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辽宁省鞍山市第一中学2013届高三第二次模拟考试数学(文)试题


鞍山市第一中学 2013 届二模考试数学文科试卷
命题人:
一、选择题(每题只有一个正确答案,每题 5 分共 60 分): 1、 sin 600 ? tan 240 的值是
° °





A. ?

3 2

B.

3 2



C. ?

1 ? 3 2

D.

1 ? 3 2
( )

2、已知 A 是数集,则 A ?0,1 = ?0?”是 A= ?0?” 的 “∩ “ ?

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C . 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

3、命题 p : 当x ? (1, ??)时 ,函数 f ( x) ? log2 x 的值域为 ?0,??? ; 命题 q : ?m ? 0 ,使得 y ? sin mx 的最小正周期小于

? , 2
则( )

A. p 且 q 为假命题

B. p 或 q 为假命题

C.

?

p 为假命题

D.

?

q 为真命题
( )

4、 i 为虚数单位,在复平面内,复数 Z ?

1 ? 2i 对应的点位于 1? i

A . 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限
5、设 Sn 是等差数列

D.

第四象限 ( )

?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 35 ,则 a4 等于

B. 7 C. 6 D. 5 ? ? ? ? ° 6、已知向量 a, b 均为单位向量,若它们的夹角为 60 ,则 a ? 3b 等于
A. 8 A.
7





B.

10

C.

13

D. 4

7、已知函数

f ( x) ? x3 ? 3x 且 f (3a ? 2) ? f (a ? 1) ,则实数 a 的取值范围为(
1 B. ( , ??) 2 1 1 C. ( , ) 3 2 1 D. (? , 0) 2



1 A. (??, ) 2

8、执行如图所示的程序框图,若输入 n ? 6, m ? 4 ,那么输出的 p 等于





A. 720

B. 360
开始

C . 240

D. 120

输入n, m

k ? 1, p ? 1

p ? p(n ? m ? k )
k ? k ?1

k?m




输出p

结束

?x ? 2 ? 9、设实数 x, y 满足条件 ? x ? y ? 4 且 Z ? 3x ? y 的最小值为 5 ,则 Z 的最大值为 ? ?2 x ? y ? c ? 0 ?
( )

A. 10

B. 12

C . 14

D. 15

10、已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 1 ? x) ?
2

1 3 ? (a ? 0, a ? 1) a ?1 2
x

f (?10) ? 5 ,则 f (10) 等于
A. ?3
11、若 0 ?





B. 3

C. 5

D. 不能确定
( )

y?x?

?
2

,且 tan x ? 3tan

y ,则 x ? y 的最大值为

A.

?
3

B.

?
4

C.

?
6

D. 不存在

12、若二次函数

f ( x) ? ax2 ? 2 x ? c 的值域为 ?0, ??) ,则

a c ? 2 的最小值为 c ?1 a ?1
2





A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

二、填空题(每题 5 分,共 20 分): 13、 为了了解企业职工对所谓 “台湾公投” 的态度, 某记者分别从某大型企业 50 ? 60 岁, ? 40 30 ? 25 岁,三个年龄段的 800 人,1200 人,1000 人中,采取分层抽样的方法进行调研, 岁,18 在 50 ? 60 岁这一年龄段中抽查了 40 人,那么这次调研一共抽查了____人。 14、若二次函数 则

f ( x) ? ax2 ? bx ? c 有 f ( x1 ) ? f ( x2 )( x1 ? x2 ) ,

f ( x1 ? x2 ) ? ________。
???? ?

15、给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,他们的夹角为 120 ,如图,点 C 在以 O 为

???? ?

°

AB 圆心的弧 ? 上变动,若 OC ? xOA ? yOB, x、y ? R ,则 x ? y 的最大值为_________。

??? ?

??? ?

??? ?

B

C

O

A

c ? 16、已知数列 ?an ? 满足 an ? n ? ,若对所有 n ? N 不等式 an ? a3 恒成立,则实数 c 的 n
取值范围是_________。 三、解答题(共 70 分) 17、在 ?ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,已知 a cos A ? b cos B ? c cos C ,判断 ?ABC 的形状。

18、如图,在底面是矩形的四棱锥 P ? ABCD 中,

PA ? 平面 ABCD, PA ? AB ? 2, BC ? 4, E 是 PD 的中点
(1)求证:平面 PDC ? 平面 PAD ; (2)求三棱锥 P ? AEC 的体积。

P E A B C D

19 、 已 知 集 合

A ? ??4, ?2,0,1,3,5? , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 点 ? x, y ? 的 坐 标 满 足

x ? A, y ? A ,求:
(1)点 (2)点

? x, y ? 恰好在第二象限的概率; ? x, y ? 不在 x 轴上的概率。

20、已知各项均为正数的数列 且 6Sn

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 S1 ? 1 ,

? (an ? 1)(an ? 2),n ? N *

(1) 求 an 通项公式 (2) 设数列 bn 满足 an(2 n 求证: 3Tn 21、已知函数

? ?

? ?

b

? 1) ? 1 ,并记 Tn 为 ?bn ? 的前 n 项和,

? 1 ? log2 (an ? 3), n ? N ?

f ( x) ? ax2 ? kbx( x ? 0) 与函数 g ( x) ? ax ? b ln x, a、b、k 为常数,它们
f ?( x) 与 y ? g ?( x) p(2, g (2)) 处的切线方程为:x ? 2 y ? 2ln 2 ? 2 ? 0 ,求 a、 b 的
f ?( x) 与 y ? g ?( x)

的导函数分别为 y ?

