒,甲总可以将剩余棋子一次取完从而确保 获胜。

假如倒数第二个回合中,在轮到乙取棋子的时候,如果 棋盘上刚好剩8粒棋子的话??
不论乙这次拿走的是1粒棋子、2粒棋子还是3粒棋子,甲都可以从 容应对,针对乙的不同选择,甲在本回合相应地要拿3粒、2粒、1粒 棋子,使得棋盘上刚好剩下4粒棋子而进入最后一个回合。 总之 ,甲必胜的策略是率先给乙留下4的倍数! 现在回到问题的开始, 既然本次游戏有101粒棋子, 可以采取 “先取1再凑4”的策略!

这样,在甲第26次出手时会宣布胜利,而乙并不具有 第26次出手的机会。

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1.5.2 双炮残局

仕 帥 仕 炮 馬 炮 兵

红方先走:

炮 七进三
以下红方只 需走与黑棋 同奇偶的步 数,则必胜。

卒 砲 馬 士 將 士 砲
九 八 七 六 五 四 三 二 一

思考题: 桌上有三堆火柴,分别为1,4, 8根。现在有两人轮流来取,每次可以 从任意一堆火柴中取出一根或多根(但 最后一次必须是取一根),如果取到最 后一根火柴的人算赢,问先取的人应当 如何取才能稳操胜券?



1.5.3 象棋子 粒价值量化

1

2

3

4

5

6

7

8

9

車 馬 相 仕 帥 仕 相 馬 車 炮 炮 兵 兵 兵 兵

車 炮

9分 5-4分 4-5分 2分






相 仕 帥
1-2分

卒 砲











車 馬 象 士 將 士 象 馬 車
九 八 七 六 五 四 三 二 一

1

2

3

4

5

6

7

8

9


一般来说,进 攻分值超过防 守分值可胜

帥 仕 仕 相

車 將

攻:11分



相 仕 帥
防:10分

和棋
九 八

象 士 將 士 象
七 六 五 四 三 二 一

1

2

3

4

5

6

7

8

9


一般来说,进 攻分值超过防 守分值可胜

帥 相

卒 馬 將
攻 :2+5+2=9分



相 相 帥
防:8分



黑胜
加2 仕 成和棋

象 士 將 士 象
九 八 七 六 五 四 三 二 一 [返回]

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1.5.4 势的积蓄

車 馬 相 仕 帥 仕 相 馬 車 炮 兵 兵 兵 兵 炮 兵

卒 砲











車 馬 象 士 將 士 象 馬 車
九 八 七 六 五 四 三 二 一

1

2

3

4

5

6

7

8

9

布局

車 馬 相 仕 帥 仕 相 馬 車 炮 兵 兵 兵 兵 炮 兵

卒 砲











車 馬 象 士 將 士 象 馬 車
九 八 七 六 五 四 三 二 一

1

2

3

4

5

6

7

8

9

車 馬 相 仕 帥 仕 相 馬 車 炮 兵 兵 兵 兵 兵

卒 砲












馬 車
三 二 一

車 馬 象 士 將 士
九 八 七 六 五 四

1

2

3

4

5

6

7

8

9

車 馬 相 仕 帥 仕 相 馬 車 炮 兵 兵 炮 兵 兵 兵

卒 砲












馬 車
三 二 一

車 馬 象 士 將 士
九 八 七 六 五 四

1

2

3

4

5

6

7

8

9

車 馬 相 仕 帥 仕 相 炮 兵 兵 兵 馬 兵







卒 砲 馬











馬 車
三 二 一


九 八


七 六

將 士
五 四

1

2

3

4

5

6

7

8

9

車 馬 相 仕 帥 仕 相 馬 車 炮 兵 兵 兵 兵 兵

卒 砲













馬 車
三 二 一

車 馬 象
九 八 七 六

將 士
五 四

1

2

3

4

5

6

7

8

9





帥 仕 仕 馬



馬 炮 相 兵 兵 車 卒 砲
[返回] 九 八



兵 砲 兵


卒 卒

卒 馬 象
七 六






三 二 一

將 士
五 四



1.5.5 围棋 基本计算
围棋的棋盘由 纵横各十九条线 绘制而成。棋子 分为黑白两种, 黑181粒,白180 粒。下棋时,两 人分别将棋子摆 放在交叉点上。 开始比赛时 由执黑棋的一 方先走 .

二 三 四


六 七 八 九


十一 十二 十三 十四 十五 十六 十七 十八 十九

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

一 二


四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三 十四 十五 十六 十七 十八 十九

╳╳

三口气

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

一口气



有两个眼 的棋是活棋!




四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三 十四 十五 十六 十七 十八 十九

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19



围空




四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三 十四 十五 十六 十七 十八 十九

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

胜负的判定
全盘361点,各占180.5应该判为和棋。 黑棋先下,最后需退给白棋四分之三子后结算。 因此,若黑棋183.5,白棋177.5时判黑胜,因为:

3 3 183.5 ? 2 ? 180 4 4
3 1 183 ? 2 ? 180 4 4

3 1 177.5 ? 2 ? 180 4 4

若黑棋183,白棋178时判黑负,因为:

3 3 178 ? 2 ? 180 4 4

日本和韩国用围空的多少直接计算胜负,而无需将棋盘 全部填满。目多为胜。
目是下棋的位置,若黑棋下一子则自己得一目且剥夺 了白棋占这一目的权利。故一子相当于两目的价值。: 黑棋先下,最后需退给白棋五目半(也有7.5目或8 目的规则)后结算。

一 二


四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三 十四 十五 十六 十七 十八 十九

基本 战术

(1)枷吃

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

一 二


四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三 十四 十五 十六 十七 十八 十九

(2)打劫

(3)打二还一

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

一 二


四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三 十四 十五 十六 十七 十八 十九

(4)倒扑

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19


二 三 四

(5)征子 与引征


六 七 八 九


十一 十二 十三

十四
十五 十六 十七 十八

十九

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

1.5.6 桥牌开叫点数
A K Q J 10 9 8 7 6 5 4 3 2 A K Q J 10 9 8 7 6 5 4 3 2 A K Q J 10 9 8 7 6 5 4 3 2 A K Q J 10 9 8 7 6 5 4 3 2 顺时针叫牌、 发牌和打牌

AKQJ AKQJ

AKQJ AKQJ

一副牌共13墩。一般认为,除16张AKQJ 外其它牌张 不太可能赢墩。 A、K、Q、J分别计4、3、2、1点,总共 40个牌点。平均每方20点,超过20点为强牌一方。 40点/13墩,计算可知约3点可赢一墩牌。如果开叫在 一的水平,需要赢1+6=7墩牌才算完成定约,因而要持 有不少于3╳7=21点的大牌才可以开叫。

假如你本人手中持有13点的大牌的话,你的同伴和上、 下家总共有27点,故平均每人9点,己方共22点的可能性
较大。超过21点,可以完成水平为一的定约。 结论:持13点者必须开叫。 如果首家不叫,你是第二家的话,持12点便可开叫了。 因为你已经知道上家不是一手强牌(少于13点),你的同

伴牌力不少于10点的可能性较大,故必须开叫。
结论:第二家持12点者应开叫,第三家11点开叫。

自然叫牌法
AKQL AKQL AKQL AKQL

一副牌共13墩。一般认为,除16张AKQL外其它牌张
不太可能赢墩。 A、K、Q、L分别计4、3、2、1点,总 共 40个牌点。平均每方20点,超过20点为强牌一方。 40点/13墩,计算可知约3点可赢一墩牌。如果开叫在 一的水平,需要赢1+6=7墩牌才算完成定约,因而要持 有不少于3╳7=21点的大牌才可以开叫。

打牌
:QJ103 :K :8764 :A654 :QJ103 :K :8764 :A654 :K72 :QJ65 :953 :1092

:A964 :9843 :J :KQJ7

局况表
次 序 1 2 3 4 5 6 7 8 局 况 双无 南北 东西 双有 南北 东西 双有 双无 次 序 9 10 11 12 113 14 15 16 局 况 东西 双有 双无 南北 双有 双无 南北 东西

叫 牌(定约)
级别 草花 方块 红桃 黑桃 无将 再加倍 完成墩
1 2 3 4 5
小满贯 6
大满贯 7
(或再 加倍)

7 8 9





10 11 12

13

下家必须选择上家右侧或下方的叫品,也可以放弃不叫。 [返回]

分差 0-10 20-40 50-80 90-120

国际分 0 1 2 3

分差 370-420 430-490 500-590 600-740

国际分 9 10 11 12

分差 1750-1990 2000-2240 2250-2490 2500-2990

国际分 18 19 20 21

130-160
170-210 220-260

4
5 6

750-890
900-1090 1100-1290

13
14 15

3000-3490
3500-3990 4000以上

22
23 24

270-310 320-360

7 8

1300-1490 1500-1740

16 17

桥牌竞赛奥妙无穷,处处都闪烁着数学的光辉。对桥牌有兴趣 的读者,可以参阅相关的桥牌书籍。 [返回]

第2章 基础数学模型
2.1 概率模型
2.2 几个简单的高等数学问题 2.3 万有引力定律与三个宇宙速度 2.4 规划模型 2.5 经济数学模型

2.6 生物种群增长的数学模型
[返回]

2.1 概率模型
2.1.1 排列和组合
排列的直接原型是人员或者事物的排队。这里所讲的排队不带有 歧视性。在排队过程中,所有的元素(个体)机会均等。

一.全排列
例1 要把A、B、C三个人排成一队,有几种排 法? 三人排队总共有 3 ? 2 ? 1 ? 6种不同的排法。 四人排队,排头可以选定为这四人中的任 何人。不论选定了谁站在排头,接下来的安 排就变成了三人排队的问题。所以,共有

排法

1
2

ABC
ACB

3
4 5 6

BAC
BCA CAB CBA

4 ? 3? 2 ?1 ? 24
种不同的排法 。

n 人排队可以转化成 n



An ? n ? (n ? 1) ? ? ? 3 ? 2 ? 1 ? n!

n ? 1 人排队问题,故 n 全排列数为

二.选排列
例2 把 n 个人分成红、黄两组并且排成一列,规定红组( 列前,黄组( 前面

n ? r 人)排在后面,有几种排法?

r

人)

r

个人(红组)的排法共有 Ar ? r! 种,对于红组的每一

种不同的排法,黄组都有

An ?r ? (n ? r )! 种不同的排法与之对应。

因此,在这样限制条件之下的排法总数为共有

Ar ? An?r ? r!?(n ? r )!
实际上,如果将红组的人规定在其它的 个位置,排法的总 数也与此相同 。 像这样限定部分人排在规定部位的排列称为选排列,排列计算公 式为

r

Ar ? An?r ? r!?(n ? r )!

三.组合
例3 某个部门有把 n 个成员,因工作需要准备派 r 人外出。试 问共有几种不同的选择。 如果将所有成员排成一列,排在前 排法的总数为 An ? n! 。 由于外出的人之间可以忽略次序,留下的人也忽略次序。因此, 分组的方案显然远不及这个排列数。方案总数可以表示为

r 个位置的人为外出者,则

An n! C ? ? Ar An ?r r!?(n ? r )!
r n

这刚好是全排列和选排列之商。

2.1.2 古典概率
有些时候,人们并不能完全确定某个事件是否会出现,常常需要 对事件发生的可能性做出判断。概率理论最初所涉及的就是这样的 问题。 如果任意向上抛起一枚硬币,让它自由落地,事先并不敢肯定当它 落地后会是“正面向上”还是“反面向上”。 一般是认为两种结果出现的 机会均等,就是说两种结果出现的可能性各占一半,各自的概率都 是
1 。 2 如果用

A和 B

分别代表两种不同的结果,用 p( A) 和 p(B)

代表两个结果出现的概率(可能性)。应该有

1 1 p( B) ? ? 0.5 。 p( A) ? ? 0.5 , 2 2

改为先后上抛两枚硬币的话,请问两枚硬币落下后同是 正面或者反面的概率有多大?
显然,共有四种可能发生的结果: ①正②正,①正②反,①反②正,①反②反。

2 “正反面相同”的概率应该是 p ? ? 0.5 . 4
其中分母4表示一共有4种可能的结果,分子2表示共有2种结 果符合要求。 如果做某项试验共有 都会导致某种事件

n 个等可能性的不同结果,其中
k p? n

k 种情况

A 发生。则事件 A发生的概率就是

这就是古典概率的计算公式。

必然会发生事件的概率认为是1,这与人们常说“百分之
100 百会如此”的习惯相一致,因为 100 ? 1 ;不可能会发生的

事件称其概率为0。 更多事件的概率都是介于0和1之间的正数。
例4 某人连续投掷同一枚硬币。假定每次正面向上与反面向上的 概率相同。试问: (1)事件 A 连续两次都是正面向上的概率是多少? (2)事件 B 第一次正面向上、第二次反面向上的概率是多少? (3)事件 C 两次投掷正反面相同的概率有多大? (4)事件 D 连续10次都是正面向上的概率是多少? 1 1 1 1 1 1 p( B) ? ? ? p( A) ? ? ? 2 2 4 2 2 4

2 1 p(C ) ? ? 4 2

1 1 p( D) ? 10 ? ? 0.1% 2 1024

假定小偷一次行窃得逞的可能性为90%, 他连续10次作案均得逞的 10 概率是多少?

? 90 ? ? ? ? 100 ?

? 35 %

例5 从一副共54张的扑克牌中任意抽取4张,这四张牌都是A的概 率有多大? 由于不计较四张牌的抽取顺序,取法的总数应该是54取4的组合数

C

4 54

54! 54 ? 53 ? 52 ? 51 ? 50 ? 49 ? ? ? 2 ? 1 ? ? ? 15812550 4!?(54 ? 4)! (4 ? 3 ? 2 ? 1) ? (50 ? 49 ? ? ? 2 ? 1)

符合要求的结果只有一个,所以发生事件A的概率应该是

1 6 p( A) ? ? 15812550 100000000
大约为一亿分之六。

例6 从一副共52张扑克牌(四种花色各13张,不包括大王和小王) 中任意抽取13张,其中有四张牌是A的概率有多大? 这里并不计较四张牌的抽取顺序,取法的总数应该是54取13的组 合数

C

13 52

52 ? 51 ? ? ? 2 ? 1 52! ? ? 13!?(52 ? 13)! (13 ? 12 ? ? ? 2 ? 1) ? (39 ? 38 ? ? ? 2 ? 1) 52 ? 51 ? ? ? 41 ? 40 ? ? 6350135596 00 13 ? 12 ? ? ? 2 ? 1

符合要求的结果个数为
4 9 C 4 ? C38 ? 1 ?

38! 38 ? 37 ? ? ? 31 ? 30 ? ? 163011640 9 ? 8 ? ?? 2 ?1 9!?(38 ? 9)!

163011640 3 p( A) ? ? 0.00026 ? 6350135596 00 10000

例7 据说意大利医生兼数学家卡当有赌博嗜好。他曾曾参加过这样 的一种赌博:把两颗骰子掷出去,以每个骰子朝上的点数之和作为赌 的内容。已知骰子的六个面上分别为1~6点,那么,赌注下在多少点 上最有利?
两个骰子朝上的面共有36种可能

骰 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

7是最容易出现的和数,它出 现的概率是

6 1 p? ? 36 6
所以,卡当预言说押7最 好,因为出现7点的概率最 大。

例8 在17世纪的某一天,一位名叫保罗的人与赌徒梅尔赌钱。他 们事先每人拿出6枚金币,然后掷骰子,约定谁先胜三局便赢得12枚 金币。比赛开始后,保罗胜了一局,梅尔胜了两局。这时因为发生 其它意外的事情中断了他们的赌博。在商量着12枚金币如何分配的 时候两人发生了分歧。保罗认为,根据已经比赛的胜出局数,他应 该拿走三分之一的金币4枚,梅尔应该得余下的8枚。但是,梅尔对 此并不认同,他觉得自己获胜的可能性大,应该得到比8枚更多的金 币。
他们先后请求数学家帕斯卡和费尔马帮助裁决。两位数学家的结论可以说 是不谋而合,认为保罗应得3枚金币,梅尔应得9枚金币。具体理由如下。

如果能够继续进行两句的较量的话,则胜负自明。现在假定余下两 局胜负机会均等,则这两句的胜负共有四种可能的结果: (梅尔胜,梅尔胜),(梅尔胜,保罗胜), (保罗胜,梅尔胜),(保罗胜,保罗胜)。 前三种结果之一发生,梅尔将会赢得全部的12枚金币;梅尔赢得

3 3 12 ? ? 9 。 全部的12枚金币的概率是 4 赢钱的期望值为 4

例9 设一个班级共有 r 名同学。如果每个人生日在一 年365天中每一天的可能性是均等的。这 r 名同学的生日 各不相同的概率是多少?
个数为

r名同学每个人在365天中任何一天出生的机会均等,不同状况的总
365 ?? ???365 ? 365 r ?? 365 ? ? ? ? ? ?
r个

满足要求的基本事件个数为 365 ? 364 ? ?? (365 ? r ? 1)
事件发生的概率为

365! 365! 364 ? 0.27 p(2) ? ? ? 1 p(35) ? 35 330!? 365 363!? 3652 365 35人的班级有人生日相同的概率是 1 ? p ? 1 ? 0.27 ? 0.73 ? 73%

365! 365 ? 364 ??? (365 ? r ? 1) ? p(r ) ? (365 ? r )!?365 r 365 r

例10(蒙特.霍尔问题)在某个具有观众参与的电视节目 中,主持人(据说是蒙特.霍尔)向你指示三扇关着的门: 1号门、2号门和3号门。他告诉你,其中某一扇门的后 面有一辆高级轿车,而其它门后面东西的价值是微不足道 的。你可以在这三扇门中任意指定一个并且将无偿获得门 后面所摆放的东西。 经过犹豫再三,你选定了其中一扇门,比如是2号门。 其实,你对2号门后是否有汽车没有任何把握。 为了增加悬念,使得电视节目更加好看,主持人并没 有立刻打开你所选定的那扇2号门,而是打开了3号门! 人们看到,3号门内没有汽车,只是放着一个值不了几个 钱的塑料垃圾桶。

此时,主持人给你提供了一次重新选择的机会,告诉 你现在可以放弃2号门而改选1号门。到底改不改? 多数人会支持你坚持原来的1号门,他们认为1号门和2 号门有汽车的可能性各占50%。 其实,主持人所履行的是事先设计好的演出程序,不 论你首次选择的是哪一扇门,也不论你是否选中了汽车, 他都会打开另一扇没有放汽车的门,并且允许你重新选择。 再来说说获奖概率吧,这才应该是你是否更改选择的 理论依据。 在你最开始选定2号门的时候,所有人(包括你自己) 都清楚,选中汽车的把握刚好是三分之一。就是说,2号 门的后面没有汽车的概率应该是三分之二。

后来,主持人排除掉了没有被你选中的那扇没有汽车 的门,再让你重新选择,你居然报定原有的、仅有三分之 一成功可能性的选择而不放,这是很不明智的。 要是你还不明白的话,我们不妨修改一下游戏规则: 第一步,允许你自主地先将在三扇门分成两组,比如你所 分的第一组只有2号门,第二组则由1号门和3号门组成; 第二步,你在这两组中任选一组,选中了汽车的话就归你 了!你会选第一组还是第二组呢?我想你会毫不犹豫地选 第二组;第三步,主持人在第二组中打开了一扇没有汽车 的门给你看,问你是不是改选成第一组。你会改变自己的 选择吗? 这两种游戏程序和数学原理确是完全相同的。你的确 应该充分利用第二次选择的机会,理智地把(概率的) “三分之一”换成“三分之二”。当然,也许你不换是 正确的,但是正确的可能性只有三分之一。

2.1.2 几何概型 有些试验的可能结果有无限多个,一旦用不同的数来代 表每个可能的结果,就可以认为是某个所谓“随机变量” 可以取无限多个数值。在数轴上或者在坐标平面上研究随 机变量,概率的问题就专化成了几何问题。
例10 假设在10000平方公里的海域内有一块面积为100平方公里的 大陆架蕴藏着石油。如果任选一点钻探,钻到石油的概率是多少?
出油的概率应该等于面积之比,就是

100 p? ? 1% 10000
这是一个原本就与面积相关的问题,概率值等于面积之 比应该说并不奇怪。

例12 有两个人相约在9点钟到10点钟之间在某咖啡厅 见面。不过不曾作更精确的时间规定,只约定先到者等候 20分钟离去。试求两人会面的概率。 问题集中在60分钟的时间间隔内。设两人到达的时刻分别为x, y ,
则两人到达时刻组成一个数组 ( x, y ) ,它对应着平面区域

D ? {( x, y ) 0



x

≤60,0≤

y

≤60}

无论谁先到都停留20分钟,这告诉我们只要 x ? y ≤20, 两人就能见面。

y ? x ≤20, x ? 20 ≤ y ≤ x ? 20
-20≤

60

y ? x ? 20
D
20

1 60 ? 2 ? ? 40 ? 40 5 2 p? ? ? 0.56 9 60 2
2

y ? x ? 20
20

O

60

例13(蒲丰投针问题)这是法国数学家蒲丰在1777年提出的一个 著名概率问题。平面上画着若干间距均为 的平行线,将一枚长度为 b a(a ? b) 的针任意投放在平面内,试计算针与某直线相交的概率。 问题简化成下图,针的端点到 直线距离成为问题的关键。

x
b 2
D

A

? a
2

x?

a sin ? 2

x
b 2

A
O

?D ? ?? ? ?b

1 2

?

?

A1 ? ?

?

0

a a sin ? d? ? ? cos ? ? a 2 2 0

?

