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2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题02


2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题二

先做后对答案

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题二
(时间:120 分钟 满分:150) 姓名_______________ 一、填空题:本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分. 1.设 (1 ? x ? x 2 )n ? a0 ? a1 x ?
? a2

n x 2n ,则 a2 ? a4 ?
? a2 n 的值为______________

2.若 sin x ? sin y ? 1 ,则 cos x ? cos y 的取值范围是______________ 3.设 f1 ( x) ? 2 , f 2 ( x) ? sin x ? cos 2 x , f3 ( x) ? sin 周期函数的个数是_____________
t2 , 4.已知 a 、 b 是两个相互垂直的单位向量,而 | c |? 13 , c ? a ? 3 , c ? b ? 4 ;则对于任意实数 t1、

x 2

? cos 2 x , f 4 ( x) ? sin x 2 ,在这些函数中,

| ct1 ? a ? t2 b | 的最小值是______________
5.设有两个集合: M ? {x | 则M

x ? 2 x ?3 3 2 x ?6 x ?5 5 6 ? ? ? } , N ? {x | ? ? ? }, 3 2 x ? 2 x ?3 5 6 x ?6 x ?5

N ? ______________

6.已知数列 { xn } ,满足 (n ? 1) xn ?1 ? xn ? n ,且 x1 ? 2 ,则 x2014 ? ______________

1 3x3 ? x2 ? 4x ? 3 7.设函数 2 f ( x) ? x2 f ( ) ? ,则 f ( x) ? ______________ x x ?1
8.设命题 P : c 2 ? c 和命题 Q :对任何 x ? R , x 2 ? 4cx ? 1 ? 0 有且仅有一个成立,则实数 c 的取值 范围是______________ 9.在 x 轴的正方向上,从左向右依次取点列 {Aj }, j ? 1, 2, ??? ,以及在第一象限内的抛物线 y 2 ?
( 上从左向右依次取点列 {Bk }, k ? 1, 2, ??? , 使 ?Ak ?BA 1 k k k 1 2 , ? ) ?

3 x 2

都是等边三角形, 其中 A0 是

坐标原点,则第 2014 个等边三角形的边长是______________ 10.根据指令,机器人在平面上能完成下列动作:先从原点 O 沿正东偏北 ? ( 0 ? ? ?

?
2

)方向行走

一段时间后,再向正北方向行走一段时间,但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为每分钟 10 米,则行走 2 分钟时,机器人所在位置的可能范围的面积是______________

1

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题二

先做后对答案

二、解答题:本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分. 11.设双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,若 ?PF1 F2 的顶点 P 在第一象限的双曲线上移 动,求 ?PF1 F2 的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边 PF2 上的切点轨迹.

12.设 x1 , x2 , ???, xn ? R? ,定义: S n ? ? ( xi ?
i ?1

n

n ?1 1 2 ? ) ; n 2 xi

(1)求 S n 的最小值; (2)在 x12 ? x22 ? ??? ? xn 2 ? 1 条件下,求 S n 的最小值; (3)在 x1 ? x2 ? ??? ? xn ? 1 条件下,求 S n 的最小值,并加以证明.

2

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题二

先做后对答案

13.设 O 、 H 分别为锐角 ?ABC 的外心和垂心,在 AB 上截取 AD ? AH ,在 AC 上截取 AE ? AO ; 求证: DE 等于 ?ABC 外接圆半径.
A

D O B H

E

C

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先做后对答案

14.在一次实战军事演习中,红方的一条直线防线上设有 20 个岗位.为了试验 5 种不同新式武器, 打算安排 5 个岗位配备这些新式武器,要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器,且每相邻 5 个岗位至少有一个岗位配备新式武器,相邻两个岗位不同时配备新式武器,问共有多少种配备新 式武器的方案?

