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2013年石家庄一模理科数学试题及答案


河北省石家庄市 2013 届高中毕业班第一次模拟考试 数学理科(A 卷)
(时间 120 分钟,满分 150 分)

8. 巳知点(x,y)在Δ ABC 所包围的阴影区域内(包含边界),若 B(3, 大值的最优解,则实数 a 的取值范围为 A. a ? ?

5 )是 使得 z=ax-y 取得最 2

1 2

B. a ? 0

C. a ? ?

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.复数 z=1-i,则 A.第一象限

9. 若函数 f ( x) ? A sin(

?
2

1 2

D. ?

1 ?a?0 2

x ? ? )( A ? 0) 满足 f(1)=0,则

1 ? z 对应的点所在的象限为 z
C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

A.f(x-2)—定是奇函数 B.f(x+1)—定是偶函数 C. f(x+3)一定是偶函数 D, f(x-3)一定是奇函数 10. 已知正三棱锥 P-ABC 的主视图和俯视图 如图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为 A. 4π B. 12π

2. 若集合 A ? {x ? Z | 2 ? 2 x?2 ? 8} , B ? {x ? R | x 2 ? 2 x ? 0},则 A ? (C R B) 所含的元 素个数为 A. O B. 1 C. 2 D. 3

3. 设随机变量 ? 服从正态分布 N (1, ? 2 ) .若 P( ? <2)=0.8,则 p(0< ? <1)的值为 A. 0.2 B. 0.3 C.? 0.4 D. 0.6 4 已知双曲线的一个焦点与抛物线 x2=20y 的焦点重合, 且其渐近线的方程为 3x ? 4y=0,则 该 双曲线的标准方程为 A.

64? 3 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 11. 已知数列{an} , , , , , , , , , , ?, 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4
C.

16? 3

D.

依它的前 10 项的规律,则 a99+a100 的值为 A

37 24

B

7 . 6

C.

11 15

D.

7 15 f ( x) ? 0 ,若 x

12. 已知定义域为 R 的奇函数 f(x)的导函数为 f ?( x) ,当 x ? 0 时, f ?( x ) ?

x2 y2 ? ?1 9 16

B.

x2 y2 ? ?1 16 9

a?

1 1 1 f ( ), b ? ?2 f (?2), c ? ln f (ln 2) ,则下列关于 a,b,c 的大小关系正确的是 2 2 2
C. c>b>a D. b>a>c

y2 x2 C. ? ?1 9 16

y2 x2 D. ? ?1 16 9

A. a>b>c B, a>c>b

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空題,本大通共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.过点(2,3)与圆(x-1)2+y2=1 相切的直线方程为_____. 14. 如图,正方形 ABCD 中,EF//AB,若沿 EF 将正方形折成一个二面角 后,AE:ED:AD=1:1: 2 ,则 AF 与 CE 所成的角的余弦值为______. 15.为举办校园文化节,某班推荐 2 名男生 3 名女生参加文艺技能培训, 培训项目及人数分 别 为:乐器 1 人,舞蹈 2 人,演唱 2 人,每人只参加一个项目, 并且舞蹈和演唱项目必须 有女生参加, 则不同的推荐方案的种数为_______.(用数字作答) 16.在Δ ABC 中, ? B =600,O 为Δ ABC 的外心,P 为劣弧 AC 上一动点,且 OP ? xOA ? yOC (x,y∈ R) ,则 x+y 的取值范围为 __ _____

5. 执行右面的程序框图,输出的 S 值为 A. 1 B. 9 C. 17 D. 20 6. 已知等比数列{an},且 a4 ? a6 ?

?

2

0

4 ? x 2 dx ,则 a6(a3+2a6+a10))的值为

A. π 2 B. 4 C. π D.-9π 7. 现釆用随机模拟的方法估计该运动员射击 4 次,至少击中 3 次的概率:先由计算器给出 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 0、1 表示没有击中目标,2、3、4、5、6、7、8、9 表示击中 目标,以 4 个随机数为一组,代表射击 4 次的结果,经随机模拟产生了 20 组随机数: 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为 A. 0.852 B. 0.8192 C O.8 D. 0.75