A1 a 2a p? ? ? A0 1 ?b ?b 2 [返回]

2.2 几个简单的高等数学问题
2.2.1 循环小数和录美弗公式 一.无限循环小数
aq n ?1 ? a ? aq ? aq 2 ? ? ? aq n ?1 ? ? ? n ?1 a 当且仅当 q ? 1 时收敛,其和为 1? q 。
事实上,如果设

等比级数?

a (1 ? q n ) 两式相减,得 (1 ? q) Sn ? a(1 ? q ) 。解得 S n ? 。 1? q
n

Sn ? a ? aq ? ? ? aq n?1 则 qSn ? aq ? aq 2 ? ? ? aq n

注意到

q ? 1 ,就有 ?

a(1 ? q n ) a n ?1 ? aq ? lim Sn ? lim 1 ? q ? 1 ? q n ?? n ?? n ?1

a ? aq ? aq ? ? ? aq
2

n ?1

? ? ? ? aq
n ?1

?

n ?1

a ? 1? q

据此,循环小数总是可以写成级数的,例如

3 ? 3 3 3 3 10 ? 3 ? 1 0.3 ? 0.333? ? ? ? ??? n ?? ? 10 100 1000 10 1 9 3 1? 10
? 34 34 34 34 34 ? 1 ? 0. 3 4 ? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? 2 3 n 100 100 100 ? 100 ? 100 100 n ?1 ? ? n ?1

? 34567 34567 34567 34567 0. 3 456 7 ? ? ??? ?? ? ? 100000 100000 2 100000 n n ?1 100000 ? ?

? 1 ? ?? ? 100000 ? ?

n ?1

于是

34 ? ? 34 0.34 ? 100 ? 1 99 1? 100

34567 ? ? 100000 ? 34567 0.34567 ? 1 99999 1? 100000

还有

9 0.9 ? 0.999? ? ? 1 9
在小学的学习阶段,很多同学不愿意承认这个事实。以为应该是

?

0.9 ? 1 才对。
注意到 0.9 和 1 都是常数,是不是可以问一下:0.9 到底比 1小多少?
学过高等数学才能理解 1 ? 0. 9 是小于任何正数的数,它只能是0。
?
? ?

?

就是说

1 ? 0. 9 ? 0

?

二.录美弗公式
对任意 x ? (??, ??),有函数展开式(其实自变量取复数时也是成立的)

1 3 1 5 x n sin x ? x ? x ? x ? ? ? (?1) ?? 3! 5! (2n ? 1)! 2n 1 2 1 4 n x cos x ? 1 ? x ? x ? ? ? (?1) ?? 2! 4! (2n)!
2 n ?1 1 3 1 5 n x arctan x ? x ? x ? x ? ? ? (?1) ? ? , x ?[?1,1] 3 5 2n ? 1

1 2 1 n e ? 1? x ? x ??? x ?? 2! n! 2 n ?1
x

可知

1 1 1 e ? e ? 1? x ? ? ??? ?? 2! 3! n!
1

π 1 1 1 ? arctan1 ? 1 ? ? ? ? ? 4 3 5 7

如果把上述公式推广到复数域上 ,应该有

1 1 1 1 2 3 4 e ? 1 ? ix ? (ix) ? (ix) ? (ix) ? (ix) 5 ? ? 2! 3! 4! 5!
ix

1 3 1 5 ? 1 2 1 4 ? ? ? cos x ? i ? sin x ? ?1 ? x ? x ? ?? ? i ? ? x ? x ? x ? ?? 4! 3! 5! ? 2! ? ? ?

? 1 ? ix ?
就是
ix

1 2 1 3 1 4 1 5 x ? ix ? x ? ix ? ? 2! 3! 4! 5!

? e ix

e ? cos x ? i ? sin x
(? ?i? ) x

, x ? (??, ??)

这就是著名的录美弗公式,利用这个公式,可以把复数的指数 形式和三角形式互现转化。公式更一般的形式为

e

?e

?x

? (cos x ? i ? sin x)

2.2.2 斐波那契数列与黄集分割

一. 斐波那契数列
一对小兔子出生两个月生出一对小兔子(刚好是一雌一雄),以 后每月都生一对小兔子,小兔子出生两个月也开始加入繁殖的行列。 如果原有的兔子和相继出生的兔子都不会死亡且按时受孕,一年后 共有多少对兔子?
这个问题对应的数字构成一个数列 1,1,2,3,5,8,13,21,…
此数列被称为斐波那契数列。数列从第三项起,每一项都等于它相邻前 两项的和。即

an ? an?1 ? an?2 (n ? 3, 4,5,?)

斐波那契数列有一条非常重要的性质:

a n ?1 1 lim ? ( 5 ? 1) ? 0.6180339887 n ?? a 2 n

现在利用单调有界原理对上述结论做出证明。



a n ? a n?1 ? a n?2 的两边同时除以 an?1 ,得 an an?2 ? 1? a n ?1 a n ?1

a n ?1 令 bn ? , 得到一个新的数列 ?bn ? 。其通项 bn 满足 an 1 1 ,或 b ? ? 1 ? bn ?1 n bn ?1 ? 1 bn
容易证明数列 必有极限 F 。故

?bn ?

每一项都大于0且单调递减。故数列 bn

? ?

1 F? F ?1

解得(舍去负数根)

1 F ? ( 5 ? 1), 2

a n ?1 1 lim ? ( 5 ? 1) ? 0.618 n ?? a 2 n
。 这就证明了

二.单变量问题的优化实验
已知某种微生物当温度在 10 到 40 之间才能成活。为了确定适宜 其生长的最佳温度值,可以通过恒温条件下多次试验来完成。
设计实验的基本要求是: 第一,估计出最佳温度所在的范围,指出的范围越小越好; 第二,为了降低试验成本,应该采取尽可能少的试验次数来获得最佳温度 较小的可能范围。
0
0

一般来说,这两点是有矛盾的。假若多选取一些介于到之间固定 温度来进行恒温试验的话,就能估计出最佳温度的较小范围。但是 多选温度值来做很多次实验的话,必然地增大试验费用。

显然,合理确定试验点的选取方案是重要的。

假设只知道函数

f ( x)在 [a, b] 上连续,且在 (a, b)

内取得极大值.

现在研究怎样才能通过作较少次数的试验来估计极大值点的位置。 (1)等分区间的办法是最容易想到的。
将区间

点的坐标为

[a, b]分成 n 等份,每个小区间的长度为 ?x ? b ? a ,各分 n

Tk ? a ? k ?x(k ? 0,1, 2,?, n ? 1, n).

其中

T0 ? a, Tn ? b.

采用等分区间的办法做实验,精确度(极值点的可能范围)为

b?a ?x ? n ,试验次数为

n ?1

次。

(2)分割排除法。 已知函数只有一个极值 点,因而函数的图象是 x “单峰”的。假定 0 是函数的极大值点。
任意选定两个试验点

y

x1 , x2 ? (a, b) ( x1 ? x2 ).
如果

O

a

x1 x 0

x2

b

x

f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) ,则 x0 ? [a, x1 ), 以下只考虑区间 [ x1 , b] ; 如果 f ( x1 ) ≥ f ( x 2 ) ,则 x0 ? ( x 2 , b] ,以下考虑区间 [a, x 2 ] 。

显然,已经被排除的范围内不再计算任何函数值,这是一种高效率的 解决办法。不妨称为分割排除法。

(3)黄金分割法。黄金分割和斐波那契数列有着不解的渊源! 上面分割排除法中的

x1 和 x 2 应该选在 [a, b]内的什么位置最合理
,也应该有 x2

呢?一般认为, ( x1 ) ? f ( x2 ) 与 f ( x ) ? f ( x ) 具有等可能性。 f 1 2

? a ? k (b ? a). 无论那种情形发生,排除后所剩下的区间长度为 k (b ? a) 。在下次的测试
若设 中,再选一点

x1 ? a ? (1 ? k )(b ? a)

x2 ? a x1 ? a ? . b ? a x2 ? a 1? k 将 x1 ? a ? (1 ? k )(b ? a), x2 ? a ? k (b ? a ), 代入,可得 k ? , k 1 解得 k ? ( 5 ? 1) ? 0.618. 2
这说明,在分割排除法中,应取

x3 ? ( x1 , x2 ) ,使之具有相同的比例位置。故应有

x1 ? a ? 0.382 ? (b ? a),

x2 ? a ? 0.618 ? (b ? a).

2.2.3 辛普生公式 某立体位于平面

x?0



x ? h 之间.如果一组平行
A(x)

截面积可以表示为A(x ) , 则立体的体积为

V ? ? A( x)dx.
0

h

又若截面积函数 A(x ) 是截距 x 的二次函数
2


A( x) ? ax ? bx ? c
则体积公式可以表示为

O

x x ? dx

h
[返回]

x

?

h

0

A( x)dx ? ? (ax2 ? bx ? c)dx
0

h

h 1 3 1 2 ? ( ax ? bx ? cx ) 0 3 2

h ? [2ah2 ? 3bh ? 6c] 6

a 3 b 2 ? h ? h ? ch 3 2

为上底面积、下底面积、中截面积

?h? S 分别称 S上=A( h),S下=A(0), 中=A ? ?, ?2?

2 ? 2 ? h? h ? ?h? ? ?( ah ? bh ? c ) ? 4[a ? ? ? b ? ? c ] ? c ? 6? 2 ?2? ? ? ? h? ? ?h? ? ? A(h) ? 4 A ? ? ? A(0) ? 6? ?2? ?

即可得到所谓拟柱体积公式:

h V ? ? S下 ? 4S中 ? S上 ? . 6
从拟柱体积公式可以轻易推出很多常见的体积公式来。 这里

S下 , S中 , S上 分别称为拟柱体的下底面积、中

中截面积、下底面积。

一、圆锥体积
设圆锥的底半径为r 高为 h ,则

1 2 ?r? S中 ? π? ? ? π r 2 ?2?
于是,圆锥体的体积为

2

S上 ? 0, S下 ? ? r ,
2

h V ? ? S下 ? 4S中 ? S上 ? 6 h? 2 1 2 ? ? ?? r ? 4 ? ? r ? 0 ? 1 2 ? ? r h. 3
6? 4 ?

h

r

二、圆台体积
设圆台体的底半径为 R ,顶半径为 r ,高为

h, ,则
2

S上 ? ? r ,
2

?r?R? S中 ? ? ? ? , ? 2 ?
2

S下 ? ? R ,

于是,圆台体积为

h V ? ? S下 ? 4S中 ? S上 ? 6 ?h 2 2
?
2 2

r
h

? 2r ? 2rR ? 2R ? 6 1 ? ? h ? r ? rR ? R ? 3

R

三、球体积
设球体的半径为

R
2

,则

S上 ? 0, S下 ? 0,

S中 ? ?R ,
于是,球体积为

h V ? ? S下 ? 4S中 ? S上 ? 6
2R ? 0 ? 4?R 2 ? 0 ? ? 6 4 3 ? ?R 3

O R

[返回]

2.3 万有引力定律与三个宇宙速度
2.3.1 开普勒定律
人类关于天体运行的研究经历了漫长的岁月。早在公元二世纪, 希腊人托勒玫就提出了所谓“地心说”。他认为地球是宇宙不动的 中心,其他行星、恒星都是绕地球在一些同心球面上运动,这一学 说可以暂时解释所观察到的很多现象,但随着对星象观察的持续, 受到了越来越多的挑战 。
十六世纪,哥白尼(1473—1543)在天文观测的基础上,冲破宗 教统治和“地心说”的束缚,提出了地动学说。哥白尼的“日心说” 是天文学乃至于整个科学界的一大革命。 天文学家第谷· 布拉赫(1546—1601)经过长期观测行星运动,积累 了二十年的资料。开普勒(1571—1630)作为他的助手,对于第 谷· 布拉赫所积累的原始数据极为珍惜。开普勒能够发现行星的运行 轨道形状为椭圆,并且找到了运行速度、运行周期的数学规律。

开普勒定律: (1)各颗行星分别在不同的椭圆轨道上绕太阳运动, 太阳位于椭圆的一个焦点上; (2)对于任一行星来说,它的矢径(太阳到行星的连 线)在相等的时间内扫过的面积相等; (3)行星绕太阳运动的周期T的平方与椭圆轨道的长半 轴a的立方成正比。 开普勒的这三项运动规律具有明显的数学特征。由于当 时并不能在理论上作出推导。为此,他把当时已发现的 六大行星运行周期和轨道长半轴列成了表,以支持他的 上述猜想。

开普勒定律: 序 号 1 2

行星
水星 金星

周期T
0.241 0.615

长半轴a
0.387 0.723

T2
0.058 0.378

a3
0.058 0.378

3 4
5 6

地球 火星
木星 土星

1.000 1.881
11.862 29.457

1.000 1.524
5.203 9.539

1.000 3.54
140.7 867.7

1.000 3.54
140.85 867.98

2.3.2 万有引力定律
牛顿(1642—1727)认为,一切运动都必有其力学的原因,开 普勒三定律的背后必定有某种力学规律在起作用。他致力于构造一 个数学的模型加以解释。 终于,他以微积分(当时称流 数法)为工具,在开普勒三定律 和牛顿力学第二定律的基础上, 演绎出所谓万有引力定律。
以太阳为原点建立极坐 标系,向径 r 表示行星位 置,如图所示。

y

?
O

x

牛顿从行星轨道方程和第二定律 出发,推导出了万有引力定律。

将开普勒定律记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ,将牛顿第二定律记为Ⅳ。它们可 分别叙述为: p b2 Ⅰ.行星的轨道方程为 r ? ,其中 p ? ,

1 ? e cos?

a

b2 ? a 2(1 ? e2)。a为长半轴,b为短半轴,e 为椭圆的率心率;
Ⅱ. 单位时间内,向径 r 扫过的面积为常数 A(对某一颗行星而言)。即

1 2 d? r ? A. 2 dt 。 Ⅲ.设T为行星运行周期,即行星每运行一周所需要的时间值。a 2 3 为轨道长半轴,则 T ? ka , 其中 k 是常数,各行星取同一常值;
Ⅳ.作用力 f 与加速度 a= r ?? 的方向一致,它们的量值成正比, 存在常数m(行星的质量),使

f = m a=m r? 。

2.3.3 三个宇宙速度
万有引力定律的确立,不仅解释了很多复杂的天体运动现象,还是 人们掌握了行星、彗星、卫星以及地球上月潮、日潮等运动的规律, 准确预计星体在各个时刻的位置。 人们在研究行星之间的相互吸引对行星轨道的影响(行星的摄动) 的基础上,预见到了海王星和冥王星的存在,并在预定的时间、在 预见的位置发现了它们。 为方便于关于三个宇宙速度的讨论, 先来介绍物体相对于地球的引 力势能。 假设某一物体从地面上升起了一定的高度,则该物体(质点)相对 于地心就具有了引力势能。根据功能转换原理,只须讨论质点升高 过程中,地心引力所做的功。

1 2 Ev ? mv , 2

Ur ? ?

引力势能
设 M 为地球的质量,R 为地球的半径,r 表示升高过程中的质点到地心的距离。 由于质点在位置 r 所受地心引力为

x
r2
x ? dx

mM f ?G 2 . r
质点从 r 运动到 r+dr 引力做功

x
r1
O

mM dW ? fdr ? ?G 2 dr. r

W ? ? dW ? ?GmM ?


r1

r1

r1 ? ?? 可得

R

R

dr 1 1 ? ?GmM ( ? ) R r1 r2

W??

GmM ?? . R

第一宇宙速度
欲使人造卫星在离地面h处环绕地球作 圆周运动,需要多大的切向速度才能保证 离心力与地心引力的平衡呢?
质点在半径为 h+R 的圆上做匀速圆周运 动。在圆周的任意点处,质点的运动状态与 受力情形相同。

y A v P

?
O

R+h

x

设运动方程为

x ? ( R ? h) cos ? , y ? ( R ? h)sin ? . 则

dx d? dy ? (h ? R) cos ? d? . ? ?(h ? R)sin ? , dt dt dt dt d? v ? (h ? R) , 解得 而切向速度为常值 v,转角为 ? , 则 dt d? v dx dy ? , ? ? ?v sin ? , ? v cos ? . dt h ? R dt dt

d 2x d d? v2 ? (?v sin ? ) ? ?v cos ? ?? cos ? , 于是, 2 dt dt dt R?h
d2y d d? v2 ? (v cos ? ) ? ?v sin ? ?? sin ? . 2 dt dt dt R?h
? 在点 A(0, R ? h), ? ? , 2

d x ? 0, 所以, 2 dt

2

d2y v2 ?? , 2 dt h?R

v 2 可见,卫星的离心力应该为 . 即切向速度为0,法向加速度为 ? h?R mv 2 gM mM f ? . 它应与引力 f ? G . 相等,故 v ? 2 h?R h?R (h ? R)
当h=0时,即在地球表面附近时,可得

v1 ? Rg ? 7.9(公里/秒)。

这就是第一宇宙速度。

第二宇宙速度
质点在距地心 r 处,引力势能为
而无穷远处的势能为 0,其势能差为

mM Er ? ?G . r mM mM 0 ? (?G )?G . r r

要使质点脱离地球的引力范围,“逃逸”到引力范围之外,则质点 至少须具有和上面数值相等的动能。这样才能克服引力做功,消耗动 能而使势能增大到0。即

1 2 mM mv ? G , 2 r
当 r = R时,上式变为

解得

2GM v? . r

2GM v2 ? ? 2Rg ? 11.2 (公里/秒)。 R
这就是第二宇宙速度。

第三宇宙速度
若由地球表面处发射人造星体,要求它不仅能脱离地球引力,而且 还能脱离太阳的引力,即逃逸出太阳系。这时所需的最小速度叫做第 三宇宙速度。
因为人造星体同时受太阳和地球的引力,计算起来就很复杂,在此我们只 介绍一种近似的计算方法。 地球半径R≈6.4×103公里,而地球与太阳间的距离R0≈1.5×108公里。 可以这样设想:由地面发射人造星体,当它到达离地心为100R处时,其势能 的数值就只有地面处势能的百分之一了。因而可以忽略不计。 于是,人造星体由地面发射之后直到脱离太阳引力的整个过程可以近似地 分为两步来处理: 第一步从地面把人造星体射出地球引力圈,并使它还剩有一定的功能。在 这一过程中,太阳引力做功忽略; 第二步是人造星体由脱离地球引力圈的位置出发,继续运动,逃逸太阳 系。在第二步的过程中,地球引力做功忽略。
具体过程如下。

? 不妨先第二步开始时,来研究质点相对于太阳的逃逸速度 v 2 ,则 2GM ? v2 ? ? 42 (公里/秒)。 R0
? 还应该考虑到地球相对于太阳的公转速度 v1 ,与上同理,应有 GMc ? v1 ? ? 30(公里/秒)。 r0
为了充分利用地球公转的速度,应使人造星体在第二步开始时的速度是沿 公转方向的。这样,在第二步开始时,所需的相对于地球的速度为

? ? v ? v2 ? v1 ? 12 (公里/秒)。
所以,第二步开始时所需相对于地球的动能为

Ek 2 ?

1 1 ? ? m(v2 ? v1 ) 2 ? m ? 12 2. 2 2
具体过程如下。

现在回到问题的开始。质点首先必须具有高于第二宇宙的速度 v1 。
相应所需的转化动能为

1 1 2 E k1 ? mv1 ? m ? 11.2 2. 2 2

所以,要使在地面发射的人造星体即能脱离地球引力范围,又能脱离太阳引 力范围,所需的动能为

1 1 2 ? ? 2 1 2 E3 ? mv3 ? Ek 2 ? Ek1 ? m(v2 ? v1 ) ? mv1 . 2 2 2
由此可知第三宇宙速度

v3

应该满足

解得
' 2

1 2 1 ? ? mv3 ? E3 ? m[(v2 ? v1 ) 2 ? v12 ]. 2 2
' 2 1 2

v3 ? (v ? v ) ? v1 ? 12 2 ? 11 .2 2 = 16.4(公里/秒)。
此为第三宇宙速度。

太阳系天体运行示意图

太 阳

月亮

地 球

[返回]

2.4

规划模型

19世纪初,法国数学家约瑟夫?傅里叶(1768—1830)开始了对 线性规划问题的初步研究。 1939年,前苏联数学家康托洛维奇写出了《生产组织与计划中的 数学方法》一书,对于“8种型号机床完成5种类型产品加工”这一 类具体问题,他经过深入研究,系统地给出了解决方案。 1938年,他编撰出版《生产组织与计划中的数学方法》一书,这 也是最早的线性规划方面著作。 随着计算机科学的飞速发展,程序化的计算已经不再成为负担,线 性规划的理论逐步完善,对非线性相关问题的研究也自然地开始,统 筹学逐步成熟起来。本章主要涉及的是线性规划和非线性规划的基础 性问题。

在研究一些实际问题时,事先一般并不知道变量之间的函数关系。 人们往往是通过理性的分析或者感性的主观判断来初步判定。 很多情况下,认为因变量 y和自变量

x之间的函数关系是成比例的。

例如,温度越高,化学反应速度越快;人口越多,罪犯越多; 身高与体重的关系等等。

虎克定律:

f ? kx

身高与标准体重的关系

h ? w ? 100
线性函数关系一般表示为

y ? ax ? b

2.4.1 线性规划模型

例1 某家俱厂现有440米标准截面的木板,65平方米 的皮布,计划投入320个工时,制作甲、乙两种椅子.其 中每把椅子的用料、工时消耗及单价见下表.为使产值最 高,应生产甲、乙两种椅子各多少把 ?

椅种





木板 (m)

甲 乙

2 4

皮布 单价 工时 2 (m ) (元) 0.5 2 80 0.25 2.5 120

解 设
目标函数为

x1 , x 2 分别为甲、乙两种椅子个数,
f ? f ( x1 , x2 ) ? 80 x1 ? 120 x2

约束条件为

?2 x1 ? 2 x 2 ? 440 ?0.5 x ? 0.25 x ? 65 ? 1 2 ? ?2 x1 ? 2.5 x 2 ? 320 ? x1 ? 0, x 2 ? 0 ?



x1 , x 2 ,使

f

最大

(max f ) .