4

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题二

先做后对答案

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题二答案
一、填空题: 1.设 (1 ? x ? x 2 )n ? a0 ? a1 x ? ??? ? a2n x 2n ,则 a2 ? a4 ? ??? ? a2 n 的值为______________ 解:令 x ? 0 ,得 a0 ? 1 ; (1)令 x ? ?1,得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? a2 n ? 1 ; (2) 令 x ? 1 ,得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? (2)+(3)得 2(a0 ? a2 ? a4 ? 故 a0 ? a2 ? a4 ?
? a2n ? 3n ; ? a2 n ) ? 3 ? 1 ,
n

(3 )

3n ? 1 3n ? 1 ,再由(1)得 a2 ? a4 ? ? a2n ? . 2 2 2.若 sin x ? sin y ? 1 ,则 cos x ? cos y 的取值范围是______________ ? a2 n ?
解:设 cos x ? cos y ? t ,? cos2 x ? 2cos x cos y ? cos2 y ? t 2 ; 又由 sin x ? sin y ? 1 ,故 sin 2 x ? 2sin x sin y ? sin 2 y ? 1 ; 因此有 2(cos x cos y ? sin x sin y) ? t 2 ? 1 ,即 2cos( x ? y) ? t 2 ? 1 ; 由于 ?1 ? cos( x ? y) ? 1 ,所以有 t 2 ? 3 ,即 ? 3 ? t ? 3 . 3.设 f1 ( x) ? 2 , f 2 ( x) ? sin x ? cos 2 x , f3 ( x) ? sin

x 2

? cos 2 x , f 4 ( x) ? sin x 2 ,在这些函数中,

周期函数的个数是_____________ 解: f1 ( x) ? 2 是以任何正实数为周期的周期函数; f 2 ( x) 不是周期函数;因为 sin x 是以 T1 ? 2? 为周期的周期函数,
cos 2 x 是以 T2 ?

2? 2

为周期的周期函数,而 T1 与 T2 之比不是有理数,故 f 2 ( x) 不是周期函数.

f 3 ( x) 不是周期函数;因为 sin cos 2 x 是以 T2 ?
2

x 2

是以 T1 ? 2 2? 为周期的周期函数,
T1 ? 2 ,故 f 3 ( x) 是周期函数. T2

2?

2 f 4 ( x) ? sin x 不是周期函数;因此共有 2 个周期函数.

为周期的周期函数,而

t2 , 4.已知 a 、 b 是两个相互垂直的单位向量,而 | c |? 13 , c ? a ? 3 , c ? b ? 4 ;则对于任意实数 t1、

| ct1 ? a ? t2 b | 的最小值是______________
| c ? t1 a ? t2 b |2 ?| c |2 ?6t1 ? 8t2 ? t12 ? t22 ? 169 ? (t1 ? 3)2 ? (t2 ? 4)2 ? 25 ? 144 ? (t1 ? 3)2 ? (t2 ? 4)2 ? 144 ; 解:
当 t1 ? 3, t2 ? 4 时, | c ? t1 a ? t2 b |2 ? 144 ,所以所求的最小值为 12.

x ? 2 x ?3 3 2 x ?6 x ?5 5 6 ? ? ? } , N ? {x | ? ? ? }, 3 2 x ? 2 x ?3 5 6 x ?6 x ?5 则 M N ? ______________ 61 13 解:由已知可以解出 M ? {0, 5, } ,故 M N ? {0} . } , N ? {0, 11, 11 5 6.已知数列 { xn } ,满足 (n ? 1) xn ?1 ? xn ? n ,且 x1 ? 2 ,则 x2014 ? ______________
5.设有两个集合: M ? {x | 解:由 (n ? 1) xn ?1 ? xn ? n ,推出 xn?1 ? 1 ?

xn ?1 ; n ?1 x ? 1 xn ?1 ? 1 xn ? 2 ? 1 ? ? ? 因此有: xn ?1 ? 1 ? n n ? 1 (n ? 1)n (n ? 1) n( n ? 1)

?

x1 ? 1 ( n ? 1) n( n ? 1)

2

?

1 ( n ? 1)!

5

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题二

先做后对答案

即有 xn ?1 ?

