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2014年高考数学(理)二轮热点专题突破讲练:第二十讲 统计、统计案例(含新题详解)


第二十讲

统计、统计案例

1.(抽样方法)(2013· 湖南高考)某学校有男、女学生各 500 名,为了解男、女学生在学 习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异, 拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查, 则宜 采用的抽样方法是( A.抽签法 C.系统抽样法 ) B.随机数法 D.分层抽样法

【解析】 由于是调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异,因此用分 层抽样方法. 【答案】 D 2.(茎叶图)(2013· 重庆高考)以下茎叶图 6-3-1 记录了甲、乙两组各五名学生在一次 英语听力测试中的成绩(单位:分). 甲组 9 x 7 2 4 乙组 0 1 2 9 5 4 y 8

图 6-3-1 已知甲组数据的中位数为 15,乙组数据的平均数为 16.8,则 x,y 的值分别为( A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8 )

【解析】 由于甲组数据的中位数为 15=10+x,∴x=5.

9+15+?10+y?+18+24 又乙组数据的平均数为 =16.8, 5 ∴y=8.∴x,y 的值分别为 5,8. 【答案】 C 3.(回归分析)(2013· 湖北高考)四名同学根据各自的样本数据研究变量 x,y 之间的相关 关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论: ^ ^ ①y 与 x 负相关且y=2.347x-6.423;②y 与 x 负相关且y=-3.476x+5.648;③y 与 x 正 ^ ^ 相关且y=5.437x+8.493;④y 与 x 正相关且y=-4.326x-4.578. 其中一定不正确 的结论的序号是( ... )

A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 【解析】 由正负相关性的定义知①④一定不正确. 【答案】 D 4.(样本估计总体)(2013· 辽宁高考)某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直 方图如图,数据的分组依次为:[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于 60 分的人数是 15,则该班的学生人数是( )

图 6-3-2 A.45 B.50 C.55 D.60 【解析】 根据频率分布直方图的特点可知,低于 60 分的频率是(0.005+0.01)×20= 0.3,所以该班的学生人数是 【答案】 B 5.(独立性检验)为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系,现随机抽取 50 15 =50. 0.3

名学生,得到如下 2×2 列联表: 理科 13 男 7 女 2 2 已知 P(K ≥3.841)≈0.05,P(K ≥5.024)≈0.025. 文科 10 20

50×?13×20-10×7?2 根据表中数据,得到 k= ≈4.844. 23×27×20×30 则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为_____. 【解析】 ∵k≈4.844,这表明小概率事件发生.根据假设检验的基本原理,应该断定 “是否选修文科与性别之间有关系”成立,并且这种判断出错的可能性约为 5%.

【答案】

5%

抽样方法

(1)(2012· 山东高考)采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调 查,为此将他们随机编号为 1,2,?,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的 号码为 9.抽到的 32 人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷 A,编号落入区间[451,750]的人 做问卷 B,其余的人做问卷 C.则抽到的人中,做问卷 B 的人数为( ) A.7 B.9 C.10 D.15 (2)一支田径队有男女运动员 98 人,其中男运动员有 56 人,按男女比例用分层抽样的 方法,从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本,那么应抽取女运动员人数是________. 【 思 路 点 拨 】 (1) 确定抽样间隔 → 确定抽样号码

→ 借助等差数列求做问卷B的人数 (2) 确定女运动员的人数 → 按比例抽取 960 【自主解答】 (1)由系统抽样的特点知:抽取号码的间隔为 =30,抽取的号码依次 32 为 9,39,69,?,939. 落入区间[451,750]的有 459,489,?,729,这些数构成首项为 459,公差为 30 的等差 数列,设有 n 项,显然有 729=459+(n-1)×30,解得 n=10.所以做问卷 B 的有 10 人. (2)依题意,女运动员有 98-56=42(人).设应抽取女运动员 x 人,根据分层抽样特点, x 28 得 = ,解得 x=12. 42 98

【答案】

(1)C (2)12

1.理解三种抽样方法的特征,根据适用范围选择抽样方法进行计算. 2.三种抽样方法的异同点

变式训练 1 (1)(2013· 陕西高考)某单位有 840 名职工,现采用系统抽样方法抽取 42 人 做问卷调查, 将 840 人按 1,2, ?, 840 随机编号, 则抽取的 42 人中, 编号落入区间[481,720] 的人数为( A.11 ) B.12 C.13 D.14

(2)(2013· 合肥模拟)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人,并根据所 得数据画出样本的频率分布直方图(如图 6-3-3).为了分析居民的收入与年龄、学历、职 业等方面的关系,按下图横轴表示的月收入情况分成六层,再从这 10 000 人中用分层抽样 的方法抽出 100 人作进一步调查,则在 [2 500,3 000)( 元 ) 月收入层中应抽出的人数为 ________.

