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高考数学一轮复习 解析几何习题


一、选择题 1.(2012 年福州检测)给出下列四个命题: ①没有公共点的两条直线平行; ②互相垂直的两条直线是相交直线; ③既不平行也不相交的直线是异面直线; ④不同在任一平面内的两条直线是异面直线. 其中正确命题的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

解析:没有公共点的两条直线平行或异面,故命题①错;互相垂直的两条直 线相交或异面,故命题②错;既

不平行也不相交的直线是异面直线,不同在任一 平面内的两条直线是异面直线,命题③、④正确,故选 B. 答案:B 2. 已知异面直线 a, b 分别在平面 α, β 内, 且 α∩β=c, 那么直线 c 一定( A.与 a,b 都相交 B.只能与 a,b 中的一条相交 C.至少与 a,b 中的一条相交 D.与 a,b 都平行 解析:若 c 与 a,b 都不相交,则 c 与 a,b 都平行,根据公理 4,则 a∥b, 与 a,b 异面矛盾. 答案:C 3.(2012 年济宁模拟)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在线段 AD1 上运 动,则异面直线 CP 与 BA1 所成的角 θ 的取值范围是( π A.0<θ<2 π C.0≤θ≤3 π B.0<θ≤2 π D.0<θ≤3 ) )

解析:当 P 在 D1 处时, CP 与 BA1 所成角为 0; π 当 P 在 A 处时,CP 与 BA1 所成角为3, π ∴0<θ≤3. 答案:D 4.平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,既与 AB 共面又与 CC1 共面的棱的条数 为( ) A.3 C.5 B.4 D.6

解析:依题意,与 AB 和 CC1 都相交的棱有 BC;与 AB 相交且与 CC1 平行 的棱有 AA1,BB1;与 AB 平行且与 CC1 相交的棱有 CD,C1D1,故符合条件的棱 共有 5 条,选 C. 答案:C 5.如右图所示,正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB, 则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为( 1 A.5 3 C.5 2 B.5 4 D.5 )

解析:连接 D1C,AC,易证 A1B∥D1C, ∴∠AD1C 即为异面直线 A1B 与 AD1 所成的角. 设 AB=1, 则 AA1=2,AD1=D1C= 5,AC= 2, ∴cos ∠AD1C= 答案:D 二、填空题 6.设 a,b,c 是空间的三条直线,下面给出四个命题: ①若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c; ②若 a、b 是异面直线,b、c 是异面直线,则 a、c 也是异面直线; 5+5-2 4 =5. 2× 5× 5

③若 a 和 b 相交,b 和 c 相交,则 a 和 c 也相交; ④若 a 和 b 共面,b 和 c 共面,则 a 和 c 也共面. 其中真命题的个数是________. 解析:∵a⊥b,b⊥c, ∴a 与 c 可以相交、平行、异面,故①错; ∵a、b 异面,b、c 异面,则 a、c 可能异面、相交、平行,故②错; 由 a、b 相交,b、c 相交,则 a、c 可以异面、相交、平行,故③错; 同理④错,故真命题的个数为 0. 答案:0 7.如图是正四面体的平面展开图, G、H、M、N 分别为 DE、BE、EF、EC 的中点,在这个正四面体中, ①GH 与 EF 平行; ②BD 与 MN 为异面直线; ③GH 与 MN 成 60° 角; ④DE 与 MN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是________. 解析:还原成正四面体知 GH 与 EF 为异面直线,BD 与 MN 为异面直线, GH 与 MN 成 60° 角,DE⊥MN. 答案:②③④ 8. (2012 年江南十校模拟)若两条异面直线所成的角为 60° , 则称这对异面直 线为“黄金异面直线对”, 在连接正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线 对”共有________对. 解析:正方体如图,若要出现所成角为 60° 的异面直线,则 直线需为面对角线,以 AC 为例,与之构成黄金异面直线对的 直线有 4 条,分别是 A′B,BC′,A′D,C′D,正方体的面 对角线有 12 条, 所以所求的黄金异面直线对共有 (每一对被计算两次,所以要除以 2). 答案:24 12×4 2 =24 对

9.如图,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各条棱长都相等, M 是侧棱 CC1 的中点,则异面直线 AB1 和 BM 所成的角的大小 是________. 解析:取 BC 的中点 N, 连接 AN,则 AN⊥平面 BCC1B1, 连接 B1N,则 B1N 是 AB1 在平面 BCC1B1 上的射影, ∵B1N⊥BM, ∴AB1⊥BM. 即异面直线 AB1 和 BM 所成的角的大小是 90° . 答案:90° 三、解答题 10 . (2012 年 湘 潭 模 拟 ) 如 图 所 示 , 在 正 方 体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 为 AB 的中点,F 为 A1A 的中点, 求证:(1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点. 证明:(1)分别连接 EF、A1B、D1C. ∵E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点, 1 ∴EF 綊2A1B.又 A1D1 綊 B1C1 綊 BC, ∴四边形 A1D1CB 为平行四边形. ∴A1B∥CD1,从而 EF∥CD1. ∴EF 与 CD1 确定一个平面. ∴E、C、D1、F 四点共面. 1 (2)∵EF 綊 CD1, 2 ∴直线 D1F 和 CE 必相交, 设 D1F∩CE=P. ∵P∈D1F 且 D1F?平面 AA1D1D, ∴P∈平面 AA1D1D. 又 P∈EC 且 CE?平面 ABCD,

∴P∈平面 ABCD, 即 P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点, 而平面 ABCD∩平面 AA1D1D=AD, ∴P∈AD. ∴CE、D1F、DA 三线共点. 11.A 是△BCD 所在平面外的一点,E,F 分别是 BC,AD 的中点, (1)求证:直线 EF 与 BD 是异面直线; (2)若 AC⊥BD,AC=BD,求 EF 与 BD 所成的角. 解析:(1)证明:假设 EF 与 BD 不是异面直线,则 EF 与 BD 共面,从而 DF 与 BE 共面,即 AD 与 BC 共面,所以 A、B、C、 D 在同一平面内, 这与 A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾. 故 直线 EF 与 BD 是异面直线. (2)取 CD 的中点 G,连接 EG、FG,则 EG∥BD,所以相交 直线 EF 与 EG 所成的角,即为异面直线 EF 与 BD 所成的角. 1 在 Rt△EGF 中,由 EG=FG=2AC,求得∠FEG=45° , 即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45° . 12.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 A1C1 面上有一点 P(如图所示,其中 P 点 不在对角线 B1D1 上).

(1)过 P 点在空间作一直线 l,使 l∥直线 BD,应该如何作图?并说明理由; (2)过 P 点在平面 A1C1 内作一直线 m,使 m 与直线 BD 成 α 角,其中 α∈(0, π 2],这样的直线有几条,应该如何作图?

(1) 解析:(1)连接 B1D1,BD,在平面 A1C1 内过 P 作直线 l,使 l∥B1D1,则 l

即为所求作的直线. ∵B1D1∥BD,l∥B1D1,∴l∥直线 BD.如图(1)

(2) (2)在平面 A1C1 内作直线 m,使直线 m 与 B1D1 相交成 α 角, ∵BD∥B1D1,∴直线 m 与直线 BD 也成 α 角,即直线 m 为所求作的直线, π 如图(2).由图知 m 与 BD 是异面直线,且 m 与 BD 所成的角 α∈(0,2]. π 当 α=2时,这样的直线 m 有且只有一条; π 当 α≠2时,这样的直线 m 有两条.


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