例2 设某种农作物每亩需要氮32kg、磷24kg、钾 42kg.现有甲、乙、丙、丁四种综合肥料的成分含量 百分比及每千克的价格列成下表. 含 量 成 分



甲 0.03 0.05 0.14 0.4

乙 0.3 0 0 1.5

丙 0 0.2 0 1.0

丁 0.15 0.1 0.07 0.9

氮 磷 钾 单 价

解 设甲、乙、丙、丁四种肥料分别为 x1 , x 2 , x3 , x 4 (kg),则成本目标函数为

f ? 0.4 x1 ? 1.5 x2 ? x3 ? 1.3x4
约束条件为

?0.03 x1 ? 0.3x 2 ? 0.15 x 4 ? 32 ?0.05 x ? 0.2 x ? 0.1x ? 24 ? 1 2 4 ? ?0.14 x1 ? 0.07 x 2 ? 42 ? xi ? 0, i ? 1,2,3,4 ?

通过对以上两个实例的研究,对于线性规划模型的构 建已经有了初步的了解。一般来说,建立解析形式的数 学模型(线性模型或者非线性模型)的大体应该采取以 下步骤: (1)适当设置变量;

(2)根据实际问题,用不等式(或等式)表示约束条 件; (3)根据问题追求的目标,写出目标函数(其定义域 由约束条件确定);
(4)根据问题追求,明确所寻求的是目标函数的最大 值或最小值。
根据实际应用问题建立起相应的线性规划模型,这并不是研究问题的 最终目的。以下将研究模型最优解的基本特征和具体的求解方法。 [返回]

2.4.2 单纯形法
单纯形法研究的是线性规划模型的求解问题

根据微积分的知识就可以知道,线性函数的偏导数连续 且不全为零,所以函数的最大值和最小值一定在区域的边 界取得. 如果区域的边界是折线,而在每一条线段上的最大值 和最小值总是在线段的端点处取得.因此,如果线性函数 定义在多边形区域上,则函数的最大值和最小值一定在区 域边界的某顶点取得. 图解法就是依据这一基本原理来寻求线性模型最优解的 方法.

y

对于闭区间 [a, b] 上的一次函数

y ? Ax ? B
M

N

y ? f ( x) ? Ax ? B,
其图像是在平面直角坐标系Oxy 内的一条直线段。 显然,不论系数 A 和 B 取何值,
函数的最大值和最小值一定在线段

O

a

b

x

的端点处取得。

二元函数

f ( x, y) ? ax ? by 的图像是空间直
角坐标系内的平面,只要 函数定义域是 Oxy 平 面内的有界闭区域,函 数最大值和最小值一定 在区域的边界取得。

z
d
O

c

x

y

特别地,如果定义域 是 Oxy 平面内的多边 形闭区域,则函数最大 值和最小值一定在区域 边界某个顶点处取得。

对于三元及其以上的一次函数,也有与此类似的结论成立。

为了更加清晰地理解一次函数的上述特征,这里通过 实例介绍等值线的概念。

例3 设线性规划模型的目标函数为

f ? c1 x ? c2 y c1 ? 0, c2 ? 0
约束条件为

求解这个模型.

?a11 x ? a12 y ? b1 ?a x ? a y ? b ? 21 22 2 ? ?a31 x ? a32 ? b3 ? x ? 0, y ? 0 ?

解 如果令
可知直线

f ? c1 x ? c2 y ? c

(常数),

c1 c LC: y ? ? x ? c2 c2

上的点对应的目标函数值均为同一值 ,称为目标函数 的等值线. 显然,目标函数的等值线都是相互平行的. 使目标函数取得最大值(最小值)的点必是在 LC 的某一侧最远点.

y
LC

O

x

例4 求解二元线性模型 (max) f ? 2 x1 ? 3x 2 s.t
?5 x1 ? x 2 ? 5 ?x ? 5x ? 5 ? 1 2 ? ? x1 ? x 2 ? 4 ? x1 ? 0, x 2 ? 0 ?

`

x2
5 x1 ? 5 x2 ? 5 4 3 x1 ? x2 ? 4 2 5 x1 ? x2 ? 5 1
O 1 2 3 4 5

解 将s.t所确定的三角形 区域记为D. 2 x1 ? 3x2 ? 6 是一条等值线.

x1

1 15 4 4 , ) 与B( , ). D上距这条等值线的两侧最远的点分别为A ( 4 4 5 5
比较函数可知A为最小值点、B为最大值点;最小值为4、最大值


47 4

线性规划的一般性问题叙述为:

目标函数
2 2 2 2 f ( x, y,....u) = x ? y ? z ? ... ? u ? 1


约束条件

x ? y ? z ? ... ? u ? 1
2 2 2 2
.

如果模型的目标函数和约束表达式关于变量都是一次 的,就称为线性数学模型.关于线性数学模型的研究也称 为线性规划.

例4 求解二元线性模型

(max) z ? 80 x1 ? 45 x2
? 20 x1 ? 5 x2 ? x3 ? 400 ? st. ?15 x1 ? 10 x2 ? x4 ? 450 ? x ,x ,x ,x ?0 1 2 3 4 ? ? x1 ? ? ? ? 20 5 1 0 400 ? ? x2 ? ? 0 ? ? ?? ? ? ? ? 15 10 0 1 450 ? ? x3 ? ? ? 0 ? ? 80 45 0 0 0 ? x ? z? ? ?? 4 ? ? ? ? ?1? ? ?

x1 20

x2 5

x3 1 0 0

x4 0 1 0

1

z

?400 0 ?450 0 0 1

15 10 80 45

? 20 5 1 0 ?400 ? ? ? 15 10 0 1 ?450 ? ? ? 80 45 0 0 0 ? ? ? x1 x2 x3 x4 1

?z

? 20 5 1 0 ?400 ? ? ? 15 10 0 1 ?450 ? ? ? 80 45 0 0 ?----目标行 0 ? ?
新 入 选 基 变 量 列 (80>45) 基 变 量 列 基 变 量 列
450 400 ? 30 比较 ? 20 和 15 20

选定商较小的第一行, 将第一行除以20后对矩 阵作行变换,完成新的 基变量列。

1 ? ?1 4 ? ? 0 25 ? 4 ? ? 0 25 ? ?基 新
变 量 列

入 选 基 变 量 列 (25>0)

1 ? 0 ?20 ? 20 ? 3 ? 1 ?150 ? ? 4 ? ----目标行 ?4 0 1600 ? ? ?
基 变 量 列
25 1 150 ? ? 24 比较 20 ? ? 80 和 4 4

选定商较小的第二行, 将第二行除以25/4 后对 矩阵作行变换,完成新 的基变量列。

2 1 ? ? ? 1 0 25 ? 25 ?14 ? ? ? 4 ?0 1 ? 3 ?24 ? ? ? 25 25 ? ? 0 0 ?1 ?4 2200 ? ? ? ? ? ?

?z
x1 ? 14, x2 ? 24

x1

x2

x3

x4 1

z ? 0 ? x1 ? 0 ? x2 ? 1? x3 ? 4 ? x4 ? 2200
显然,当 x3 ? 0, x4 ? 0 时,即 时,目标函数取最大值 z ? 2200.

例5 某家具厂生产桌椅,用于生产的全部劳动力共计450个 工时,原料是400各单位的木材.每张桌子用15个工时,使用20 各单位的木材,售价80元.每把椅子用10个工时,使用5各单位 的木材,售价45元.问应如何安排生产才能达到最大收益. 解 设生产桌、椅数分别为 x1、x2 ,则收益

(max) z ? 80 x1 ? 45 x2

? 20 x1 ? 5 x2 ? 400 ? st. ?15 x1 ? 10 x2 ? 450 ? x ? 0, x ? 0 2 ? 1

引入松驰变量 x3 ? 0, x4 ? 0 将原模型改写为

(max) z ? 80 x1 ? 45 x2
? 20 x1 ? 5 x2 ? x3 ? 400 ? st. ?15 x1 ? 10 x2 ? x4 ? 450 ? x ,x ,x ,x ?0 1 2 3 4 ?
得到例4中的模型。

2.4.3 灵敏度分析

如果线性规划模型中变量的系数发生微小改 变,所求得的模型最优解是否还可靠?应有什 么改变? 这就是模型的所谓“灵敏度”问题.

例6 某厂生产甲、乙、丙三种产品,单件消耗原料A、 B、C 及利润见下表.问: (1)应如何安排生产,使工厂获利最大? (2)分析当单位产品利润变动时对最优方案的影响; (3)分析原料现有量改变时对最优方案的影响.

甲 A B C 利润(元) 4 8 3 120

乙 3 4 2 75

丙 现有量 3 3 1 58 55 87 34

设生产甲、乙、丙三种产品的数量分别为

x1 , x 2 , x3 ,利润目标函数

max f ? 120 x1 ? 75 x2 ? 58 x3
s.t

?4 x1 ? 3x 2 ? 3x3 ? 55 ?8 x ? 4 x ? 3x ? 87 ? 1 2 3 ? ?3x1 ? 2 x 2 ? x3 ? 34 ? xi ? 0(i ? 1,2,3) ?

引入松弛变量 x 4 , x5 , x6 ,得标准型

max f ? 120 x1 ? 75 x2 ? 58 x3
s.t

?4 x1 ? 3x 2 ? 3x3 ? x 4 ? 55 ?8 x ? 4 x ? 3x ? x ? 87 ? 1 2 3 5 ? ? 3x1 ? 2 x 2 ? x3 ? x6 ? 34 ? xi ? 0(i ? 1,2, ?,6) ?

以下利用单纯形法求解线性规划模型。作出单纯形系数矩阵并依 次变更基变量,具体过程如下。 1 .5 1 ? 0.5 0 11 .5 ? ?0 1 3 3 1 0 0 55 ? ? 4 ? 8* 4 3 0 1 0 87 ? ? ?1 0.5 0.375 0 0.125 0 10 .875 ? ? ? ? ? * ?0 0.5 ? 0.125 0 ? 0.375 1 1.375 ? ? 3 2 1 0 0 1 34 ? ? ? ? ? f ?0 15 13 0 ? 15 0 ? 1305 ? f ?120 75 58 0 0 0 0 ?
?0 ? ?1 ?0 ? f ?0 ? ? ? 0 0.5 0 0.5 ?1 9.5 ? 1 ? 0.25 0 ? 0.75 2 2.75 ? ? 0 16.75 0 ? 3.75 ? 30 ? 1346 .25? ? 0 1.75 * 1 0.25 ?2 8.75
? 0 0 ? 0.2857 0.4286 ? 0.4286 7 ? ? 1 0 0.1429 ? 0.7143 ? 1.7143 4 ? ? 0 0 ? 9.5710 ? 6.1436 ? 10 .8523 ? 1430 ? 0 1 0.5714 0.1429 5 ? 1.1429

?

?0 ? ?1 ? ?0 ? f ?0

检验数均为负,停止迭代。最优生产方案为

x x x1 ? 7 ,x2 ? 4 , 3 ? 5 , 4

? x5 ? x6 ? 0(松弛变量,舍去),


max f ? 1430

(2)计算当单位产品甲利润变动时,最优方案的灵敏度。 如果产品甲的单位利润由120元变成120+θ元,进行与上相同的迭 代,可得
?0 ?1 ? ?0 ? f ?0 0 1 0 0 1 0 0.5714 ? 0.2857 0.1429 0.1429 0.4286 ? 0.7143 ? 6.1436 ? 0.43? ? 1.1429 ? 0.4286 ? 1.7143 ? 10 .8523 ? 0.43? ? ? 7 ? ? 4 ? ? 1430 ? 7? ? 5

0 0 ? 9.571 ? 0.29?

为使检验数为负值,应有

?? 9.571 ? 0.29? ? 0 ? ?? 6.1436 ? 0.43? ? 0 ?? 10 .8523 ? 0.43? ? 0 ?

解得

? 14.33 ? ? ? 25.32

,或 105.67

? 120 ? ? ? 145.32

这说明,当甲产品的利润在105.67元至145.32元时,仍按原方案生产; (3)计算最优解对原料现有量的灵敏度。 ,则单纯形矩阵为 设原料A现有量为 55 ? ?b1
3 3 ? 4 ? 8* 4 3 ? ? 3 2 1 ? f ?120 75 58 1 0 0 55 ? ?b1 ? 0 1 0 87 ? ? 0 0 1 34 ? ? 0 0 0 0 ?

?

?0 ?1 ? ?0 ? f ?0

? 0 0 ? 0.2857 0.4286 ? 0.4286 7 ? 0.2857 ?b1 ? ? 1 0 0.1429 ? 0.7143 ? 1.7143 4 ? 0.1429 ?b1 ? ? 0 0 ? 9.5710 ? 6.1436 ? 10.8523 ? 1430 ? 9.5714 ?b1 ? 0 1 0.5714 0.1429

? 1.1429

5 ? 0.5714 ?b1

?5 ? 0.5714 ?b1 ? 0 为使产量非负,应有 ? ?7 ? 0.2857 ?b1 ? 0 ?4 ? 0.1429 ?b ? 0 1 ?
解得

? 8.75 ? ?b1 ? 24.50



此时,模型的最优解为

? x1 ? 7 ? 0.2857 ?b1 ? ? x 2 ? 4 ? 0.1429 ?b1 ? x ? 5 ? 0.5714 ?b 1 ? 3

可见,原料A现有量为 55 ? ?b1 时,目标函数最优解为

max f ? 1430 ? 9.5714 ?b1

2.4.4 非线性规划模型初步
上面所介绍的线性规划模型,其目标函数和约束条件都是线性的。 如果目标函数表达式不是一次函数或者约束条件表达式不全是一 次不等式,就称规划模型为非线性规划问题或非线性规划模型。 由于线性模型所涉及的只是一次函数和一次不等式,因而求解模 型比较容易。但是,如果想要如同线性模型一样去研究一般性的非 线性规划模型,目前还是难于实现的。这里只能就某些相对简单的 类型进行讨论。 实际上,高等数学中的多元函数条件极值或非条件极值问题大都属于 非线性规划的问题。求解这一类问题时,可以先利用偏导数求出驻点, 再对目标函数在驻点附近取值的情况作出判断。 以下不准备重新叙述这些知识和方法, 只是打算在此基础上略作实践 性的扩展和补充。

例1 某工厂生产甲、乙两种产品,甲种每公斤可获利1 千元,乙种每公斤可获利6千元;生产甲种每公斤需2小 时,生产乙种每公斤需小时(为生产乙产品的公斤 数).已知原料充分、每周可用总工时最多为75小时, 试确定盈利最大的周生产计划.
解 设 x1 , x 2 分别为甲、乙两种产品的计划产量,f ( x1 , x 2 ) 为 每周总赢利,应有

?max f ( x1 , x 2 ) ? x1 ? 6 x 2 ? ?2 x1 ? (10 ? x 2 ) x 2 ? 75 ? x ? 0, x ? 0 2 ? 1
这是一个线性函数附带非线性约束的规划问题。

例2 某产品由A、B两种原料加工而成(其它原料的成本 可以忽略不计).原料A的价格为每吨1万元,原料B的价格 为每吨5千元,该产品的产量可以表示为
2 f ( x1 , x2 ) ? 3.6 x1 ? 0.4 x12 ? 1.6 x2 ? 0.2 x2

其中 x1 , x 2 分别为A、B两种原料的使用数量(吨).现 有可用资金5万元,试确定 x1 , x 2 的值,以使产量最大.
解 根据题意,问题可以归结为如下模型问题
2 ?max f ( x1 , x2 ) ? 3.6 x1 ? 0.4 x12 ? 1.6 x2 ? 0.2 x2 ? ? x1 ? 0.5 x2 ? 5 ? x ? 0, x ? 0 2 ? 1

这里,目标函数和约束条件为非线性.因此,这是一个非线性 规划模型.

从以上两例不难想到,类似的非线性规划模型可以一般地表示为:

其中

X ? ( x1 , x2 ,..., xn ), m ? 0, p ? 0.

?max f ( X )[min f ( X )] ? g ( X ) ? 0(i ? 1,2,..., m) ? i ?h ( X ) ? 0( j ? 1,2,..., p) ? j ?X ? Rn ?

应该注意,当区域的边界是曲线的时候,线性函数极值点不一定是 边界顶点,只能肯定极值点是边界上外凸点。 假若目标函数也不再是线性函数的话,其最大值和最小值就未必会 在边界处取得,上面的解决方案不再可行,可以借鉴于将要介绍的 梯度搜索法。

假定二元函数 f ( x, y ) 不是线性 函数,它的图像是空间直角坐标系中 的一张曲面(如图)。
用平面

z

z ? f ( x, y)

z ?C

z ? C 去截曲面 f ( x, y )
c?

可以得到空间的一条封闭的 曲线 c 。

:? c

? ?z ? C

f ( x, y ) ? C
x

O
P0 ( x0 , y0 )

y
c

c? 。 曲线 c 和 c ?的形状完全相同。称曲线c 和 c ? 为函数 z ? f ( x, y )
设封闭的曲线 的等值线。

c 在坐标平面 Oxy上的投影为封闭的曲线为

x2
从例1的模型,配方得

先来尝试二元非线性模型的求解.

?max f ( x1 , x 2 ) ? x1 ? 6 x 2 ? 2 x1 ? ( x 2 ? 5) 2 ? 100 ? ? x ? 0, x ? 0 2 ? 1
根据约束条件,可 行解域如下图. 等值线

x1 ? 6 x2 ? 38
2 x1 ? ( x2 ? 5) 2 ? 100

(32,1)

o

x1

x1 ? 6 x2 ? 38

与可行解域边界相切于(32,1)点.于是

X*=(32,1)便是最优点,最大利润为38(千元).

例2的模型可以改写成

?max f ( x1 , x2 ) ? 11.3 ? 0.4( x1 ? 4.5) 2 ? 0.2( x2 ? 4) 2 ? ? x1 ? 0.5 x2 ? 5 ? x ? 0, x ? 0 2 ? 1
如果令目标函数等于某常数 t,对应 Ox1 x2 平面内的一个椭圆 对于不同的t值,对应一族同心的椭圆.假若某椭圆刚好与可行解 域的边界相切,则切点便可能是最优解. 在这里,可行解的边界为直线

x1 ? 0.5 x2 ? 5 。为求此边界为

直线与等值线的公共点,联立得方程组

?11 .3 ? 0.4( x1 ? 4.5) 2 ? 0.2( x 2 ? 4) 2 ? ? x1 ? 0.5 x 2 ? 5 2 0.3x2 ? 1.8 x2 ? (t ? 8) ? 0 后式代入前式,整理得

f
f ? 11.3 ? 0.4( x1 ? 4.5) 2 ? 0.2( x2 ? 4) 2
于是

1.8 ? 1.8 2 ? 4 ? 0.3(t ? 8) x2 ? 2 ? 0.3
为求切点,令判别式为0,解得 即切点为(3.5,3),于是

O

x2

x1

x1 ? 0.5 x2 ? 5

t ? 10.7, x2 ? 3, x1 ? 3.5
max f ( x1 , x2 ) ? f (3.5,3) ? 10.7

现在来介绍求解规划模型的“梯度搜索法”。设非线性目标函数为

z ? f ( x, y) ,如果令 z ? C,得等值线 f ( x, y) ? C
一般来说,等值线应该是

Oxy 上的一条封闭曲线,其实也是曲线

在平面

Oxy 上的投影。

? z ? f ( x, y ) c:? ?z ? C
位于 f ( x, y) ? C1

如果另取一常数 C1 ? ,则等值线 C 的内部而且也是一条封闭的曲线。

随着平面 z ? C 的升高,等值线逐渐收缩于其内部的一点 P ( x0 , y0 )。 0 点 P ( x0 , y0 ) 就是我们希望找到的最大值点,它对应的函数值 f ( x , y ) 0 0 0 就是函数的最大值。 接下来的问题是,如何去寻找到等值线所缩小成的极值点。

根据多元函数微分学的知识,梯 度的方向是函数值变化最快的方 向,也恰好是函数等值线的法方 向。
函数

梯度搜索法俗称“瞎子爬山法”

y
P ( x1 , y1 ) 1

f ( x, y ) 的梯度向量为

? ?f ?f ? ?f ? ? , ? ? f x?( x, y )i ? f y?( x, y ) j ? ?x ?y ?
梯度方向向量(单位向量)为
O

P2 P3

x

? ? n1 ? ?n1x , n1 y ? ? ? ? ?

? f x?( x1 , y1 ) ? , ? 2 2 2 2 ? f x?( x1 , y1 )? ? ? f y?( x1 , y1 ) ? ? f x?( x1 , y1 ) ? ? ? f y?( x1 , y1 ) ? ? ? ? ? ? ? f y?( x1 , y1 )

按照图示方式沿梯度方向小步伐搜索,同时比较函数值的大小,直至

f ( xn , yn ) ? f ( xn ?1 , yn ?1 )

时为止 。

[返回]

2.5 经济数学模型
2.5.1 经济函数
一般来说,广泛地进行市场调查并且采集足够的统计数据,是确 定各种经济变量之间函数关系的基本条件。在获取基础数据之后, 还要对信息和数据进行加工处理,设定函数关系的初步模型,利用 已有的数据确定模型的未定因素,最后得到符合现实规律的函数关 系表达式。

一. 需求函数
在商品市场中,影响需求的因素包括:消费者的购买欲望、支付 能力和商品的质量、样式、价格等等.在特定的情形下,其中一些 因素可以认为是次要的,予以忽略,而把所有的各主要因素加以量 化(变量),就产生了需求函数(关系). 社会对于各种商品或服务的需求是客观的和具体的。但是产品价 格无疑会左右人们的消费欲望,从而影响实际的消费需求。价格下 降会使需求量增大,而价格升高必然地导致需求量减少。

显然,商品的价格( 产生着重要影响,设

p 元)对需求(需求量为 Q

个单位)

Q ? f ( p).
可以断言,需求

Q

一定是价格

p

的减函数。

关于需求量

Q 与销售价格 p

之间的函数关系,可以做以下

三种不同的模型假设。

(1) 线性函数

Q

Q ? a ? bp
(a ? 0, b ? 0)
a 为饱和需求量, a 其中
b
(2) 反比例函数
为上限价格;

a

Q ? a ? bp

o
Q
Q?

a b
a ?b p?c

p

a Q? ?b p?c
(a ? 0, b ? 0, c ? 0)

o

p

(3) 指数函数

Q
? bp
a

Q ? ae

(a ? 0, b ? 0)

Q ? ae?bp
p

以上三种类型的需求函数,是依据不同的供需构造的.

