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2.2.1椭圆及其标准方程-教案


2.2.1 椭圆及其标准方程-教案
授课教师:严统平 一、教材内容分析 椭圆是圆锥曲线中重要的一种,本节内容的学习是后继学习其它圆锥曲线的基础, 坐标法是解析几何中的重要数学方法,椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好 应用实例.本节课内容的学习能很好地在课堂教学中展现新课程的理念,主要采用学生 自主探究学习的方式,使培养学生的探究精神和创新能力的教学思想贯穿于本节

课教学 设计的始终. 椭圆是生活中常见的图形,通过实验演示,创设生动而直观的情境,使学生亲身体 会椭圆与生活联系,有助于激发学生对椭圆知识的学习兴趣;在椭圆概念引入的过程中, 改变了直接给出椭圆概念和动画画出椭圆的方式,而采用学生动手画椭圆并合作探究的 学习方式,让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程,有利于培养学生观察分析、抽 象概括的能力.椭圆方程的化简是学生从未经历的问题,方程的推导过程采用学生对方 程进行化简.可以让学生主体参与椭圆方程建立的具体过程,使学生真正了解椭圆标准 方程的来源,使学生体会成功的快乐,提高学生的数学探究能力,培养学生独立主动获 取知识的能力. 二、教学目标分析 1、知识目标:理解椭圆的定义及相关概念,明确椭圆的标准方程的形式,理解椭圆 方程的推导. 2、能力目标:通过让学生积极参与,亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程,体 验坐标法在处理几何问题中的优越性,从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的 思想,提高运用坐标法解决几何问题的能力,培养了学生的运算能力. 3、情感目标:通过主动探究,合作交流,使学生感受探索的乐趣与成功的喜悦,以 神舟飞船运动轨迹的演示,激发学生学习数学的兴趣,增强学生的数学应用意识,创新
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意识和爱国主义思想. 三、教学重点、难点分析 1、教学难点:椭圆的定义及其标准方程. 2、教学难点:椭圆标准方程的推导 3、教学手段:计算机、实物投影仪 4、教学方法:启发式、探究式 四、教学过程: (一)创设情境,导入新课 前面,大家学习了曲线的方程等概念,哪一位同学回答: 问题 1: 什么叫做曲线的方程?求曲线方程的一般步骤是什么?其中哪几个步骤必不 可少? 对上述问题学生的回答基本正确,否则,教师给予纠正.这样便于学生温故而知新, 在已有知识基础上去探求新知识. 求曲线方程的一般步骤:(1)建系设点;(2)写出点集;(3)列出方程;(4)化简证明. 提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形. 问题 2:圆的几何特征是什么?圆是如何定义的?圆的标准方程是什么? 一般学生能回答:“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”. (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 教师进一步追问: “椭圆, 在哪些地方见过?”有的同学说: “立体几何中圆的直观图. ” 有的同学说:“人造卫星运行轨道”等…… 又用神舟飞船绕地球旋转的模型,它运行的轨迹又是什么图形呢? 这就是我们这节课要学习的椭圆及其标准方程. (板书课题) 二、探究问题 提问:我们从直观上认识了椭圆,那么椭圆它是如何形成的呢?椭圆上的点又是满 足什么条件的点的轨迹呢? 2、折纸游戏
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拿出圆形纸片,将圆纸片翻折,使翻折上去的圆弧通过 F 点,将折痕用笔画上颜色, 继续上述过程,绕圆心一周,观察所得到的图形。

3、平面截圆锥 用一个平面去截圆锥,当角度合适时,截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个 椭圆。

