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【锁定高考】2015高考数学(文)一轮总复习训练手册:8.8 直线与圆锥曲线的位置关系]


训 练 手 册 A组 基础达标 满分:50 分)

(时间:30 分钟 若时间有限,建议选讲 2,5,8 一、 选择题(每小题 5 分,共 20 分)

x 2 y2 1. 已知 F 是双曲线 - =1 的左焦点,A(1,4) ,P 是双曲线右支上的动点, 4 12 则|PF|+|PA|的最小值为(D) A. 4 C. 8 B. 6 D.

9

解析: 注意到 P 点在双曲线的右支上,且双曲线右焦点为 F′(4,0) ,于是由双 曲线定义得|PF|-|PF′|=2a=4,故|PF|+|PA|=2a+|PF′|+|PA|≥4+|AF′|=9, 当且仅当 A,P,F′三点共线时等号成立. x 2 y2 2. 已知椭圆 E: + =1,对于任意实数 k,下列直线被椭圆 E 截得的弦长与 l: m 4 y=kx+1 被椭圆 E 截得的弦长不可能相等的是(D) A. kx+y+k=0 C. kx+y-k=0 B. kx-y-1=0 D. kx+y-2=0

解析: A 选项中,当 k=-1 时,两直线关于 y 轴对称,两直线被椭圆 E 截得的 弦长相等;B 选项中,当 k=1 时,两直线平行,两直线被椭圆 E 截得的弦长相 等;C 选项中,当 k=1 时,两直线关于 y 轴对称,两直线被椭圆 E 截得的弦长 相等,故选 D.

x2 3. 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y2=1 相交于 A, B 两点, 则|AB|的最大值为 ( C) 4 A. 2 4 B. 10 5 4 5 D. 8 10 5 5

C.

解析: 设直线 l 的方程为 y=x+m,将直线与椭圆方程联立,结合弦长公式可得 |AB|= 4 2× 5-m2 4 10 ≤ . 5 5

4. 已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交 于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15) ,则 E 的标准方程为(B) x 2 y2 A. - =1 3 6 x 2 y2 C. - =1 6 3 x 2 y2 B. - =1 4 5 x 2 y2 D. - =1 5 4

x 2 y2 解析: 设双曲线 E 的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0) ,由题意知 c=3,即 a b

? ?a -b =1, y -y a +b =9.设 A(x ,y ) ,B(x ,y ) ,则有? 两式作差,得 x -x x y ? ?a -b =1,
2 x1

y2 1

2

2

2

2

1 1

2

1

1

2

2

2 2

2 2

2

2

2

-12b2 4b2 -15-0 = 2 = = ,又 AB 的斜率是 =1,∴4b2=5a2,代 a (y1+y2) -15a2 5a2 -12-3 入 a2+b2=9,得 a2=4,b2=5,∴双曲线 x 2 y2 E 的标准方程是 - =1. 4 5

b2(x1+x2)

二、 填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5. (2013·安徽高考)已知直线 y=a 交抛物线 y=x2 于 A,B 两点,若该抛物线 上存在点 C,使得∠ACB 为直角,则 a 的取值范围为 [1,+∞) .

解析: 设直线 y=a 与 y 轴交于点 M,抛物线 y=x2 上要存在 C 点,只要以|AB| 为直径的圆与抛物线 y=x2 有交点即可, 也就是使|AM|≤|MO|, 即 ∴a≥1. 6. 已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线为 l,过 M(1,0)且斜率为 → =MB → ,则 p= 线与 l 相交于点 A,与 C 的一个交点为 B.若AM 2 W. 3的直 a≤a (a>0) ,

→ =MB → ,∴M 为 AB 的中点,∴|BM| 解析: 过 B 作 BE 垂直于准线 l 于 E,∵AM 1 = |AB|,又直线 AM 的斜率为 2 ∴M 为抛物线的焦点,∴p=2. 三、 解答题(共 20 分) 7. (10 分)如图,已知椭圆 C1 的中心在原点 O,长轴左、右端点 M,N 在 x 轴上,椭圆 C2 的短轴为 MN,且 C1,C2 的离心率都为 e,直线 l⊥MN,l 与 C1 交于两点,与 C2 交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为 A,B,C,D. 1 (1)设 e= ,求|BC|与|AD|的比值; 2 (2)当 e 变化时,是否存在直线 l,使得 BO∥AN,并说明理由. 1 3,∠BAE=30°,∴|BE|= |AB|,∴|BM|=|BE|, 2