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 如图,有 两 座 建 筑 物 AB 和 CD 都在河的对岸(不知 道它 们的高度, 且不能到达对岸) , 某人想测量两 座 建 筑 物 尖 顶 A、 C 之间的距离, 但只有卷尺和测 角仪两种工具.若此人在地面上 选一条基线 EF, 用 卷尺测得 EF 的长度为 a, 并用测角仪测量了 一些角度: ?AEF ? a , ?AFE ? ? , ?CEF ? ? ,

(II)当点 A 在平面 PBD 内的射影 G 恰好是Δ PBD 的重心时,求二面角 B-PD-G 的余弦值. 20. (本小题满分 12 分) 椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 a2 b2

F1(-1,0),F2(1,0),过 F1 作与 x 轴不重合的直线 l 交 椭圆于 A,B 两点. (I)若Δ ABF2 为正三角形,求椭圆的离心率; (II)若椭圆的离心率满足 0 ? e ?

?CFE ? ? , ?AEC ? ? 请你用文字和公式写出计算 A、C 之间
距离 的 步 骤 和 结 果 . 18.(本小题满分 12 分) 为了调査某大学学生在某天上网的时间,随机对 lOO 名男生和 100 名女生进行了不记名的问 卷调查.得到了如下的统计结果: 表 l:男生上网时间与频数分布表

5 ?1 ,0 为坐标原点,求证:OA2+OB2<AB2 2

21 (本小题满分 12 分) 设函数 f(x )=x2+aln(x+1) (I)若函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数,求实数 a 的取值范围; (II)若 函 数 y=f(x)有 两 个 极 值 点x1,x2 且 x1<x2 求证: 0 ?

f ( x2 ) 1 ? ? ? ln 2 x1 2

表 2:女生上网时间与频数分布表

(I)从这 100 名男生中任意选出 3 人 , 其 中 恰 有1 人上网时间少于 60 分钟的概率; 成 下 面 的2X2 列 联 表 , 并 回 答 能 否 有90%的 把 握 认 为 学 生 上 网 时 间 与 性 别 有 关 ” ? (II)完 “大 表3: 表3:? 附:

请考生在 22?24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-l:几何证明选讲 如图,过圆 O 外一点 P 作该圆的两条割线 PAB 和 PCD,分 别 交 圆O 于 , 点A,B,C,D 弦AD 和BC 交 于Q 点 割 线PEF 经过 Q 点 交 圆O 于 点E、F,点 M 在EF 上,且 ?BAD ? ?BMF : (I)求证:PA·PB=PM·PQ (II)求证: ?BMD ? ?BOD 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系.x0y 中 , 以 原 点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为:

? sin 2 ? ? cos?
(I)求曲线 l 的直角坐标方程;

附:

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 (II)若直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ,直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点 ?y ? 2 t ? 2 ?
求|AB|的值 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 巳知函数 f(x)=|x-2|+2|x-a|(a∈R). (I)当 a=1 时,解不等式 f(x)>3; (II) 不 等 式 f ( x) ? 1 在 区 间 ( - ∞ ,+ ∞ ) 上恒成立,求实数 a 的取值范围

19. (本小题满分 i2 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA 丄平面 ABCD, ?ABC ? ?ADC ? 900 , ?BAD ? 1200 , AD=AB=1,AC 和 BD 交于 O 点. (I)求证:平面 PBD 丄平面 PAC

2013 年高中毕业班第一次模拟考试
数学理科答案
一、选择题 A 卷答案 1-5 DCBCC B 卷答案 1-5 DBCBB 二、填空题 ?????8 分
K2 ?

女生 合计

70 130

30 70

100 200

200 ? (1800 ? 2800) 2 200 ? ? 2.20 ,??????10 分 100 ? 100 ? 130 ? 70 91

6-10 ADADD 6-10 ADADD

11-12 AD 11-12 AD

∵ K 2 ? 2.20 ? 2.706 ∴没有 90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”.??????12 分 19. 解: (Ⅰ) 依题意 Rt?ABC ? Rt ?ADC ,?BAC ? ?DAC ,?ABO ? ?ADO , 所以 AC ? BD , ?? 2分 而 PA ? 面 ABCD , PA ? BD ,又 PA ? AC ? A ,∴ BD ? 面 PAC ,

13 . 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 或 x ? 2

14 .