其实,需求函数的表达式还可以有其它表述,也可能是二元 或二元以上的多元函数. 关于多元函数的情形,在以后的讨论过 程中可以自明.



Q

二. 恩格尔(Engel)函数
如果只有消费者的收入(

x

a
Q? a ( x ? c) x?b

元)对需求量产生这主要影响,则 则需求函数为


Q ? f (x)
a ( x ? c) Q? x?b
Q? ? a(b ? c) ?0 2 (x ? b)
时,

o
(a, b, c ? 0)
Q(x) 严格递增函数.

x

(1)有理函数

x ? ??


Q(x) ? a

Q
(2)指数函数

Q ? Ae

?

b x

a

Q ? ae

?

b x

( A ? 0, b ? 0)
ab ? Q? ? 2 e x
b x

o
b x

x

?0

ab ? Q ?? ? 3 e x

?b a ? 曲线存在拐点 ? , 2 ? . ?2 e ? 当 x ? 0 时,Q ? 0 ;当

?b ? ? 2? ? ?x ?

x ? ?? 时,

Q ? a.

单调增函数,正常商品.



三. 供给函数 如果供给量(Q 个单位)只与价格( p 元)有关.
(1)线性供给函数

Q ? ?d ? cp (c ? 0, d ? 0)
d 价格 p ? 为供给的下限价格,低于这仪价格, 经营者便无利可图了; c
(2)有理函数

ap ? b Q? cp ? d

(a, b, c, d ? 0)

四. 收益函数
设某商品的价格为 由于

p ,需求量为 Q ,则销售总收益为 R ? pQ
,所以有
?1

Q ? f ( p)

R ? pf ( p) ? Qf


(Q)
,于是

例如,Q

? a ? bp ,则
R ? pQ ?

a?Q p? b 2 1
b

(aQ ? Q )

a 当Q ? 2

时总收益最大,

Rmax

a2 ? 4b



五. 建立模型举例
一般来说,经济变量之间的函数关系是由经验或用统计方法获 得的.线性回归的研究,就是用统计方法获得函数表达式最简明 的例子. 和 的观测数据: 设已获得关于变量

( xi , yi )(i ? 1,2,..., n)
若对应的散点图大体位于同一直线上,可用以下系列公式确定 回归方程

x y

? ? y ? a ? bx

其中

? ? L xy b L xx

? ? a ? y ? bx

这里

1 n 1 n x ? ? xi , y ? ? y i , n i ?1 n i ?1

Lxx ? ? ( xi ? x ) 2 ? ? xi2 ? nx 2
i ?1 i ?1

n

n

Lxy ? ? ( xi ? x )( yi ? y ) ? ? xi yi ? nx y
i ?1 i ?1

n

n

Lxy ? ? ( y i ? y ) ? ? y ? ny
2 i ?1 i ?1 2 i


n

n

2

相关系数

??

L xy L xx L yy

例1 某商品的价格 p (元)的变动,影响着销售量 现有如下统计数据:

Q

(kg) ,

p
Q

20 60

23 53

27 47.5

30 40

31 38.4

35 28.6

… …

60

40 20



Q



p

之间是否存在线性

a b

10

20

30

40

关系?如果存在,试求出经验函数表

达式.

解 以 ( pi , Qi )(i ? 1,2,3,4,5,6) 为坐标描出散点图,发现大体呈
直线分布.故作回归分析.

1 ? p ? ? pi ? 27.6 6 i ?1

6

1 6 ? Q ? ? Qi ? 44.583 6 i ?1

?p
i ?1

6

2 i

? 4744

Qi2 ? 12557 .77 ?
i ?1

6

?pQ
i ?1 i

6

i

? 7092 .9

? L pp ? ? pi2 ? 6 p 2 ? 151 .3
i ?1

6

L pQ ? ? pi Qi ? 6 pQ ? ?307 .9
i ?1

6

LQQ ? ? Qi2 ?6Q ? 631 .9
i ?1

n

? 307 .9 ? ? ?2.03 L pp 151 .3 ? ? a ? Q ? bp ? 44.6 ? (?2.03) ? 27.7 ? 100 .9 ? b? L pQ
经验函数为

? Q ? 100 .9 ? 2.03 p ? 101 ? 2 p
相关系数绝对值

r ?

L pQ L pp LQQ

?

? 307 .9 151 .3 ? 631 .9

? 0.996

在检验水平α=0.01 查得临界值为 说明线性关系极显著.

0.917 ? 0.996, ?| r |

2.5.2 边际经济量与弹性
经济函数和相应的边际经济量是把握市场变化的重要依据,经济 变量的弹性指的是变量的相对变化律。经济数学中经常涉及边际经 济量和弹性相关的问题。

一. 边际经济量
如果经济函数 y ? f (x) 在 x 处可导,则称导数 f ?(x) 为函数 f (x)的边际函数。相应地, f ?( x0 ) 称边际函数值。

(1) 边际成本

边际成本是指生产成本 C ? C (q) 对产量 q 的变化率,即

dC(q) dq 根据微分学的知识, ?C (q) ? C ?(q)?q ? o(?q) ? C ?(q)?q C ?(q) ?
当 ?q ? 1 (单位)时,?C (q) ? C ?(q) 。

例1 已知总成本函数 C (q) ?

(1)试求出 q ? 5, q ? 20时的边际成本,并解释他们的经济意义;
(2)求出 q ? 5, ?q ? 1 时的 ?C 并与 C ?(5) 相比较。

1 2 q ? 6q ? 5 10

1 ?(q) ? q ? 6 , C ?(=7 , 5) 解 (1)边际成本函数是 C 5
这说明在产量 成本;在产量 成本。

. C ?(20) ? 10

q ? 5 时,如果再增加1个单位的产量,增会增加7个单位的总
q ? 10 时,如果再增加1个单位的产量,增会增加10个单位的总

?q ? ?1 ?C ? C (q ? ?q) ? C (q) ? ? q ? 6 ? (2)总成本增量 ??q 10 ? ?5
1 1 1 ? ?5? 6 ? ? 7.1 10 5 10

? 当 q ? 5, ?q ? 1 时 , C ? C ?(5) ?
这说明,当增量?q

? 1 时,可以用成本的增量来代替导数。

(2) 边际收益
q 设某产品的销售量为 ,价格函数为

p ? p(q) ,则总收益

R ? qp(q)
R(q) ? p(q) . 平均收益为 R ? q
可见,平均收益函数就是价格函数。总收益对产量 q 的变化率为

R?(q) ? p(q) ? qp?(q)
称为当销售量为 q 时的边际收益。

在经济学中,边际收益的含义就是销售一个单位产品所增加的收益。

1 例2 设销售商品销售量 q ? 10 ? p ,其中 p是商品价格。 2 也可以把价格 p 表示为销售量的函数

p(q) ? 20 ? 2q
于是,总收益函数可以表示为

.

R(q) ? q ? p(q) ? 20 q ? 2q 2
边际收益为

R?(q) ? 20 ? 4q
Rmax ? R(5) ? 20 ? 5 ? 2 ? 5 2 ? 50

若令 R?(q) ? 20 ? 4q ? 0 ,解得稳定点 q ? 5 . 可见,当销售量为5个单位时,得到最大收益(为10个单位)。
注意到

R?(3) ? 20 ? 4 ? 3 ? 8 , R?(7) ? 20 ? 4 ? 7 ? ?8 ,这说明当销售量

为3个单位的时候,每增加1个单位销售量,总利润会增大8个货币单位。而当 销售量为7个单位的时候,每增加1个单位销售量,总利润会反倒减少8个货币 单位。

(3) 边际利润
设某产品的销售量为 q 时,利润函数为

L ? L(q) ? R(q) ? C (q)
其导数为

L? ? L?(q) ? R?(q) ? C ?(q)
称为边际利润。当且仅当

R?(q) ? C ?(q)
时,边际利润为正值。

二. 弹性
经济函数弹性的概念与导数有密切的联系。 对于经济函数 y ? f (x) ,设

?y ?x 的绝对增量, 和 分别称为 y x
相对增量之比的极限。即

?x 和?y 分别是变量 x 和 y

x



y

的相对增量。

函数的导数是变量绝对增量之比的极限,而弹性

? yx 则是指变量

? yx ? lim
?x ?0

?y ?y x x y ? lim ? y? ? ?x y ?x ?0 ?x y x

为了加深对弹性概念的理解,这里作以下几点说明。

几点说明:
1)

? yx

dy ? dx

y x

为边际函数与“平均函数”的比;

2)弹性没有量纲,即与经济变量的计量单位无关。因此,不同 经济函数的弹性可以进行比较; 3)弹性? yx

?y y ? ?x x
dy ? dx y x

y

大约等于函数的相对增量与 自变量的相对增量之比; 4)如图所示, ? yx

y ? f (x)

tan? 1 的几何意义为 tan? 2

P0 ( x0 , y0 )

?2

?1

O

x

例4 求下列函数的弹性:

y?c ; (3) y ? ax ? b
(1) 解 (1)? yx (2)

(2) ; (4)

y ? ax ; b y ? ax .

x ? y ? ? 0; y
x x ? y? ? a ?1 y ax

? yx

x x (3) ? yx ? y ? ? a y ax ? b x b ?1 x ?b (4) ? yx ? y ? ? abx b y ax



弹性有以下运算性质(证明从略)。
设函数 y1 ( x) 和 y 2 ( x) 的弹性为 ? y1 x 和 ? y2 x ,那么 、 1)若

y( x) ? y1 ( x) ? y 2 ( x) ,则
? yx ?
y1 ( x)? y1x ? y 2 ( x)? y2 x y1 ( x) ? y 2 ( x)

2)若 y( x) ? y1 ( x) y 2 ( x) ,则

? yx ? ? y + ? y x; x
1
2
1

y1 ( x) 3)若 y ( x) ? ,则 y 2 ( x)

? yx ? ? ─x y

? y。 x
2

下面依次给出常见经济函数的弹性表达式。

(1) 需求函数 Q ? Q( p)对价格

p的弹性

? Qp

p ?Q ? Q ?( p) ? Q( p) Q

?p p
| ? Qp | %;

当某商品价格上涨1%时,需求将减少约 (2) 成本 C ? C (q) 对产量 q 的弹性

? Cq

dC ? dq

C q

(边际成本/平均成本)

成本对产量的弹性是指总成本和平均成本相对于的产量弹性。它显 示着当产量变化时,总成本和平均成本的灵敏度。

2.5.3 经济函数的优化问题
一.一元经济函数的优化问题举例

例1 某商店出售某种商品,进价每件5.50元,第一天按每件6.40元销 售300件,后发现每降低0.10元每天可多售出50件左右。每件售价为 多少与每天进货多少才能获得最大利润?
每天销售量 日利润 令

x 与价格 p 之间有线性关系

x ? 3500 ? 500 p L( p) ? x( p ? 5.50) ? ( p ? 5.50)(3500 ? 500 p)


x ? 300 50 ? ,即 p ? 6.40 0.10

L?( p) ? 6250 ? 1000 p ? 0,解得 p ? 6.250, x ? 375 .

L?? ? ?1000 ? 0

L(6.25) ? 281 .25

(元)。

这说明每件售价为6.25元、每天进货375件才能获得最大利润(281.25元)。

例2 工厂常年向市场供应某种产品,总量

a 分 x 批次生产完成。
c

设每批生产的开机费用为 c 0 元,每件产品库存一年的费用 1元,则 ,

每个个批次生产产品

a x , x ? (0, a]. 开机成本和库存成本之和为 C ( x) ? c0 ? c1 x 2 c ca 2c 0 a ? ? 1 ? 02 ? 0, 解得 x ? 令 C ,现在记 n ? ? x0 ? , c1 2 x
Q
只需比较

a 。全年库存量如图所示。 x

C (n)



C (n ? 1)

的大小,

即可确定生产批次为

a x

n

或为

n ?1



O

t

例3 某公司全年需要外购一种材料共5170吨,需要分批购入用于日 常消耗。每次订购费用为570元,每吨价格600元,保管费用率14.2% 。 求最优订货批量、最优批次、最优订货周期和最低总费用。

设订货批量为 x 吨,则总费用为

5170 x C ( x) ? 570 ? ? (600 ? 14.2%) x 2
令 解得 x0 ? 263 .01(-263.01舍去)。 5170 ? 19.66(次/年)。计算 最优批次为 263 .01

570 ? 5170 C ?( x) ? ? ? 300 ? 0.142 ? 0 2 x

5170 ? 5170 ? C? ? 570 ? 19 ? (600 ? 14.2%) ? 22417 ? 2 ? 19 ? 19 ?

5170 ? 5170 ? C? ? 570 ? 20 ? (600 ? 14.2%) ? 22390 ? 2 ? 20 ? 20 ?

可知,全年应该进货20个批次。

例4(税收坎值问题)税收的方式很多,在此仅就按产品数量收税 的方式作出讨论。设预计纳税总额为 T,税率(单位产品交税)为 r , 产品数量为 x,则

T ? rx



如果税率过低,显然税收总额减少;如果税率过高,势必增加销售价格, 导致销售额下降,从而降低产量,最终减少税收。现在的问题是,税率 取 r 何值时,会导致实际税收总值最高?

设总收益为 R (x) ,纳税前的总成本为 C (x) 。则含税总成本为

C (x) + rx ,纳税后总利润为

L ? R( x) ? C ( x) ? rx
以下先求出

L

的极值点.

x ? x(r ) ,再求 T ? rx(r ) 的极值点.



具体地,设企业生产某产品,总收益和税前总成本分别为

R( x) ? 150 x ? 0.1x 2, C ( x) ? 50 x ? 3 .
则税后利润

L ? R( x) ? C ( x) ? rx ? ?0.1x 2 ? (100 ? r ) x ? 3


100 ? r L? ? ?0.2 x ? (100 ? r ) ? 0 , 解得 x0 (r ) ? 0.2

代入 T

? rx(r )

之中得

100 r ? r 2 T (r ) ? 0.2

100 ? 2r T ?(r ) ? ? 0 ,解得 r0 ? 50 为所求税率, 0.2 也称税收坎值。 由于还有很多其它因素会增加生产成本或影响销售,实际
再令
征收的税率必须低于这个税收坎值。

( 例5 工厂生产某种产品,设单位成本为 q 常数)。由于销售价格

p 将影响销售量 x ? x( p) ,最终将影响总利润 L( p) ? px ? qx ? ( p ? q) ? x( p)
若假定

x ? x( p )

为线性函数 x

? a ? bp

a , ,b

?0 。

(可以般通过线性回归来获得)应有

L( p) ? ( p ? q) ? x( p) ? ( p ? q)(a ? bp) ? ?abp2 ? (a ? bq) p ? aq
为求函数极值,令

L?( p) ? a ? 2bp ? bq ? 0
解得

q a p0 ? ? (为最优价格)。 2 2b

二.多元函数的优化问题

p1 ,p 2 分别是商品 A1 , 2 的价格,需求函数是 A 1 Q Q1 ? 26 ? p1, 2 ? 10 ? p 2 ,生产两种商品的总成本是 4 2 C (Q1 , Q2 ) ? (Q1 ? Q2 ) ,问生产两种商品各多少时,可获得
例6 设
最大利润。

p 需求函数的反函数是价格函数 p1 ? 26 ? Q1 , 2
总收益函数为 总利润

? 40 ? 4Q2



R ? p1Q1 ? p 2 Q2

(Q1 ? Q2 ) 2 L(Q1 , Q2 ) ? R ? C ? ( p1Q1 ? p2 Q2 ) ?
? [( 26 ? Q1 )Q1 ? (40 ? 4Q2 )Q2 ] ? (Q1 ? Q2 ) 2

为求出利润函数的极大值点,令

? ? LQ1 ? 26 ? 2Q1 ? 2(Q1 ? Q2 ) ? 0 ? ? ? LQ2 ? 40 ? 8Q2 ? 2?Q1 ? Q2 ? ? 0
解得

Q1 ? 5, Q2 ? 3 .

不难验证,此解满足极值存在的充分条件。因此,商品 A1 , A2 生产5个单位、商品 生产3个单位时可获得最大利润。相应的利润值为

L(5,3) ? 125 (货币单位)。

例7 某工厂有A、B两车间同时生产同一产品,由于两车间人员、 设备不同,生产成本不同,分别为

1 市场上该产品的需求关系是 Q ? (74 ? p),其中 p 是价格,工厂 6
如何分配生产任务,才能获利最大? 设A、B两车间的生产任务量分别为 总收益为

C1 (Q) ? 3Q 2 ? 2Q ? 6

C 2 (Q) ? 2Q 2 ? 2Q ? 4

Q1 Q2 , ,则工厂总成本是

C ? C1 (Q1 ) ? C2 (Q2 )

R ? P(Q1 ? Q2 ) ? [74 ? 6(Q1 ? Q2 )] ? (Q1 ? Q2 )
L(Q1 , Q2 ) ? R ? C

于是,总利润为

L(Q1 , Q2 ) ? 74(Q1 ? Q2 ) ? 6(Q1 ? Q2 ) 2 ? (3Q1 ? 2Q1 ? 6) ? (2Q2 ? 2Q2 ? 4)
2 2




L/Q1 ? L/Q2 ? 0

,整理得

?3Q1 ? 2Q2 ? 12 ? 0 ? ?3Q1 ? 4Q2 ? 18 ? 0
解得


Q1 ? 2



Q2 ? 3

经验证此解满足极值存在的条件,因此A车间应生产2个单位产品, B车间生产3个单位产品,能使工厂获利最大。其利润值为

L(2,3) ? 170(货币单位)。

2.5.4 其它经济量的计算
一.总经济量 前面研究了根据经济函数通过求导数来计算它的边际函数。但在实 际应用问题中,常常已知的只是某经济函数的边际函数,需要根据边 际函数来计算对应的经济函数。显然,运算过程应该是不定积分或者 是定积分。 例8 (最佳停产时间问题)某工厂投资1000万元建成一条生产线。投产 后在时刻 t 的追加成本和追加收益分别为 R ?(t ) ? 17 ? 3 t 2

(百万元/年), ?(t ) C

? 5 ? 23 t 2(百万元/年)。试确定该生产线在

何时停产可获得最大利润?最大利润是多少? 很明显,由于生产成本的不断递增导致年收益将逐年减少。若干年之 后,年利润甚至于可以为0。这里所说的追加成本应该是总成本关于时 间 的变化率,而追加收益则是指总收益关于时间的变化律。

t

根据

C ?(t ) ? 5 ? 23 t 2
t

和 R ?(t )

? 17 ? 3 t 2
5

,积分,可

6 3 2 3 C (t ) ? ? 5 ? 2 x dx ? 10 ? 5t ? t ? 10 0 5 5 总收益函数 t 3 3 R(t ) ? ? 17 ? 3 x 2 dx ? 17t ? t 0 5 于是,总利润函数为 5 9 3 L(t ) ? R(t ) ? C (t ) ? 12t ? t ? 10 5 令 L ?(t ) ? 12 ? 33 t 2 ? 0 , 解得 t ? 8 . 此时,总历任函数取得最大值


得到总成本函数

?

?

?

?



Lmax ? L(8) ? 28.4(百万元)
8年之后,生产线的年生产费用将大于年收益,即 C (t ) ? R(t )(t ? 8) 总利润由最大值开始逐年下降。因而生产线使用8年就应该停产。

三. 贷款利息问题

企业向银行贷款,到期付息和还本。假设本金为

p,年利率为

r,

贷款期限 x 年,计算利息可以采取单利或复利两种方式。若以单利
计算,

x 年后的本息共 s ? p(1 ? rx);若以复利计算,则 x
? p(1 ? r )
x

年后的本息共 s



r ,x 年之后应归还本利之和为 12 s?
更一般地,如果将一年均分成

如果贷款期仍为 x 年,年利仍为

r ,而按月计算复利,则月利为
r ? ? p ?1 ? ? ? 12 ?
12 x

t 次计算复利,则
r? ? t?
tx

? s ? p ?1 ? ?

