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结构力学课件


第3章 静定结构内力计算

第3章 静定结构的受力分析

主要内容
§3-1
§3-2 §3-3 §3-4 §3-5 §3-6 §3-7

梁的内力计算回顾
斜梁 多跨静定梁 静定刚架 桁架 组合结构 三铰拱

§3-1


梁的内力

计算回顾

在本章中要介绍的静定结构有: 简支梁、悬臂梁


▲ ▲ ▲ ▲

多跨静定梁
刚架 桁架 组合结构 三铰拱

§3-1

梁的内力计算回顾

首先回顾一下梁的内力计算。 1、计算方法 利用力的平衡原理,对每个隔离体可建立三个 平衡方程:

?X ? 0, ?Y ? 0, ?M ? 0

由此就可求得每个结构的反力和每根构件的内力。 2、内力正负号的规定 轴力FN —拉力为正 剪力FQ —使隔离体顺时针方向转动者为正 弯矩M —使梁的下侧纤维受拉者为正

§3-1
正 MAB
FNAB A端

梁的内力计算回顾
杆端内力
B端

MBA



FNBA FQBA

FQAB

弯矩图习惯绘在杆件受拉的一侧,不需标正 负号。轴力和剪力图可绘在杆件的任一侧,但需 标明正负号。

§3-1

梁的内力计算回顾
q(x) Fp M x

3、直杆内力的微分关系

y

p(x)

dx

dFQ dFN dM ? FQ , ? ? q( x ) , ? ? p( x ) dx dx dx q(x) M+dM M dx

FN

FN+d FN
FQ P(x) FQ+dFQ

§3-1
梁上 无外力 情况

梁的内力计算回顾
均布力作用 (q向下) 斜 直 线 抛物 线下 凸 为 零 处 有 极 值 集中力作用 处(FP向下) 有突 变(突 变值= FP) 有尖 角(向 下) 变 无变化 号 有 极 值 集中力 偶M作 用处

4、剪力图与弯矩图之间的关系
铰处

剪力图 水平线

无 影 响

一般 弯矩图 为斜 直线

有突变 (突变 为零 值=M)

§3-1
步骤:求反力 1)求反力

梁的内力计算回顾
画弯矩图 画剪力图 画轴力图

5、内力计算及内力图

(1)上部结构与基础的联系为3个时,对整体利用3个 平衡方程,就可求得反力。
例:
4m

4kN B C
1kN/m A 2m D 2m

?X ?0

FAX ? 1? 4 ? 4kN

?M

A

? 0 FDY ? 4 ? 2 ?1? 4 ? 2 ? 0
FAY ? 4kN

?Y ? 0

§3-1

梁的内力计算回顾

C

2m

(2)上部结构与基础的联系多于三个时,不仅要对 整体建立平衡方程,而且必须把结构打开, 取隔离体补充方程。 由整体: 例: 20kN/m ? X ? 0 FAX ? FBX

?M

A

? 0 FBY ? 20? 4 ? 6 ? 8 ? 60kN

?Y ? 0
?M
C

6m

FAY ? 20? 4 ? 60 ? 20kN

A
4m

B 4m

取右半部分为隔离体:
? 0 FAX ? 20? 4 ? 8 ? 10kN

由式1: FBX ? 10kN

§3-1
2)画弯矩图

梁的内力计算回顾
q
qL2/8 FP

(1)几种简单荷载的弯矩图
▲ 简支梁在均布荷载

作用下的弯矩图
▲ 简支梁在集中力作 L/2
M/2

FPL/4

用下的弯矩图
▲ 简支梁在集中力矩作

L/2
M

用下的弯矩图
M/2

L/2

L/2

§3-1

梁的内力计算回顾

2)用叠加法画简支梁在几种简单荷载共同作用下 的弯矩图 MB q 例1: MA q
A B

=

qL2/8 MB

MA

+
MA

+
=
qL2/8

MB
B

A

§3-1
例2:
MA
A

梁的内力计算回顾
FP L/2 L/2 MB
B

MA

结论 把两头的弯矩标在杆 端,并连以直线,然 后在直线上叠加上由 节间荷载单独作用在 简支梁上时的弯矩图
FPL/4

FP

MB MA

FPL/4

MB

§3-1

梁的内力计算回顾

3)画剪力图 要求杆件上某点的剪力,通常是以弯矩图为 基础,取一隔离体(要求剪力的点为杆端), 把作用在杆件上的荷载及已知的弯矩标上,利 用取矩方程或水平或竖向的平衡方程即可求出 所要的剪力。

