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2007年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案


2007 年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 选择题( 1.如图,在正四棱锥 P-ABCD 中,∠APC=60°,则二面角 A-PB-C 的 平面角 的余弦值为( )

A.

B.

C.
2

D.

2.设实数 a 使得不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a 对任意实数 x 恒成立,则满足条件的 a 所 组成的集合是( )

A.

B.

C.

D.[-3,3]

3.将号码分别为 1、2、…、9 的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余 完全相同.甲从袋中摸出一个球,其号码为 a,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码 为 b.则使不等式 a-2b+10>0 成立的事件发生的概率等于( )

A.

B.

C.

D.

4.设函数 f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数 a、b、c 使得 af(x)+bf(x-c)=1 对任意实数 x 恒成立,则 的值等于( )

A.

B.

C.-1

D.1

5.设圆 O1 和圆 O2 是两个定圆,动圆 P 与这两个定圆都相切,则圆 P 的圆心轨迹不可能 是( )

6.已知 A 与 B 是集合{1,2,3,…,100}的两个子集,满足:A 与 B 的元素个数相同, 且为 A∩B 空集.若 n∈A 时总有 2n+2∈B,则集合 A∪B 的元素个数最多为( )

1

A.62

B.66

C.68

D.74

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 填空题( 7.在平面直角坐标系内,有四个定点 A(-3,0),B(1,-1),C(0,3),D(-1,3)及一 个动点 P,则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为__________.

8.在△ABC 和△AEF 中,B 是 EF 的中点,AB=EF=1,BC=6, ,则 与 的夹角的余弦值等于________.

,若

9.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,以顶点 A 为球心, 球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________.

为半径作一个球,则

10.已知等差数列{an}的公差 d 不为 0,等比数列{bn}的公比 q 是小于 1 的正有理数.若

a1=d,b1=d ,且

2

是正整数,则 q 等于________.

11.已知函数 ________.

,则 f(x)的最小值为

12.将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在如图所示的 16 个小方格内,每个小方格内至多 填 1 个字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法共有________种(用数字作 答). 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 解答题(

13.设

,求证:当正整数 n≥2 时,an+1<an.

14.已知过点(0,1)的直线 l 与曲线 C: C 在点 M、N 处切线的交点轨迹.

交于两个不同点 M 和 N.求曲线

15.设函数 f(x)对所有的实数 x 都满足 f(x+2π)=f(x), 求证: 存在 4 个函数 fi(x)(i=1, 2,3,4)满足:

2

(1)对 i=1,2,3,4,fi(x)是偶函数,且对任意的实数 x,有 fi(x+π)=fi(x); (2)对任意的实数 x,有 f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x. 2007 年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 选择题( 1.如图, 在正四棱锥 P-ABCD 中, ∠APC=60°, 则二面角 A-PB-C 的平面角的余弦值为( B )

A.

B.

C.

D.

如图, 在侧面 PAB 内, AM⊥PB, 作 垂足为 M.连结 CM、 则∠AMC 为二面角 A-PB-C AC, 解: 的平面角.不妨设 AB=2,则 ,斜高为 ,故 ,

由此得

.在△AMC 中,由余弦定理得

.

2.设实数 a 使得不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a 对任意实数 x 恒成立,则满足条件的 a 所 组成的集合是( A )

2

A.

B.

C.

D.[-3,3]

解:令

,则有

,排除 B、D.由对称性排除 C,从而只有 A 正确.

一般地,对 k∈R,令 知原不等式等价于

,则原不等式为 ,对任意的 k∈R 成立.由于

,由此易



3

所以

,从而上述不等式等价于

.

3.将号码分别为 1、2、…、9 的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余 完全相同.甲从袋中摸出一个球,其号码为 a,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码 为 b.则使不等式 a-2b+10>0 成立的事件发生的概率等于( D )

A.

B.

C.

D.
2

解:甲、乙二人每人摸出一个小球都有 9 种不同的结果,故基本事件总数为 9 =81 个. 由不等式 a-2b+10>0 得 2b<a+10, 于是, b=1、 3、 5 时, 当 2、 4、 每种情形 a 可取 1、 …、 2、 9 中每一个值,使不等式成立,则共有 9×5=45 种;当 b=6 时,a 可取 3、4、…、9 中每一 个值,有 7 种;当 b=7 时,a 可取 5、6、7、8、9 中每一个值,有 5 种;当 b=8 时,a 可取 7、8、9 中每一个值,有 3 种;当 b=9 时,a 只能取 9,有 1 种.于是,所求事件的概率为 . 4.设函数 f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数 a、b、c 使得 af(x)+bf(x-c)=1 对任意实数 x 恒成立,则 的值等于( C )

A.

