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2014届高三数学一轮复习课件(4.4数系的扩充与复数的引入


[知识能否忆起]
一、复数的有关概念 1.复数的概念:形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数, 其中a,b分别是它的 实部 和 虚部 .若 b=0 ,则a+bi 为实数;若 b≠0 ,则a+bi为虚数;若 a=0,b≠0 ,则a +bi为纯虚数.

2.复数相等:a+bi=c+di? a=c,b=d(a,b, c,d∈R). 3.共轭复数:a+bi与c+di共轭?_____________ a=c,b+d=0 (a,b,c,d∈R).

4.复数的模:向量 OZ 的长度叫做复数 z=a+bi 的
2 2 a + b 模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|= .

二、复数的几何意义
1.复平面的概念:用直角坐标平面内的点来表示 复数时,这个 直角坐标平面为复平面. 2.实轴、虚轴:在复平面内,x轴叫作 实轴 ,y轴 叫作 虚轴 ,实轴上的点都表示 实数 ;除原点以外,虚

轴上的点都表示 纯虚数 .

3.复数的几何表示:
一一对应 复数 z=a+bi ???? ? 复平面内的点 Z(a,b) 一一对应 ???? ? 平面向量 OZ .

三、复数的运算

[动漫演示更形象,见配套课件]

1.复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则: (1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i ; (2)减法:z -z =(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i ;
1 2

(3)乘法:z1· z2=(a+bi)· (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;
z1 a+bi ?a+bi??c-di? (4)除法: = = z2 c+di ?c+di??c-di?
? ac+bd?+? bc-ad?i = c2+d2

(c+di≠0).

2.复数加法、乘法的运算律:
(1)复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1、z2、 z3∈C,有 z1+z2= z2+z1 ,(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) .
(2)复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的 z· z 分配律,即对任意 z1,z2,z3∈C,有 z1· z2= 2 1 ,(z1· z2)· z3 ( z2 · z3) ,z (z +z )=z z +z z . = z1 ·
1 2 3 1 2 1 3

[小题能否全取]
1.(教材习题改编)已知a∈R,i为虚数单位,若(1-2i) (a+i)为纯虚数,则a的值等于 A.-6 C.2 B.-2 D.6 ( )

解析:由(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i是纯虚数,
? ?a+2=0, 得? ? ?1-2a≠0,

由此解得a=-2.

答案:B

2.(2011· 湖南高考)若a,b∈R,i为虚数单位,且(a+i)I

=b+i,则
A.a=1,b=1 C.a=-1,b=-1

(
B.a=-1,b=1 D.a=1,b=-1

)

解析:由(a+i)i=b+i,得-1+ai=b+i,根 据两复数相等的充要条件得a=1,b=-1.

答案:D

5+3i 3.(2012· 天津高考)i 是虚数单位,复数 =( 4-i A.1-i B.-1+i

)

C.1+i

D.-1-i

5+3i ?5+3i??4+i? 20+5i+12i+3i2 解析: = = = 2 4-i ?4-i??4+i? 16-i 17+17i =1+i. 17

答案:C

z 4.若复数 z 满足 =2i,则 z 对应的点位于第________ 1+i 象限.

解析:z=2i(1+i)=-2+2i,因此z对应的点为(-2,2),

在第二象限内.
答案:二
3+ i 5.若复数 z 满足 z+i= ,则|z|=________. i

3+i 解析:因为z= -i=1-3i-i=1-4i,则|z|= 17. i

答案: 17

1.复数的几何意义 除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外, 还要注意

(1)|z|=|z-0|=a(a>0)表示复数z对应的点到原点的
距离为a; (2)|z-z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间 的距离.

2.复数中的解题策略
(1)证明复数是实数的策略:①z=a+bi∈R ? b=0(a, b∈R);②z∈R ? z= z .

(2)证明复数是纯虚数的策略:①z=a+bi为纯虚

数?a=0,b≠0(a,b∈R);
②b≠0 时,z- z =2bi 为纯虚数;③z 是纯虚数?z + z =0 且 z≠0.

