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【师说】2015高考数学(理)一轮复习课后练习:3.4 简单的三角恒等变换]


3.4 简单的三角恒等变换

一、选择题 π ? 4 ? π? ? π? 1.如果 α∈? ) ?2,π?,且 sinα=5,那么 sin?α+4?+cos?α+4?=( 4 2 4 2 A. B.- 5 5 3 2 3 2 C. D.- 5 5 4 π 3 解析:∵sinα= , <α<π,∴cosα=- . 5 2 5 π π 3 2 ? ? ? 则 si

n? ?α+4?+cos?α+4?= 2cosα=- 5 ,故选 D. 答案:D π π? 2.函数 f(x)=sin2x+ 3sinxcosx 在区间? ) ?4,2?上的最大值是( 1+ 3 A.1 B. 2 3 C. D.1+ 3 2 1-cos2x 3 解析:f(x)= + sin2x 2 2 π? 1 =sin? ?2x-6?+2. π π? 又 x∈? ?4,2?, π π 5π? , , ∴2x- ∈? 6 ?3 6 ? 1 3 ∴f(x)max=1+ = .故选 C. 2 2 答案:C π 2 ? 3.已知 tanα 和 tan? ?4-α?是方程 ax +bx+c=0 的两个根,则 a、b、c 的关系是( A.b=a+c B.2b=a+c C.c=b+a D.c=ab π ? b tanα+tan? ?4-α?=-a, 解析: π ? c tanαtan? ?4-α?=a, b - a π b c ∴tan = =1.∴- =1- . 4 c a a 1- a ∴-b=a-c.∴c=a+b. 答案:C 2cos10° -sin20° 4. 的值是( ) sin70° 1 3 A. B. 2 2 C. 3 D. 2

)

? ? ?

2cos?30° -20° ?-sin20° 解析:原式= sin70° 2?cos30° cos20° +sin30° sin20° ?-sin20° = sin70° 3cos20° = = 3. cos20° 答案:C 1-tan240° 30′ 2 5.设 a= (sin56° -cos56° ),b=cos50° cos128° +cos40° cos38° ,c= ,d 2 1+tan240° 30′ 1 = (cos80° -2cos250° +1),则 a,b,c,d 的大小关系为( ) 2 A.a>b>d>c B.b>a>d>c C.d>a>b>c D.c>a>d>b 解析:a=sin(56° -45° )=sin11° . b=-sin40° cos52° +cos40° sin52° =sin(52° -40° )=sin12° . 2 1-tan 40° 30′ c= =cos81° =sin9° . 1+tan240° 30′ 1 d= (2cos240° -2sin240° )=cos80° =sin10° . 2 ∴b>a>d>c. 答案:B πx πx πx πx? 6.设 M? ?cos 3 +cos 5 ,sin 3 +sin 5 ?(x∈R)为坐标平面内一点,O 为坐标原点,记 f(x) =|OM|,当 x 变化时,函数 f(x)的最小正周期是( ) A.30π B.15π C.30 D.15 解析:f(x)=|OM| π π π π ? = 2+2? ?cos3xcos5x+sin3xsin5x? π π ? = 2+2cos? ?3x-5x? 2 1+cos πx? = 2? 15 ? ? 2π ? = 2? ?1+2cos 15x-1? π = 4cos2 x 15 π ? =2? ?cos15x?. π 所以其最小正周期 T= =15. π 15 答案:D 二、填空题 7.若锐角 α、β 满足(1+ 3tanα) (1+ 3tanβ)=4,则 α+β=__________. 解析:由(1+ 3tanα)(1+ 3tanβ)=4, tanα+tanβ 可得 = 3,即 tan(α+β)= 3. 1-tanαtanβ π 又 α+β∈(0,π),∴α+β= . 3 π 答案: 3