B.

C.-1

D.1

解:令 c=π,则对任意的 x∈R,都有 f(x)+f(x-c)=2,于是取 任意的 x∈R,af(x)+bf(x-c)=1,由此得 .

,c=π,则对

一般地,由题设可得 且



,其中

,于是 af(x)+bf(x-c)=1 可化为

,即

,所以

.

4

由已知条件,上式对任意 x∈R 恒成立,故必有



若 b=0, 则由(1)知 a=0, 显然不满足(3)式, b≠0.所以, 故 由(2)知 sinc=0, c=2kπ+π 故 或 c=2kπ(k∈Z).当 c=2kπ 时, cosc=1, 则(1)、 (3)两式矛盾, c=2kπ+π(k∈Z), 故 cosc=-1. 由(1)、(3)知 ,所以 .

5.设圆 O1 和圆 O2 是两个定圆,动圆 P 与这两个定圆都相切,则圆 P 的圆心轨迹不可能 是( A )

解:设圆 O1 和圆 O2 的半径分别是 r1、r2,|O1O2|=2c,则一般地,圆 P 的圆心轨迹是焦

点为 O1、O2,且离心率分别是



的圆锥曲线(当 r1=r2 时,O1O2 的中垂线是轨

迹的一部份,当 c=0 时,轨迹是两个同心圆). 当 r1=r2 且 r1+r2<2c 时,圆 P 的圆心轨迹如选项 B;当 0<2c<|r1-r2|时,圆 P 的圆心轨 迹如选项 C;当 r1≠r2 且 r1+r2<2c 时,圆 P 的圆心轨迹如选项 D.由于选项 A 中的椭圆和双 曲线的焦点不重合,因此圆 P 的圆心轨迹不可能是选项 A. 6.已知 A 与 B 是集合{1,2,3,…,100}的两个子集,满足:A 与 B 的元素个数相同, 且为 A∩B 空集.若 n∈A 时总有 2n+2∈B,则集合 A∪B 的元素个数最多为( B ) A.62 B.66 C.68 D.74

解:先证|A∪B|≤66,只须证|A|≤33,为此只须证若 A 是{1,2,…,49}的任一个 34 元子集,则必存在 n∈A,使得 2n+2∈B.证明如下: 将{1,2,…,49}分成如下 33 个集合:{1,4},{3,8},{5,12},…,{23,48}共 12 个;{2,6},{10,22},{14,30},{18,38}共 4 个;{25},{27},{29},…,{49}共 13 个;{26},{34},{42},{46}共 4 个.由于 A 是{1,2,…,49}的 34 元子集,从而由抽 屉原理可知上述 33 个集合中至少有一个 2 元集合中的数均属于 A,即存在 n∈A,使得
5

2n+2∈B. 如取 A={1,3,5,…,23,2,10,14,18,25, 27,29,…,49,26,34,42,46}, B={2n+2|n∈A},则 A、B 满足题设且|A∪B|≤66. 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 填空题( 7.在平面直角坐标系内,有四个定点 A(-3,0),B(1,-1),C(0,3),D(-1,3)及一 个动点 P,则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为( ).

解:如图,设 AC 与 BD 交于 F 点,则|PA|+|PC|≥|AC|=|FA|+|FC|, |PB|+|PD|≥|BD|=|FB|+|FD|,因此,当动点 P 与 F 点重合时,|PA|+|PB|+|PC|+|PD|取到 最小值 .

8.在△ABC 和△AEF 中,B 是 EF 的中点,AB=EF=1,BC=6, ,则 与 的夹角的余弦值等于( ).

,若

解:因为

,所以

,即

.因为 ,所以 ,即 ,即 3cosθ=2,所以

, .设 . 与

, 的夹角为 θ,则有

9.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,以顶点 A 为球心,

为半径作一个球,则

球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于(

).

解:如图,球面与正方体的六个面都相交,所得的交线分为两类:一类在顶点 A 所在 的三个面上,即面 AA1B1B、面 ABCD 和面 AA1D1D 上;另一类在不过顶点 A 的三个面上,即面 BB1C1C、面 CC1D1D 和面 A1B1C1D1 上.在面 AA1B1B 上,交线为弧 EF 且在过球心 A 的大圆上,因

6



,AA1=1,则

.同理

,所以

,故弧 EF 的长为

,而这样的弧共有三条.在面 BB1C1C 上,交线为弧 FG 且在距球心为 1 的平面

与球面相交所得的小圆上,此时,小圆的圆心为 B,半径为



,所以弧 FG

的长为

.这样的弧也有三条.于是, 所得的曲线长为

.