解析: ∵C1,C2 的离心率相同,

b2y2 x2 故依题意可设 C1: 2+ 2=1,C2: 4 + 2=1,a>b>0. a b a a ? a ? 设直线 l:x=t(|t|<a) ,分别与 C1,C2 的方程联立,求得 A?t, ? b ? b ? B?t, ? a ? ? a2-t2?. ? ? ? a2-t2?, ?

x2

y2

1 3 |BC| 2|yB| (1)当 e= 时,b= a,分别用 yA,yB 表示 A,B 的纵坐标,可知 = 2 2 |AD| 2|yA| b2 3 = 2 = . (5 分) a 4 (2)当 t=0 时,l 不符合题意;t≠0 时,BO∥AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO 与 b AN 的斜率 kAN 相等,即 (7 分) 1-e2 2 ∵|t|<a,又 0<e<1,∴ 2 <1,解得 <e<1. e 2 ∴当 0<e≤ 2 2 时,不存在直线 l,使得 BO∥AN;当 2 2 <e<1 时,存在直线 l, a a2-t2 t = a b a2-t2 t-a

1-e2 ,解得 t=- 2 =- 2 ·a. a -b2 e

ab2

使得 BO∥AN. (10 分) 8. (10 分) (2013·东北三校模拟)已知点 E(m,0) (m>0)为抛物线 y2=4x 内一个定点,过 E 作斜率分别为 k1,k2 的两条直线交抛物线于点 A,B,C,D, 且 M,N 分别是 AB,CD 的中点. (1)若 m=1,k1k2=-1,求△EMN 面积的最小值; (2)若 k1+k2=1,求证:直线 MN 过定点.

解析: (1)当 m=1 时,E 为抛物线 y2=4x 的焦点, ∵k1k2=-1,∴AB⊥CD. ? ?y=k1(x-1), 设 AB 的方程为 y=k1(x-1) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由? 2 ? ?y =4x 4 得 k1y2-4y-4k1=0,∴y1+y2= ,y1y2=-4, k1 ?x1+x2 y1+y2? ?2 2? ? ? ? ? , ∵M? ,∴M? 2+1, ?, ? 2 ? k1? ? 2 ?k1 同理,点 N(2k2 , (3 分) 1+1,-2k1) 1 ∴S△EMN= |EM|·|EN| 2 = 1 2 ? 2 ?2 ? 2 ?2 ? ? ? ? +? ? · ?k2 ? ? 1? ?k1? 1 k2 1+ +2≥2 k2 1
2 2 (2k2 1) +(-2k1)

=2

2+2=4.

1 2= ,即 k =±1 时,△EMN 的面积取最小值 4.(5 分) 当且仅当 k1 1 k2 1 ? ?y=k1(x-m), (2) 设 AB 的方程为 y=k1 (x-m) , A (x1, y1) , B (x2, y2) , 由? 2 ? ?y =4x 4 得 k1y2-4y-4k1m=0,y1+y2= , k1

∴y1y2=-4m, ?x1+x2 y1+y2? ?2 2? ? ? ? ? , ∵M? ,∴M? 2+m, ?, ? 2 ? k1? ? 2 ?k1 ?2 2? ? ? 同理,点 N? 2+m, ?, (7 分) k2? ?k2 ∴kMN= k1k2 k1+k2 =k1k2. (9 分) 2

? ? 2 ? ? ∴MN 的方程为 y- =k1k2?x- 2-m?,即 y=k1k2(x-m)+2, k1 k1 ? ? ∴直线 MN 恒过定点(m,2).(10 分)

B组

提优演练 满分:50 分)

(时间:30 分钟

若时间有限,建议选讲 2,5,8 一、 选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1 1. 抛物线 x2= y 上一点到直线 y=4x-5 的距离最短,则该点的坐标为(C) 4 A. (0,0) B. (1,4) ?1 ? ? ? C. ? ,1? ?2 ? D. (5,1)

解析: 抛物线上一点 P

(

x0,4x2 0

)

|4x0-4x2 0-5| ,它到直线的距离 d= = 17

4x2 1 0-4x0+5 2 .而 4x2 0-4x0+5=(2x0-1) +4≥4.此时,x0= ,∴P 点坐标为 2 17 ?1 ? ? ? , 1 ?2 ?. ? ? 2. 设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右顶点为 A,P 为双曲线上的一个动点 a b x2 y2

(不是顶点) ,从点 A 引双曲线的两条渐近线的平行线,与直线 OP 分别交于 Q, R 两点,其中 O 为坐标原点,则|OP|2 与|OQ|·|OR|的大小关系为(C) A. |OP|2<|OQ|·|OR| C. |OP|2=|OQ|·|OR| B. |OP|2>|OQ|·|OR| D. 不确定