例:求图示杆件的剪力图。
1m 17 A C 8 1m B 26

FQBA

§3-1
1m
17 A

梁的内力计算回顾
8 1m C B
17 9

26 FQBA

+

也可由: ?Y ? 0

由: ? M A ? 0

FQBA ? (?8 ?1 ? 26) ? 2 ? 9kN

FQCA ? 17 ? 8 ? 9kN

剪力图要注意以下问题: ▲ 集中力处剪力有突变; ▲ 没有荷载的节间剪力是常数; ▲ 均布荷载作用的节间剪力是斜线; ▲ 集中力矩作用的节间剪力是常数。

§3-1

梁的内力计算回顾

4)画轴力图

要求某杆件的轴力,通常是以剪力图为基础, 取出节点把已知的剪力标上,利用两个方程即 可求出轴力。
4


4 C +

B

FNBC

B 4 -

-4
FNBA

+4

剪力图
A
D

?X ? 0

FNBC ? ?4

?Y ? 0

FNBA ? ?4

§3-1

梁的内力计算回顾
Fp
A

6、用区段叠加法画弯矩图
对图示简支梁把其 中的AB段取出,其隔 离体如图所示: 把AB隔离体与相 应的简支梁作一对 比: 显然两者是完全 相同的。
q
L
B

M

q
MA
A B

MB FQBA

FQAB q MA
A

B

MB

MA

A

B

MB FYB

FYA

§3-1

梁的内力计算回顾
Fp
A

q
L B

M

因此上图梁中AB段的弯矩图可以用与简支梁 相同的方法绘制,即把MA和MB标在杆端,并连 以直线,然后在此直线上叠加上节间荷载单独作 用在简支梁上时的弯矩图,为此必须先求出MA 和MB。

§3-1

梁的内力计算回顾

区段叠加法画弯矩图的具体步骤如下:
▲ 首先把杆件分成若干段,求出分段点上的弯矩

值,按比例标在杆件相应的点上,然后每两点间 连以直线。
▲ 如果分段杆件的中间没有荷载作用这直线就是

杆件的弯矩图。如果分段杆件的中间还有荷载作用, 那么在直线上还要迭加上荷载单独在相应简支梁上 产生的弯矩图形。

§3-1

梁的内力计算回顾
8kN
4kN/m E 2m 2m 16kN?m G 1m 1m

例:用区段叠加法画出图示简支梁的弯矩图。
A 1m 1m C

解:a、把梁分成三段:AC、CE、EG。 b、求反力: ? M A ? 0 FY G ? (8 ?1 ? 4 ? 4 ? 4 ?16) ? 8 ? 7kN

?Y ? 0

FY A ? 8 ? 4 ? 4 ? 7 ? 17kN

c、求分段点C、G点的弯矩值:

§3-1
1m

梁的内力计算回顾
8
1m

取AC为隔离体
MC
FQCA
16kN?m

?M

C

?0

A 17

C

M C ? 17 ? 2 ? 8 ?1 ? 26kN ? m

取EG为隔离体
ME

?M

E

?0

E

FQEG

1m

1m

G FYG

M E ? 7 ? 2 ? 16 ? 30kN ? m

§3-1

梁的内力计算回顾

d、 把A、C、E、G四点的弯矩值标在杆上,点 与点之间连以直线。

然后在AC段叠加上集中力在相应简支梁上产
生的弯矩图;在CE段叠加上均布荷载在相应 简支梁上产生的弯矩图;在EG段叠加上集中

力矩在相应简支梁上产生的弯矩图。最后弯
矩图如下所示:
A 2 8

C
26

E
30 8

G

弯矩图

§3-2

斜梁

1)斜梁在工程中的应用
B A

用作楼梯梁、屋面梁等。
L

q′
A

2)作用在斜梁上的均布荷载

B

根据荷载分布情况的不同, L 有两种方法表示: ▲ 自重:力是沿杆长分布,方向垂直向下。

§3-2

斜梁

▲ 人群等活荷载:力是沿水平方向分布, 方向也是垂直向下。
q
B A L

q′
A L

B

dx

工程中习惯把自重转换成水平分布的,推导如下:

q ds ? qdx
'

q ds q q? ? dx Cos?

'

'