复数的有关概念

[例 1]

(1)(2011· 安徽高考)设 i 是虚数单位,复数 ( B.-2 1 D. 2 )

1+ai 为纯虚数,则实数 a 为 2-i A.2 1 C.- 2

2-bi (2)(2012· 郑州质检)如果复数 (其中 i 为虚数单位, 1+2i b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么 b 等于 2 2 A.- B. 3 3
C. 2

(

)

[自主解答]

D.2 1+ai ?1+ai??2+i? (1)法一:因为 = 2-i ?2-i??2+i?

2-a+?2a+1?i = 为纯虚数, 5 所以2-a=0,a=2. 1+ai i?a-i? 法二:因为 = 为纯虚数,所以a=2. 2-i 2-i

2-bi ?2-bi??1-2i? ?2-2b?-?4+b?i (2) = = , 5 1+2i ?1+2i??1-2i? 2 依题意有2-2b=4+b,解得b=- . 3

[答案] (1)A

(2)A

1+ai 本题例 1(1)中复数 为实数,求 a 的值. 2- i
1+ai 2-a+?2a+1?i 解:由例题知 = , 5 2-i 1 因此2a+1=0,即a=- . 2

处理有关复数的基本概念问题,关键是找准复数的

实部和虚部,从定义出发,把复数问题转化成实数问题
来处理.由于复数z=a+bi(a,b∈R)由它的实部与虚部

唯一确定,故复数z与点Z(a,b)相对应.

x 1.(2013· 东北模拟)已知 =1-yi,其中 x,y 是实数, 1+ i i 是虚数单位,则 x+yi 的共轭复数为 ( )

A.1+2i C.2+i

B.1-2i D.2-i

解析:依题意得x=(1+i)(1-yi)=(1+y)+(1-y)i;又
? ?x=1+y, x,y∈R,于是有? ? ?1-y=0,

解得x=2,y=1.

x+yi=2+i,因此x+yi的共轭复数是2-i.

答案:

D

复数的几何意义

[例 2]

(2012· 山西四校联考)已知复数 z 的实部为-1,

2- i 虚部为 2,则 z (i 为虚部单位)在复平面内对应的点所在 的象限为 ( )

A.第一象限 C.第三象限

B.第二象限 D.第四象限

[自主解答]

依题意得

2-i z



2-i -1+2i



?2-i??-1-2i? -4-3i = ,因此该复数在复平面内对应 5 ?-1+2i??-1-2i?
? 4 3? 的点的坐标是?-5,-5?,位于第三象限. ? ?

[答案] C

复数与复平面内的点是一一对应的,复数和复平 面内以原点为起点的向量也是一一对应的,因此复数

加减法的几何意义可按平面向量加减法理解,利用平
行四边形法则或三角形法则解决问题.

2.(1)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别 为A,B,若C为线段AB的中点,则点C对应的复数 是 A.4+8i B.8+2i ( )

C.2+4i

D.4+i

(2)若 i 为虚数单位, 图中复平面内点 z Z 表示复数 z,则表示复数 的点 1+i 是 ( )

A.E C.G

B. F D.H

解析:(1)复数6+5i对应的点为A(6,5),复数-2+3i对应 的点为B(-2,3).利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2, 4),故点C对应的复数为2+4i.
3+i ?3+i??1-i? 4-2i z (2)依题意得z=3+i, = = = = 2- 2 1+i 1+i ?1+i??1-i? i,该复数对应的点的坐标是(2,-1).

答案:(1)C (2)D

复数的代数运算

[例3] (1)(2012· 山东高考)若复数z满足z(2-i)=11

+7i(i为虚数单位),则z为
A.3+5i C.-3+5i B.3-5i D.-3-5i i2+i3+i4 (2)(2011· 重庆高考)复数 = 1-i 1 1 1 1 A.- - i B.- + i 2 2 2 2
1 1 C. - i 2 2 1 1 D. + i 2 2

(

)

(

)

11+7i ?11+7i??2+i? [自主解答] (1)z= = = 2-i ?2-i??2+i? 15+25i =3+5i. 5

i2+i3+i4 ?-1?+?-i?+1 -i (2) = = 1-i 1-i 1-i -i?1+i? 1-i 1 1 = = = - i. 2 2 2 ?1-i??1+i?

