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3.2复数代数形式的四则运算(二)


3.2.2 复数代数形式的乘除运算

我们规定,复数的乘法法则如下:
设z1=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数,那么

(a ? bi )(c ? di ) 2 ? ac ? adi ? bci ? bdi

? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i

说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数;

(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的,只是在 运算过程中把 i 2换成-1,然后实、虚部分别合并.

易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律

即对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有

z1 ? z2 ? z2 ? z1

,

( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ),

z1 ( z2 ? z3 ) ? z1 z2 ? z1 z3 .

例2.计算

(?2 ? i)(3 ? 2i)(?1 ? 3i)
2

解:原式= (?6 ? 4i ? 3i ? 2i )(?1 ? 3i )

= (?8 ? i )(?1 ? 3i ) 2 = 8 ? 24i ? i ? 3i = 5 ? 25i

实数集中的完全平方公式、平方差公式 等在复数集中仍然适用.
例3:计算:

(1)(3+4i)(3-4i)

(2)(1+i)?

知识要点
注意本例 (1) 3+4i 与 3-4i 两复数的特点. 一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反 数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等
于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.

复数z=a+bi的共轭复数记作z, 即 z = a - bi
若Z1,Z2,是共轭复数,那么

(1)在复平面内,它们所对应的点有 怎样的位置关系? ( 关于实轴对称 )
(2)Z1Z2是一个怎样的数?( 实数)

先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都 乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式

a ? bi (c ? di ? 0). (a ? bi) ? (c ? di) ? c ? di (a ? bi )(c ? di ) (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ? ? 2 2 c ?d (c ? di )(c ? di ) 分母实数化 ac ? bd bc ? ad ? 2 ? 2 i 2 2 c ?d c ?d

例题分析
例4:(1+2i) ÷(3-4i)
先写成分 式形式

解: (1 ? 2i ) ? (3 ? 4 i ) (1 ? 2i )(3 ? 4i ) 1 ? 2i ? ? 3 ? 4i (3 ? 4i )(3 ? 4i )

然后分母实 数化

?5 ? 10i ? 25 1 2 ?? ? i 5 5

3 ? 6i ? 4i ? 8i 2 ? 2 2 3 ?4
结果化简成 代数形式

练习.计算 ⑴ (7 ? i ) ? (3 ? 4i )
1? i 2 ) ⑵( 1? i 1 1 ? ⑶ 3 ? 2i 3 ? 2i

高考链接
(2007年广东卷)若复数(1+bi)(2+i) 是纯虚数(i是虚数单位,b为实数), 则b=( )

1 1 A. - 2 B. - C. D.2 2 2
解析:(1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i, 故2-b=0,故选D.

(2007年全国卷I)设a是实数, a 1+ i 且 + 是实数,则a = ( 1+ i 2 1 3 A. B.1 C. D.2 2 2 )

答案:B.

(2007年湖北卷)复数z = a + bi,a,b ∈ R, 且b ≠ 0, 若z 2 - 4bz是实数,则有序实数对(a,b) 可以是( ). (写出一个有序实数对即可)

【分析】:z 2 - 4bz = (a + bi) 2 - 4b(a + bi) = a - 4ab - b + 2b(a - 2b)i 是实数,所以a = 2b, 取(a,b) = (2, 1).
2 2


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