对于任意正整数 t ,总会有

? ?1 ? ?
故总有

r? r ? ? 1? t ? ? 1? r t? t tx r? ? x s ? p?1 ? ? ? p ?1 ? r ? t? ?

t

就是说,如果按一年计算多次复利的方式来计算本息之和的话,总要 比一年仅计算一次复利的本息之和要大。而且 越大,本息之和也越大。

t

? ? r? r? ? ? ? lim p?1 ? ? ? lim p ??1 ? ? ? pe rx t ?? t ?? ?? t? t? ? ? ? ? rx 这表明,在 x 年内,无限次细分计算复利,本息之和为 s ? pe .
其极限为
tx t r

rx

称为连续复利公式。这个公式可以用来计算相对时间较长时的本 息计算。

例10 某企业向银行贷款100万元,年息5%,5年后还本付息。 5年后本息共多少?
(1)若以单利计算,5后的本息共

s ? 100 ? (1 ? 0.05 ? 5) ? 125
(2)若以复利计算,5后的本息共

(万元);

s ? 100 ? (1 ? 0.05) 5 ? 127 .63(万元);
(3)用连续复利公式计算, 5后的本息共
(万元)。 s ? perx ? 100 e 0.05?5 ? 128 .40

例11 银行向某企业投资400万元,年利率为5%,设在10年中企业 的年收入是100万元,求总收入的现值、总收入的贴现值及银行收回 贷款的时间。
这里

A ? 400, r ? 0.05, T ? 10, a ? 100 。10年总收入的现值 a 100 ? rT y ? (1 ? e ) ? (1 ? e ?0.05?10 ) ? 787 (万元); r 0.05

纯收入的贴现值为 投资收回期

R ? y ? A ? 787 ? 400 ? 387(万元);

1 a 1 100 t 0 ? ln ? ln ? 4.46(年)。 r a ? rA 0.05 100 ? 0.05 ? 400
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2.6 生物数学模型
所谓种群是指在特定的时间里占据一定空间的同一 物种有机的集合.最基本的可量化指标就是种群的 个体数.

2.6.1 种群增长的马尔萨斯模型 2.6.2 种群增长的劳基斯模型 2.6.3 捕鱼问题 2.6.4 种群竞争模型

2.6.1 马尔萨斯模型
生物种群的个体数量总是随着时间变化的,可以设 N 当个体数量比较大时, 总是假定函数是连续变化且可导的.

? N (t )



dN 不难理解,种群越大,其绝对增长速度会越大。因此, 应该与 dt
N 成正比, 即

dN ? rN . dt 加上初始条件 N (0) ? N 0 ,构成了常微分方程初值问题

? dN ? ? rN ? dt ? N (0) ? N 0 ?
这就是著名的马尔萨斯生物模型。

如果用

b 表示繁殖率,用

d

表示死亡率,则

r ?b?d

dN ? rN 为求常微分方程的解,只须对 dt rt N (t ) ? N 0 e


dN /N dt

是种群的相对增长率.
积分,可得

r ? b ? d 也称为种群的内禀增长率.其实,对 r
作出估计并不容易,通常用种群的倍增长期来确定,记为

Td .而

Td

是容易观察的.
,而

N (t ) ? N 0 e rt 由于

N (Td ) ? 2 N 0 ,解得

r ? ln 2 / Td

M模型极为简便,但局限性也是明显的.
事实上,

lim N (t ) ? ?
t ??

任何一个种群都会受到环境的制约,不可能无 限增长.
大约在1798年,马尔萨斯把他的模型理论应用于人口增长分析, 得到的结论是世界人口总数将以几何级数无休止地增长。他预言, 战争和瘟疫一定是不可避免,否则有限的地球空间如何装得下无限 壮大的人类?

2.6.2 劳基斯模型
1934年,俄国生态学家 G.F.Gause在实验室中进行 了著名的草履虫试验。

n
375

高斯在装有5毫升营养液的试 300 管内放入5个草履虫进行培养 200 和观察。记录了详细的观察数 100 据,绘制出数量变化的曲线如 图所示。 O 开始时草履虫的个数增 长很快,第4天以后增速 趋缓,第六天达到了最大 数值375,以后保持相对 平稳。

1

2

3

4

5

6

7

8

t

草履虫试验告诉人们,在有限的环 境中,个体数量增加到一定限度的 时候,生存环境和生态资源就会对 种群的发展产生强有力的制约,这 正被马尔萨斯所忽略的。

dN / N ? r 不正确! 显然,假设 dt
劳基斯将马尔萨斯模型修正为

dN N / N ? r (1 ? ) dt K



dN N ? rN (1 ? ) dt K

其中K称为饱和数.此式称为劳基斯模型.

rN也称为“生物潜能”.

现在来求劳基斯模型的解。 对原方程分离变量,可得

积分,得

1? ? 1 ? ?dN ? rdt ? ?K ?N N?
N (K ? N 0 ) ln ? rt N 0 (K ? N )

整理,得

K N (t ) ? 1 ? ce ?rt
K ? N0 c? N0

其中

2.6.3 捕鱼问题
渔场(鱼池)养鱼,一般是要求池中鱼数量稳定的前提下,达到 最大捕获量或最优的经济效益. 设在有捕捞的情况下,t 时刻渔场中的鱼量为 数量为 N m ; 再设没有资源限制下鱼群个体的平均增长率为 渔场饱和 N (t ) ,

r .无捕捞情况下,

N (t ) 变化的L模型 dN N ? rN (1 ? ) dt Nm 如果再考虑到持续捕捞对 N (t )的影响,可以设单位时间内捕捞量
与鱼的总量成正比,其中 k 称为单位时间捕捞率。得到持续捕捞状态 下的数学模型 ? dN N ? ?1 ? ? ? kN ? rN ? dt Nm ? ? ?

求解这个常微分方程有一定的难度,好在我们的主要目的是寻求 N (t ) 的稳定平衡点和稳定状态下的最大捕捞量。 dN ? 0 时, (t ) 达到稳定 N 根据函数取得极值的必要条件,当且仅当 dt 点。此时,

? N ? y ? ? kN ? 0 rN ?1 ? ? Nm ? ? N ? ? ? ? y1 ? rN ?1 ? ? Nm ? ? ? ? k? y 2 ? kN N1 ? N m ?1 ? ? ? r? ? N ? ? y 2 ? kN 设 y1 ? rN ?1 ? N ? O N1 Nm ? , ? ? 在自同一坐标系 ONy中做出这两条曲线如图. 则两条曲线交点对应的 N ? N 1 就是稳定平衡点.
就是说,稳定点一定是图中抛物线和直线的交点。

另一方面,我们追求的是稳定状态下捕捞量 kN 的最大,也就是

y2

的最大。很明显,当图中交点的位置刚好是抛物线顶点时, y 2 ? kN

Nm ? k? 最大。而抛物线顶点对应着 N1 ? 。代入到 N 1 ? N m ?1 ? ? 2 ? r? r 。 解得 k ? 2 通过以上讨论可以知道,当单位时间捕捞率 k 等于平均相对增长率

r 的一半时,稳定捕捞量 kN 最大。相应地,渔场养鱼尾数 N (t ) 将
稳定在

Nm N1 ? . 2
更加细致的研究见下一章第3.5节。

2.6.4 种群竞争模型 在自然界中,一般有多个种群同时生存在同一环境 中.相互之间会产生直接的影响.为简单起见,我们只 讨论两个种群的问题. 两个种群相互的影响可能有三种情形: 第一,牺牲一个种群的某些个体而使另仪种群获得 发展; 第二,两个种群互惠共生; 第三,两个种群相互产生负影响 .



? dN1 ? dt ? f ( N 1 , N 2 ) ? ? ? dN 2 ? g ( N , N ) 1 2 ? dt ?

如果考虑上面的第三种情形,将上面的模型改写为

c2 1 ? dN1 ? dt ? r1 N1 (1 ? N N1 ? N N 2 ) ? 1m 1m ? ? dN 2 ? r N (1 ? c1 N ? 1 N ) 2 2 1 2 ? dt N 2m N 2m ?

借鉴于捕鱼模型的解决办法,我们不去寻求微分方程组的解,而是 直接研究 N 1 和 N 2 稳定点的位置。



? dN1 ? dt ? 0 ? dN ? 2 ?0 ? dt

,应该有

N1 c2 N 2 ? ?0 ?1 ? N ? N ? 1m 2m ? cN N ?1 ? 1 1 ? 2 ? 0 ? N 1m N 2 m ?

在平面

ON 1 N 2 上做出直线
c1 N1 N 2 ? ?1 和 L2 : N1m N 2 m

N1 c2 N 2 L1 : ? ?1 N1m N 2 m

针对两条直线相对位置不同的可能性,作出以下四种情形的讨论。

如果直线 L1 和 L2 在第一象限内没有交点,将出现情形(1)或情形(2)。 (1)在右图中,对介于直线 L1 和 L2 之间的任意点 ( N1 , N 2 ) , 应有
c1 N1 N 2 N1 c2 N 2 ? ?1 ? ?1 N1m N 2 m , N1m N 2 m
N2
N 1m c2

L1
L2

N2m

( N1 , N 2 )

,

代入原方程组

c 1 ? dN1 ? r1 N1 (1 ? N1 ? 2 N 2 ) ? dt N1m N1m ? ? ? dN 2 ? r N (1 ? c1 N ? 1 N ) 2 2 1 2 ? dt N 2m N 2m ?

o

N 2m c1

N1m

N1

dN1 dN ? 0, 2 ? 0 。 可以知道 dt dt

这说明,介于直线 L1和 L2 之间的任意点 ( N1 , N 2 ) 随时间的变化趋势为 N 1 增大、 N 2 减小,直至达到稳定平衡点 ( N ,0) 。
1m

(2)在右图中,对介于直线

L1 和 L2 之间的任意点 ( N1 , N 2 ) ,
应有
cN N N1 c2 N 2 ? ?1 1 1 ? 2 ?1 , N1m N 2 m , N1m N 2 m

N2
N2m
N 1m c2

( N1 , N 2 )

代入原方程组
c 1 ? dN1 ? r1 N1 (1 ? N1 ? 2 N 2 ) ? dt N1m N1m ? ? ? dN 2 ? r N (1 ? c1 N ? 1 N ) 2 2 1 2 ? dt N 2m N 2m ?

L1

L2

o

N1m

N 2m c1

N1

可以知道

L 这说明,介于直线 1 和 L2 之间的任意点 ( N1 , N 2 ) 随时间的变化趋势为 N 1 减小、 N 2 增大,直至达到稳定平衡点 (0, N 2m ) 。

dN1 dN ? 0, 2 ? 0 。 dt dt

除了以上两种情况以外,直线
解得交点坐标为

L1 和

也可能在第一象限内相交, L2
? ?. ? ?

? N 1m ? c 2 N 2 m N 2 m ? c1 N 1m A? , ? 1? c c 1 ? c1c 2 1 2 ?
N2

当直线 L1 和 L2 在第一象限内相交时,会出现如下图所示的另外两种情形。
N2

L1

N2m

I

L2
Ⅱ I

A
Ⅲ Ⅳ

L2
N1m
N1

A
Ⅲ Ⅳ

L1

O

O

N1

在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分区域内,

在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分区域内,

dN1 dN 2 和 的符号分别为负负、负 dt dt
正、正正、正负。点A是不稳定平衡点。

dN1 dN 2 和 的符号分别为负负、正负、 dt dt
正正、负正。点A是稳定平衡点。

综上, 为求得种群的稳定点,我们令

dN1 dN 2 ? ?0 , dt dt A 解得平衡点 A1 (0,0) , 2 ( N 1m ,0) , A3 (0, N 2 m ) 和
N1m ? c 2 N 2 m N 2 m ? c1 N1m . A4 ( , ) 1 ? c1c 2 1 ? c1c 2
一般来说,前三个平衡点说明的是至少一个种群的消失, 最后一个平衡点才是竞争平衡问题的真正平衡位置.
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第3章 赛题选讲
3.1 基金使用计划
3.2 车灯线光源的优化设计模型 3.3 锁具装箱 3.4 节水洗衣机问题 3.5 最优捕鱼策略 3.6 艾滋病疗法评价及疗效预测 3.7 长江竞渡
附:

全国大学生数学建模竞赛章程

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大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的,1989年我国大学 生开始参加美国的竞赛。 1990年底到1992年上半年,上海和西安分别举办了当地的大学生数 学建模竞赛,1992年由中国工业与应用数学学会数学模型专业委员会 组织举办了我国10城市的大学生数学模型联赛,这是第一次全国性的 大学数学建模竞赛。 从1994年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办全 国大学生数学建模竞赛,每年一次,每年竞赛的题目、获奖名单和优 秀论文、命题人或评阅人的评述均编辑正式出版。十几年来,这项竞 赛的规模以平均年增长25%以上的速度发展。 2006 年全国有31个省/市/自治区(包括香港)864所院校、9985个队 (其中甲组7682队、乙组2303队)、近3万名来自各个专业的大学生 参加竞赛。

竞赛题目借助于互联网传递。 三名大学生组成一队,在三天(72小时)时间内可以自由地收集 资料、调查研究,使用计算机和互联网,但不得与队外任何人包括指 导教师讨论。

要求每个队完成一篇包括基本假设、模型的建立和求解过程。计 算方法的设计和计算机结果的分析和检验以及模型的改进余地也要在 论文中有所体现。
竞赛是开放型的,三天中没有或者很少有外部的强制约束,三个 同学共同完成一篇论文,他们要分工合作、取长补短、求同存异,必 然既有相互启、相互学习,也有相互争论,培养了学生们同舟共济的 团队精神。

数学建模竞赛的题目大都是由工程技术、经济管理、社会生活中 的实际问题简化加工而成,没有事先设定的标准答案,留有充分余 地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。

以下是1992年到2006年的全部竞赛题目,其中A题、B题是甲组(本科组) 赛题,C题、D题是乙组(专科组)赛题。 年度 题号 A B A B A B A 1998 B 赛 题 内 容 施肥效果分析 实验数据分解 逢山开路 锁具装箱 最优捕鱼策略 节水洗衣机 投资的收益和风险 灾情巡视路线 自动化车床管理 1997 1995 年度 题号 A B A B A B 赛 题 内 容 非线性交调的频率设计 足球队排名次 一个飞行管理问题 天车与冶炼炉的作业调度 零件的参数设计 截断切割

1992
1994 1996

1993

A
1999 B C D

A
2000 B C D

DNA序列分类

钻井布局
煤矸石堆积 钻井布局

钢管订购和运输
飞越北极 空洞探测

A B 2001 C D A

血的三维重建 公交车调度 基金使用计划 公交车调度 2002

A B C D A

车灯线光源的优化设计 彩票中的数学 车灯线光源的计算 赛程安排

SARS的传播
露天矿生产的车辆安排 SARS的传播 抢渡长江 长江水质的评价和预测 DVD在线租赁 雨量预报方法的评价 DVD在线租赁 2006 2004

奥运会临时超市网点设计
电力市场的输电阻塞管理 饮酒驾车 公务员招聘 出版社的资源配置 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 易拉罐形状和尺寸的最优设计 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制

B
2003 C D A

B
C D A

B
2005 C D

B
C D

竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确和 文字表述的清晰程度为主要标准。 此外,竞赛的试卷原本是有特定格式的。赛前就应该仔细阅读论 文的格式要求。 答卷正文前面的内容提要,应该起到画龙点睛的作用,判卷教师将会 通过阅读内容提要来初步了解论文的基本脉络和闪光点。 全国大学生数学建模竞赛是由国家教育部倡导的全国性大学生 竞赛。竞赛由教育部高等教育司和中国工业应用数学学会共同组 织,每年一届,举办时间一般在9月中下旬。赛事的主题概括为 十六个字:

创新意识, 团队精神,重在参与,公平竞争.
中国工业与应用数学学会: http://www.mcm.edu.cn [返回]

3.1 基金使用计划

(2001年全国大学生数学建模竞赛C题)

某校基金会有一笔数额为M元的基金,打算存入银行或购买国库 券.假设国库券每年至少发行一次,发行时间不定.取款政策参考 银行现行政策.
校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生,要求每年 的奖金额大致相同,且在n年末仍保留原基金数额.校基金会希望 获得最佳的基金使用计划,以提高每年的奖金额. 请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案,并对M=500 万元,n=10年给出具体结果: 1. 只存款不购国库券; 2. 可存款也可购国库券; 3. 学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆,基金会希望这 一年的奖金比其它年度多20%。
当前银行存款及各期国库券的利率见下表.

利率表
银行存款税后年利率 (%) 活期 半年期 一年期 0.792 1.664 1.800 国库券年利率 (%)

二年期
三年期 五年期

1.944
2.160 2.304

2.55
2.89 3.14

3.1.1 问题的分析与基本假设
参照存款年利率数据表可知,定期存款年限越长,存款年利率越大。 因此,在不影响奖金发放的情况下,应尽可能存年限较长的定期存款, 这样才能获得较高的利息。
此外,相同数量的本金开设一个存款帐户及开设多个存款帐户收益相同。

将基金分成十一部份: 第一部分基金存入一年定期,一年后的本息全部用于发放第一年的 奖金; 第二部分基金存入二年定期,二年后的本息全部用于发放第二年的 奖金;

…………

第十部分基金先后存两次五年定期,十年后的本息全部用于发放第 十年的奖金。
(这十年内的每年发放奖金数额应该相同)

第十一部分先后存两次五年期,十年后本息总和为基金总额。
为使讨论更具一般性,以下将“十年”改成 n 年。

为简单起见,先研究只存款不购国库券的情形. 常识告诉我们,应该设法将尽可能大数额的资金作为尽可能长期 的存款.因此,基金到位后,可以将总额分成n+1份, 其中第 i 份基 金记为 x i (1≤ i ≤ n ,存款期限为 i 年。 ) 当然有

?x
i ?1

n ?1

i

? M.

设每年奖学金数额为 p , i 年存款的到期比率为

ai

,则

ai xi ? p(i ? 1,2,?, n).
其中 a i 是可以根据存款利率计算出的比例系数。 通过合理设计每笔资金的存款方案,从而使得比率系数

a i 尽可能

取得较大的数值。这是以下讨论的重点。现在开始分析不同存款期限的利率 综合情况。

存期 一年 两年

存款 方案

平均年利率 最佳存款 (%) 方案

最高年均利率

(1)
(1,1) (2) (1,1,1)

1.800
1.816 1.944 1.833

(1)
(2)

1.800
1.944

三年

(2,1)
(3) (1,1,1,1)

1.919
2.160 1.849 1.982

(3)

2.160

四年

(2,2)

(3,1)

2.099

(3,1)

2.099

(1,1,1,1,1) 五年

1.866

六年 七年

(2,2,1) (3,2) (5) (3,3) (5,1) (5,2) (5,3) (5,3,1) (5,5)

1.974 2.124 2.304 2.230 2.255

(5)

2.304

(5,1) (5,2)

2.255

八年 九年 十年

(5,3) (5,3,1) (5,5)

a i xi ? p
其中

M p . ,或 x i ? (i ? 1,2,?, n). x n ?1 ? ai an
a 2 ? 1 ? 1.944 % ? 2,

a1 ? 1 ? 1.8%,



a4 ? (1 ? 2.16% ? 3)(1 ? 1.8%), a3 ? 1 ? 2.16% ? 3, ?i? ?i ? 5 ?i n,且 i ? 5? ? ? 0 时, ai ? (1 ? 2.304 % ? 5) ?? 5 ?? a ? i ? ≤ i ?? ? ?5? ?5?

当 5 ≤ i≤
n ?1 i ?1

n ,且 i ? 5? i ? ? 0 ? ?
?5?
n

时, ai

? (1 ? 2.304 % ? 5)
? ? ? ?

?i? ?5? ? ?



?