图 6-3-3 840 【解析】 (1)抽样间隔为 =20.设在 1,2, ?, 20 中抽取号码 x0(x0∈[1,20]), 在[481,720] 42 之间抽取的号码记为 20k+x0,则 481≤20k+x0≤720,k∈N*. 1 x0 ∴24 ≤k+ ≤36. 20 20 ∵ x0 ? 1 ∈ ,1?,∴k=24,25,26,?,35, 20 ?20 ?

∴k 值共有 35-24+1=12(个),即所求人数为 12. (2)由直方图可知月收入在[2 500,3 000)的频率为 0.000 5×500=0.25,再由分层抽样的 特征得 100 人中在[2 500,3 000)中应该抽出 25 人. 【答案】 (1)B (2)25

用样本估计总体

(2013· 惠州质检)某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图 如图 6-3-4 所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].

图 6-3-4 (1)求图中 a 的值; (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分; (3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比 如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.

分数段 x∶y 【思路点拨】

[50,60) 1∶1

[60,70) 2∶1

[70,80) 3∶4

[80,90) 4∶5

(1)由频率之和为 1 求 a 的值.(2)每个小矩形的面积乘以小矩形底边中

点的横坐标之和即为平均分.(3)求出每个分数段上语文成绩的人数,按比例关系得出相应 段上数学成绩的人数,求出数学成绩在[50,90)之外的人数. 【自主解答】 (1)由频率分布直方图知(2a+0.02+0.03+0.04)×10=1,解得 a=0.005. (2) 由 频 率 分 布 直 方 图 知 这 100 名 学 生 语 文 成 绩 的 平 均 分 为 55×0.005×10 + 65×0.04×10+75×0.03×10+85×0.02×10+95×0.005×10=73(分). (3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)各分数段的人数依 次为 0.005×10×100=5,0.04×10×100=40,0.03×10×100=30,0.02×10×100=20. 1 4 由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为 5,40× =20,30× = 2 3

5 40,20× =25. 4 故数学成绩在[50,90)之外的人数为 100-(5+20+40+25)=10.

1.本题在求解过程中,常误认为直方图的高是频率而导致计算错误. 2.在频率分布直方图中估计中位数和平均数的方法 (1)中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等. (2)平均数:在频率分布直方图中,平均数等于图中每个小矩形面积乘以小矩形底边中 点的横坐标之和. 3.平均数反映了数据取值的平均水平,标准差、方差描述了一组数据波动的大小.标 准差、方差越大,数据的离散程度越大,越不稳定;标准差、方差越小,数据的离散程度越 小,越稳定. 变式训练 2 (2013· 安徽高考)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况, 用简单随机抽样,从这两校中各抽取 30 名高三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为 样本,样本数据的茎叶图如图 6-3-5.

图 6-3-5 (1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估 计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60 分及 60 分以上为及格); (2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 x 1, x 2,估计 x 1- x 的值. 【解】 (1)设甲校高三年级学生总人数为 n. 30 由题意知 =0.05,解得 n=600. n 样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为 5, 据此估计甲校高三年级这次联考数
2

5 5 学成绩的及格率为 1- = . 30 6 (2)设甲、乙两校样本平均数分别为 x′1 , x′2 . 根据样本茎叶图可知 30( x′1 - x′2 )=30 x′1 -30 x′2 =(7-5)+(55+8-14)+(24-12-65)+(26-24-79)+(22-20)+92=2+49-53-77 +2+92=15. 因此 x′1 - x′2 =0.5.故 x 1- x 2 的估计值为 0.5 分.

线性回归方程的应用

(2013· 重庆高考)从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月 收入 xi(单位:千元)与月储蓄 yi(单位:千元)的数据资料,算得 ?xi=80, ?yi=20, ?xiyi=
i=1 i=1 i=1 10 10 10

184, ?x2 i =720.
i=1

100

^ ^ ^ (1)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程y=bx+a; (2)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (3)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.