§3-2

斜梁

3)斜梁的内力计算

讨论时我们把斜梁与相应的水平梁作一比较。
a b
Fp2 B

(1)反力

Fp1
A C

FXA ? F ? 0
0 XA

x
L F p1 Fp2 B

FYA ? F

0 YA 0 YB

FYB ? F

A

x

C
L

斜梁的反力与相应简支 梁的反力相同。

§3-2

斜梁

(2)内力 求斜梁的任意截面C的内力,取隔离体AC:
a FP1 A
FYA x Fp1 MC

相应简支梁C点的内力为:
FNC FQC
0 MC ? FY 0 ? x ? FP1 ? ( x ? a) A
0 FQC ? FY A ? FP1

C

F

0 NC

?0

斜梁C点的内力为:
MC
0

0 MC ? FYA ? x ? FP1 ? ( x ? a) ? MC
0 FQC ? ( FYA ? FP1 )Cos? ? FQCCos?

FYA

0

FQC

0

0 FNC ? ?( FYA ? FP1 )Sin? ? ?FQC Sin?

§3-2

斜梁

结论:斜梁任意点的弯矩与水平梁相应点相同, 剪力和轴力等于水平梁相应点的剪力在沿斜梁 切口及轴线上的投影。 例:求图示斜梁的内力图。
q B

解:a、求反力
XA ? 0

?
A
L

qL FYA ? FYB ? 2

§3-2

斜梁
?
A q

q B

b、求弯矩 q M ? ( Lx ? x 2 ) 2
c、剪力和轴力 ?L ? 0 FQ ? q ? ? x ? ?2 ? ?L ? FQ ? q ? ? x ? Coc? ?2 ?
?L ? FN ? ?q ? ? x ? Sin? ?2 ?

L Mk FNk FQk

A
FYA x q

k

Mk FYA
0

0

F

0 Qk

§3-2

斜梁
B
2

d、画内力图
qL 8

A
qLcosα 2


弯矩图 qL sinα


B


2 B

A

qLcosα 2



剪力图

A qL sin α 2

轴力图

§3-3

多跨静定梁

1)多跨静定梁的组成
由若干根梁用铰联接后跨越几个相连跨度的 静定结构——称为多跨静定梁,如图所示:

2)多跨静定梁的应用 应用于木结构的房屋檩条、桥梁结构、渡槽 结构。

§3-3

多跨静定梁

3)多跨静定梁杆件间的支撑关系 图示檩条结构的计算简图和支撑关系如下所示:
C B E

A

D

F

计算简图

C A B

E
D

F

支撑关系图

§3-3
基 本 部 分
A

多跨静定梁
附 属 部 分E
D

附 属 部 分
F

C B

支撑关系图

我们把ABC称为:基本部分,把CDE、EF称为: 附属部分。显然作用在附属部分上的荷载不仅使附 属部分产生内力,而且还会使基本部分也产生内力。 作用在基本部分上的荷载只会使基本部分产生内力。

§3-3

多跨静定梁

4)多跨静定梁的形式
多跨静定梁有以下两种形式:
第 一 种 形 式
C E D F

A

B

计算简图
E D F

C
A

B

支撑关系图

§3-3

多跨静定梁

第 二 种 形 式

A

C B

D
E F

计算简图

C A
B

D E F

支撑关系图

§3-3

多跨静定梁

5)多跨静定梁的计算 由于作用在附属部分上的荷载不仅使附属部 分产生内力,而且还会使基本部分也产生内力。 而作用在基本部分上的荷载只会使基本部分产 生内力。因此计算应该从附属部分开始。 例:求图示多跨静定梁的弯矩和剪力图。
1kN/m
B 1kN

3kN
D E F G

2kN/m
H 1m 1m

C
1m 2m

A

4m

1m 1m

3m

§3-3
1kN/m

多跨静定梁
1kN 3kN D 2m E F 3m G 2kN/m H

解:a、层次图
B
A 4m C 1m

1m 1m

1m 1m

E F A

G

H

B

C

b、求反力
F
FYF

FGH部分:
H

2kN/m

G

FYG

? ?

2? 2? 4 ? 5.33kN M F ? 0 FYG ? 3 Y ? 0 FYF ? ?5.33 ? 4 ? ?1.33kN

§3-3
C
3kN

多跨静定梁
-1.33kN F

CEF部分:
D E

3 ? 2 ? 1.33 ? 4 ? 0.23 ? M C ? 0 FYE ? 3

FYC

FYE

?Y ? 0
1kN

FYF ? 3 ? 0.23 ? 1.33 ? 1.44

ABC部分:
1kN/m A C 1.44kN

?M

A

?0

FYA

B

FYB

1? 4 ? 2 ? 2.44 ? 5 FYB ? ? 5.05kN 4

?Y ? 0

FYA ? 1? 4 ? 2.44 ? 5.05 ? 1.39kN

§3-3

多跨静定梁
2.44 4 1 1.33 2

c、画弯矩图及剪力图

2

m 弯矩图 kN·
1.39 2.44 1.44 1.33

4

1.56 2.61

剪力图 kN

§3-3

多跨静定梁

例:对图示结构要求确定E、F铰的位置,使B、C 处的支座负弯矩等于BC跨的跨中正弯矩。
q A L-x L E x L B C x L

F
L-x

D

解:以x表示铰E到B支座、铰F到C支座的距离。 a、层次图
A E B C F D

§3-3
b、求反力

多跨静定梁

q( L ? x) FYA ? FYE ? FYF ? FYD ? 2
c、求弯矩

AE、FD部分:

q( L ? x) qx 2 M B ? Mc ? x? 2 2

根据要求:M中=MB=qL2/16
q( L ? x) qx 2 qL2 x? ? 因此有: M B ? M c ? 2 2 16

由上述方程解得:

x ? 0.125 L

§3-3

多跨静定梁

qL2 M B ? MC ? ? 0.0625qL2 16 AE、FD的跨中弯矩为:

q( L ? x) 2 ? 0.0957qL2 8
0.0625qL
2 2

弯矩图
0.0625qL
2 2

0.0957qL

0.0625qL

0.0957qL

2

0.125qL

2

0.125qL

2

0.125qL

2

相应简支梁的弯矩图

§3-4

静定刚架

1)刚架的特征 由梁和柱组成,梁柱结点为刚性联 接。在刚性联接的结点处,杆件之间 不会发生相对转角、相对竖向位移和 相对水平位移。 2)刚架的应用

主要用于房屋结构、桥梁结构、地下结构等。
3)刚架的内力计算 由于刚架是梁和柱的组合,因此画内力图和梁是 一致的,只是对柱的弯矩图规定画在受拉边。

§3-4

静定刚架
20kN/m 2m 4m A B 6m D C

例1:画出图示刚架的内力图。 解:编号如图所示 a、求支座反力
30kN

E

?X ?0 ?M ? 0 ?Y ? 0
A

20 ? 6 ? 3 ? 30 ? 4 FYB ? ? 80kN 6 FYA ? 20 ? 6 ? 80 ? 40kN

FXB ? 30kN

b、作内力图

§3-4
90
60

静定刚架
40 180 +

b、作内力图
180

-

30

80 + 30 40

30

-

-

80

弯矩图kN· m

剪力图kN

轴力图kN

§3-4

静定刚架
20kN/m α

例2:作图示刚架的内力图 解:a、求反力 由于图示结构是对称的,因此:
D

C
E

20 ? 8 FYA ? FYB ? ? 80kN 2 FXA ? FXB

A
8m

B

取AC部分为隔离体: 80 ? 4 ? 20 ? 4 ? 2 ? 20kN ? ? M C ? 0 FXA ? 8

FXB ? FXA ? 20kN

6m

2m

§3-4

静定刚架
40 120 40 120

b、作弯矩图 c、作剪力图 取DC段为隔离体:
20kN/m 120 D FQDC C FQCD

弯矩图kN?m

?M
?M

C

?0
?0

D

120 ? 20 ? 4 ? 2 FQDC ? ? 62.6kN 16 ? 4 120 ? 20 ? 4 ? 2 FQCD ? ? ?8.9kN 2 5

§3-4

静定刚架
40 120 40 120

b、作弯矩图 c、作剪力图 取DC段为隔离体:
20kN/m 120 D FQDC C FQCD

弯矩图kN?m

?M
?M

C

?0
?0

D

120 ? 20 ? 4 ? 2 FQDC ? ? 62.6kN 16 ? 4 120 ? 20 ? 4 ? 2 FQCD ? ? ?8.9kN 2 5

§3-4
? MC ? 0

静定刚架
20kN/m C 120 FQCE

取CE段为隔离体:

?120 ? 20 ? 4 ? 2 FQED ? ? ?62.6kN 16 ? 4 ?ME ? 0

E
FQEC

62.6


8.9 8.9

FQCE

?120 ? 20 ? 4 ? 2 ? ? 8.9kN 16 ? 4
剪力图kN

62.6


- 20

20

§3-4

静定刚架
FNDC D FQDA FNDA FQDC

?

d、作轴力图 取D结点为隔离体:

?? ? 0
4 Cos? ? 20 2 Sin? ? 20

?

FNDC ? ?20Cos? ? 80Sin? ? ?53.6kN

取C左结点为隔离体:

20 FNCD C

?

?? ? 0
FNCD ? ?20Cos? ? ?17.88kN

§3-4

静定刚架
?
FNEC
E FQEC

取E结点为隔离体:

?? ? 0
FNEC ? ?20Cos? ? 80 Sin? ? ?53.6kN

?

FQEB FNEB

取C右结点为隔离体:

FNCE ? ?20Cos? ? ?17.8kN

?? ? 0

?
20 C

FNCE

§3-4

静定刚架
17.8 53.6 53.6

80

80

轴力图

kN

§3-4

静定刚架
2FP E (主) A 2m B 2m

例3:作图示刚架的弯矩图 算法(同多跨静定梁) ——区分主从,先从后主 (1) 先由从部分,有
?M D ? 0

D
(从)

F

FP

C

得: FYC

?FY ? 0 得: FQDF

P ? (? ) 2 P ? (?) 2

FQDF

FNDF
(从) C

F

FP

?FX ? 0 得:FNDF ? P(?)