? b2? b2 ? ? 解析: 取特殊点 P?c, ?,则直线 OP 的方程为 y= x,不妨令直线 AQ 的方 a? ac ? b b 程为 y= (x-a) ,直线 AR 的方程为 y=- (x-a) ,解得 Q,R 的坐标分别 a a ? ac ? b2 ? b2 ? ? ? ? ac ? 2 , , 为? ,? ? ?,易得|OP| =|OQ|·|OR|(若设任意点也可得此 c - b c - b c + b c + b ? ? ? ? 结果).故选 C. 3. (2013·洛阳统考)已知 F 是抛物线 y2=4x 的焦点,过点 F 的直线与抛物线交 于 A,B 两点,且|AF|=3|BF|,则线段 AB 的中点到该抛物线准线的距离为(B) A. 5 3 B. 8 3 C. 10 3 D. 10

解析: 设点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,其中 x1>0,x2>0,过 A,B 两点的直 线方程为 x=my+1,将 x=my+1 与 y2=4x 联立得 y2-4my-4=0, x1+1=3(x2+1), ? ? 1 2 (y y )2 ∴y1y2=-4,则由? y2 解得 x1=3,x2= .故线段 AB 1 y2 1 2 3 x1x2= · = =1, ? 4 4 16 ? x1+x2 8 的中点到该抛物线的准线 x=-1 的距离等于 +1= ,选 B. 2 3 x 2 y2 → 4. (2013·浙江名校联考) 已知 P 为双曲线 C: - =1 上的点, 点 M 满足|OM 9 16 → ·PM → =0, → |取得最小值时的点 P 到双曲线 C 的渐近线的距离 |=1, 且OM 则当|PM 为(B)

A.

9 5

B.

12 5

C. 4

D. 5

→ ·PM → =0,得 OM⊥PM,根据勾股定理,求|PM|的最小值可以转 解析: 由OM 化为求|OP|的最小值,当|OP|取得最小值时,点 P 的位置为双曲线的顶点(±3, 0) ,而双曲线的渐近线为 4x±3y=0,∴所求的距离 d= 二、 填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5. 过抛物线 x2=2py(p>0) 的焦点作斜率为 1 的直线与抛物线交于 A, B 两点, A,B 在 x 轴上的射影分别为 D,C.若梯形 ABCD 的面积为 12 2,则 p= 2 . 12 ,故选 B. 5

p 解析: 如图,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线方程为 y=x+ ,与抛物线方 2 程 x2=2py 联立得 ? x2=2p x+ ? ? ? p? ? ,即 x2-2px-p2=0,∴x1+x2=2p,x1x2=- 2? ? (x1+x2)2-4x1x2=2 2p,

p2,∴y1+y2=x1+x2+p=3p,|x1-x2|= ∴12 1 2= |x1-x2|· (y1+y2)=3 2

2p2,∴p2=4,p=2.

6. 若抛物线 y=ax2-1 上恒有关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A,B,则 a 的 ?3 ? ? ? 取值范围是 ? ,+∞? ?4 ? .

解析:设抛物线上的两点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 AB 的方程为 y=x +b,代入抛物线方程 y=ax2-1 得 ax2-x-(b+1)=0,设直线 AB 的中点

为 M(x0,y0) ,则 x0=

1 ,y0=x0+b= +b.由于 M(x0,y0)在直线 x+y 2a 2a

1

1 =0 上,故 x0+y0=0,由此得 b=- ,此时 ax2-x-(b+1)=0 可变形为 a ? 1 ? ? 1 ? 3 ? ? ? ? ax2-x-?- +1?=0,由 Δ =1+4a?- +1?>0,解得 a> . 4 ? a ? ? a ? 三、 解答题(共 20 分) x 2 y2 7. (10 分) (2013·江南十校联考)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)与双曲线 a b x2 m - 2 =1(0<m2<3)有公共的焦点,过椭圆 E 的右顶点 R 任意作直线 l, 3-m2 y2

设直线 l 交抛物线 y2=2x 于 M,N 两点,且 OM⊥ON. (1)求双曲线的焦点坐标和椭圆 E 的方程; (2)设 P 是椭圆 E 上第一象限内的点,点 P 关于原点 O 的对称点为 A、关于 x 轴的对称点为 Q,线段 PQ 与 x 轴相交于点 C,点 D 为 CQ 的中点,若直线 AD 与椭圆 E 的另一个交点为 B,试判断直线 PA,PB 是否相互垂直,并证明你的结 论. 解析: (1)由题意可知 c 双曲线= F1(- 3,0) ,F2( m2+3-m2= 3,故双曲线的焦点坐标为

3,0).(2 分)