4 5

又 BD ? 面 PBD ,∴平面 PAC ? 平面 PBD ????4 分 (Ⅱ) 过 A 作 AD 的垂线为 x 轴, AD 为 y 轴, AP 为 z 轴,建立如图所示
3 1 坐标系,则 B( , ? , 0) , D(0 ,1 , 0) , C ( 3,1, 0) ,设 P(0, 0, ? ) , 2 2 ??? ? 3 1 ? 3 1 所以 G ( , , ) , PB ? ( , ? , ?? ) , 6 6 3 2 2 由 AG ? PB ,得

z P

15 . 24

16 .

?1, 2?

三、解答题:(阅卷老师,可根据学生的答题情况,酌情给分) AE EF ? 17.解:第一步:在 ?AEF 中,利用正弦定理, , sin ? sin(180? ? ? ? ? ) 解得 AE ?
a sin ? ;?????4 分 sin(? ? ? )

a sin ? 第二步:在 ?CEF 中,同理可得 CE ? ;?????8 分 sin(? ? ? )

??? ? ??? ? 3 1 ? 3 1 AG ? PB ? ( , , )?( , ? , ?? ) ? 0 6 6 3 2 2
解得 ? 2 ?
1 2 ,?? .??????6 分 2 2

A B x

y D

C

第三步:在 ?ACE 中,利用余弦定理, AC ? AE 2 ? CE 2 ? 2 AE ? CE cos ?
? a 2 sin 2 ? a 2 sin 2 ? a 2 sin ? sin ? cos ? ? ? 2 sin 2 (? ? ? ) sin 2 (? ? ? ) sin(? ? ? )sin(? ? ? )

∴P 点的坐标为 (0, 0,

2 ); 2

???? 面 PBD 的一个法向量为 m ? 6 AG ? ( 3,1, 2) ,?????8 分
??? ? ??? ? 2 设面 PCD 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) , CD ? (? 3, 0, 0) , PD ? (0,1, ? ) 2

????12 分 (代入角的测量值即可,不要求整理,但如果学生没有代入,扣 2 分) 18.解: (Ⅰ) 由男生上网时间频数分布表可知 100 名男生中, 上网时间少于 60 分钟的有 60 人, 不少于 60 分钟的有 40 人,??????2 分 故从其中任选 3 人,恰有 1 人上网的时间少于 60 分钟的概率为
1 2 C60 C40 ?????4 分 3 C100

??? ? ? 2y ? z ? 0 ?n ? PD ? 0 ? ? 即? ,∴ n ? (0,1, 2) ? ? ??? ? ?n ? CD ? 0 ? ?? 3x ? 0
cos ? n, m ??

??????10 分

156 ??????6 分 539 (Ⅱ) ?
上网时间少于 60 分 男生 60 上网时间不少于 60 分 40 合计 100

(0,1, 2) ? ( 3,1, 2) n?m 2 ? ? , | n || m | 2 3? 6

所以二面角 B ? PD ? A 的余弦值为

2 .?????12 分 2

20. 解: (Ⅰ)由椭圆的定义知 | AF1 | ? | AF2 |?| BF1 | ? | BF2 | ,又 | AF2 |?| BF2 | ,∴ | AF1 |?| BF1 | ,

即 F1 F2 为边 AB 上的中线, ∴ F1 F2 ? AB ,????????2 分 在 Rt△AF1 F2 中, cos 30? ?
c 3 2c , ,则 ? 4a a 3 3

即 a ? ?2 x ? 2 x 区间 [1,??) 上恒成立, ???????1 分
2

a ? ?4 .??????3 分
经检验, 当 a=- 4 时, f ( x) ?
/

2 x 2 ? 2 x ? 4 2( x ? 2)(x ? 1) x ? [1,??) 时, f / ( x) ? 0 , , ? x ?1 x ?1

3 3 ∴椭圆的离心率 .???????4 分(注:若学生只写椭圆的离心率 ,没有过程扣 3 3 3 分)

所以满足题意的 a 的取值范围为 [?4, ??) .??????4 分 (Ⅱ)函数的定义域 (?1,??) , f ( x) ?
/

2x 2 ? 2x ? a ? 0 ,依题意方程 2 x 2 ? 2 x ? a ? 0 在区 x ?1

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 因为 0 ? e ? ①当直线 AB与x 轴垂直时,

1? 5 5 ?1 , c ? 1 ,所以 a ? . ????6 分 2 2

??? ? ??? ? b4 1 y2 b4 2 , , , ? ? 1 y ? OA ? OB ? x x ? y y ? 1 ? 1 2 1 2 a2 a 2 b2 a2

3 5 ?( a 2 ? ) 2 ? ??? ? ??? ? ?a4 ? 3a2 ? 1 2 4 , 因为 a 2 ? 3 ? 5 ,所以 OA ? OB ? 0 , = a2 a2 2 ??AOB 恒为钝角, ? OA2 ? OB2 ? AB2 .?????????8 分

? ?? ? 0 ? 间 (?1,??) 有两个不等的实根,记 g ( x) ? 2x 2 ? 2x ? a ,则有 ? g (?1) ? 0 , ? 1 ?? ? ?1 ? 2
得0 ? a ?