π ? 3 8.在△ABC 中,已知 cos? ?4+A?=5,则 cos2A 的值为__________. π π π ? 解析:cos? ?4+A?=cos4cosA-sin4sinA 2 3 = (cosA-sinA)= , 2 5 3 2 ∴cosA-sinA= >0.① 5 π π ∴0<A< ,∴0<2A< 4 2 18 7 ①2 得 1-sin2A= ,∴sin2A= . 25 25 24 2 ∴cos2A= 1-sin 2A= . 25 24 答案: 25 1 9.已知 sinαcosβ= ,则 cosαsinβ 的取值范围是__________. 2 解析:方法一:设 x=cosα· sinβ, 1 则 sin(α+β)=sinα· cosβ+cosα· sinβ= +x, 2 1 sin(α-β)=sinα· cosβ-cosα· sinβ= -x. 2 ∵-1≤sin(α+β)≤1,-1≤sin(α-β)≤1, 1 3 1 -1≤ +x≤1, - ≤x≤ , 2 2 2 ∴ ∴ 1 1 3 -1≤ -x≤1, - ≤x≤ , 2 2 2 1 1 ∴- ≤x≤ . 2 2 方法二:设 x=cosα· sinβ, 1 sinα· cosβ· cosα· sinβ= x. 2 即 sin2α· sin2β=2x. 由|sin2α· sin2β|≤1,得|2x|≤1, 1 1 ∴- ≤x≤ . 2 2 1 1? 答案:? ?-2,2? 三、解答题 10.已知函数 f(x)=2sinxcosx+cos2x. π? (1)求 f? ?4?的值; α? 2 (2)设 α∈(0,π),f? ?2?= 2 ,求 sinα 的值. 解析:(1)∵f(x)=sin2x+cos2x, π? π π ∴f? ?4?=sin2+cos2=1. α? 2 (2)∵f? ?2?=sinα+cosα= 2 . π? 1 3 ? π? ∴sin? ?α+4?=2,cos?α+4?=± 2 .

? ? ?

? ? ?

π π? sinα=sin? ?α+4-4? 1 2 2 3 = × -? ± ? × 2 2 ? 2? 2 2? 6 = . 4 ∵α∈(0,π),∴sinα>0. 2+ 6 故 sinα= . 4 π 1 π 2x+ ?的最小正周期, α+ β?,-1?, 11. 已知 0<α< , β 为 f(x)=cos? a=? tan? 8 4 ? ? ? ? ? ? b=(cosα, 4 2cos2α+sin2?α+β? 2),且 a· b=m,求 的值. cosα-sinα π? 解析:因为 β 为 f(x)=cos? ?2x+8?的最小正周期,故 β=π. 1 ? 因 a· b=m,又 a· b=cosα· tan? ?α+4β?-2, 1 α+ β?=m+2. 故 cosα· tan? ? 4 ? π 由于 0<α< , 4 2cos2α+sin2?α+β? 2cos2α+sin?2α+2π? 所以 = cosα-sinα cosα-sinα 2cos2α+sin2α 2cosα?cosα+sinα? = = cosα-sinα cosα-sinα 1+tanα =2cosα 1-tanα π? =2cosα· tan? ?α+4? =2(2+m)=4+2m. π+2x 12.设 a=?sin2 b. ,cosx+sinx?,b=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=a· 4 ? ? (1)求函数 f(x)的解析式; π 2π? (2)已知常数 ω>0,若 y=f(ωx)在区间? ?-2, 3 ?上是增函数,求 ω 的取值范围; 2 ? ? π (3)设集合 A=?x|6≤x≤3π?,B={x||f(x)-m|<2},若 A?B,求实数 m 的取值范围. ? ? 2π+2x 解析:(1)f(x)=sin · 4sinx+(cosx+sinx)· (cosx-sinx) 4 π ? 1-cos? ?2+x? =4sinx· +cos2x 2 =2sinx(1+sinx)+1-2sin2x =2sinx+1, ∴f(x)=2sinx+1. (2)∵f(ωx)=2sinωx+1,ω>0. 2kπ π 2kπ π ? π π 由 2kπ- ≤ωx≤2kπ+ ,得 f(ωx)的增区间是? ? ω -2ω, ω +2ω?,k∈Z. 2 2 π 2π? ∵f(ωx)在? ?-2, 3 ?上是增函数, π 2π? ? π π? ∴? ?-2, 3 ???-2ω,2ω?.

3? π π 2π π ∴- ≥- 且 ≤ ,∴ω∈? ?0,4?. 2 2 ω 3 2ω (3)由|f(x)-m|<2,得-2<f(x)-m<2, 即 f(x)-2<m<f(x)+2. π 2 ∵A?B,∴当 ≤x≤ π 时, 6 3 不等式 f(x)-2<m<f(x)+2 恒成立. ∴f(x)max-2<m<f(x)min+2, π? ?π? ∵f(x)max=f? ?2?=3,f(x)min=f?6?=2, ∴m∈(1,4).


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