? 1 p M p ? M ?1 ? xi ? M 可知 ? ? ? M ,解得 ? a ai a n n ? i ?1

1 ?a . i ?1 i

n

p M (i ? 1,2,?, n), x n ?1 ? 至此不难算出 x i ? . an ai
关于 n ? 10 年,

M=5000万元时基金
使用的最佳方案,使 用Matlab软件计算, 得到每年奖学金数额
x1

资金数额

最佳存款策略

107.875194
105.707057 103.133872 101.310287 98.472872 96.731702 94.787533 92.480158 90.844949 4108.656375

(1)
(2) (3) (3,1) (5) (5,1) (5,2) (5,3) (5,3,1) (5,5)

x2
x3
x4

p =109.816947(万
元)。每笔存款数额 及最佳存款策略见 右表。 现在,来补充阐 述若干基本原理, 以确保严密性。

x5 x6 x7 x8 x9 x10 ? x11

3.1.2 关于存款收益的优化原理
为了方便于建立相应的数学模型,在此作如下基本假设: (1)每年发放奖学金一次,且均在年末发放; (2)在所考虑的时间之内,银行利息标准不变; (3)银行发行国库券时间不固定。由于近几年国库券销售市场很 好,所以,国库券可在发行当日购买; (4)国库券在没有到期之前,不得进行贴现。 关于存款本息的计算有如下的几个定理。 定理1 一定数额的资金H先存定期 m年再存定期 k 年与先存定期 k 年再存定期 m 年,本息和相等 (m, k ? 1, 2,3, 4,5). 证明 设 Lm , Lk分别为定期 m

k 年的年利率,则对于一定

数额的资金 H 来说, 先存定期 m年再存定期 k 年的本息和为H (1 ? mL )(1 ? kL ); m k 先存定期 k 年再存定期 m年的本息和为 H (1 ? kLk )(1 ? mLm ). 根据乘法交换律

H (1 ? mLm )(1 ? kLk ) = H (1 ? kLk )(1 ? mLm )

推论1 一定数额的资金 H 若把存款年限

n

分成

j 个存期
最佳存 款策略 (1) 最佳年均 利率(%) 1.800

n ? n1 ? n2 ? ? ? n j ,其中 ni ? 0.5,1, 2,3, 4,5 。则 n 年后本息和
税后年 利率(%) 一年期 (1) 1.800 (1,1) 1.816 定理2 使一定数额的资金 两年期 (2) 1.944 存储 年后本息和最大的存款策 三年期 (1,1,1) 1.833 (2,1) 1.919 (3) 2.160 时,存定期1年; 略为:当 (1,1,1,1) 1.849 四年期 (2,2) 1.982 时,存定期2年;当 (3,1) 2.099 当 (1,1,1,1, 1.866 1) 时,存 定期3年;当 (2,2,1) 1.974 五年期 (3,2) 2.124 时,先存定期3年,然后再存定 (5) 2.304 (3,3) 2.230 时,存定期5年; 六年期 期1年;当 (5,1) 2.255 七年期 (5,2) 2.210 当 时,首先存储一个五年 八年期 (5,3) 2.250 九年期 (5,3,1) 2.200

与存期顺序无关。

存款策略

M

(2)
(3) (3,1)

1.944
2.160 2.099

n

n ?1

n?2

n?3

n?4

(5)

2.304

n?5

(5,1)
(5,2) (5,3) (5,3,1) (5,5)

2.255
2.210 2.250 2.200 2.304

n?5

定期,剩余年限存储情况与 n ≤5时相同。

十年期

(5,5)

2.304

定理 3 第 i (1≤ 份基金
并且第

基金 M 使用 n 年的情况,首先把

M 分成 n ? 1 份,其中

i≤ n)份基金 x i 存款期限为 i 年。那么,只有当第i(1 ? i ? n) x i 按最优存款策略存款 i 年后的本息和等于当年的奖学金数,

n ? 1份基金按最佳存款策略存款 n 年后的本息和等于原基金 M

时,每年发放的奖学金才能达到最多。 有了这三个定理,基金存储的相关讨论有了理论依据。以下分别研 究只存款不买国库券情形的最佳存款方案以及既可以存款也考虑购买 国库券情形的基金最佳存储方案。 问题的研究应该具有一般性,也要根据问题的要求计算出 n =10年,

M =5000万元 时的具体数值。

3.1.3 只存款不购买国库券情形
于是,基金 M 使用 满足 或

n 年。设每年奖学金数额为 p 最佳存款方案应

a j x j ? p ( j ? 1, 2,?, n), an xn ?1 ? M .
p xj ? ( j ? 1, 2,?, n), aj
? 1? p ? M ?1 ? ? ? a ? n ? ?
资金数额 最佳存款策略

M xn ?1 ? . an

x1 x2
x3

107.875194
105.707057 103.133872

(1)
(2) (3)

其中

M 关于 n =10年, =5000万元时 基金使用的最佳方案,使用Matlab 软件计算,得到每年奖学金数额 p =109.816947(万元)。每笔存款数额
及最佳存款策略见右表。

1 ?a . j ?1 j

n

x4
x5 x6 x7 x8

101.310287
98.472872 96.731702

(3,1)
(5) (5,1)

94.787533
92.480158

(5,2)
(5,3) (5,3,1) (5,5)

x9 90.844949 x10+ x11 4108.656375

3.1.4 既可存款也可购买国库券情形的数学模型
若准备购买国库券,则一般需要等待一段时间。一年内至少发 行一次国库券,国库券发行日期不定,有可能上半年发行,也有可能 下半年发行。所以,首先把准备购买国库券的资金全部按半年定期存 储,如果上半年发行国库券,随时取款购买。如果上半年未发行国库 券,7月1日取出本息后改存活期,待发行国库券时即购买。 单位资金购买两年国库券、存入银行半年定期和半年活期后的 本息为 (1+2.55%×2)×(1+0.792%×0 5)×(1+1.644%×0 5)=1.0638, 这种存款策略稍逊于存入银行的三年定期的年利率为 (1.0638-1)/3≈0.0213=2.13%。 同理,单位资金购买三年期国库券、存入银行半年定期和半年 活期后的本息 (1+2.89%×3)×(1+0.792%×0 5)×(1+1.644%×0 5)=1.09997, 这种存储策略稍优于存入银行的四年定期的年利率 (1.09997-1)/4≈0.02499=2.499%。

单位资金购买五年期国库券、存入银行半年定期和半年活期后的本 息为 (1+3.14%×5)×(1+0.792%×0 5)×(1+1.644%×0 5)=1.1711。 这种存储策略稍优于存入银行的六年定期的年利率 (1.1711-1)/6≈0.02852=2.852%。 在上面的分析中,因购买国库券而带来的总共半年的两次活期存款, 其本息是按一次半年活期计算的.比较三年定期利率可知,应该排除购 买两年国库券的选择。 如遇购买三年期国库券再加半年活期和半年定期共四年的平均年利 率为2.499%,大于先存三年定期再存一年定期存款的四年最大平均年 利率2.099%。所以,四年存款应购买三年期国库券,其四年年利率为 2.499%。 五年期存款年利率为2.304%,如果购买三年期国库券再加一年定 期存款、半年定期存款和半年活期存款,综合年均利率为2.510%, 也应该购买三年期国库券。

六年期的存款,如果购买五年期国库券再加半年活期和半年定期 共六年的平均年利率为2.852%,大于先存五年定期再存一年定期存 款的最大平均年利率2.255%。所以,六年定期存款应该购买五年期 国库券,其六年年均利率为2.852%。同理不难验证,多于六年期的 存款都应该购买五年期的国库券。
综上分析,凡遇四年或六年存款, 改为购买三年期和五年期国库券。 另加半年定期存款和半年活期存款, 税后年利率调整为右表。
存期 活期 半年期 一年期 二年期 三年期 四年期 五年期 税后利率 (%) 0.792 1.644 1.800 1.944 2.160 2.499 2.510

n ? 1时,基金只能存入银行。 n ? 2 时,由于国库券发行日期正好在
1月1日的概率非常小,因此最终国库券 到期日可能在第三年的某月,这样就影 响了第二年末的奖金发放。所以不购买 国库券。 n ? 3时虽然有机会购买国库券,但是 收益少于存款。当

n≥4时尽量购买三年期和五年期国库券。

六年期

2.852



基金 M 使用 n 年,设每年奖学金数额为 p 。把 M 分成 n ? 1 份,


其中第 i(1≤ i≤

n )份基金 x i 存款期限为 i 年。最佳存款方案应满足


b j x j ? p ( j ? 1,2,?, n),


bn xn ?1 ? M .

p xj ? ( j ? 1,2,?, n), bj

M xn ?1 ? . bn

其中

b1 ? 1 ? 1.8%,

b2 ? 1 ? 1.944 % ? 2, b3 ? 1 ? 2.16% ? 3;

b4 ? 1 ? 2.499 % ? 4,
当6 ? j ≤ 当6≤ j ≤

b5 ? 1 ? 2.510 % ? 5,
? j? ? ?

n

? j? ? ? j ? 6? ? ? 0 时, j ? (1 ? 2.852 % ? 6) ? 6 ? b 且 b , ? j? 6? j ?? ? ? 6
? j? ?6? ? ?

n 且 j ? 6? j ? ? 0 时,b j ? (1 ? 2.852 % ? 6) . ? ?
?6?
时,

为求每年奖学金的数额 p ,由 ? x j ? M 有 解得 p ? M ?1 ? 1 ? ? ? ? ?
?
j ?1

n ?1

p M ? b ? b ? M. j ?1 j n

n

1 ?b . bn ? j ?1 j
x1 x2
x3

n

至此不难算出

M p xn ?1 ? . xj ? ( j ? 1,2,?, n), bn bj
关于 n =10年, =5000万元时基金使用 M

x4 x5

x6 x7 的最佳方案,使用Mat lab软件计算, 得到每年奖学金数额 =125.170318(万元)。 x8 x9 每笔存款数额及最佳存款策略见右表左列. x10 ?x11

p

资金数额 125.170318 122.654574 119.668843 115.842454 113.794159 108.803799 106.879959 104.731825 102.182380 3980.271687

x1 x2
x3

x4
x5 x6 x7 x8 x9 x10 ? x11

资金数额 122.548353 120.085307 140.594542 113.415882 111.410493 106.524666 104.641126 102.537989 100.041948 3978.199695

最后来考虑第三年校庆的因素。 学校要在基金到位后的第3年举行校庆,所以此年奖金应是其它年度的1 2 p p 倍,只需将3 ? 换成 ? 1.2 p 其余公式不变。经计算得到 =124.754224( x x3 b3 b3 万元)。

每笔存款数额及最佳存款策略见右表右列.

关于模型的评价:
(1)模型的建立充分考虑到了学校基金使用的规律性。 模型设计精细,实用性强。
(2)由于国库券年内发行具体时间对利息的影响不大, 建模过程中忽略发行日期的影响。为了简化模型,也不考 虑国库券随时交易的可能性。 (3)随着国家的经济发展,利率标准可能会发生改变。 但在这里假定了“在所考虑的时间之内,银行利息标准不 变”。如果增加利率变更的因素,思考方式并无大的改变, 只是运算程序复杂一些。

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3.2 车灯线光源的优化设计模型
2002年全国大学生数学建模竞赛 A 题的叙述如下。 安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面,车灯的对称轴水平 地指向正前方, 其开口半径36毫米,深度21.6毫米。经过车灯的焦点, 在与对称轴相垂直的水平方向,对称地放置一定长度均匀分布的线光 源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。 该设计规范在简化后可描述如下。在焦点 F正前方25米处的 A点放置 一测试屏,屏与 FA 垂直,用以测试车灯的反射光。在屏上过 A点引出 一条与地面相平行的直线,在该直线 A点的同侧取 B 和 C 点,使 AC ? 2 AB ? 2.6米。要求 C 点的光强度不小于某一额定值(可取为1个 B 单位), 点的光强度不小于该额定值的两倍(只须考虑一次反射)。 请解决下列问题: (1)在满足该设计规范的条件下,计算线光源长度,使线光源的功 率最小。 (2)对得到的线光源长度,在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射 光的亮区。 (3)讨论该设计规范的合理性。

3.2.1 模型的基本假设
安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面,灯丝刚好位于旋 转抛物面的焦点。假若灯丝的尺度忽略不计的话,根据物理学和几何 学的知识,经过折射的光线将会彼此平行地直射向正前方。

其实,驾驶员要观察前方路面的整体情况,用标准的探照灯来作 汽车前灯会导致视野过窄。

人们发现,改变光源的形状会改变光线折射的状态。采用适当长 度的线光源刚好能够达到理想的效果。

在以下的建模过程中,首先将旋转抛物面置于空间直角坐标系之 内,写出其曲面方程。

解决这一问题只需要光学折射定律、曲面方程和初等微积分的知识. 讨论中还将利用下面的物理或数学原理. 直射定律:光在均匀介质中是沿直线方向传播的; 反射定律:反射光线、入射光线和法线在同一平面上,反射光线和 入射光线分别位于法线两侧,反射角等于入射角; 余弦定理:在任意一个三角形中,已知三边 a, b, c 求 a, b 夹角 ? .

a 2 ? b2 ? c2 cos ? ? ; 2ab
球冠的表面积公式: S

? 2?rh

曲面 z


? f ?x, y ? 的内法向量为 n ? ?? z ?x , ? z ?y ,1? .

3.2.2 模型的几何原理
如图,设

x ? k y2 为任
F
O

一顶点在坐标原点 O 、以

Ox轴为对称轴的抛物线,点

F为抛物线的焦点.则从焦点
发射到抛物线上任何点的光线

x

将被抛物线反射为平行于 Ox 正向的反射光. 如果将抛物线绕

Ox 轴旋转得旋转抛物面 S ,以 S 为模型设计

探照灯,在公共焦点 F 处放置点光源.根据抛物线的上述性质,从 光源

F 发出的光线经旋转面 S 折射后将沿平行于旋转轴的方向射出.

从理论上讲,探照灯的反射光会形成截面与灯口相同的水平光 柱.显然,用这样的探照灯作为汽车的前灯并不十分合适.

其实,司机需要随时观察前方足够宽度路面上的情况, 车灯的反射光柱适当发散也是必要的. 一般希望车灯光柱的水平尺度明显高于竖直尺度. 为了达到这样的光照效果,可以把反光抛物面焦点上 的“点光源”更换为适当长度的线光源. 通过下面的讨论可 以知道,采用以焦点 为中心沿铅直方向设 置线光源的设计方案 比较理想.
线光源的中点位于焦点处, 线光源简化成一条垂直于对称轴 的线段。
在线段上取一动点(点光源),则考虑到动点在线段上移动的全部情形就 可以知道线光源发光折射的实际效果。

取旋转抛物面的顶点为坐标原点、对称轴为 Oz ,使 Ox
轴平行于线光源AB,建立空间直角坐标系如图. 则旋转抛物面的方程形式应为


x
Q(36,0,21.6)

z ? a( x ? y )
2 2


Q 点的坐标代入

B(2,0,15)
O

上式,解得


1 a? , 60

z

于是,方程为

1 2 z? (x ? y 2 ) ; y 60

F (0,0,15)
M ( -2,0,15)

P(0,36,21.6)

开口曲线的方程为

1 2 ? z? (x ? y 2 ) 即 ? 60 ? ? z ? 21 .6 ?
各点的坐标如下

? x ?? 36 cos t ? ? y ? 36 sin t ? z ? 21 .6 ?

B1 (?2, 0,15),

B2 (2, 0,15),

F (0, 0,15),

P(0,36, 21.6),

Q(36, 0, 21.6).

还有,在焦点F正前方25米处的A点放置与FA垂直的测试屏,其平面 方程为

z ? 25015.

3.2.3 车灯直射光与反射光的功率比
将线光源作为点光源的轨迹,关注动点极端位置,来分析直射光总 p1 功率与反射光的总功率之比 p . 2 y 对于线光源上任意取定的点光源 C H

D ,以 D为球心,以 D 到开口圆的

最大距离 DG 为半径,作一球 面.在光能分布均匀的假设前 D E M N 提下,直射光照到的球面面积 x F 与被反射面遮挡的球面面积之 O 比,应该为直射光和反射光的 功率比. 根据球冠侧面积的计算公式可以知 G 道,等半径球冠侧面积之比等与 球冠高度之比。据此容易计算出图中点光源 D 所产生直射光和反射光 p1 的功率比 。

p2

按照对题目的分析,将点光源都放置于球心位置.它直射到球上 的面积显然为一球冠的表面积.将直射面积与反射面积作比.这样就 可将功率比问题转化为球缺与球冠表面积之比. 由球冠表面积公式

S ? 2?rh

可得,其功率比=表面积比

=球缺与球冠高比,问题就简单化,下面就转化为球缺与球冠的高的 比.再对图形进行分析,在求高的过程中可以将其转化为平面图形来 处理. 我们以线光源上任一点

D

为圆心.以

D

到开口圆的最大

距离为半径做圆.如图所示:

? ? 2? , cos? ?

cos ? ? 1 ? (0 ? ? ? ) 2 2

如图所示,以 D(15, m)为圆心、以 DG 为半径作圆。应有

EN ? R ? DE ? R(1 ? cos? ),
DH 2 ? R 2 ? CG 2 cos ? ? . 2 DH ? R 这里 DH ? 6.62 ? (36 ? m) 2

ME ? R ? DE ? R(1 ? cos? ).
y
C H D ? E F


其中2? ? ? ? ?HDG .根据余弦定理,

R ? 6.62 ? (36 ? m) 2
此外,如果记 C ( x, y ) , 应该有
R ? k, DH

M
O

N

x

x ? 15 y?m ? ?k 6.6 36 ? m .解得 X ? 6.6k ? 15, Y ? ( ? k ) y ? 36 k . 1
于是 CG 2 ? ( x ? 21.6)2 ? ( y ? 26)2

. G

利用以上各式编制程序,可以对任何 进而算出

y 值算出 cos? ? 1 ? cos ? .
2

p1 EN 1 ? cos? ? ? . p2 ME 1 ? cos?

通过对线光源中点 F 和一个端点 B1 计算的实际,求得功率比 分别为 0.694444444

p1 p2



0.693694846

。鉴于这两种极端情形

功率比的差别很小,选定

p1 ? 0.694 . p2
这说明,车灯的直射光和反射光的功率比约为

0.694.



3.2.4 车灯直射光区的计算 因为光线上任一点光源到开口处的平面 K 的距离恒为 (21.6-15)毫米;到测试屏的距离恒为2500毫米.则 开口处的图形(即圆)应与该点光源在测试屏上的直射图 形相似,也为圆,且各个点光源所形成的直射圆的半径相 等.由此可知,从最上边的点光源开始到最下边点光源结 束,直射区应是这些点光源形成的直射区的圆的迭加相当 于测试屏上有半径相等的圆从上而下连续地推移.所以, 形成直射区图形应为类似于操场的形状,两端各为一个半 圆,中间为矩形且矩形的一组边与线光源平行. 在面 屏上圆的直径2R ,则 21.6 ? 15 ? 2r 。

K

中,开口处圆的直径 ,任一点光源在测试

r

25000

2R

对直射光的亮区进行计算,先以线光源上的任一点作为一个点光源, 研究点光源的在测试屏上的直射区形状.注意到车灯开口圆所在平面平行于
测试屏,在点光源照射时,车灯开口圆在测试屏上的投影是它的相似图形,是 一个半径 R 较大的圆.且两圆的半径36与R 之比等于它们到点光源距离之比.所以

R?

25000 ? 36 ? 136,363.6mm ? 136.36m 6.6

当m值从-2变化到 2 时,点 光源由下到上地取不同的位 置,投影圆的圆心将沿着直 线段 l 移动,这里 l:-2≤ x≤2,

B(2,0,15)

y ? 0 ,z ? 25015 。

对照右图不难算出投影圆心 上移的最大高度为 o 21.6 25000 ? 6.6 ? 2mm ? 3786.88mm ? 3.79m 6.6 M(-2,0,15)

25015

由此可知,直射光区的形状类似于 田径运动场.其“弯道”半径

x
C

R2 ? 136 .36 m
“直道”长为

3.79m ? 2 ? 7.57m
2

O

总面积为 136 .36 2 ? ? 136 .36 ? 2 ? 7.57

B(21.6 , 0)

25015

z

? 60479 .556 m

B1

约为6万平方米。

右上图为各个点光 源经过开口圆上的点 在测试屏上所形成的 图形的叠加。

因为

r为36毫米,所以可解得
L 为直射区

2R =272727.2727毫米,点光
源在最高点时,设 下限点的


x
2L=287874.7879毫米.

因为形成图形为对称图形,所以在直射亮区中从最高点 到最低点的距离为2L ,即287874.7879毫米.所以中间 矩形部分的与线光源平行的那一组边缘线长度为

21 .6 ? 15 36 ? 2 ? 25000 L?2

2L-2R=15147.751518毫米.

注意到线光源上点的坐标满足 ? 2 ? x ? 2, y ? 0与 z ? 15 。现在仍考 , 虑线光源上任一点 D(m,0,15) ,其中 ? 2 ? m ? 2 。旋转面的方程为 1 z ? ( x 2 ? y 2 ). 60 在旋转抛物面上任取一点 P 。不失一般性,可以记

3.2.5 车灯反射光区的计算

r2 1 2 2 由于点P在旋转抛物面z ? ( x ? y ) 上,应有 z ? 。于是改记 60 60 2

P(r cost , r sin t , z ).

r P(r cos t , r sin t , ). 60

设反射光线在测试屏上的投射点为 B( X , Y ,25015 ) 。显然, 为入 DP 射向量,PB 为反射向量。用 n 表示点 P 处的法向量。根据光学折射 定律,入射光、反射光及旋转抛物面于反射点处的法线在同一个平面 内,且入射角与反射角相等.

??? ? r2 r2 DP ? {r cos t ? m, r sin t , ? 15} , PB ? { X ? r cos t , Y ? r sin t ,25015 ? }, 60 60

x y 1 n ? {?z , ?z ,1} ? {? , ? ,1} ? ? {r cos t, r sin t, ?30} 30 30 30 , 由于三向量 DP , PB n 在同一平面内,它们的混合积
/ x / y

n ? DP ? PB ? 0.
于是

r cos t r cos t ? m

r sin t r sin t

?30 r2 ? 15 ? 0 60 r2 25015 ? 60

X ? r cos t Y ? r sin t
从而,有

r cos t ?m X ?m
由此可得关系式
2

r sin t 0 Y

?30 r2 ? 15 ? 0 60 25000

X ? u1Y ? u 2

.其中

u1 ?

r cos t (900 ? r ) ? 1800 m r sin t (900 ? r 2 )

m(1499100 ? r 2 ) u2 ? ? 900 ? r 2

再分别用

a 和b 表示入射与反射方向的单位向量,根据入射角等于反射角可知
(-a )? n ? b ? n .
? ? r2 r cos t ? m, r sin t , ? 15? ? 60 ? ?

这里

a

?

? r cos t ? m ?

2

? ? r sin t ?

2

? r2 ? ? ? ? 15 ? ? 60 ?

2

b?

? r2 ? ? X ? r cos t , Y ? r sin t ,25015 ? ? 60 ? ?

? X ? r cost ?2 ? ?Y ? r sin t ?2

? r2 ? ? ? 25015 ? ? ? 60 ? ? ?

2

n ? ?{r cost, r sin t,?30}.
如果记

就有

r2 ( ? rm cos t ? 450) 2 2 u3 ? r2 2 2 m ? 2rm cos t ? r ? ( ? 15) 2 60

r2 2 [r cos t ( X ? r cos t ) ? r sin t (Y ? r sin t ) ? 30(25015 ? )] 60 u3 ? r2 2 2 2 ( X ? r cos t ) ? (Y ? r sin t ) ? (25015 ? ) 60

于是,再记

r2 u4 ? ? u2 r cos t ? 750450 2

u 5 ? u 3 (u12 ? 1) ? r 2 (u1 cos t ? sin t ) 2

u6 ? 2u1u3 (u2 ? r cos t ) ? 2ru1u4 cos t ? 2r (u4 ? u3 )sin t
r2 2 2 u7 ? u3 (u ? 2ru2 cos t ? r ) ? u3 (25015 ? ) ? u4 60 可得关于Y 的方程
2 2 2

u5Y 2 ? u6Y ? u7 ? 0.

由此解得测试屏上反射投影点的又一坐标表达式
2 u 6 ? 4u 5 u 7 u6 Y ?? ? 2u 5 2u 5

此式与

X ? u1Y ? u 2是测试屏上反射投影点关于参数 t, m 的坐标

表达式。根据以上各式编制计算程序,对于 t ? [0,2? ], m ? [?2,2] 分别选定一定的步长描点,就可以绘制出线光源反射光区模拟图。

应该注意,由方程组中的第 一个方程可以得到两个 y 值,其中一个必须舍去,经 测试,得知使得 X 2 ? Y 2 的值较大的一个解为增根. 反射光区如图所示。可以看 到,反射区的面积不足10平 方米.