1 .????????6 分 2

②当直线 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程为: y ? k ( x ? 1) ,代入 整理得: (b2 ? a2 k 2 ) x2 ? 2k 2 a2 x ? a2 k 2 ? a2b2 ? 0 ,

x2 y 2 ? ? 1, a 2 b2

1 1 1 ? 2a 2 , ? ? x2 ? 0 , ? x1 ? x2 ? ?1, 2 x2 ? 2 x2 ? a ? 0 , x 2 ? ? ? 2 2 2
2 2 f ( x2 ) x2 ? (2 x 2 ? 2 x2 ) ln(x2 ? 1) x 2 ? (2 x 2 ? 2 x) ln(x ? 1) 1 , x ? (? ,0) ,令 k ( x) ? ? ?1? x 2 x1 ? 1 ? x2

?2a2 k 2 a 2 k 2 ? a 2 b2 , x1 ? x2 ? 2 x x ? 1 2 b ? a2 k 2 b2 ? a 2 k 2 ??? ? ??? ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2
x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? x1 x2 (1 ? k 2 ) ? k 2 ( x1 ? x2 ) ? k 2

????????8 分

(a2 k 2 ? a2 b2 )(1 ? k 2 ) ? 2a2 k 4 ? k 2 (b2 ? a2 k 2 ) ? b2 ? a 2 k 2 k 2 ( a 2 ? b 2 ? a 2 b2 ) ? a 2 b 2 ? b2 ? a 2 k 2 k 2 (?a4 ? 3a2 ? 1) ? a2 b2 ??????10 分 ? b2 ? a 2 k 2 令 m(a) ? ?a4 ? 3a2 ? 1 , 由 ①可知 m(a) ? 0 ,
??AOB 恒为钝角.,所以恒有 OA2 ? OB 2 ? AB 2 .??????12 分

? x2 x2 2x 2 ? 6x ? 2 / // k ( x) ? ? 2 x ln(x ? 1) , k ( x) ? , ? 2 ln(x ? 1) , k ( x) ? x ?1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 3
因为 k (? ) ? ?
//

1 2

1 // 1 , k (0) ? 2 ,存在 x 0 ? ( ? ,0) ,使得 k // ( x0 ) ? 0 , 2 2 1 (? , x0 ) 2
-

x
k // ( x)

x0
0

( x0 ,0)
+

21. 解: (Ⅰ) f ( x) ?
/

2x 2 ? 2x ? a ? 0 在区间 [1,??) 上恒成立, x ?1

1 1 k / (0) ? 0 , k / (? ) ? 1 ? 2 ln 2 ? 0 ,? k / ( x) ? 0 ,所以函数 k ( x) 在 (? ,0) 为减函数, 2 2
???????10 分

所以 A,Q,M,B 四点共圆,?????3 分 所以 PA ? PB ? PM ? PQ .??????5 分 (Ⅱ)∵ PA ? PB ? PC ? PD , ∴ PC ? PD ? PM ? PQ 又 ?CPQ ? ?MPD , , 所以 ?CPQ ~ ?MPD ,?????7 分

1 f ( x2 ) 1 k (0) ? k ( x) ? k (? ) 即 0 ? ? ? ? ln 2 ????????12 分 2 x1 2
法二:6 分段后面还有如下证法,可以参照酌情给分.
2 【证法 2】 x2 为方程 2 x 2 ? 2 x ? a ? 0 的解,所以 a ? ?2 x2 ? 2 x2 ,

∴ ?PCQ ? ?PMD ,则 ?DCB ? ?FMD ,??????8 分 ∵ ?BAD ? ?BCD , ∴ ?BMD ? ?BMF ? ?DMF ? 2?BAD , ?BOD ? 2?BAD , 所以 ?BMD ? ?BOD .???????10 分 23.解:(Ⅰ)依题意 得: y 2 ? x

1 1 1 1 ? 2a , x1 ? x2 ? 0 , x2 ? ? ? ,∴ ? ? x2 ? 0 , 2 2 2 2 f ( x2 ) ? 0 ,即证 f ( x2 ) ? 0 ( x1 ? x2 ? 0 ), 先证 x1

∵0? a ?