^ ^ ^ ^ i=1 附:线性回归方程y=bx+a中,b=

?xiyi-n x y
2 ?x2 i -n x n

n

^ ^ ,a= y -b x ,其中 x , y 为样本

i=1

平均值. ^ ^ 【思路点拨】 (1)求 x , y ,代入求b,a;得回归直线方程;(2)根据回归方程作出判 断与预测. 【自主解答】 1n 80 (1)由题意知 n=10, x = ?xi= =8, ni=1 10

1n 20 y = ?yi= =2, ni=1 10
2 2 又 lxx= ?x2 i -n x =720-10×8 =80, i=1 n

lxy= ?xiyi-n x y =184-10×8×2=24,
i=1

n

^ l ^ ^ 24 xy 由此得b= = =0.3,a= y -b x =2-0.3×8=-0.4. lxx 80 ^ 故所求线性回归方程为y=0.3x-0.4. ^ (2)由于变量 y 的值随 x 值的增加而增加(b=0.3>0),故 x 与 y 之间是正相关. (3)将 x=7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y=0.3×7-0.4=1.7(千元).

^ ^ 1.正确理解计算b、a的公式和准确的计算,是求线性回归方程的关键. ^ ^ ^ 2.回归直线方程y=bx+a必过样本点中心( x , y ). 3.在分析两个变量的相关关系时,可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是 否具有相关关系,若具有线性相关关系,则可通过线性回归方程估计和预测变量的值. 变式训练 3 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价 格进行试销,得到如下数据: 单价 x(元) 销量 y(件) 8 90 8.2 84 8.4 83 8.6 80 8.8 75 9 68

^ ^ ^ ^ ^ ^ (1)求回归直线方程y=bx+a,其中b=-20,a= y -b x ; (2)预计在今后的销售中, 销量与单价仍然服从(1)中的关系, 且该产品的成本是 4 元/件, 为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本) 1 【解】 (1)由于 x = (8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5, 6 ^ 1 y = (90+84+83+80+75+68)=80,又b=-20, 6 ^ ^ ^ 所以a= y -b x =80+20×8.5=250,从而回归直线方程为y=-20x+250. (2)设工厂获得的利润为 L 元,依题意得 L=x(-20x+250)-4(-20x+250) =-20x2+330x-1 000 =-20(x-8.25)2+361.25. 当且仅当 x=8.25 时,L 取得最大值. 故当单价定为 8.25 元时,工厂可获得最大利润.

独立性检验及应用

电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况, 随机 抽取了 100 名观众进行调查. 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频 率分布直方图:

图 6-3-6

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有 关?

非体育迷 男 女 合计

体育迷

合计

10

55

(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样 方法每次抽取 1 名观众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X.若每次 抽取的结果是相互独立的,求 X 的分布列,期望 E(X)和方差 D(X). 附:

P(K2≥k) k n?ad-bc?2 K2= . ?a+b??c+d??a+c??b+d? 【思路点拨】

0.05 3.841

0.01 6.635

(1)由频率分布直方图分别求“体育迷”的总人数,男“体育迷”的人

数,填 2×2 列联表,计算 K2 并作出判断.(2)X 服从二项分布,利用公式求 E(X)和 D(X). 【自主解答】 (1)由频率分布直方图,“体育迷”的频率是(0.005+0.020)×10=0.25.

∴“体育迷”观众共有 100×0.25=25 人, 因此,男“体育迷”观众有 25-10=15 人. 由此可列 2×2 的列联表如下: 非体育迷 男 女 合计 30 45 75 体育迷 15 10 25 合计 45 55 100

将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 n?ad-bc?2 100?30×10-45×15?2 k= = ?a+b??c+d??a+c??b+d? 75×25×45×55 = 100 ≈3.030. 33

∵3.030<3.841. ∴我们没有理由认为“体育迷”与性别有关. (2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25,将频率视为概率,即从观众中 1 抽取一名“体育迷”的概率为 . 4 1 由题意知 X~B(3, ),从而 X 的分布列为 4 X P 1 3 E(X)=np=3× = , 4 4 1 3 9 D(X)=np(1-p)=3× × = . 4 4 16 0 27 64 1 27 64 2 9 64 3 1 64

1.求解本题的关键是利用频率分布直方图提供的信息列 2×2 列联表. 2.解决独立性检验问题的关键是正确作出 2×2 列联表,然后利用 K2 的计算公式求出

其观测值,然后对照临界值,作出结论. 1? 3.由于 X~B? ?3,4?,利用二项分布的性质与计算公式简化运算. 变式训练 4 (2013· 福建高考)某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以 下工人 200 名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中 抽取了 100 名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以 上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组: [50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方 图.