FYA

1m 1m

§3-4

静定刚架
2FP
FNDF

(2) 再由主部分,有
FP ?M ? 0 得: FYB ? (?) A 2
E
FXA FYA 2FP 2FP 2FP

D FQDF (主)
B FYB FP D F FP FP

A

?FY ? 0 得: FYA ? 2FP (?)
?FX ? 0 得:FXA ? FP (?)
(3) 求作M图(可从两边向 中间画)M图如图所示。
FP

E
A 2FP

B

C

FP/2

FP/2

§3-4
FP

静定刚架
qL2 / 2

7) 课堂练习---快速绘制M图
q

(a)

(b)
q

(c)

(d)

(e)

(f)

§3-4
q
qL2 / 8

静定刚架
q
qL2 / 8

FP

FP

(h)

(i)

(g)
FP FP (从) FP

(j)
(主)

(k)

§3-4

静定刚架
B FP L F L+m P FP m

先画AB、CD; 再连BC (虚线);
最后在虚线上叠加 ql 2 /8
ql 2 / 8 q
B a L FPa FP C a D FP+m/l

C
FPL FP+m/l

L m m
A L

m m A

m

(m)
由∑MB=0求得

(l)

§3-4
B

静定刚架
FP

B L

m
m A

C

L D
L

FPL FP C FP L D

L

m/L L

A L FP

FP

m/L

(n)

(o)

§3-5

桁架

1)桁架的特点 由材料力学可知,受弯的实心梁,其截面的应力 分布是很不均匀的,因此材料的强度不能充分发挥。 现对实心梁作如下改造:
Fp Fp

全部改造

所示结构杆件全是二力杆, 结点是铰连接,结构是静定的, 称为:静定平面桁架。

§3-5

桁架

实际工程中的桁架是比较复杂的,与上面的理 想桁架相比,需引入以下的假定: a、所有的结点都是理想的铰结点; b、各杆的轴线都是直线并通过铰的中心; c、荷载与支座反力都作用在结点上。 2)桁架的应用 主要用于房屋的屋架结构、桥梁结构等。

§3-5

桁架

3)桁架的形式 按外型分:平行铉、三角形、梯形、折线型、 抛物线型。

平行弦

三角形

梯形

折线形

§3-5

桁架

按承受荷载分:上承式、下承式 按组成的几何构造分:静定平面桁架、超静定平面 桁架、静定空间桁架、超静定空间桁架 4)桁架的计算方法
(1)节点法 如果一个节点上的未知量少于等于2个,就可利用 ?X ? 0 ?Y ? 0 两个方程就可解出未知量。 (2)截面法 用截面切断拟求内力的杆件,从结构中取出一部 分为隔离体,然后利用三个平衡方程求出要求的力。

§3-5

桁架

(3)节点法和截面法联合运用

有的杆件用结点法求,有的杆件用截面法求。 (4)判断零杆 桁架中的某些杆件可能是零杆,计算前应先进 行零杆的判断,这样可以简化计算。零杆判断的方 法如下:
▲ 两杆节点
FN1

?X ? 0 ?Y ? 0

FN1 ? 0 FN 2 ? 0

FN2

§3-5

桁架
FN1

▲ 三杆节点

?Y ? 0 FN1 ? 0
FN3

▲ 四杆节点

?X ? 0 FN1 ? FN 2
?Y ? 0 FN 3 ? FN 4
FN1

FN2

FN4

§3-5

桁架

▲ 利用结构的对称性 由于结构对称,荷载对称,其内力和反力一定对 称。结构反对称,荷载反对称,其内力和反力一定 也反对称。利用这个规律可以进行零杆的判断。

例1:判断图示结构的零杆
Fp Fp

§3-5

桁架

例2:判断图示结构的零杆 a、图示结构在对称荷载作用下
Fp Fp

FCD

FCE

D

E

C A C B

?Y ? 0 FCD ? FCE ? 0

§3-5

桁架

b、图示结构在反对称荷载作用下
Fp Fp

D

E

A

C 对称轴

B

内力应相对 对称轴反对称, 这就要求 DE 杆 半根受拉、半根 受压,而这是做 不到的,因此它 是零杆。

§3-5

桁架

5)桁架计算举例 例1:计算图示K字型桁架中a、b杆的内力。
Fp
a b B 4d h/2 h/2

k A

FP ? 3d 3FP ? 解:a、求反力 ? M A ? 0 FYB ? 4d 4 FP 3 FP ?Y ? 0 FYA ? FP ? 4 ? 4

§3-5

桁架

5)桁架计算举例 例1:计算图示K字型桁架中a、b杆的内力。
Fp
a b B 4d h/2 h/2

k A

FP ? 3d 3FP ? 解:a、求反力 ? M A ? 0 FYB ? 4d 4 FP 3 FP ?Y ? 0 FYA ? FP ? 4 ? 4

§3-5

桁架

FNa

b、求内力 k 取k结点为隔离体:

?X ?0

FNa ? FNb

FNb

作n-n截面,取左半部分: Fp n
k
A
a b h/2 h/2

n
4d

B

?Y ? 0

FP 2 FNa Sin? ? 4

FP FNa ? FNb ? 8Sin?