设点 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,直线 l:ty=x-a,代入 y2=2x 并整理得 y2- 2ty-2a=0, ? ?y1+y2=2t, ∴? (3 分) ? y y =- 2a. 1 2 ? → ·ON → =x x +y y =(ty +a) 故OM (ty2+a)+y1y2 1 2 1 2 1 =(t2+1)y1y2+at(y1+y2)+a2

=(t2+1) (-2a)+2at2+a2=a2-2a=0, 解得 a=2.(4 分) 又 c 椭圆=c 双曲线= x2 3,∴椭圆 E 的方程为 +y2=1. (5 分) 4

(2)PA⊥PB 恒成立.证明如下: (6 分) ? 1 ? ? ? 如图,设 P(x0,y0) (x0>0,y0>0) ,则 A(-x0,-y0) ,D?x0,- y0?,x2 0+ 2 ? ? 4y2 (7 分) 0=4, 将直线 AD 的方程 y=
2 2 (x+x0)-y0 代入椭圆方程并整理得(4x2 0+y0)x - 4x0

y0

2 2 2 6x0y2 0x+9x0y0-16x0=0,

由题意可知此方程必有一根为-x0. 于是解得 xB= +x0, 2 4x2 0+y0 6x0y2 0

2 2 ? y0 ? y3 0-2x0y0 ? 6x0y0 ? +2x0?-y0= ∴yB= ? 2 , (9 分) 2 4x0?4x0+y2 4x2 0 0+y0 ? 2 y3 0-2x0y0 -y0 2 4x2 -6x2 x0 0+y0 0 y0 ∴kPB= = =- , 6x0y2 6x0y2 y0 0 0 2 4x2 0+y0

x 0 y0 故 kPAkPB=- × =-1,即 PA⊥PB.(10 分) y0 x0

8. (10 分) (2013·山东高考)椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分 a b 别是 F1,F2,离心率为 1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1,PF2,设∠F1PF2 的角 平分线 PM 交 C 的长轴于点 M(m,0) ,求 m 的取值范围; (3)在(2)的条件下,过点 P 作斜率为 k 的直线 l,使得 l 与椭圆 C 有且只有 一个公共点,设直线 PF1,PF2 的斜率分别为 k1,k2,若 k≠0,试证明 定值,并求出这个定值. 解析: (1)由于 c2=a2-b2,将 b2 x=-c,代入椭圆方程 2+ 2=1 得 y=± , a b a x2 y2 1 + 为 kk2 1 3 2 ,过 F1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为

x2

y2

kk1

2b2 由题意知 =1,即 a=2b2. a x2 又 e= = ,∴a=2,b=1.∴椭圆 C 的方程为 +y2=1.(3 分) a 2 4 (2)设 P(x0,y0) (y0≠0).又 F1(- 3,0) ,F2( 3,0) , 3y0=0,lPF2:y0x c 3

∴直线 PF1,PF2 的方程分别为 lPF1:y0x-(x0+ -(x0- 3 ) y- 3y0=0.

3)y+

由题意知

|my0+

3y0|

y2 0+(x0+

3)2



|my0-

3y0|

y2 0+(x0-

3)2

, (5 分)

x2 0 ∵点 P 在椭圆上,∴ +y2 0=1. 4 ∴ |m+ 3| = |m- 3| .

? 3 ?2 ? ? ? 2 x0+2? ? ? 3<m< 3 =

? 3 ?2 ? ? ? 2 x0-2? ? ?

∵- ∴

3,-2<x0<2, 3-m

m+

3 x0+2 2

3 ,∴m= x0. 4 3 2- x0 2

? 3 3? 3 3 ? ? ∴- <m< ,即 m 的取值范围是?- , ?.(7 分) 2 2 ? 2 2? (3)设 P(x0,y0) (y0≠0) ,则直线 l 的方程为 y-y0=k(x-x0).联立 x2 ? ? +y2=1, ?4 ? ?y-y0=k(x-x0),
2 2 整理得(1+4k2)x2+8(ky0-k2x0)x+4(y2 0-2kx0y0+k x0-1)=0. 2 2 由题意得 Δ =0,即(4-x2 0)k +2x0y0k+1-y0=0.(8 分)

x2 0 又 +y2 0=1, 4
2k2+8x y k+x2=0,故 k=- ∴16y0 0 0 0

. 4y0

x0

1 1 x0+ 3 x0- 3 2x0 由(2)知 + = + = , k1 k2 y0 y0 y0

? ? ? 1? ? 1 1 ? ? 4y0? 2x0 ∴ + = ? + ?=?- ?· =-8. kk1 kk2 k?k1 k2? ? x0 ? y0 1 1 1 1 因此 + 为定值,这个定值为-8. kk1 kk2


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