1 2014!? 1 ? 1 ;从而可得: x2014 ? . ( n ? 1)! 2014!

1 3x3 ? x2 ? 4x ? 3 7.设函数 2 f ( x) ? x2 f ( ) ? ,则 f ( x) ? ______________ x x ?1 1 1 3 y3 ? 4 y 2 ? y ? 3 解:令 x ? ,得 f ( y ) ? 2 y 2 f ( ) ? ;把 y 改为 x 得: y y y ?1 1 3x3 ? 4x2 ? x ? 3 1 3x3 ? x2 ? 4x ? 3 (1) 2 f ( x) ? x2 f ( ) ? (2) f ( x) ? 2 x2 f ( ) ? x x ?1 x x ?1 1 5 联合(1) (2)消去 f ( ) ,可得 f ( x) ? x2 ? 3x ? 6 ? . x ?1 x 8.设命题 P : c 2 ? c 和命题 Q :对任何 x ? R , x 2 ? 4cx ? 1 ? 0 有且仅有一个成立,则实数 c 的取值 范围是______________ 1 1 解:命题 P 成立,可得: 0 ? c ? 1 ; 命题 Q 成立,可得: ? ? c ? ; 2 2 1 1 因此,要使命题 P 和命题 Q 有且仅有一个成立,实数 c 的取值范围是 (? , 0] [ , 1) . 2 2 3 9.在 x 轴的正方向上,从左向右依次取点列 {Aj }, j ? 1, 2, ??? ,以及在第一象限内的抛物线 y 2 ? x 2 k ( 1 2 , ? ) ? A 上从左向右依次取点列 {Bk }, k ? 1, 2, ??? , 使 ?Ak ?BA 都是等边三角形, 其中 1 k k 0 是 坐标原点,则第 2014 个等边三角形的边长是______________ 解:设第 n 个等边三角形的边长为 an ;则第 n 个等边三角形的在抛物线上的顶点 Bn 的坐标为:
( a1 ? a2 ? ? an ?1 ? an , 2
2

3 (a1 ? a2 ? 2

? an ?1 ?

an ) ) ,再从第 n 个等边三角形上,又可得 Bn 的 2

a 3 3 3 ?1 ? 2 an ? (a1 ? a2 ? ? an ?1 ? n ) , ? ? an ? ? an ;从而有: 纵坐标为: an 2 2 2 2 ?2 ? a a 1 2 1 2 即有 an (1 ) ? a1 ? a2 ? ? an ?1 ? n ;由此可得: a1 ? a2 ? ? an ? n ? an 2 2 2 2 a 1 2 以及: a1 ? a2 ? ? an ?1 ? n ?1 ? an (2 ) ?1 2 2 1 1 (1) - (2) 即得:an ? (an ? an ?1 ) ? (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ) , 变形可得 (an ? an ?1 ? 1)(an ? an ?1 ) ? 0 , 2 2 1 1 由于 an ? an ?1 ? 0 ,所以 an ? an ?1 ? 1 ;在(1)式中取 n ? 1 ,可得 a1 ? a12 ,而 a1 ? 0 ,故 a1 ? 1 ; 2 2 因此第 2014 个等边三角形的边长为 a2014 ? 2014 .

10.根据指令,机器人在平面上能完成下列动作:先从原点 O 沿正东偏北 ? ( 0 ? ? ?

)方向行走 2 一段时间后,再向正北方向行走一段时间,但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为每分钟 10 米,则行走 2 分钟时,机器人所在位置的可能范围的面积是______________ 解:如图,设机器人行走 2 分钟时的位置为 P( x, y ) ; y 设机器人改变方向的点为 A , OA ? a , AP ? b ; 则由已知条件有: a ? b ? 2 ? 10 ? 20 , ? x ? a cos ? 以及 ? , ? y ? a sin ? ? b O P(x,y) A

?