§3-5

桁架
Fp C D 1 2 E F
L/2 L/2

例2:请求出图示桁架杆1、杆2的内力。

A
L/2 L/2

H
L/2

B
L/2

0.5L ? FP FP ? 解1:a、求反力 ? M A ? 0 FYB ? 2L 4 FP 3FP ?Y ? 0 FYA ? FP ? 4 ? 4

§3-5
D

桁架
Fp F
L/2 L/2

n

C

E

1

2

O1

A n
L/2 L/2

H
L/2

B
L/2

b、求内力 取n-n截面,对O1取矩:

L L 3FP L L FN 1Sin? ? ? FN 1Cos? ? ? ? ? FN 2 Sin? ? 2 2 4 2 2

?M

O1

?0

§3-5

桁架
Fp
L/2

n D

C

E

1

2

m F

O1

A n
L/2 L/2

H
L/2

mB
L/2

O2

b、求内力 取m-m截面,对O2取矩:
?0 L L FP L L FN 2 Sin? ? ? FN 2Cos? ? ? ? ? FN 1Sin? ? 2 2 4 2 2
O2

?M

L/2

§3-5

桁架

L L 3FP L L ① FN 1Sin? ? ? FN 1Cos? ? ? ? ? FN 2 Sin? ? 2 2 4 2 2

L L FP L L FN 2 Sin? ? ? FN 2Cos? ? ? ? ? FN 1Sin? ? 2 2 4 2 2
1 其中: Sin? ? 17
4 Cos? ? 17



17 FP 解得: FN 1 ? 6

FN 2

17 FP ? 12

§3-5

桁架

解2:利用结构的对称性,把荷载分成对称和反对称。 a、对称荷载作用下,中间两根杆a、b是零杆,取 C结点:
FP/2 C D
, N1

FP/2
C

FP/2

a

b
F

F

, N1

F H

, NCD

?Y ? 0

F NCD

'

0.5FP 2 FP ? ? Cos? 2

§3-5
?X ?0
' N1

桁架
F
, NCD

取D结点:
F
' N1

4 FP ? ?0 17 2

D
F
, N1

FP 17 ' F ?? ? FN 2 (拉) 8 b、反对称情况
D FP/2

FP/2
C
,, N1

FP/2 c F
,, N1

中间的c 杆是零杆,取C结点: F
C

?X ?0
FNCD 2 1 ? FNCH 2 5

H

FNCD

FNCH

§3-5

桁架
FNCD 2 2 FP ? FNCH ? 2 5 2
FP/2
C

?Y ? 0
取D结点:
F NCD
D F
,, N1

得: FNCD

?X ?0
FNCD

FP ? 3 2
FNCD
" N1

FNCH

2 4 " ? FN 1 2 17

17 FP '' F ? ? ? FN 2 24

把对称和反对称的合起来:
17 FP 17 FP 17 FP FN1 ? ? ? 8 24 6
FN 2 17 FP 17 FP 17 FP ? ? ? 8 24 12

§3-6
例:

组合结构
解:图中BD杆是轴力杆件, 其它是受弯杆件。 a、求反力

由受弯杆件和轴力杆件组成的结构称为组合结构。
B
1kN/m 3m 3m

C A
4m

D

E

2m

?Y ? 0 F ? 1? 6 ? 6kN ? M ? 0 FXA ? 1? 6 ? 3 ? 6 ? 3kN ? X ? 0 FXB ? 3kN
YA
B

b、求弯矩及轴力
取CDE杆为隔离体:
C

FNDB

1kN/m

D

E

§3-6
?M
C

组合结构
FNDB C
1kN/m

? 0 FNDB Sin? ? 4 ? 1? 6 ? 3

FNDB

18 ? 5 ? ? 7.5kN 4?3

D

E

画弯矩和轴力图:

+7.5kN 2kN/m

9kN/m 2kN/m

§3-6
例2:

组合结构
n D A E C n 2m
1kN/m

B G

2m

2m

2m

解:a、求反力 由于对称: FYA ? FYB ? 1? 4 ? 4kN b、求轴力杆的轴力

2m

F

FXA ? 0

作n—n截面,取左半部分,由: ?1? 4 ? 2 ? 4 ? 4 ? 4kN ? MC ? 0 FNEG ? 2

§3-6 组合结构
取E结点:
F NED F NEA E F NEC

?X ?0

FNEA ? 4 2kN

?Y ? 0
2kN/m

FNED ? ?4kN
对称结构在对称 荷载作用下,在对 称点出只有对称的 内力,而反对称的 内力等于零。

c、画弯矩和轴力图
2kN/m

-4kN

-4kN +4 2kN

+4 2kN

+4kN

§3-7

三铰拱

1)拱的特征及其应用 拱式结构:指的是在竖向荷载作用下,会产生水 平推力的结构。通常情况下它的杆轴线是曲线的。
如下所示结构在竖向 荷载作用下,水平反力 等于零,因此它不是拱 结构,而是曲梁结构。

