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高考文科数学数列经典大题训练(附答案)


1.(本题满分 14 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 4an ? 3 (n ? 1, 2,?) , (1)证明:数列 ?an ? 是等比数列; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn?1 ? an ? bn ( n ? 1, 2,?) , b1 ? 2 ,求数列 ?bn ? 的通项公 式.

2.(本小题满分 12 分) 等比数列

?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 . 1.求数列 ?an ? 的通项公式.

?1? 2.设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ? ? 的前项和. ? bn ?

3.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? an ? 3? 22n?1 (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 令 bn ? nan ,求数列的前 n 项和 Sn

1

4.已知等差数列{an}的前 3 项和为 6,前 8 项和为﹣4.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; n﹣1 * (Ⅱ)设 bn=(4﹣an)q (q≠0,n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

5.已知数列{an}满足,
(1)令 bn=an+1﹣an,证明:{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式.

,n∈N .

×

2

3

1.解: (1)证:因为 Sn ? 4an ? 3 (n ? 1, 2,?) ,则 Sn ?1 ? 4an ?1 ? 3 (n ? 2,3,?) , 所以当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 4an ? 4an?1 , 整理得 an ?
4 an ?1 . 3

5分

由 Sn ? 4an ? 3 ,令 n ? 1 ,得 a1 ? 4a1 ? 3 ,解得 a1 ? 1 . 所以 ?an ? 是首项为 1, 公比为 分
4 (2)解:因为 an ? ( ) n ?1 , 3 4 由 bn?1 ? an ? bn (n ? 1, 2,?) ,得 bn ?1 ? bn ? ( ) n ?1 . 3
4 的等比数列. 3

7

9分

由累加得 bn ? b1 ? (b2 ? b`1 ) ? (b3 ? b2 ) ? ? ? (bn ? bn ?1 )

4 1 ? ( ) n ?1 4 3 =2? (n ? 2) , ? 3( ) n ?1 ? 1 , 4 3 1? 3 4 当 n=1 时也满足,所以 bn ? 3( ) n ?1 ? 1 . 3
2 3 2 2.解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 所以 q 2 ? ? 9a2a6 得 a3 ? 9a4

1 。有条件 9

1 可知 a>0,故 q ? 。 3 1 1 由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2q ? 1 ,所以 a1 ? 。故数列{an}的通项式为 an= n 。 3 3

(Ⅱ

) bn ? log1 a1 ? log1 a1 ? ... ? log1 a1

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) n(n ? 1) ?? 2



1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1

4

2n 1 所以数列 { } 的前 n 项和为 ? n ?1 bn

3.解: (Ⅰ)由已知,当 n≥1 时,

an?1 ? [(an?1 ? an ) ? (an ? an?1 ) ? ?? (a2 ? a1 )] ? a1 ? 3(22n?1 ? 22n?3 ? ? ? 2) ? 2
? 22( n ?1) ?1 。

而 a1 ? 2, 所以数列{ an }的通项公式为 an ? 22 n?1 。 (Ⅱ)由 bn ? nan ? n ? 22n?1 知

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 25 ? ?? n ? 22n?1
从而



22 ? Sn ? 1? 23 ? 2 ? 25 ? 3 ? 27 ? ?? n ? 22n?1
①-②得



(1 ? 22 ) ? Sn ? 2 ? 23 ? 25 ? ?? 22n?1 ? n ? 22n?1

1 Sn ? [(3n ? 1)22 n ?1 ? 2] 9



4.解: (1)设{an}的公差为 d,
由已知得 解得 a1=3,d=﹣1 故 an=3+(n﹣1) (﹣1)=4﹣n; n﹣1 (2)由(1)的解答得,bn=n?q ,于是 0 1 2 n﹣1 n Sn=1?q +2?q +3?q +…+(n﹣1)?q +n?q . 若 q≠1,将上式两边同乘以 q,得 1 2 3 n n+1 qSn=1?q +2?q +3?q +…+(n﹣1)?q +n?q . 将上面两式相减得到 (q﹣1)Sn=nq ﹣(1+q+q +…+q
n 2 n﹣1



5

=nq ﹣

n

于是 Sn=

若 q=1,则 Sn=1+2+3+…+n=

所以,Sn=

5.解: (1)证 b1=a2﹣a1=1,
当 n≥2 时, 所以{bn}是以 1 为首项, (2)解由(1)知 为公比的等比数列. ,

当 n≥2 时,an=a1+(a2﹣a1)+(a3﹣a2)++(an﹣an﹣1)=1+1+(﹣ )+…+

=

=

=



当 n=1 时, 所以

. .

6

7

8

9

10


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