3.2.6 对模型和结果的讨论
从前面的计算可以知道,直射光与反射光的功率比小于0.7。在显 示屏上,直射光区面积为6万多平方米,反射光区面积只有近10平 方米。显然,直射光与反射光区的亮度比约为百万分之一.可见, 汽车前方照明只是反射光在起作用。直射光只在改善汽车附近亮度 方面起作用。 从反射光区图看到,其竖直尺度与水平尺度比约为1:3,比较充分地 有效利用了光能.可以想见,如果改变线光源的长度,直射区和反射 区都会发生变化.但光源长度的变化对直射区的影响要明显小于反射 区. 右图为线光源长度增加到 8 毫米时, 直射光亮区.与原设计长度为 2 毫米 的亮区比较,其面积有大幅度的增 加.这说明,当光源长度增长时,反 射区就会变大,自然,光的发散会使 强度减弱;而当光源长度减小时,反 射区就会减小,单位面积光的照度将 增大.

通过以上分析,如果汽车速度快,特别是在高速路上行驶时, 希望光源的尺度短一些.以使光线尽可能地集中,有利于极早发现远 方物体.而对于多在市区行驶的车辆,车速较慢,应该适当加长线光 源,以改善视野,保证安全。 显然,如果汽车等备有长短不同的线光源,根据车速选用将可 以达到理想的效果. 事实上,现代的车灯已经具有了这样的功能,只是无法做到使 两个灯丝都处于抛物面的焦点而已。 我们不妨设想,如果将车灯设计为灯丝可更换,使得司机可以 随情况变化而换用长度不同的灯丝,则车灯的功能将更加理想。

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3.3

锁具装箱

(1994年B题 )

某厂生产一种弹子锁具,每个锁具的钥匙有5个槽,每个槽的高度 从 ? ,2,3,4,5,6?6个数(单位略)中任取一数;由于工艺及其它原因, 1 制造锁具时对5个槽的高度还有两个限制: (1)至少有3个不同的数;(2)相邻两槽的高度之差不能为5。 满足以上条件制造出来的所有互不相同的锁具称为一批。 从顾客的利益出发,自然希望在每批锁具中“一把钥匙开一把锁”。 但是在当前工艺条件下,对于同一批中两个锁是否能够互开,有以下 试验结果:若二者相对应的5个槽中有4个高度相同,另1个槽的高度 相差为1,则可能互开;在其它情形下,不能互开。

原来,销售部门在一批锁具中随意地取60个装一箱出售。团体客 户往往购买几箱到几十箱,他们抱怨购得的锁具会出现互开的情形。 现聘你为顾问,回答并解决以下问题: (1)每一批锁具有多少个,装多少箱。 (2)为销售部门提出一种方案,包括如何装箱(仍是60个锁具装 一箱),如何给箱子以标志,出售时如何利用这些标志,使得团体 顾客不再或减少抱怨。 (3)采取你提出的方案,团体顾客的购买量不超过多少箱,就可 以保证一定不会出现互开的情形。 (4)按照原来的装箱办法,如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的 程度(试对购买一二箱者给出具体结果)。

3.1.1 问题的重述与分析
某厂生产一种弹子锁具,每个锁具的钥匙有5个槽。

从锁具自身的使用功能考虑,槽高尺度过于一致会降低锁具的功 能,而相邻两个槽的高度相差太大又会影响钥匙的使用。因此,问 题中对同一个锁具的5个槽的高度作了一些限制。
除此之外,要求参赛者设计合理的装箱方案,以避免或减少符合 要求的同类锁具产生互开的机会。

这里首先要计算的是符合基本要求的不同锁具个数,这其实是要 计算一个满足某种条件的排列数。
其次要研究这批锁具中的互开问题,以便合理装箱,尽量避免把 可以互开的锁具提供给同一用户。

符号说明
符号 说明 锁具钥匙第
5

符号

说明 互开锁具对的关系构成的边 的集合

hi (i ? 1,
2,3,4,5)

i 个槽的高度

X

H

H ? ? hi 为锁具槽高和
i ?1

G(V , X ) 由 V 和 X 组成的图

D
Di (i ? 1,
2,3,4,5)

满足条件1,但不满足条件2或条 件3的钥匙槽高度排列方式的集 合。称为除去集

P(G )

图 G 的顶点个数 图 G 的最小覆盖中的顶点 个数 图

D 的一个完全划分
一批锁具中平均每把锁具与其 它所具所能组成的互开对数 它所具所能组成的互开对数 总互开对数

? 0 (G)
?1 (G)
? 0 (G)

E
Ek

G

的最大匹配中的边数

k 箱锁具中平均每把锁具与其

图 G 的最大独立定点集中 的顶点个数 图的最大匹配 互开对数

m
E ( mk )

N G (V0 ) 图 G

k 箱锁具中平均含有的互开对数
某锁具 锁具集合/顶点集合

V0的邻集

M
V

S V

集合 V 的元素个数

M

如果设钥匙第 i 个槽的高度为 hi (i ? 1,2,3,4,5) ,根据问题的基本 要求,每个锁具都必须满足如下三个条件:
1 条件1 对任意一种槽高排列 h1 h2 h3 h4 h5 ,有 hi ? ? ,2,3,4,5,6?(i ? 1,2,3,4,5)

条件2 对任意一种槽高排列 h1 h2 h3 h4 h5 ,至少有三个槽高互不相同;

h5 条件3 对任意一种槽高排列 h1 h2 h3 h4,有

hi ? hi ?1 ? 5 (i ? 1,2,3,4,5)

如果两个锁具的钥匙有四个槽高度相同,其余一个槽的高度相差 1 ,这两 个锁具称为一个互开对。 下文用到的符号及其说明见前表。

3.3.2 模型的建立与求解 一.确定一批锁具的总数
根据生产一批锁具的三个条件的要求(这里允许发生互开情形), 利用排列组合原理对一批锁具的总数目作出计算。主要过程如下。 5 (1)根据条件1,钥匙槽高度的可能排列共有 6 ? 7776 种; (2)受条件2和条件3的限制,实际制锁时要去掉一部分钥匙槽高度 的排列方式。这里称这些被排除排列方式的集合为去除集,记为 D ; (3)条件3等价于“排列中不出现1和6相邻的情况”; (4)对于去除集 D 进行如下划分:令

D1 ? h1 ? h2 ? h3 ? h4 ? h5 的排列}, { { D 2 ? hi (i ? 1,2,3,4,5) 中有且只有两个不同数的排列}, D3 ?{ hi (i ? 1,2,3,4,5) 中有且只有三个不同数且1和6相邻的排列}, D4 ?{ hi (i ? 1,2,3,4,5) 中有且只有四个不同数且1和6相邻的排列}, D5 ?{ hi (i ? 1,2,3,4,5) 各不相同且1和6相邻的排列}。

3.4 节水洗衣机问题
我国许多城镇存在淡水短缺问题.洗衣在家庭用水中占有相当大的 份额.因此,研究开发节水型洗衣机是很有意义的.这一课题经过充分简 化后被选定为1996年全国大学生数学建模竞赛题目(B题). 假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为:加水→漂洗→脱 水→加水→漂洗→脱水→…→加水→漂洗→脱水(简称“加水→漂 洗→脱水”为运行一轮)。 请为洗衣机设计一种程序(包括运行多少轮、每轮加水量等),使得 在满足一定洗涤效果的前提下,总用水量最少。 选用合理的数据进行计算,对照目前常用洗衣机的运行情况,对你的 模型和结果作出评价。

3.4.1 模型的建立
实际上,洗涤衣物是一个复杂的物理和化学过程。 在第一轮洗涤阶段,洗涤剂溶解于水之后浸入衣物并且与污物结合, 这些结合物易溶于水,不过也对衣物有吸附作用。 当洗衣机每轮转动结束时,污物在衣物和水中实现了一种平衡。经 过脱水、重新注水和新一轮运转,污物在衣物和水中实现了新的平衡。 漂洗的过程,其实就是一再稀释和排放的过程。 一般来说,人们只会在第一轮使用洗涤剂。由于衣物携带的污物的 实际重量极小,建模过程中我们将洗涤剂、衣物携带污物和洗涤剂与 污物的结合物一并称为洗涤剂。

一. 初始假设 (1)设衣物的重量为 W , x 0 为第一轮加入洗涤剂的重量,每次洗衣 分为 n 个轮次,分别为第 1,2,?, n 轮。只在第一轮添加洗涤剂,以后 各轮次均为漂洗。每轮以“加水→洗涤(溶污物)→脱水”为完整过程; (2)不考虑浸泡和洗衣时间限制,假定每一轮次的溶解都是充分 的。每轮脱水后衣物中仍会残留 C 升水,用 G1 表示衣物中吸附洗涤 剂的重量(包括可去除污物)。用 G 2 表示水溶解洗涤剂的重量(包 括可去除污物)。 G ?? 1 G1 和 G 2 反映着衣物和水对于洗涤剂的亲和性。设比例系数 G 2 为常数; H (3)设 L 为最低用水量, 为最大用水量。第一轮注水量为v 0 ,第

k 轮排水量为 v k (k ? 1,2,?, n),第 k 轮脱水之后衣物中剩余洗涤剂含量
为 xk (k ? 1, 2,?, n).

二.模型的建立 第一轮的注水量为 v1 ,第一轮洗衣→排水之后,剩余洗涤剂为x1 . 随水排出的洗涤剂为

x0 ? x1 G1 v1 ?? ? x1 G2 W

x0 ? x1 ,可见

由此可知 一般地,应有

x0W x1 ? W ? ?v1 x k ?1W xk ? (k ? 1,2,?, n) W ? ?v k

于是,第 n 轮脱水之后衣物中剩余洗涤剂含量

W x n ? x0 ? k ?1 W ? ?v k

n

xk 重量的比值来衡量洗衣的实际效果。则比值 ? ? 越小,说明洗衣 W
效果越好。可以用限定

我们用全部的

n 轮洗衣完成之后衣物中剩余洗涤剂含量 x n 与衣物

?

≤ ? 0 来规定洗衣的效果要求。

在特定的洗衣条件之下,应该合理确定洗衣的轮次和每次的注水量, 以便用最少的用水量达到预计的洗衣效果。至此,问题归结为求总用 水量函数的条件极值问题

(min)V ? ? v k
k ?1

n

s.t

x0 W

W ? W ? ?v ≤ ? 0 k ?1 k

n



这就是应用问题所对应的数学模型。

3.4.2 模型的求解 上述数学模型中的待定因素包括洗衣的轮数

n 和每轮次的注水量

v k (k ? 1, 2,?, n).
定理 在总水量和洗衣轮数一定的前提下,平均分配每轮的用水量, 整体洗涤效果最好。
证明 当总用水量设总用水量 V ?
n

?v
k ?1

n

k

为定值时,和式

W ? ?v k ?V ?n? ? W W k ?1
也是定值。根据算术平均值-几何平均值定理,应有 或

W ? ?v k ? W ≥ k ?1
n

W ? ?v k ? W k ?1
n

1

其中等号当且仅当 v1 ? v2 ? ? ? vn ?

W W ? ?vk ? W ≤ ? W ? ?v k k ?1 k ?1 V
n

n

n

时成立。由此可知,乘积

V 时取得极小值。这充分说明,平均分配每轮的 n 用水量,整体洗涤效果最好。 [证完] V 根据定理的结论,以下设 v1 ? v2 ? ? ? vn ? ? v。现在针对经过简化 n

x ?? 0 W

当且仅当 v1 ? v2 ? ? ? vn ?

W ? W ? ?v k ?1 k

n

的数学模型为求最小的 V ,确保 x0 n x0 n W W ? ? ? W ? ?v W k ?1 W ? ?v ≤ ? 0 W k ?1 n 即 W ? ? 0W ? ? ?≤ ? W ? ?v ? x0 成立。 把 v ? V 代入不等式上式,可得

n

? nW ? n x 0 ? ?1? V≥ ? ? ? ?W ? ?

如果每次的加水量都选择能使洗衣机正常工作的最小值,即 v0 ? L, 以后每轮的注水量均为上一轮的排水 v (常值),要使上式 ? L ? v1 成立,应该对应着最多的轮次 n max ; 如果每次的加水量都选择可能用水量的最大值,即 v 0 每轮的注水量均为上一轮的排水量 v 立,应该对应着最少的轮次 nmin 。 依次取遍闭区间 ?n min , n max ? 的所有正整数,记为

? H ,以后

? H ? v1 (常值)要是上式成

n0 , n0 ? 1,?, n0 ? m.

? nW ? n x 0 ? 令 V ( n) ? ? 1? ,比较函数值 ? ? ? ?W ? ? V (n0 ), V (n0 ? 1),?, V (n0 ? m)
的大小,其中最小者及其相应的

n 就是最少的用水量和合理的洗衣轮次。

3.4.3 分析和验证

很明显,洗涤剂越多则用水量越大。因此,应该根据 衣物携带污物的情况适当控制洗涤剂的使用量。

根据上述讨论,对于特定的洗衣机、洗涤剂,对于特定的衣物和 效果要求,只要能够测定相关数据,在实际计算上并不存在困难。 现在就其中某些参数的灵敏性作出一些验证和说明。 一.

x 0对最小用水量的影响
洗涤剂 轮次 (n) 3 3 3 3 3 3 每轮用水量 总用水量

? 设衣物的重量为3千克,洗涤效果要求为 ?0 ? 0.05 克/千克, ? 0.56,

L ? 25 升, H ? 40

升。依次取 x0 ? 20,25,30,35, 40,45(克)的情 形计算出用水量如 右表。

( x0 )
20 25 30 35 40 45

(v)
25 25 26 28 30 31

(V )
75 75 78 84 90 93

二.? 对最小用水量的影响 设衣物的重量为 3 千克,洗涤剂重 x0 的若干情形计算出用水量如下表。
亲合系数

?30

克,洗涤效果要求为

H ?0 ? 0.05 克/千克,L ? 20 升, ? 40 升。依次取 ? ? 0.30 到 0.80
(? )
轮次 每轮用水量 总用水量 亲合系数

(n)
5 4 4 4 4 4

(v)
20 24 21 20 20 20

(V )

(? )

轮次

每轮用水量

总用水量

(n)
3 3 3 3 3

(v)
25 23 21 20 20

(V )

0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55

100 96 84 80 80 80

0.60 0.65 0.70 0.75 0.80

75 69 63 60 60

亲合系数 ? 反映着洗涤剂的洗涤效果。在其它条件不变的前提之下, ? 的值越大越省水。

三.W 对最小用水量的影响

? H 升, ? 40 升,

L 设洗涤剂重 x0 ? 30克,洗涤效果要求为 ?0 ? 0.05 克/千克, ? 20

? 0.56。依次取衣物的重量为1-5 千克的五种情
衣物重量 轮次 每轮用水量 总用水量

形计算出用水量如右表。
显然,在其它条件确定的前提之下, 洗涤衣物越多则用水量越多。

(W )
1 2 3 4 5

(n)
3 3 3 4 4

(v)
20 21 26 20 21

(V )
60 63 78 80 84

根据上述讨论,建议洗衣机使 用者合理安排衣物洗涤,以达 到科学用水和节约用水的目的。

也建议洗衣机制造厂家适时研 制能够自行测定各种参数并作 出合理反映的智能洗衣机,用户可以根据简明的数控面板来操作。

3.5 最优捕鱼策略
为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源(如渔业、林业资 源)的开发必须适度。一种合理、简化的策略是,在实现可持续收获 的前提下,追求最大产量或最佳效益。 考虑对某种鱼(鳀鱼)的最优捕捞策略: 假设这种鱼分四个年龄组,称为1龄鱼,…,4龄鱼。各年龄组每条 鱼的平均重量(单位:g)分别为5.07,11.55,17.86,22.99,各年龄 组的自然死亡率均为0.8(1/年)。这种鱼为季节性集中产卵繁殖, 5 平均每条4龄鱼的产卵量为1.109 ? 10 个,3龄鱼的产卵量为这个数的一 半,2龄鱼和1龄鱼不产卵,产卵和孵化期为每年的最后4个月,卵孵化 成活为1龄鱼,成活率(1龄鱼条数与产卵总量 n之比)为

1.22 ?1011 (1.22 ?1011 ? n).
渔业管理部门规定,每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕 捞作业。如果投入的捕捞能力(如渔船数、下网次数等)固定不变, 这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比,比例系数不妨称 捕捞强度系数。

通常用13mm网眼的拉网,这种网只能捕捞 3 龄鱼和 4 龄鱼,其两个 捕捞强度系数之比为 0.42 : 1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。 (1)建立数学模型分析如何实现可持续捕获(即每年开始捕捞时渔场 各年龄组鱼群条数不变),并在此前提下得到最高的年捕获量(捕捞 总重量)。 (2)某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年,合同要求5年后鱼群的 生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量(单位: ,如果仍用 122 ?109 , 29.7 ? 109 , 10.1?109 , 3.29 ?109 条)分别为

固定努力量捕捞方式,该公司应该采取怎样的策略才能使得总收获量 最高。

(以上为1996年A题)

3.5.1 基本假设与符号约定 一.基本假设
(1)渔场是封闭的,即没有外来鱼群的补充也不会发生鱼类逸出; (2)捕捞不会对各龄鱼的自然死亡发生影响,忽略其它可能导致 鱼群死亡的因素; (3)鱼群死亡和捕捞是连续的过程,忽略其它鱼种对生存环境和 捕捞的影响; (4)上年存活的4龄鱼仍然视为4龄鱼。

二.符号约定

s

:自然死亡率;

S :鱼群总死亡率;

q i :捕捞强度系数 (i ? 3, 4);

F :捕捞努力量;

N i (t ) : i 龄鱼在时刻 t 的个体数目 (i ? 1, 2,3, 4);

k :一年中在后四个月死亡的 3、4 龄鱼占九月初该龄鱼的百分比。

3.5.2 模型的建立
由于假定渔场是封闭的,渔场内各龄鱼群的尾数在一年之内是单 调减少的。减少的主要因素为捕捞和自然死亡。

一.无捕捞情形鱼群变化的规律
如果用自变量

t 表示时间(年),则其中不同龄鱼的数量应该满

足下面的微分方程(参阅上一章2.6节) dNi (t ) s ? ? N i (t ) (i ? 1, 2), dt 12

q 其中 q3 ? 0.42 , 4 ? 1 。

dNi (t ) qi F ? s ?? N i (t ) (i ? 3, 4). dt 12

假定初始时刻各龄鱼的个体数分别为 则有

N1 (0), N 2 (0), N3 (0), N 4 (0).

N1 (t ) ? N1 (0)e
N 2 (t ) ? N 2 (0)e

?

st 12

st ? 12

, t ? [0,12];

, t ? [0,12];

从各龄鱼个体数的表达式不难看出,鱼群的个体数只与自然死亡率

t ? (s?F ) ? , 0?t ?8 ? N 4 (0)e 12 N 4 (t ) ? ? 1 ? ( st ?8 F ) , 8 ? t ? 12 ? N (0)e 12 ? 43

t ? ( s ? 0.42 F ) ? , 0?t ?8 ? N 3 (0)e 12 N 3 (t ) ? ? 1 ? ( st ? 3.36 F ) , 8 ? t ? 12 ? N (0)e 12 ? 3

s 、捕捞努力量 F 和时刻 t

有关。只要合理控制捕捞努力量

F 的大小,

就可能实现持续稳定生产,还可以进一步地获得稳定生产状态下的最 大收益。

二.增龄和繁殖
上面给出的是一年之内各月份的不同龄鱼群的个体数。 在不同年份的衔接处,各龄鱼群的个体数将发生突变。1 龄鱼变成 2 龄鱼,2 龄鱼变成 3 龄鱼,3 龄鱼变成 4 龄鱼,幸存的 4 龄鱼仍为 4 龄鱼。每年的 3、4 龄鱼在9~12月份产卵并且孵化成 1 龄鱼。其中 一定比例的 3、4 龄鱼会在繁殖期内死亡。由于
? ? N 3 (9) ? N 3 (12 ) N 3 ( 0) e 3 ? 1? ? 1 ? e ? 1 ? e 3 ? 23 .4% 1 ? ( 9 s ? 3.36 F ) N 3i (9) N 3 (0)e 12 s 0.8 ? 1 (12 s ? 3.36 F ) 12

? ? N 4 (9) ? N 4 (12 ) N 4 ( 0) e 3 ? 1? ? 1 ? e ? 1 ? e 3 ? 23 .4% 1 ? ( 9 s ?8 F ) N 4 (9) N 4 (0)e 12 根据前面的符号约定,:一年中在后四个月死亡的 3、4 龄鱼占九 月初该龄鱼的百分比 k ? 23.4% 。 s 0.8

?

