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2013年东北三校高三第一次联合模拟考试


2013 年高三第一次联合模拟考试理
有一项符合题目要求。 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分)

科 数 学

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只

2 2 1.已知集合 M ? x x ? 4 , N ? x x ? 2

x ? 3 ? 0 ,则集合 M ? N ?

?

?

?

?





A. {x | x ? ?2} C. {x | ?1 ? x ? 2} 2.复数

B. {x | x ? 3} D. {x | 2 ? x ? 3} ( C. ? )

i (i是虚数单位 ) 的实部是 1 ? 2i 2 2 A. B. ? 5 5

1 5

D.

1 5
( )

3.命题“若 a 2 ? b 2 ? 0, 则a ? 0且b ? 0 ”的逆否命题是 A.若 a 2 ? b 2 ? 0, 则a ? 0且b ? 0 C.若则 a ? 0且b ? 0, 则a 2 ? b 2 ? 0 4.函数 y ? B.若 a 2 ? b 2 ? 0, 则a ? 0或b ? 0 D.若 a ? 0或b ? 0, 则a 2 ? b 2 ? 0

ln( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为





A. (?4, ? 1)

B. (?4, 1)

C. (?1, 1)

D. (?1,1] ( )

5.下列命题中,真命题的是 A. ?x ? ?0, ?,sinx ? cosx ? 2 C. ?x ? R,x ? x ? ?1
2

? ?? ? 2?

B. ?x ? (3 ? ?), ? 3x ?1 , x
2

D. ?x ? (

?
2

,? ),tanx ? sinx


6. 命题甲: 是 q 的充分条件; p 命题乙: 是 q 的充分必要条件, p 则命题甲是命题乙的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.从总数为 N 的一群学生中抽取一个容量为 100 的样本,若每个学生被抽取的概率为 则 N 的值 A.25 B.75 C.400 8.一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m) 2 , 4 , 6 (

1 , 4


D.500

则该几何体的体积(单位:m3)为





A.

7 2

B.

9 2

C.

7 3

D.

9 4

9.阅读程序框图,若输出的 S 的值等于 16,那么在程序框图中的 判断框内应填写的条件是 ( ) A.i>5 B.i>6 C.i>7 D.i>8 10.正四棱锥的侧棱长为 2 3 ,侧棱与底面所成的角为 60 ? ,则该棱锥 的体积为 A.3 ( B.6 C.9 ) D.18

11.已知等差数列 {an } , a1 ? 15, S5 ? 55 ,则过点 P(3, a2 ) ,

Q(4, a4 ) 的直线的斜率为
A. 4
2

( C. ? 4

) D. ?

B.

1 4

1 4

12.过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 且倾斜角为 60°的直线 l 与抛物 线在第一、四象限分别交于 A、B 两点,则 A.5 B.4 C.3 D.

| AF | 的值等于 | BF |





第 II 卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段 OF(O 为原 a 2 b2

点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为___________. 14.在全运会期间,5 名志愿者被安排参加三个不同比赛项目的接待服务工作,则每个项 目至少有一人参加的安排方法有 . 15.若 a ?

?

2

0

xdx ,则在 (3x 2 ?

1 a x

)5 的二项展开式中,常数项为



16.设 {an } 是一个公差为 d ( d >0)的等差数列.若 项的和 S6 ? 21,则 an = .

1 1 1 3 ? ? ? ,且其前 6 a1a2 a2 a3 a3a4 4

三、解答题:解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin ?x ? 3 sin ?x sin(?x ?
2

?
2

)(? ? 0) 的最小正周期为 ? .

(Ⅰ)求 f (x) ; (Ⅱ)当 x ? [?

, ] 时,求函数 f (x) 的值域. 12 2

? ?

18. (本小题满分 12 分) 某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 7 场比赛,他们所有比赛得分的情况用如 图所示的茎叶图表示. 甲 乙 (Ⅰ)求甲、乙两名运动员得分的中位数; (Ⅱ)你认为哪位运动员的成绩更稳定? 5 7 4 1 2 31 (Ⅲ)如果从甲、乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场的得分, 3 2 4 2 3 7 2 3 1 0 求甲的得分大于乙的得分的概率.

19. (本小题满分 12 分) 已知等腰直角三角形 RBC ,其中∠ RBC =90?, RB ? BC ? 2 .点 A 、 D 分别是 RB 、 RC 的中点,现将△ RAD 沿着边 AD 折起到△ PAD 位置,使 PA ⊥ AB ,连结 PB 、 PC . (Ⅰ)求证: BC ⊥ PB ; (Ⅱ)求二面角 A ? CD ? P 的余弦值.

20. (本小题满分 12 分) 设椭圆 C :

1 x y x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率, e ? 右焦点到直线 ? ? 1 的距 2 2 a b a b

离d ?

21 , O 为坐标原点. 7

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (II)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆 C 分别交于 A, B 两点,证明:点 O 到直线

AB 的距离为定值,并求弦 AB 长度的最小值.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ?

1 2 x ? a ( a 为常数) ,直线 l 与函数 f ?x ?、g ?x ? 的 2

图象都相切,且 l 与函数 f ?x ? 的图象的切点的横坐标为 l.

(Ⅰ )求直线 l 的方程及 a 的值; (Ⅱ )当 k>0 时,试讨论方程 f 1 ? x 2 ? g ?x ? ? k 的解的个数.

?

?

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分) 如图,△ABC 内接于⊙O,AB=AC,直线 MN 切⊙ 于点 C,弦 O BD∥MN,AC 与 BD 相交于点 E. (Ⅰ)求证:△ABE≌△ACD; (Ⅱ)若AB=6,BC=4,求AE.

23. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? 2x ?1 ? x ? 3 . (Ⅰ)解不等式 f ( x ) ≤4; (Ⅱ)若存在 x 使得 f ( x) ? a ≤0 成立,求实数 a 的取值范围. 24. (本小题满分 10 分)已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ?

?
6



(Ⅰ)写出直线 l 的参数方程 (Ⅱ)设 l 与圆 x2+y2=4 相交与两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积.


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