?
x
6

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题二

先做后对答案

? x 2 ? y 2 ? a 2 ? 2ab sin ? ? b 2 ? (a ? b)2 ? 400 所以有: ? ; ? x ? y ? a(sin ? ? cos ? ) ? b ? a ? b ? 20 即所求平面图形为弓形,其面积为 100? ? 200 平方米. 二、解答题 11.设双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,若 ?PF1 F2 的顶点 P 在第一象限的双曲线上移
动,求 ?PF1 F2 的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边 PF2 上的切点轨迹. 解:如图,记双曲线在 x 轴上的两顶点为 A(1, 0) ,
B ( ?1, 0) ; G 为 ?PF1 F2 的内切圆在边 F1 F2 上的

y K H x P

切点, H 为 ?PF1 F2 的内切圆在边 PF2 上的切点,

K 为 ?PF1 F2 的内切圆在边 PF1 上的切点;则有
GF1 ? GF2 ? KF1 ? HF2 ? ( KF1 ? KP ) ? ( HF2 ? HP ) ? PF1 ? PF2
由双曲线的定义知, G 必在双曲线上, 于是 G 与 A(1, 0) 重合,是定点. 5分

BO

AG

而 F2G ? F2 A ? 2 ?1 ;根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等,所以 ?PF1 F2 的内切圆在边
PF2 上的切点的轨迹是以 F2 ( 2, 0) 为圆心, 2 ? 1 为半径的圆弧.------2 2

10 分

因为 P ( x, y ) 是在 x ? y ? 1 第一象限的曲线上移动,当 PF2 沿双曲线趋于无穷时,与 x 轴正向 的交角 ? 的正切的极限是 lim tan ? ? lim
x ???

x2 ? 1 x? 2

x ???

?1 ;

即: ? ?

;故点 H 的轨迹方程为(极坐标形式) 4 ? ? ? x ? 2 ? ( 2 ? 1) cos ? , ( ?? ?? ) -------------- 15 分 ? 4 y ? ( 2 ? 1)sin ? ? ? 也可以用直角坐标形式.由于 G 与 A(1, 0) 重合,是定点, 故该内切圆圆心的轨迹是直线段,方程为: x ? 1 ( 0 ? y ? 1 ) ----- 20 分 12.设 x1 , x2 , ???, xn ? R? ,定义: S n ? ? ( xi ?
i ?1 n

?

n ?1 1 2 ? ) ; n 2 xi

(1)求 S n 的最小值; (2)在 x12 ? x22 ? ??? ? xn 2 ? 1 条件下,求 S n 的最小值; (3)在 x1 ? x2 ? ??? ? xn ? 1 条件下,求 S n 的最小值,并加以证明. 解: (1) Sn ? ? (2
i ?1 n n n ?1 2 n ?1 n ?1 ) ? 4? 2 ? 4 -------- 5 分(当 xi ? 2 n n i ?1 n

n ?1 时,取到最小值) n

n ? n ? 1 (n ? 1) 2 n 1 n ? 1 (n ? 1)2 1 ? n ? 1 (n ? 1)2 n ?1 2 ? 1 ? 2 ? (2)Sn ? ? ? xi2 ? 2 2 ? ? 1 ? 2 ? ? (1 ? ) ; ? ? 4 2 4 2 2 n n n n xi ? n n n i ?1 xi i ?1 ? 1 n ?1 2 (当 x1 ? x2 ? ? xn ? 时,取到最小值 (1 ? ) )--------------10 分 n n

? n ? n ? 1 1 ?? ? n 2 ? n ? n ?1 1 ? (3)因为 ??1? ? xi ? 2 ?? ? ? ?1 ? ? ? ? xi ? 2 ? n xi ?? n xi ? ? i ?1 ? ? ? ? i ?1 ? i ?1 ?
所以 S n ? ? ( xi ?
i ?1 n

2

2

n ?1 1 2 1 ? n ? n ?1 1 ) ? ?? ? xi ? 2 n 2 xi n? n xi ? i ?1 ?

?? 1 n ?1 2 2 ?? ? [1 ? 2 ? n ] ? n ; n n ? ??
7

2

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题二

先做后对答案

1 时,取到最小值 n )------20 分 n 每小题指出什么时候取到,5 分.
(当 x1 ? x2 ?