25 周岁以上组

25 周岁以下组 图 6-3-7

(1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人, 求至少抽到一名“25 周 岁以下组”工人的概率; (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成 2×2 列联表,并判断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”? n?ad-bc?2 附:K2= ?a+b??c+d??a+c??b+d? P(χ2≥k) k 0.100 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828

【解】 (1)由已知得,样本中有 25 周岁以上组工人 60 名,25 周岁以下组工人 40 名, 所以,样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中,25 周岁以上组工人有 60×0.05= 3(人),25 周岁以下组工人有 40×0.05=2(人). ∴日平均生产件数不足 60 件的工人有 3+2=5 人. 从 5 人中任取 2 人有 n=C2 5=10 种取法. 记“至少抽到一名 25 周岁以下组”为事件 A,则 A 表示“抽到的 2 人均是 25 周岁以 上组”. ∵P( A )= C2 3 3 = =0.3. 10 10

故 P(A)=1-P( A )=1-0.3=0.7. (2)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 名工人中,“25 周岁以上组”中的生产能手 60×0.25=15(人),“25 周岁以下组”中的生产能手 40×0.375=15(人), 因此可列 2×2 的列联表如下: 生产能手 25 周岁以上组 25 周岁以下组 合计 15 15 30 非生产能手 45 25 70 合计 60 40 100

n?ad-bc?2 所以得 K2= ?a+b??c+d??a+c??b+d? = 100×?15×25-15×45?2 25 = ≈1.79. 14 60×40×30×70

因为 1.79<2.706, 所以没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.

从近两年高考命题看,以概率和统计知识为结合点,以生活中的热点问题为背景,较全 面的考查了学生用概率统计知识解决实际问题的能力.预测 2014 年高考仍将以此为载体全 面考查学生的应用意识和分析问题的能力.

概率与统计交汇问题的求解方法 (12 分)某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 6-3- 8 所示,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].

图 6-3-8

(1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的 人数记为 ξ,求 ξ 的数学期望.

【规范解答】 解得 x=0.018.

(1)由频率分布直方图知(0.006×3+0.01+x+0.054)×10=1,

3 分 (2)由频率分布直方图知成绩不低于 80 分的学生人数为(0.018+0.006)×10×50=12, 成 绩在 90 分以上(含 90 分)的人数为 0.006×10×50=3.

5分 因此 ξ 可能取 0,1,2 三个值. P(ξ=0)= P(ξ=2)= C2 6 C1 C1 9 9 9· 3 2 = ,P(ξ=1)= 2 = , C12 11 C12 22 C2 1 3 = . C2 22 12 9 分 ξ 的分布列为 ξ P 0 6 11 1 9 22 2 1 22 12

6 9 1 1 故 E(ξ)=0× +1× +2× = . 11 22 22 2 分 【阅卷心语】 易错提示 (1)不能正确运用频率分布直方图求出 x 的值及有关数据.

(2)计算能力差,求错 P(ξ=k)(k=0,1,2)的概率,导致错误. (3)解题步骤不规范,没有适当的文字说明. 防范措施 (1)认真审题,根据题目要求,准确从图表中提取信息.

(2)正确找出随机变量 ξ 的取值,并求出取每一个值的概率,提高计算能力. (3)要注意语言叙述的规范性,解题步骤应清楚、正确、完整,不要漏掉必要说明及避 免出现严重跳步现象.

1.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,抽取了总成绩介于 350 分到 650 分之间的 10 000 名学生成绩,并根据这 10 000 名学生的总成绩画了样本的频率分 布直方图(如图 6-3-9),则总成绩在[400,500)内共有( )

图 6-3-9 A.5 000 人 C.3 250 人 【解析】 D.2 500 人 由频率分布直方图可求得 a = 0.005 ,故 [400,500) 对应的频率为 (0.005 + B.4 500 人

0.004)×50=0.45,相应的人数为 4 500 人. 【答案】 B

图 6-3-10 2.某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图 6-3 -10 所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (1)根据茎叶图计算样本均值; (2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间 12 名工人 中有几名优秀工人? (3)从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有 1 名优秀工人的概率. 1 【解】 (1)由茎叶图可知,样本数据为 17,19,20,21,25,30,则 x = (17+19+20+21+ 6 25+30)=22, 故样本均值为 22. 2 1 (2)日加工零件个数大于样本均值的工人有 2 名,故优秀工人的频率为 = ,该车间 12 6 3 1 名工人中优秀工人大约有 12× =4(名),故该车间约有 4 名优秀工人. 3
1 (3)记“恰有 1 名优秀工人”为事件 A,其包含的基本事件总数为 C1 4C8=32,所有基本

32 16 事件的总数为 C2 . 12=66,由古典概型概率公式,得 P(A)= = 66 33

16 所以恰有 1 名优秀工人的概率为 . 33


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