(1) g ( x) 图象上一点 若 值;

(2)对于任意的实数 k ,且 a、 b 均不为 0 ,证明:当 ab ? 0 时, y ? 的图象有公共点; (3)在(1)的条件下,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),( x1

? x2 ) 是函数 y ? g ( x) 的图象上两点,

g ?( x0 ) ?

y2 ? y1 ,证明: x1 ? x0 ? x2 x2 ? x1

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22、已知在 ?ABC 中, CM 是 ?ACB 的平分线, ?AMC 的外接圆交 BC 于点 N ,若

AC ?

1 AB ,求证: BN ? 2 AM 2

A M B N
第 22 题图

C

23、已知在极坐标系下,圆 O : ?

? 2 ? cos ? ? sin ? 和直线 l : ? sin(? ? ) ? 4 2

(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 ? ?

? 0,? ? 时,求直线 l 与圆 O 公共点的极坐标。
2x ? 1 ? x ? 4 ? 2

24、解不等式:

2013 届二模考试数学文科 参考答案及评分标准
一、选择题(每题只有一个正确答案,每题 5 分共 60 分):

BBABD

ABBAA

CA

二、填空题(每题 5 分,共 20 分):

13、 150

14、c

15、 2

16 、

6 c? 12 ?

三、解答题: (共 70 分)

17、? ?ABC 为 Rt? 18、 (1)略; (2) VP ? AEC ? 19、 (1) p ?

4 . 3

1 ; 6 5 (2) p ? . 6

20、 (1)

6Sn ? an 2 ? 3an ? 2 当n ? 2时, S n ?1 ? a 6
2 n ?1

① ? 3an ?1 ? 2 ②

①-②得:6an =an 2 ? an ?12 ? 3an ? 3an ?1 ? 3an ? 3an ?1 ? an 2 ? an ?12 ? 3(an ? an ?1 ) ? (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ) ? an ? 0 ? an ? an ?1 ? 3(n ? 2) 当n ? 1时, a1 ? a12 ? 3a1 ? 2 6 ? a12 ? 3a1 ? 2 =0 ? a1 ? 1或a1 ? 2 ? S1 =a1 ? 1 ? a1 ? 2 ??an ? 是以2为首项3为公差的等差数列 ? an =3n ? 1(n ? N ?)
(2)

? an(2 n ? 1) ? 1,由(1)知:an =3n ? 1
b

3n 2 3n - 1 3 6 9 3n ? Tn ? log 2( ? ? ? ? ? ) 2 5 8 3n - 1 3 6 9 3n 3 2 ? ? ??? ( ) 2 5 8 3n - 1 ? 0 ? 原不等式即为: 2 log 3n ? 2 3 6 9 3n 3 2 ? ? ??? ( ) 2 5 8 3n - 1 令f (n) ? 3n ? 2 作差可证f (n+1) ? f (n) ? bn ? log ? f (n) ? f (1) ? ? 原不等式成立
21、(1) a ? 0, b ? 1 (2)

27 ? 1 25

f ?( x) ? 2ax ? kb b x 原题即为ab ? 0 时,?k ? R有 g ?( x) ? a ? b ?0 x 2ax 2 ? (kb ? a ) x ? b 即 ? 0 在x ? 0时有解 x 即2ax 2 ? (kb ? a ) x ? b =0 ? 在x ? 0时有解 方程2ax ? kb ? a ?
? 两根积为:b ?0 2a 又? ? (kb ? a ) 2 ? 8ab = k 2b 2 ? 2abk ? a 2 ? 8ab(k ? R ) ??? ? 4a 2b 2 ? 4b 2 (a 2 ? 8ab) =4a 2b 2 ? 4a 2b 2 ? 32ab3 ? ?32ab3 ? 0 ? 方程 ? 在x ? 0时有解 即ab ? 0时,y ? f ?( x)与y ? g ?( x)图象有公共点
(3)

由(1)知: g ( x) ? ln x ( x ? 0) 1 ? g ?( x) ? x 1 ln x2 ? ln x1 ? g ?( x0 ) ? ? x0 x2 ? x1 ? x0 ? x2 ? x1 x ?x ? 2 1 x ln x2 ? ln x1 ln 2 x1
x2 ? x1 ? x1 x2 ln x1 x2 x1

? x0 ? x1 ?

x2 ? x1 ? x1 ln ? ln ? x2 x1

x1 x2 x ( ? 1 ? ln 2 ) x x1 ln 2 x1 x1

令t ?

x2 , 则t ? 1, 令h(t ) ? t ? 1 ? ln t , x1

1 t ?1 则h?(t ) ? 1 ? ? ? 0,? h(t )在(1, ?)上单调递增, t t x x ? h(t ) ? h(1) ? 0, 即 2 ? 1 ? ln 2 ? 0,? x0 ? x1 ? 0, 即x0 ? x1; x1 x1
同理可得: x2 ? x0 综上述: x1 ? x0 ? x2 22、略

1 1 1 圆O直角坐标方程为: ? )2 ? ( y ? ) 2 ? (x 23、 (1) 2 2 2 直线l的直角坐标方程为:x ? y ? 1 ? 0
1 (2) 交点的极坐标:( , ) 2 5 (? 24、 原不等式解集: 7, ) 3

?


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