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11.3.1角平分线的性质1课件 (1)


A

人教版八年级数学(上)

11.3.1角平分线 的性质(1)

D

B C E
A B C

D

自学提纲
1.角平分仪为什么能平分一个角? P19 2.如何画一个角的平分线?P19 3. 如何通过作一个平角的平分线得到直线的 垂线?P19练习 4. 角的平分线的性质是什么?如何证明? 用几何符号如何表示?P20 5.证明一个几何命题的步骤是什么?P21 6. 课本中利用角平分线的性质解决了一个什 么实际问题?P21

活 动 1

不利用工具,请你将一张用纸 片做的角分成两个相等的角。你有什 么办法? (对折)
A C

再打开纸片 ,看看折 痕与这个角有何关系?

O

B

活 动 2 如果前面活动中的纸片换成木板、 钢板等没法折的角,又该怎么办呢?
A

1 、如图,是一个角平分仪, 其中AB=AD,BC=DC。 D 将点 A 放在角的顶点 ,AB 和 AD 沿着角的两边放下 , 沿 AC 画一 条射线 AE,AE 就是角平分线, 你能说明它的道理吗?

B C E

A

?2、证明: 在△ACD和△ACB中 D AD=AB(已知) DC=BC(已知) C CA=CA(公共边) ∴ △ACD≌ △ACB(SSS) E ∴∠CAD=∠CAB(全等三角形的 对应边相等) ∴AC平分∠DAB(角平分线的定义)

B

活 动 3

根据角平分仪的制作原理怎样作 一个角的平分线?(不用角平分仪或 量角器)
N E C N A

C

E

O

M

O

B M

已知: ∠AOB(如图) 求作: ∠AOB的角平分线OC. 作法:1、以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OB于N。 2、分别以M、N为圆心,大于 ∠AOB内部交于点C。
1 MN 2

的长为半径作弧,两弧在

3、作射线OC,射线OC即为所求。

证明:连结MC,NC由作法知:
在△OMC和△ONC中 OM=ON MC=NC OC=OC ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即:OC 是∠AOB的角平分线. M

A C

O

N

B

活 动 4

C

1〉平分平角∠AOB

B

O D

A

2〉通过上面的步骤,得到射线OC以后, 把它反向延长得到直线CD,直线CD与直线 AB是什么关系?
3〉结论:作平角的平分线即可平分平角, 由此也得到过直线上一点作这条直线的垂 线的方法。

活 动 5

探究角平分线的性质

(1)实验:将∠AOB对折,再折出一个直角 三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观 察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?

(2) 猜想 : 角的平分线上的点到角的 两边的距离相等.

活 动 5

探究角平分线的性质
已知:如图,OC平分∠AOB,点P在OC 上,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E 求证: PD=PE 证明:∵OC平分∠ AOB (已知) ∴ ∠1= ∠2(角平分线的定义) C

A
D O
1 2

P

E

B

∵PD ⊥ OA,PE ⊥ OB(已知) ∴ ∠PDO= ∠PEO(垂直的定义) 在△PDO和△PEO中

(3)验证猜想

∠PDO= ∠PEO(已证) ∠1= ∠2 (已证) OP=OP (公共边) ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS) ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)

活 动 5

角平分线上的 点到角两边的 距离相等。

利用 此性质怎 样书写推理过程 ?( A 几何符号语言) D

O

1 2

P
E

C B

∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA, PE ⊥ OB(已知) ∴PD=PE(全等三 角形的对应边相等)

角平分线的性质
定理:在角平分线上的点到角的两边的距离相等
题设:一个点在一个角的平分线上 结论:它到角的两边的距离相等 用符号语言表示为: ∵∠1= ∠2,PD ⊥OA ,PE ⊥OB
D P 1 2 E B A

∴PD=PE.
O

思考:
要在S区建一个集贸市场,使它到公路,铁 路距离相等且离公路,铁路的交叉处500 米,应建在何处?(比例尺 1 : 20 000 ) O
铁路 公路

s

解: 作夹角的角平分线OC,截取 OD=2.5cm ,D即为所求。


铁路

公路

s

D

C



A

E 如 图 : 在 △ ABC 中 , F ∠ C=90° AD 是∠ BAC 的平分 线, DE⊥AB 于 E , F 在 AC 上, D B C BD=DF; 求证:CF=EB 分析 : 要证 CF=EB, 首先我们想到的是要证它 们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌ Rt△EDB. 现已有一个条件 BD=DF( 斜边相等 ), 还需 要我们找什么条件
DC=DE (因为角的平分线的性质) 再用HL证明.
试试自己写 证明。你一 定行!

如 图 : 在 △ ABC 中 , ∠ C=90° AD 是 ∠ BAC 的 平 分 线 , DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF; 求证:CF=EB

证明:∵ AD平分∠CAB, D是AD上一点(已知)
∵DE⊥AB,DC⊥AC(已知) ∴DC=DE(角平分线的性质) 在RT△CDF和RT△BDE 中 BD=DF (已知) DC=DE(已证) ∴RT △CDF≌RT△FDB (HL) ∴CF=BE(全等三角形对应边相等)

A

F C D

E
B

随堂练习

1. 如图, OC 是∠AOB 的平分线, ∵ PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD=PE
C

A
D

P
B

·
E

O

2. 如 图 , 在 △ ABC 中 , AC⊥BC , AD 为 ∠ BAC 的平分线, DE⊥AB , AB = 7 ㎝, AC=3㎝,求BE= 4 CM.
A E C

D

B

动脑筋
3. 在 Rt△ABC 中 , BD 平 分 ∠ ABC , DE⊥AB于E,则:
BE=BC,DE=DC ⑴图中相等的线段有 ; 相等的角有: ∠ABD= ∠CBD ∠BED= ∠AED= ∠C 。

⑵哪条线段与DE相等?为什么? ⑶若AB=10,BC=8,AC=6,
求BE,AE的长和△AED的周长。
B

10 8

E

A D 6

C

小结

拓展

回味无穷

1:画一个已知角的角平分线; 及画一条已知直线的垂线;
2.定理 角平分线上的点到这个角 的两边距离相等. ? ∵OC是∠AOB的平分线, ? P是OC上任意一点 O PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E( 已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角 的两边距离相等).
A D

1 2
E

P

C

B

作业:1、课本习题11.3

第1、2题
2 、已知一个角∠ AOB ,你能否只 用一块三角板画出∠ AOB 的角平分 线?说出画法和理由.

再 见


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