? xn ?

13.设 O 、 H 分别为锐角 ?ABC 的外心和垂心,在 AB 上截取 AD ? AH ,在 AC 上截取 AE ? AO ; 求证: DE 等于 ?ABC 外接圆半径. A 证明:设 ?ABC 的外接圆的半径为 R ,易知: AH ? 2R cos A ; 由余弦定理: DE 2 ? AD 2 ? AE 2 ? 2 AD ? AE cos A D ? 4 R 2 cos 2 A ? R 2 ? 4 R 2 cos 2 A E 2 O ?R H 故 DE 等于 ?ABC 外接圆半径.
B C

14.在一次实战军事演习中,红方的一条直线防线上设有 20 个岗位.为了试验 5 种不同新式武器, 打算安排 5 个岗位配备这些新式武器, 要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器, 且每相邻 5 个岗位至少有一个岗位配备新式武器,相邻两个岗位不同时配备新式武器,问共有多少种配备 新式武器的方案? 解:设 20 个岗位按先后排序为 1,2, ,… ,20,且设第 k 种新式武器设置的序号为: a k (k ? 1, 2, 3, 4, 5) ;令 x1 ? a1 , x2 ? a2 ? a1 , x3 ? a3 ? a2 , x4 ? a4 ? a3 , x5 ? a5 ? a4 ,
x6 ? 20 ? a5 ,则有 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? x6 ? 20

(*)

其中 2 ? xk ? 5 (k ? 1, 2, 3, 4, 5) , 1 ? x6 ? 4 -------------------------------------- 5 分 作代换: yk ? xk ? 1 (k ? 1, 2, 3, 4, 5) , y6 ? x6 , 从而有 y1 ? y2 ? y3 ? y4 ? y5 ? y6 ? 15 , (**) 其中 1 ? yk ? 4 (k ? 1, 2, 3, 4, 5) . ----------- 10 分 以下求解问题(**): 方法一:设 I 为 y1 ? y2 ? y3 ? y4 ? y5 ? y6 ? 15 的正整数解的全体, Ak 为 I 中 yk 满足 yk ? 4 的解的
6

全体;则
k ?1

Ak ? I ?

6 k ?1

Ak ? I ? ? Ak ? ? Aj Ak ;
k ?1 j?k

6

上式成立的原因是 Ai Aj Ak ? ? , 因为没有同时满足 yi ? 4 , y j ? 4 , yk ? 4 的 ? yk ? 15 的正整数组.
k ?1
6

6

所以
k ?1

5 5 5 Ak ? C14 ? 6C10 ? C62C6 ? 2002 ? 1512 ? 90 ? 580 ,

-------------- 15 分

因为 5 种新式武器各不相同,互换位置得到不同的排列数, 所以配备新式武器的方案数等于 580?5! ? 69600 . ----------------------------------- 20 分 方法二 :问题(**)的解数等于 ( x ? x 2 ? x 3 ? x 4 )6 展开式中 x15 的系数; 而 ( x ? x 2 ? x 3 ? x 4 )6 ? x6 (1 ? x ? x 2 ? x3 )6 ? x6 (1 ? x)6 (1 ? x2 )6 , 故只须求 (1 ? x)6 (1 ? x2 )6 展开式中 x 9 的系数.

(1 ? x)6 (1 ? x 2 )6 ? (1 ? 6 x ? 15 x 2 ? 20 x3 ? 15 x 4 ? 6 x5 ? x6 ) ? (1 ? 6 x 2 ? 15x 4 ? 20 x 6 ? 15x8 ? 6 x10 ? x12 )
因此 x 9 的系数为 6×15+20×20+6×15 = 580 ------------------------------------ 15 分 因为 5 种新式武器各不相同,互换位置得到不同的排列数,
8

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题二

先做后对答案

所以配备新式武器的方案数等于 580?5! ? 69600 .

----------------------------------- 20 分

9


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