下面所示结构在竖向荷 载作用下,会产生水平反 力,因此它是拱结构。
FP FP

曲梁

三铰拱

§3-7

三铰拱

常见的拱式结构有:

三铰拱

带拉杆三铰拱

两铰拱

无铰拱

§3-7

三铰拱

拱结构的应用:主要用于屋架结构、桥梁结构。 拱结构的优缺点:
a、在拱结构中,由于水平推力的存在,其各截面的弯 矩要比相应简支梁或曲梁小得多,因此它的截面就 可做得小一些,能节省材料、减小自重、加大跨度 b、在拱结构中,主要内力是轴压力,因此可以用抗拉 性能比较差而抗压性能比较好的材料来做。 c、由于拱结构会对下部支撑结构产生水平的推力,因 此它需要更坚固的基础或下部结构。同时它的外形 比较复杂,导致施工比较困难,模板费用也比较大

§3-7

三铰拱
拱顶

拱各部分的名称:

f
拱趾

L

L—跨度(拱趾之间的水平距离)

f—矢高或拱高(两拱趾间的连线到拱顶的竖向距离)
f/L——高跨比(拱的主要性能与它有关,工程中这 个值控制在1—1/10 )

§3-7

三铰拱
a2 a1

a3

b3

2)三铰拱的计算

b2
b1
FP2

在研究它的反力、 内力计算时,为了便于 理解,始终与相应的简 支梁作对比。

FP1

k yk

C

FP3

f
B

A

xk

L1

L2 L
FP2

FP1

FP3

k
A

C B

§3-7
?M
B

三铰拱

a3 a2 a1
FP2 FP1

b3 b2 b1
C FP3

(1)支座反力计算
FYA ?
?0 ? FPibi
0 ? FYA

L ?MA ? 0
FYB ?

k yk

f
B

A
0 ? FYB

? FPi ai
L

xk

L1 L
FP2 k C

L2
FP3

取左半跨为隔离体:

FP1

?M

C

?0
A

0 FYA ? L1 ? FP1 ? L1 ? a1 ? ? FP 2 ? L1 ? a2 ? M C FH ? ? f f

B

§3-7

三铰拱

由前面计算可见: 三铰拱的竖向反力与相应简支梁的相同,水平 反力等于相应简支梁C点的弯矩除以拱高f。FH与f 成反比,f越小,FH越大,f越大, FH越小。也就是 说:f越小,拱的特性就越突出。

§3-7

三铰拱

相应简支 梁的弯矩
MK FP1 FNK

τ

(2)弯矩计算 求拱轴线上任意点k的弯矩, 为此取Ak为隔离体:
M k ? ? FYA xk ? FP1 ? xk ? a1 ? ? ? Hyk ? ? (3)剪力计算 求拱轴线上任意点k的剪力, 同样以Ak为隔离体: ? ? 0 FQk ? FYACos?k ? HSin?k ? FP1Cos?k ? ? FYA ? FP1 ? Cos?k ? HSin?k
0 FQk ? FQk Cos?k ? HSin?k

k
FH

FQ
K

?M

k

?0

η

A
FYA FP1

k M K
F0YA F0QK

?

相应简支 梁的剪力

§3-7

三铰拱
MK FP1 FNK

τ

(3)轴力计算 求拱轴线上任意点k的剪力, 同样取Ak为隔离体: ?? ? 0
FNk ? ?FYASin?k ? HCos?k ? FP1Sin?k
? ? ? FYA ? FP1 ? Sin?k ? HCos?k
0 Qk

k
FH

FQ
K

η

A
FYA FP1

FNk ? ? F Sin? k ? HCos? k

k M K
F0YA F0QK

三铰拱内力计算公式: 0 FQk ? FQk Cos? k ? HSin? k M k ? M k 0 ? Hyk 0 FNk ? ? FQk Sin? k ? HCos? k

§3-7

三铰拱

例1:图示三铰拱的拱轴线方程为:y ? 4 f ( L ? x) x 2 L 请求出其D点处的内力。 解:a、求反力
100kN y A 3m 3m 6m 20kN/m C 4m

?M

B

?0

FYA ? (20 ? 6 ? 3 ? 100 ? 9) /12

D

?Y ? 0

? 105kN

B
x

FYB ? 100 ? 20 ? 6 ? 105 ? 115kN
105 ? 6 ? 100 ? 3 FH ? ? 82.5kN 4

§3-7

三铰拱

b、求D点的内力 先求计算参数: 4? 4 xD ? 3m yD ? 2 (12 ? 3) ? 3 ? 3m 12 dy 4 f 4? 4 tg? D ? ? 2 ( L ? 2 x) ? 2 (12 ? 2 ? 3) ? 0.667
dx L 12

? D ? 33?42'