圆 椭圆 圆锥曲线 双曲线 抛物线 1.椭圆的形成 首先我们就来做这样一个实验:在图板上有一段长度一定的细绳,绳的两头系着两 个钉子,现在我们将钉子固定在图板上,使得两个钉子之间的距离小于细绳的长度,我 们用笔尖将细绳拉紧,让笔尖在图板上慢慢移动,请同学们观察笔尖运动的轨迹是什么 图形呢?请每个小组拿出准备好的工具,按照老师刚才的示范,大家互相合作,做出图 形. 如果我们将两个钉子之间的距离变大,使得两个钉子之间的距离恰好等于细绳的长
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度,笔尖只能在两个钉子之间来回运动,这时笔尖运动的轨迹是两个钉子之间的线段. 将两个钉子之间的距离再增大,此时就可以发现,细绳的长度比两个钉子之间的距 离小,笔尖没有轨迹. 再用课件给学生进行演示: 请同学们根据作图的过程和老师刚才的演示,思考:如何来归纳椭圆的定义呢? 2.椭圆定义: 平面内与两个定点 F1,F2 距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 1.改变两图钉之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?

2.绳长能小于两图钉之间的距离吗?

学生开始只强调主要几何特征——到两定点 F1,F2 的距离之和等于常数、教师在演 示中要从两个方面加以强调: (1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外,得到的不是椭圆,而是椭球形,使学生认识 到需加限制条件:“在平面内”. (2)这里的常数有什么限制吗?教师边演示边提示学生注意:若常数 2a=|F1F2|,则是 线段 F1F2;若常数 2a<|F1F2|,则轨迹不存在;若要轨迹是椭圆,还必须加上限制条件: “此常数大于|F1F2|”. 3.椭圆的标准方程 首先请同学们回忆求曲线方程的一般步骤: (1)建系设点; (2)写出点集; (3)列出方程; (4)化简证明. 求曲线方程的一般步骤: 1、建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点 M 的坐标;
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2、写出适合条件 P(M); 3、用坐标表示条件 P(M),列出方程: 4、化方程为最简形式. 建立直角坐标系的一般原则: 使已知点的坐标和曲线的方程尽可能简单,将原点取在定点或定线段的中点,坐标 轴取在定直线上或图形的对称轴上. 根据建系的一般原则,我设计了以下四种不同的建系方案,请同学们观察,对比, 哪些方案是最满足建立直角坐标系的一般原则的?

现在我们就以方案三来推导椭圆的方程, (1)建系设点:设 M (x,y)是椭圆上任意一点,椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0), 则 F1, F2 的坐标分别是(?c,0),(c,0).M 与 F1 和 F2 的距离的和为固定值 2a(2a>2c) (2)写出点集:由椭圆的定义得,限制条件:|MF1|+ |MF2|=2a (3)列出方程:由于|MF1|= (x+c)2+y2,|MF2|= (x-c)2+y2,得方程 (x+c)2+y2+ (x-c)2+y2=2a (问题:下面怎样化简?)
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(4)化简证明: 移项 ――→ (x+c)2+y2=2a- (x-c)2+y2 平方 ――→(x+c)2+y2=4a2-4a (x-c)2+y2+(x-c)2+y2 整理 ――→a2-cx=a (x-c)2+y2 平方 ――→a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2 整理 ――→(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
2 2 令b2=a2-c2 x y ――――――→ 2+ 2=1(a>b>0) a b

化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演,其余同学在下面完成, 教师巡视,适当给予提示:①原方程要移项平方,否则化简相当复杂;注意两次平方的 理由详见问题 3 说明.整理后,再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),②为使方程对称 和谐而引入 b,同时 b 还有几何意义,下节课还要(a>b>0).这里 c2=a2-b2. 关于证明所得的方程是椭圆方程,因教材中对此要求不高,可从略. 刚才我们得到了焦点在 x 轴上的椭圆方程,如何推导焦点在 y 轴上的椭圆的标准方 程呢? 由椭圆的定义得,限制条件:|MF1|+|MF2|=2a 由于|MF1|= x2+(y+c)2, |MF2|= x2+(y-c)2, 得方程 x2+(y+c)2+ x2+(y-c)2 =2a (问题:下面怎样化简?) y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2 椭圆的标准方程的特点:

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x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2

y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2

(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是 1; (2)椭圆的标准方程中三个参数 a、b、c 满足 a =b +c2;
2 2

(3)由椭圆的标准方程可以求出三个参数 a、b、c 的值; (4)椭圆的标准方程中,x2 与 y2 的分母哪一个大,则焦点在哪一个轴上. 4.标准方程的观察、对比 当焦点落在 x 轴上时,焦点坐标为 F1(-C,0),F2(C,0); 当焦点落在 y 轴上时,焦点坐标为 F1(0,-C),F2(0,C). 只须将(1)方程的 x、y 互换即可得到. 教师指出:在两种标准方程中,∵a2>b2,∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一 个坐标轴上. 请同学们思考:焦点的位置和方程之间有什么关系呢? 那下面这个方程它的焦点位置又该如何来判断呢? x2 y2 + =1(m>0,n>0 且 m≠n) m2 n2 ①当 m>n 时,焦点在 x 轴上,此时 m=a2,n=b2; ②当 m<n 时,焦点在 y 轴上,此时 m=b2,n=a2, 判断椭圆焦点位置的方法:观察含 x 的项和含 y 的项,哪个项的分母较大,焦点就 在相应的那个轴上 . 不 标准方程 x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2

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同 点 图形

相 同 点

焦点坐标 定义 a、b、c 的关系 焦点位置的判断

F1(-c,0)、F2(c,0) F1(0,-c)、F2(0,c) a2=b2+c2 a>b>0,b 与 c 的大小不确定. x? ,y? 项中哪个分母大,焦点就在那一条轴上.

三、例题讲解 例 1 判断焦点的位置 x2 y2 (1) + =1 4 3 (2)4x2+3y2=12

总结:在判断椭圆焦点位置的时候,不是标准方程的,应该先将方程整理为标准方 程再来判断. 例 2 已知椭圆的焦点坐标是 F1(-4,0),F2(4,0),椭圆上任一点到 F1、F2 的距离 之和为 10,求椭圆的标准方程. 如果将题中的焦点改为 F1(0,-4) ,F2(0,4),其他提条件不变,方程又是怎样的呢? 根据例 2 的求解过程,请同学们思考该如何来求解椭圆的标准方程呢? 总结:求解椭圆标准方程的方法:待定系数法.具体的步骤是:①判断焦点的位置; ②确定椭圆标准方程的形式;③求出 a,b 的值. 5 例 3(课本例 1) 已知椭圆的两点焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点( , 2 3 - ),求它的标准方程. 2 方法一:利用定义,直接求 a、b; 方法二:设标准方程,建立方程组求 a、b 的值.

[解析] 因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为 x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2
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由椭圆的定义知 2a= 5 3 ( +2)2+(- )2+ 2 2 5 3 ( -2)2+(- )2=2 10,所以 a= 10. 2 2

又因为 c=2,所以 b2=a2-c2=10-4=6. x2 y2 因此,所求椭圆的标准方程为 + =1. 10 6 总结:求解椭圆标准方程的方法:待定系数法.具体的步骤是:①判断焦点的位置; ②确定椭圆标准方程的形式;③求出 a,b 的值. 四、反馈练习 教材 P42 练习 1,2.

五、课时小结 1、椭圆的定义及其标准方程; 2、判断椭圆焦点位置的方法; 3、求解椭圆标准方程的方法. 六、课后作业 教材 P49 习题 2.2 1,2. x2 y2 思考题:已知直线经过椭圆 + =1 的一个焦点 F1,且与椭圆交与 A、B 两点,求 9 4 △ABF2 的周长. 教案设计说明:设计例题、习题的研讨探究变式训练,是为了让学生能灵活地运用 椭圆的知识解决问题,同时也是为了更好地调动、活跃学生的思维,发展学生数学思维 能力,让学生在解决问题中发展学生的数学应用意识和创新能力.完善本节课教学目标.

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