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26.1二次函数(7)有关符号的判断


二次函数的符号问题
(a、b、c、△等符号)

创境导入
1.已知二次函数的解析式如y=-2x2 +3x-1,同学 们很快能判定开口方向、顶点位置、对称轴,画 出草图;反过来,已知二次函数的草图,如何确 定a、b、c的符号?

学习目标
1.会根据二次函数的图像判断一些代数式的符号. 2.灵活的掌握二次函数的图像与系数之间的关系 3.培养学生的审美观点及二次函数的对称美.

自学指导:
探究1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有 关?如何确定a的符号? 探究2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点 是 .如何确定c的符号? 探究3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是______?
如何确定b的符号?
1 2 3 探究4:已知抛物线y ? x ? x ? 2, 求其与x轴的交点坐标 2 2 思考:抛物线与x轴的交点的个数与什么有关?

精讲点拨:
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题: (1)a的符号:由抛物线的开口方向确定 开口向上 开口向下 a>0 a<0

由抛物线与y轴的交点位置确定 (2)C的符号: 交点在x轴上方 c>0

交点在x轴下方
经过坐标原点

c<0
c=0

先定a的符号,由对称轴的位置确定 (3)b的符号:

对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧
对称轴是y轴

a、b同号 a、b异号 b=0

口诀:同号在左,异号在右 (4)b2-4ac的符号: 由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0

尝试练习:
1、抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、b、c、 △的符号: y

a>0 b<0 c>0 △>0

o

x

2、抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、b、c、 △的符号: y

a>0 b>0 c=0 △>0
x

o

练一练
抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、b、c、△ 的符号: y

a<0 b<0 c>0
x

o

△>0

你行的!

抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、b、c、△ 的符号: y

a>0
o x

b<0 c>0 △=0

抛物线y=ax +bx+c如图所示,试确定a、b、c、△ 的符号: y

跳一跳! 2

o

x

a>0 b=0 c=0 △=0

相信自己!
抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、b、c、△ 的符号: y

o

x

a<0 b>0 c<0 △<0

你行的!
已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, b 则点M( ,a)在 ( D ) c A、第一象限 B、第二象限 y
C、第三象限 D、第四象限

o

x

努力吧!
已知:一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c, 它们在同一坐标系中的大致图象是图中的( C ) y y

o
(A) y

o
x (B) y

x

o

x (C)

o (D)

x

探究5:
已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下 列结论中:①abc>0;②b=2a;③a+b+c<0;④ a+b-c>0; ⑤a-b+c>0正确的个数是 ( ) C y A、2个 B、3个

C、4个

D、5个

-1 o

1

x

精讲点拨: 2

抛物线y=ax +bx+c的符号问题:

(5)a+b+c的符号: 由x=1时抛物线上的点的位置确定 a+b+c>0 点在x轴上方 a+b+c<0 点在x轴下方 点在x轴上 a+b+c=0 (6)a-b+c的符号: 由x=-1时抛物线上的点的位置确定 a-b+c>0 点在x轴上方 a-b+c<0 点在x轴下方 点在x轴上 a-b+c=0

练一练:
1、已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 下列结论中不正确的是 ( D ) y A、abc>0 B、b2-4ac>0

C、2a+b>0
D、4a-2b+c<0

-1 o

1

x

练一练:
2、已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 下列结论中:①b>0;②c<0;③4a+2b+c > 0; ④(a+c)2<b2,其中正确的个数是 ( B ) A、4个 B、3个

C、2个

D、1个

y

o
x=1

x

谈谈你的收获? 1 a、b、c、△等符号性质 2 a+b+c的符号 3 a-b+c的符号 4 解信息题技巧`

当堂训练
1.(天津)已知二次函数y=ax2+bx+c, 且a<0,a-b+c>0,则一定有( A ) A.b2-4ac>0 B. b2-4ac=0 C.b2-4ac<0 D. b2-4ac≤0 2.(重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图 c 像如图所示,则点M(b, a )在 (D ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 a <0,b >0,c >0

-1

3.(河北省)在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax2+c的图像大致为 ( B )

4.(山西省)二次函数y=x2+bx+c 的图像如图所示,则函数值 y<0时,对应的x取值范围 是 -3<x<1 .

-3



.-3

5、已知二次函数y=ax2+bx+c的 图像如图所示,下列结论: ① a+b+c<0,②a-b+c>0; ③ abc>0;④b=2a 中正确个数为 (A ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 当x= 1时,y=a+b+c a <0,b <0,c>0 当x=-1时,y=a-b+c x=- b/2a=-1

6、无论m为任何实数,二次函数y=x2-(2-m)x+m 的图像总是过点 (C ) A.(1,3) B.(1,0) C.(-1,3) D.(-1,0)

7.(安徽)二次函数y=ax2+bx+c 的图像如图,则下列a、b、 c间的关系判断正确的是 ( ) D A.ab < 0 B.bc < 0 C.a+b+c > 0 D.a-b+c < 0 a <0,b <0,c <0

8.(绵阳)二次函数y=ax2+bx+c的 图像如图,则不等式bx+a>0的 解为 (D ) A.x > a/b B.x > -a/b C.x < a/b D.x < -a/b
a <0,b <0

9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示, 那么下列判断不正确的有( D ) A.abc>0 B. b2-4ac>0 C.2a+b>0 D.4a-2b+c<0 X= - b/2a<1 ∴-b<2a ∴2a+b>0 当x=-2时, y=4a-2b+c >0

10、若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两

个交点,则a的取值范围是 ( D )
A.a>0 B.a>- 4/9

C.a> 9/4

D.a<9/4且a≠0

小结 抛物线y=ax2+bx+c的符号问题: (1)a的符号:由抛物线的开口方向确定 由抛物线与y轴的交点位置确定 (2)C的符号: (3)b的符号: 由对称轴的位置确定

(4)b2-4ac的符号:由抛物线与x轴的交点个数确定
由x=1时抛物线上的点的位置确定 (5)a+b+c的符号: (6)a-b+c的符号: 由x=-1时抛物线上的点的位置确定 对称轴与直线x=1 或x=-1的位置确定 (7)2a±b的符号:

四、 a、b、c符号的确定
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a,b,c与图象的关系
a
a,b a决定开口方向:a>0时,开口向上,a<0时,开口向下 a、b同时决定对称轴位置:a、b同号时对称轴在y轴左侧 a、b异号时对称轴在y轴右侧 b=0时对称轴是y轴
c决定抛物线与y轴的交点:c>0时抛物线交于y轴的正半轴

c

c=0时抛物线过原点 c<0时抛物线交于y轴的负半轴


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