Cos? D ? 0.832 Sin? D ? 0.555
FH

MD D 左 FQD

FND



求弯矩:
? 67.5kN ? m

0 M D ? M D ? HyD ? 105 ? 3 ? 82.5 ? 3

A
FYA

§3-7

三铰拱

求剪力: 由于D点处有集中力作用,简支梁的剪力有突变, 因此三铰拱在此处的剪力和轴力都有突变。
MD D 左 FQC FH
左 0左 FNC FQD ? FQD Cos? D ? HSin? D


? 105 ? 0.832 ? 82.5 ? 0.555 ? 41.6kN

A
FYA A 0 FYA D

左 0左 FND ? ? FQD Sin? D ? HCos? D

MD
FQD
0左

0

? ?105 ? 0.555 ? 82.5 ? 0.832 ? ?127kN

§3-7
F
右 QD 0右 QD

三铰拱
100kN MD D 右 FQD A FYA A 0 FYA D 100 kN MD FQD
0右 0

? F Cos? D ? HSin? D
? (105 ? 100) ? 0.832 ? 82.5 ? 0.555 ? ?41.6kN
H

FND



F

右 ND

? ?F

0右 QD

Sin? D ? HCos? D

? ?(105 ? 100) ? 0.555 ? 82.5 ? 0.832 ? ?71.4kN

§3-7

三铰拱

例2:请求出图示三铰拱式屋架D点的内力。 解:a、求反力

FYA ? FYB ? 29 ? 36 ? 24 ? 89kN

FXA ? 0

24kN 0.06 0.2 B

D A 0.75

2.3

2.6 0.2 11.7m

1.89

89 ? 5.85 ? 29 ? 5.1 ? 36 ? 2.8 ? 24 ? 0.2 FH ? 36kN 2.15 C 29kN ? 125.91kN

§3-7
?M ? 0 ?Y ? 0 ?X ?0
D

三铰拱
FNDA MC D 125.9 A 89 FQDA

b、求D点的内力 取AD为隔离体(直段):
M D ? 125.91 ? 0.2 ? 25.18kN ? m

FQDA ? ?125.91kN

FNDA ? ?89kN
D 125.9

MD

τ
FNDC FQDC

取AD为隔离体(斜段) Sin? ? 0.316 Cos? ? 0.949

?? ? 0 ?? ? 0

?M

A η 89

D

? 0 M D ? 125.91 ? 0.2 ? 25.18kN ? m
FQDC ? 89 ? 0.949 ? 125.91 ? 0.316 ? 44.67kN

FNDC ? ?89 ? 0.316 ? 125.91 ? 0.949 ? ?147.61kN

§3-7

三铰拱

3)三铰拱的压力线及合理拱轴线

(1)三铰拱的图解法 先复习几个概念:
▲ 一般来说,一根杆件的任意截面上都有三个内 力,它们可以用一个合力来表示。
M

FN
FQ

M

=

R

=

R

▲ 一根杆件上如果只有三个力作用,并保持平衡, 那么这三个力必然交于一点,组成一个封闭的 力三角形。

§3-7

三铰拱

▲ 一个结构在一组力的作用下,如果保持平衡, 那么这组力必然组成一个封闭的力多边形。 例:用图解法求图示拱上任意点k的内力。
FP1
FP1 2 1 H FYA RA 3 H FYB RB FP1 RA
O 1 2

压力线

k

FP1

FP2 FP3
3

RB

k点合力的位 臵及方向,大小 等于RA。

§3-7

三铰拱

上图中虚线所成的图形称为:三铰拱的压力线。由 压力线可以求出拱上任意点的内力,还可根据压力线 离拱轴线的距离,判断拱的弯矩大小。 如果压力线与拱轴线完全重合,拱的弯矩为零,这 样的拱轴线称为合理拱轴线。 (2)图解法求合理拱轴线的步骤
★ 用数解法求出反力,并用图解法求出反力的合力。 ★ 根据一定的比例,作出荷载与反力的力多边形,并由两 反力的交点,作各荷载的射线。 ★ 作反力RA 与FP1的交点“1”,把01射线推平行线至交点 ‘1’处 ,再作01线与FP2的交点‘2’,以此类推。

§3-7

三铰拱

(3)数解法求合理拱轴线 M k ? M k0 ? Hyk 令: M k ? M k0 ? Hyk ? 0 已知: 0 yk ? M k / H 有: 例:求图示对三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴线。
1 1 2 解: M ? qLx ? qx 2 2
0 k

q

? qL L q L M H? ?? ? ? ? f ? 2 2 2 4 qL2 ? 8f
0 C

2

? ?? f ?

C

f A L B

§3-7

三铰拱

0 yk ? M k / H

1 qL2 4 f ? qx( L ? x) ? ? 2 ( L ? x) x 2 8f L

由上可见:在均布荷载作用下,三铰拱的合理 拱轴线是一抛物线。


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