在区间 ( x1 , x2 ) 内, f ?( x) ? 0 , ( x2 , 0) 内 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x2 ) 为极小值, f ( x2 ) ? f (0) ? 0 , 即 f ( x2 ) ? 0 ,∴
f ( x2 ) ? 0 成立;???????8 分 x1

? 2 sin 2 ? ? ? cos? ??????3 分

f ( x2 ) 1 1 1 ? ? ? ln 2 ,即证 f ( x2 ) ? (? ? ln 2)(?1 ? x2 ) ? ( ? ln 2)( x2 ? 1) , 再证 x1 2 2 2

1 1 x22 ? (2 x22 ? 2 x2 ) ln( x2 ? 1) ? ( ? ln 2) x2 ? ? ln 2 , 2 2 1 1 令 g ( x) ? x ? (2 x ? 2 x) ln( x ? 1) ? ( ? ln 2) x , x ? (? , 0) ???????10 分 2 2
2 2

? 曲线 C1 直角坐标方程为: y 2 ? x .???????5 分

g ?( x) ? 2 x ? (4 x ? 2) ln( x ? 1) ?

2 x( x ? 1) 1 ? ( ? ln 2) , x ?1 2

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 2 (Ⅱ)把 ? 代入 y ? x 整理得: ?y ? 2 t ? 2 ?

1 ? ?2(2 x ? 1) ln( x ? 1) ? ( ? ln 2) , 2
ln( x ? 1) ? 0 , 2x ?1 ? 0 ,

t 2 ? 2t ? 4 ? 0 ??????7 分
? ? 0 总成立,
t1 ? t 2 ? ? 2 , t1t 2 ? ?4
AB ? t1 ? t 2 ? (? 2 ) 2 ? 4 ? (?4) ? 3 2
另解: (Ⅱ)直线 l 的直角坐标方程为 y ? 2 ? x ,把 y ? 2 ? x 代入 y ? x 得:
2

1 ? ln 2 ? 0 , 2

1 ∴ g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (? , 0) 为增函数. 2 1 1 1 1 1 1 g ( x) ? g (? ) ? ? (2 ? ? 1) ln ? ( ? ln 2) 2 4 4 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ln ? ? ln 2 ? ? ln 2 . 4 2 2 4 2 2 f ( x2 ) 1 ? ? ? ln 2 成立.?????????12 分 综上可得 0 ? x1 2

??????10 分

x 2 ? 5x ? 4 ? 0 ??????7 分

22.证明:(Ⅰ)∵∠BAD=∠BMF,

? ? 0 总成立, x1 ? x2 ? 5 , x1 x2 ? 4

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 2 (5 2 ? 4 ? 4) ? 3 2
24. 解:(Ⅰ) ?

???????10 分

?x ? 2 7 解得 x ? 3 ?x ? 2 ? 2x ? 2 ? 3

?1 ? x ? 2 解得 x ? ? ? ?2 ? x ? 2 x ? 2 ? 3 ?x ? 1 1 解得 x ? ???????3 分 ? 3 ?2 ? x ? 2 ? 2 x ? 3
不等式的解集为 ( ??, ) ? ( , ?? ) ??????5 分

1 3

7 3

?? 3 x ? 2 ? 2 a , x ? 2 ? f ( x) ? ?? x ? 2a ? 2,2 ? x ? a ; (Ⅱ) a ? 2时, ?3 x ? 2 ? 2a, x ? a ?

??3x ? 6, x ? 2 a ? 2时, ; f ( x) ? ? 3 x ? 6, x ? 2 ?
?? 3 x ? 2 ? 2 a , x ? a ? f ( x) ? ? x ? 2a ? 2, a ? x ? 2 ; a ? 2时, ?3x ? 2 ? 2a, x ? 2 ?

? f ( x) 的最小值为 f (2)或f (a) ;??????8 分
则?

? f (a) ? 1 ,解得 a ? 1 或 a ? 3 .??????10 分 ? f (2) ? 1


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