10.已知等差数列{an}的公差 d 不为 0,等比数列{bn}的公比 q 是小于 1 的正有理数.若

a1=d,b1=d ,且

2

是正整数,则 q 等于( ).

解:因为 1+q+q 为
2

,故由已知条件知道: ,则

,其中 m 为正整数.令

.由于 q 是小于 1 的正有理数, 所以

, 即

5≤m≤13 且

是某个有理数的平方,由此可知

.

11.已知函数

,则 f(x)的最小值为(

).

解:实际上 g(x)≥0,g(x)在 上是增函数,在

,设 上是减函数,且 y=g(x)的图像关于直线

,则

对称,则对任意

,存在

,使 g(x2)=g(x1).于是

7

,而 f(x)在

上是减

函数,所以

,即 f(x)在

上的最小值是

.

12.将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在如图所示的 16 个小方格内,每个小方格内至多 填 1 个字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法共有(3960)种(用数字作答). 解:使 2 个 a 既不同行也不同列的填法有 C4 A4 =72 种,同样,使 2 个 b 既不同行也不 同列的填法也有 C4 A4 =72 种,故由乘法原理,这样的填法共有 72 种,其中不符合要求的有 两种情况:2 个 a 所在的方格内都填有 b 的情况有 72 种;2 个 a 所在的方格内仅有 1 个方 格内填有 b 的情况有 C16 A9 =16×72 种.所以, 符合题设条件的填法共有 72 -72-16×72=3960 种. 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 解答题(
1 2 2 2 2 2 2 2

13.设

,求证:当正整数 n≥2 时,an+1<an.

证明: 证明:由于 整数 n≥2,

,因此

,于是,对任意的正



,即 an+1<an.

14.已知过点(0,1)的直线 l 与曲线 C: C 在点 M、N 处切线的交点轨迹.

交于两个不同点 M 和 N.求曲线

解:设点 M、N 的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),曲线 C 在点 M、N 处的切线分别为 l1、 l2,其交点 P 的坐标为(xp,yp).若直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1.

8

由方程组

消去 y,得

,即(k-1)x +x-1=0.由题意知,该方程在

2

(0,+∞)上有两个相异的实根 x1、x2,故 k≠1,且 Δ=1+4(k-1)>0…(1), …(2), …(3),由此解得 .



求导,得

,则



,于是直线 l1 的

方程为

,即

,化简后得到直线 l1 的方

程为

…(4).

同理可求得直线 l2 的方程为

…(5).

(4)-(5)得 两式代入(6)式得 xp=2.

, 因为 x1≠x2, 故有

…(6).将(2)(3)

(4)+(5)得

…(7),其中





代入(7)式得 2yp=(3-2k)xp+2,而 xp=2,得 yp=4-2k.又由 迹为(2,2),(2,2.5)两点间的线段(不含端点).



,即点 P 的轨

15.设函数 f(x)对所有的实数 x 都满足 f(x+2π)=f(x), 求证: 存在 4 个函数 fi(x)(i=1, 2,3,4)满足: (1)对 i=1,2,3,4,fi(x)是偶函数,且对任意的实数 x,有 fi(x+π)=fi(x); (2)对任意的实数 x,有 f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x.

9

证明: 证明:记



,则 f(x)=g(x)+h(x),且 g(x)是偶函

数,h(x)是奇函数,对任意的 x∈R,g(x+2π)=g(x),h(x+2π)=h(x).令







,其中 k 为任意整数.

容易验证 fi(x),i=1,2,3,4 是偶函数,且对任意的 x∈R,fi(x+π)=fi(x),i=1,2, 3, 4.下证对任意的 x∈R, f1(x)+f2(x)cosx=g(x).当 有 时,因为 ,而 ,故对任意的 x∈R,f1(x)+f2(x)cosx=g(x). 时, 显然成立; 当

下证对任意的 x∈R,有 f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x).当

时,显然成立;当 x=kπ

时,h(x)=h(kπ)=h(kπ-2kπ)=h(-kπ)=-h(kπ),所以 h(x)=h(kπ)=0,而此时 f3(x)sinx+f4(x)sin2x=0,故 h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x;当 时,



故 h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x.

,又 f4(x)sin2x=0,从而有

于是,对任意的 x∈R,有 f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x).综上所述,结论得证.

10


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