1 (12 s ?8 F ) 12

如果按照死亡时间等可能性来推算,认为死亡比例的一半未能完成 繁殖过程,即 11.7%的3、4龄鱼没有正常产卵,也就是 88.3% 的 3、4 龄鱼完成了繁殖过程。

三.鱼群的实际变化规律
先来考虑不同龄鱼数量减少的因素。如果分别用 Z 3和 Z 4 来表示 3 龄鱼和 4 龄鱼的自然死亡量,用 B3 和 B4 来表示 3 龄鱼和 4 龄鱼因捕
捞而减少的数量,用 S (t1 , t 2 ) 来表示从 t1到 t 2的时间间隔内 3、4 龄鱼的

总减少数,用 Z (t1 , t 2 ) 来表示从 t1 到 t 2的时间间隔内 3、4 龄鱼的自然 死亡数,用 B(t1 , t 2 ) 来表示从 t1 到 t 2的时间间隔内 3、4 龄鱼的捕捞 数,则

S (t1 , t 2 ) ? Z (t1 , t 2 ) ? B(t1 , t 2 )

s s Z (t1 , t 2 ) ? [ N 3 (t1 ) ? N 3 (T2 )] ? [ N 4 (t1 ) ? N 4 (T2 )] q3 F ? s q4 F ? s
q3 s q4 s B(t1 , t 2 ) ? [ N 3 (t1 ) ? N 3 (T2 )] ? [ N 4 (t1 ) ? N 4 (T2 )] q3 F ? s q4 F ? s

在 1~8 月份,3、4 龄鱼的数量为

N i (t ) ? N i (0)e
于是

?

t ( s ? qi F ) 12

, (i ? 3, 4).

? ( s ? q3 F )( t 2 ?t1 ) ? ( s ? q4 F )( t 2 ?t1 ) q3 s q4 s 12 B(t1 , t 2 ) ? N 3 (t1 )[1 ? e ]? N 4 (t1 )[1 ? e 12 ] q3 F ? s q4 F ? s

N i (t 2 ) ? N i (t1 )e
t

t ? ( s ? qi F )(t 2 ?t1 ) 12

,(i ? 3, 4).
t

至此,归结出捕捞状态下的数学模型
t t ? ( s ? q3 F )( t 2 ?t1 ) ? ( s ? q34 F )( t 2 ?t1 ) ? q3 s q4 s N 3 (t1 )[1 ? e 12 ]? N 4 (t1 )[1 ? e 12 ] ? B(t1 , t 2 ) ? q3 F ? s q4 F ? s ? 2 ? 0.8 ? 0.42 F ? ? ?1 ? 5 3 n ? 1.109 ? 10 e ? 0.883 ? N 3 (0) ? N 4 (0)? ? ?2 ? ? 11 ? ? N (0) ? 1.22 ? 10 n 1 ? 1.22 ? 10 11 ? n ? N 2 (0) ? N 1 (0)e ?0.8 ? ? 0.8 ? N 3 (0) ? N 2 (0)e 2 2 ? ? 0.8? 0.42 F ? ? 0.8 ? 0.42 F ? 3 3 ? N 4 (0) ? N 3 (0)e ? N 4 (0)e ?

从方程组可以导出



N 2 (0)e ?0.8 N1 (0) ? 0.499 N1 (0)

N 2 (0)e ?0.8 N 2 (0) ? 0.499 N 2 (0).
于是

N1 (0) : N 2 (0) : N3 (0) ? 1: 0.499 : 0.202.

这表明,在持续捕捞的状态下,1龄鱼、2龄鱼、3龄鱼的数目之比数常 数。如果消去 N 3 (0) ,可以得到 N 4 (0) 与捕捞努力量 F 的函数关系。这 表明捕捞努力量 F的大小只对4龄鱼的数量产生影响。

N 进一步分析不难发现,在持续捕捞的状态下,N1 (0) 、 2 (0) 和 N 3 (0)
都与N 4 (0) 存在函数关系。

3.5.3 模型的最优解
借助于Matlabl进行计算,得到最优解为:

F ? 17.
相应地

N1 (0) ? 1.195 ? 10
N 3 (0) ? 2.41 ? 10

11

N 2 (0) ? 5.37 ? 1010
N 4 (0) ? 9.29 ? 1010

10

在持续捕捞状态下,每全年最大捕获量为

B ? 3.87 ? 1011 克= 387000 吨。

运算程序从略。
[返回]

3.6

艾滋病疗法评价及疗效预测

(2006年B题 )

艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一,从1981年发现以来的20 多年间,它已经吞噬了近3000万人的生命。 艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”,英文简称AIDS, 它是由艾滋病毒(医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV) 引起的。这种病毒破坏人的免疫系统,使人体丧失抵抗各种疾病的能 力,从而严重危害人的生命。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入 侵中起着重要作用,当CD4被HIV感染而裂解时,其数量会急剧减少, HIV将迅速增加,导致AIDS发作。 艾滋病治疗的目的,是尽量减少人体内HIV的数量,同时产生更多的 CD4,至少要有效地降低CD4减少的速度,以提高人体免疫能力。 迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法,目前的一些AIDS 疗法不仅对人体有副作用,而且成本也很高。许多国家和医疗组织 都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。

现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数

据。

ACTG320(见附件1)是同时服用zidovudine(齐多夫定),
lamivudine(拉美夫定)和indinavir(茚地那韦)3种药物的300多 名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度(每毫升血液里的数量)。

193A(见附件2)是将1300多名病人随机地分为4组,每组
按下述4种疗法中的一种服药,大约每隔8周测试的CD4浓度(这组 数据缺HIV浓度,它的测试成本很高)。4种疗法的日用药分别为: 600mg zidovudine或400mg didanosine(去羟基苷),这 两种药按月轮换使用; 600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine(扎西他滨); 600 mg zidovudine加400 mg didanosine; 600 mg zidovudine加400 mg didanosine,再加400 mg nevirapine(奈韦拉平)。

请你完成以下问题(附件的数据量很大,不便在此书写,可在相 关网站上获取): (1)利用附件1的数据,预测继续治疗的效果,或者确定最佳治 疗终止时间(继续治疗指在测试终止后继续服药,如果认为继续服药 效果不好,则可选择提前终止治疗)。 (2)利用附件2的数据,评价4种疗法的优劣(仅以CD4为标准), 并对较优的疗法预测继续治疗的效果,或者确定最佳治疗终止时间。 (3) 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下: 600mg zidovudine 1.60美元,400mg didanosine 0.85美元,2.25 mg zalcitabine 1.85美元,400 mg nevirapine 1.20美元。如果病人 需要考虑4种疗法的费用,对(2)中的评价和预测(或者提前终止) 有什么改变。

3.6.1 基本思路
以下在解决第一个问题时,先对附件1的原始数据分析整合,借助 MATLAB软件,拟合出CD4、HIV及CD4与HIV之比随时间 t(周次) 变化的函数关系及图形。

x(t ) ? ?0.1135t 2 ? 6.5889t ? 98.576,

CD4

y(t ) ? 0.0032t 2 ? 0.1641t ? 4.4290.
在拟合函数的过程中,考虑到在每 个周次上被检测的人数不同,在 拟合关系函数(CD4值和HIV值)时, 以每个周次上被检测的人数为权重。
、 具体地,先以权重最大的五个点(周次),拟合出CD4、HIV与时间 t 的函数关系 f 1 (t )和 g1 (t ) ,再逐次拟合出“修正”函数(t ), gi (t ) fi

HIV

以确保拟合获取的函数更符合真实情况.

病人经过30周左右的治疗的状况达到最好,如果继续用药,HIV虽 然可以维持在较低的水平,但CD4 将缓慢减少,为了防止并发症的 出现,可以考虑适当调整治疗方案。 针对第二个问题,首先分别获取四 种疗法的CD4值关于治疗时间的函 数表达式.为了更具有可比性,把四种 疗法中CD4的初始值(即第0周的值) 化成同一个值,得到可比的函数关系 及图形 。

4 3 2 1

f1 (t ) ? ?0.001t 2 ? 0.0102 t ? 2.9643
从图中可以直观地看到,四种疗法 f 3 (t ) ? ?0.004 t ? 0.0069 t ? 2.9619 的优劣次序为:4,3,2,1。值得注意的 是,虽然第四种疗法明显优于前三种 2 f 4 (t ) ? ?0.0009 t ? 0.0315 t ? 2.8970 疗法,但是大约在治疗30周之后 CD4的下降速度加快。
2

f 2 (t ) ? ?0.001t 2 ? 0.0097 t ? 2.9865

3.6.2 模型的初步建立

为讨论问题的方便,根据医疗规律和市场因素,作如下基本假设:
(1)假设在ACTG320和193A治疗中,CD4和HIV不受病人的年 龄、性别以及是否有其它疾病的影响; (2)在关于附件2记录4种疗法的评价中,不考虑药品价格对4种 疗法优劣评价的影响; (3)在分析附件2记录4种疗法时,不考虑HIV对人的影响因素; (4)只针对不发达国家的艾滋病人来分析,当病人需要考虑4种 疗法的费用时,对这4种疗法的评价和预测有何改变; (5)假设题目所提供的4种疗法的药品的价格是不发达国家最近 的市场价格。

通过对附件1的观察、分析,可以发现被测试CD4的病人多集中 在第0、4、8、24、40、48周。这些检测时间应该是病理(CD4浓度) 变化的显著点。其余周次CD4浓度的检测样本小,可以按就近原则分 别归到第0、4、8、24、40、48周,具体分法如下: 第0——2周归为第0周; 第7——15周归为第8周; 第31——45周归为第40周; 表).
周次 测试病 人数目 CD4的 平均浓度 0 356 85.1575 4 357 133.2318 8 358 152.7518 24 354 171.0620 40 253 191.3942 48 23 140.1304

第3——6周归为第4周; 第16——30周归为第24周; 第46——57周归为第48周。

划分治疗时间段以后,再计算出各测试周次的CD4平均浓度(见下

对附件1、2中数据抽查检验及医学知识知,CD4、HIV随时间变化的 基本特征符合二次函数,故在以下讨论中,均按二次函数拟合。利 用上表的数据进行曲线拟合,得到函数表达式(左图)

f 0 (t ) ? ?0.1155t 2 ? 6.5729t ? 97.5535.
由上表可知,第48周的测试病人数目仅为23人,人数较少。测试所得 的CD4的平均浓度不具有代表性,把这个数据去掉,重新拟合曲线, 得到修正后的函数表达式(右图)

f (t ) ? ?0.0823t 2 ? 5.4454 t ? 101 .0691

下面分析HIV浓度的情况。 分析附件1又可以得知,测试HIV的病人多集中在第0、4、8、24、 40、45周,依据上述的分析思想,具体划分周次方法仍为: 第0——2周归为第0周; 第7——15周归为第8周; 第31——41周归为第40周; 第3——6周归为第4周; 第16——30周归为第24周; 第42——46周归为第45周。

然后计算各测试周次的HIV平均浓度,并制成下表。
周次 测试病 人数目 HIV的 平均浓度 0 354 5.0210 4 351 3.1861 8 344 2.9541 24 317 2.8775 40 184 2.8440 45 23 3.6000

由上表可知,第40周测 试HIV的病人数目比以前 减少, 第45周时数目已 降至23人,此时HIV值突 然变高(按医学常理,应 该是疗效好的人,因HIV 的含量很低,AIDS症状不 明显或消失,已不必再加 以检测,而继续检测者则 是治疗效果不好者,故 HIV值突变)。 第45周测试人数太少,不具有代表性,故可以不予考虑。 根据表中的数据,拟合得到函数表达式

h(t ) ? 0.0030 t 2 ? 0.1533t ? 4.3632

利用以上两表中各周次CD4和HIV的平均浓度,可以计算相应周次 的CD4和HIV的比值,见下表。
周次 CD4平均含量 HIV平均含量 CD4 / HIV 0 85.1575 5.0210 16.9602 4 133.2318 3.1861 41.8166 8 152.7518 2.9541 51.7084 24 171.0620 2.8775 59.4481 40 191.3942 2.8440 67.2975

将表中的CD4 / HIV的值 p与周次 t拟合成二次函数得到

p(t ) ? ?0.448t 2 ? 2.7894t ? 25.2694.
比值关于时间的函数图象见右图 。 由题目得知,HIV的测试成本很高。 因此,在很多情形下可以只检测 CD4,再根据关系式

f (t ) h(t ) ? p (t )

来获得HIV的估算值。

f (t ) ? ?0.0823t 2 ? 5.4454 t ? 101 .0691 的最大值点为 t ? 33.0826,此时,f max ? 191.1431.
HIV检测函数 的最小值点为

结论:CD4检测函数

t ? 25.55,此时,hmin ? 2.4048.

h(t ) ? 0.0030 t 2 ? 0.1533t ? 4.3632

这说明,第33.0826周时,CD4的平均含量达到最大值191.1431,此 后CD4的含量会减少;第25.55周时,HIV的平均含量达到最小值 2.4048,此后HIV的平均含量会增加。可以预见,继续治疗的效果将 会不尽人意。 从题目和相关资料得知,爱滋病的治疗目的是尽量减少人体内HIV的 数量,同时产生更多的CD4,至少要有效地控制CD4减少的速度。因 此,最佳的治疗效果出现在第25.55—33.0826周中。再由式 p(t ) ? ?0.448t 2 ? 2.7894 t ? 25.2694

计算出CD4 / HIV 的最大值出现在第31.1317周。这也从一个侧面说明 着病人经过大约32周的治疗,身体的多种测试指数达到最好水平。

3.6.3 模型的改进和验证 以上采用了将数据集中在几周次上的处理数据方法获得了函数关系 及其图象。方法简明,并具有一定说服力。但是,把不在第0、4、8、 24、40周的CD4及HIV检测数据就近归在了这些周上,这势必产生一 定的偏差。为了更能准确地求出CD4和HIV与时间的函数关系,下面 采取不同的数据处理办法重新拟合曲线,以修正原模型的不足,并检 验方法一的处理结果。也在一定意义上体现着处理数据的多样性、互 补性。 首先,选择5个最具代表性的周次(医学检测规律周次),即第0、 4、8、24、40周,求每周次的CD4和HIV的平均含量及相应人数,得到 一个最具代表性的CD4和HIV含量与周次的关系并使用计算机,应用 f 1 (t ) Matlab软件拟合得到函数 。 再把已处理的5个测试周的测试人数分别减去这5个测试周中人数最少 的一周的人数。得到第0周为337-94=243人,第4周231-94=137人, 第8周208-94=114人、第24周137-94=43人,第40周94-94=0人。 用调整后的数据取代原有数据,重新选出5个最多人数的周次拟合 f 2 (t )。

这样反复几次,得到拟合函数

f1 (t ), f 2 (t ),?, f k (t ).
直至剩余的有效数据不足5个为止。最后,令CD4的含量表达式为

nk n1 n2 f (t ) ? f1 (t ) ? f 2 (t ) ? ? ? f k (t ). n n n
其中 n1 , n2 ,? , nk 分别表示获得该函数关系的每个数据检测人数,如

n1 ? 94, n ? n1 ? n2 ? ? ? nk .



每次拟合函数所使用数据以及CD4含量随时间变化关系见下表。
第一组
5人次 第二组 5人次

周次
CD4含量 周次 CD4含量

0
86.0952 0 86.0952

4
133.5840 4 133.5840

8
152.6383 8 152.5383

24
179.7246 23 2.3.0938

40
195.9890 39 213.6501

第三组
5人次 第四组

周次
CD4含量 周次

0
86.0952 0

4
133.5840 5

9
173.28 8

25
169.56 24

41
174.8735 38

5人次
第五组 5人次

CD4
周次 CD4含量

86.0952
0 86.0952

129.75
3 137.77

152.5383
7 147.93

179.7246
24 179.7246

157.0001
44 134.6901

第六组
5人次 …

周次
CD4含量 …

0
86.0952 …

5
129.75 …

8
152.5383 …

26
162.1530 …

46
140.1304 …

根据上表各组数据,用Matlab进行拟合得到的函数关系分别为 n1 ? 94, f (t ) ? ?0.0823 t 2 ? 5.4454 t ? 101 .0691

n2 ? 52 n3 ? 35 n4 ? 16

1

n5 ? 15 n6 ? 8
n7 ? 6

n8 ? 5

f 2 (t ) ? ?0.0921t 2 ? 5.9959 t ? 98.9828 f 3 (t ) ? ?0.0955 t 2 ? 5.6063 t ? 101 .407 f 4 (t ) ? ?0.1990 t 2 ? 8.7611t ? 91.5392 f 5 (t ) ? ?0.1554 t 2 ? 7.3072 t ? 101 .065 f 6 (t ) ? ?0.1170 t 2 ? 5.8110 t ? 101 .342 f 7 (t ) ? ?0.1102 t 2 ? 5.8603 t ? 101 .142 f 8 (t ) ? ?0.1405 t 2 ? 6.7082 t ? 98.8278
? 15 8 6 5 f 5 (t ) ? f 6 (t ) ? f 7 (t ) ? f 8 (t ) 231 231 231 231

f (t ) ?

94 52 35 16 f1 (t ) ? f 2 (t ) ? f 3 (t ) ? f 4 (t ) 231 231 231 231

? ?0.1135 t 2 ? 6.5889 t ? 98.576

f (t ) ? ?0.1135t 2 ? 6.5889t ? 98.576.

f max ? 194 .2007 (t ? 29.0260).
同理,HIV的含量随时间变化关系如下表。
第一组
5人次 第二组 5人次 第三组 5人次

周次
HIV含量 周次 HIV含量 周次 HIV含量

0
5.0263 0 5.0263 0 5.0263

4
3.2404 4 3.2404 4 3.2404

8
2.9566 8 2.9566 9 2.8513

24
2.8296 22 3.1680 25 2.5298

40
2.7107 39 2.7758 41 3.1179

第四组
5人次 第五组 5人次

周次
HIV含量 周次 HIV含量

0
5.0263 0 5.0263

5
3.1028 3 3.0725

8
2.9566 7 3.0803

24
2.8296 24 2.8296

42
3.5174 38 2.7758

利用Matlab分别拟合上述数据 组成的函数关系式5,结果如下.

h1 (t ) ? 0.00299 t 2 ? 0.1543 t ? 4.3889

h2 (t ) ? 0.0032 t 2 ? 0.1631t ? 4.4155
h3 (t ) ? 0.0039 t 2 ? 0.1901t ? 4.4792

h4 (t ) ? 0.0032 t 2 ? 0.1655 t ? 4.4726
h5 (t ) ? 0.0034 t 2 ? 0.1672 t ? 4.4228
加权平均可得HIV的含量表达式

h(t ) ?

94 52 35 16 15 h1 (t ) ? h2 (t ) ? h3 (t ) ? h4 (t ) ? h5 (t ) 212 212 212 212 212

? 0.0032 t 2 ? 0.1641t ? 4.4190

hmin ? 2.3152 (t ? 25.6426).
t ? 25.6426 )


结论:可以肯定地说,后一种数据处理方式更加合理,其结果也 更加可信。 但是,通过比较运用前后两种数据处理办法所获得的CD4含量表达 式 f (t ) 和HIV的含量表达式h(t ) ,发现这两组表达式差别不大。 这也验证了CD4 / HIV的表达式

p(t ) ? ?0.448t 2 ? 2.7894 t ? 25.2694
的可信性。在后面只有CD4检测数据而没有HIV数据的情况下,假如 使用HIV函数表达式时,完全可以利用公式

f (t ) h(t ) ? p (t )
来导出。

3.6.4 附件2所记录四种治疗方案的比较和评价 按照第1、2、3、4种疗法把测试的1300多名病人分成四组(由于 是随机分组的,所以不需要考虑一些特殊情况的存在)。再分别将 各种疗法的数据按就近原则将周次划分为六个。分别为:0周、8周、 16周、24周、32周、40周,求得各周的CD4的平均值,在每一组中, 计算出各周次(把相近的周次累加求平均值所得)CD4的平均值, 各种疗法相关数据依次见以下四个表。
疗法1
周次 病人数目 CD4含量 0 320 2.979155 8.06 222 2.834102 15.55 204 2.800995 22.46 210 2.647331 31.00 177 2.525201 36.78 111 2.380644

疗法2
周次 0 7.86 15.53 22.70 31.05 37.00

病人数目
CD4含量

322
2.934237

220
2.965606

119
2.878182

212
2.635428

155
2.593345

126
2.562779

疗法3
周次 病人数目 CD4含量 0 327 2.906508 7.83 192 3.102433 14.91 250 3.005653 22.56 207 2.760002 31.20 182 2.826121 37.68 86 2.77641

疗法4
周次
病人数目 CD4含量 0 330 2.835649 7.98 226 3.183995 15.60 229 3.242875 22.48 180 3.002974 30.49 210 3.003315 37.10 121 2.84613

根据各表的数据,拟合出各疗法对应的CD4的含量与时间的函数关 系分别为

f1 (t ) ? ?0.001t 2 ? 0.0102t ? 2.9643,

f 2 (t ) ? ?0.001t 2 ? 0.0097t ? 2.9865, f3 (t ) ? ?0.004t 2 ? 0.0069t ? 2.9619,
f 4 (t ) ? ?0.0009t 2 ? 0.0315t ? 2.8970.

疗法1

疗法2

疗法3

疗法4

注意到四种疗法第0周的CD4含量平均值各不相同,这不利于对不 同疗法的治疗效果进行相对比较。为此,记各种疗法的初始CD4含量 平均值分别为

C1 ? 2.979155, C2 ? 2.934237, C3 ? 2.906508, C4 ? 2.835649.
将疗法1、2、3、4各周CD4的平均含量分别减去 C1 , C2 , C3 , C4 得到CD4的差值,所有差值加上 C 4 后重新拟合曲线得到对比图。
疗法 1 周次 CD4的差值 CD4平均值 CD4的差值 CD4平均值 CD4的差值 CD4平均值 0 0 2.979155 0 2.93437 0 2.906508 8 -0.145053 2.834102 0.031369 2.965606 0.1959 3.102933 16 -0.17816 2.800995 -0.056.055 2.878182 0.099145 3.005653 24 -0.331824 2.647331 -0.298809 2.635428 -0.146506 2.760002 32 -0.453954 2.525201 -0.3409 2.593345 -0.08298 2.826121 40 -0.598511 2.380644 -0.3715 2.562779 -0.1301 2.7764

2

3

4

CD4的差值
CD4平均值

0
2.835649

0.348346
3.183995

0.407226
3.242875

0.167325
3.002974

0.167666
3.003315

0.010481
2.84613

应用Matlab软件拟合出这四种

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