[答案]

(1)A

(2)C

1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式

运算,除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数,注
意要把i的幂写成最简形式. 2.记住以下结论,可提高运算速度:
1+i ② = i; 1-i

①(1±i)2=±2i;
1-i ③ =-i; 1+i

a+bi ④ =b-ai; i

⑤i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N).

3.(1)(2012· 深圳模拟)复数 z1=3+4i,z2=1+i,i 为虚数 单位,若 z2 z1,则复数 z 等于 2=z·
8 6 A.- + i 25 25 8 6 C. + i 25 25 8 6 B.- - i 25 25

(

)

8 6 D. - i 25 25 ?1+i? ? ?2 011 (2)(2011· 湖北高考)i 为虚数单位,则? =( ? 1 - i ? ?

)

A.-i

B.-1

C.i

D.1

2 2 ? 1 + i ? 2i?3-4i? z 2i 2 2 解析:(1)∵z2=z· z1,∴z= = = = z1 3+4i 3+4i 25

8 6 = + i. 25 25
1+i ?1+i??1+i? (2)因为 = =i,所以原式=i2 2 1-i i3=-i.
011

=i4×502+3=

答案:(1)C (2)A

[典例] (2012· 安徽高考)复数z满足(z-i)i=2+i, 则 z= ( )

A.-1-i
C.-1+3i

B.1-i
D.1-2i

2+i [常规解法] 法一:∵(z-i)i=2+i,z-i= i =1-2i. ∴z=1-i.
i+ 1 法二:zi+1=2+i,z= =1-i. i

[答案] B

1.解答本题可以利用待定系数法,即先把x,y

用复数的形式表示出来,利用复数相等求出x,y的值,
这是解决复数问题的一种思想方法.本节例3(1)也可 利用这种方法. 2.明确复数相等的充要条件为实部与实部、虚部 与虚部分别相等,这是将复数问题转化为实数问题的 依据.

[巧思妙解]

设z=a+bi(a,b∈R),则(z-i)i=

-b+1+ai=2+i,由复数相等的概念可知,-b+1 =2,a=1,所以a=1,b=-1.故答案为B.

针对训练
(2011· 江苏高考)设复数z满足i(z+1)=-3+2i(i是虚 数单位),则z的实部是________. 解析:设z=a+bi(a,b∈R),则i(z+1)=i(a+1+bi)

=-b+(a+1)i=-3+2i,所以a=1,b=3,复数z
的实部是1. 答案:1

教师备选题(给有能力的学生加餐)
1.(2012· 上海高考)若 1+ 2i 是关于 x 的实系数 方 程 x2+bx+c=0 的一个复数根,则 ( )
解题训练要高效 见“课时跟踪检 测(二十九)”

A.b=2,c=3

B.b=-2,c=3

C.b=-2,c=-1 D.b=2,c=-1

解析:由题意可得(1+ 2i)2+b(1+ 2i)+c=0?-1
? ?-1+b+c=0, 2b)i=0,所以? ? ?2 2+ 2b=0

+b+c+(2 2+
? ?b=-2, ? ? ?c=3.

?

答案:B

? ? ? 5 ? ? ?? 3+4i ? 2.已知复数z满足?z-3+4i?? ?=2i,则复数z对 - 2 + i ? ?? ?

应的复平面内的点位于

(

)

A.第一象限 C.第三象限

B.第二象限 D.第四象限

? ? ? 5 ? 3-4i ? ? ? 3+4i ? 解析:由 ?z-3+4i? ? =2i,得z= ,故z= ? 3+4i ? ? ?-2+i?

3-4i ?3-4i?2 -7-24i = = ,对应的复平面内 25 3+4i ?3-4i??3+4i?
? 7 24? 的点为?-25,-25?. ? ?

答案:C

11-7i 3.(2012· 江苏高考)设 a,b∈R,a+bi= (i 为虚数单 1-2i 位),则 a+b 的值为________.
11-7i ?11-7i??1+2i? 解析:∵a+bi= = =5+3i, 5 1-2i ∴a=5,b=3,故a+b=8.

答案:8


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