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安徽省宿州市十三校高二上学期期中考试(数学文)


宿州市十三校 2012-2013 学年度第一学期期中考试

高二数学试题(文科)
命题人:张从银 审核人:陈为刚
注意事项:1)本试卷满分 150 分.考试时间 120 分钟. 2)考生务必将答题内容答在答题卷上,答在试题卷上无效. 一、选择题(本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中只有一 个选项是符合

题目要求的.把正确答案的代号填在答题卷上或涂在答题卡上) 1. 三条直线经过同一点,过每两条直线作一个平面,最多可以作( A. 1
2 2

)个不同的平面.

B. 2
2 2

C. 3

D. 4 ) D. 内含

2. 圆 ( x ? 1) ? y ? 1 和圆 x ? y ? 6 y ? 5 ? 0 的位置关系是( A. 相离 3. 下列四个命题 ① 垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ② 垂直于同一个平面的两条直线互相平行; ③ 垂直于同一条直线的两个平面互相平行; ④ 垂直于同一个平面的两个平面互相平行. 其中错误的命题有( .. A. 1 个 ) B. 2 个 C. 3 个 B. 相切 C. 相交

D. 4 个 )

4. 一个几何体的主视、左视、俯视图分别如下,则该几何体的表面积为 (

5

5

6 5 4

6 5 4

.

主视图 A. 12? ? 96 B. 24? ? 80

左视图 C. 24? ? 96 )

俯视图 D. 48? ? 80

5. 直线 y ? 3x ? 1 关于 y 轴对称的直线方程为( A. y ? ?3x ? 1 B. y ? 3x ? 1

C. y ? ?3x ? 1

D. y ? ? x ? 1

6. 若 l 为一条直线, ? , ? , ? 为三个互不重合的平面,给出下面三个命题: ① ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ;② ? ? ? , ? // ? ? ? ? ? ;③ l // ? , l ? ? ? ? ? ? .

其中正确的命题有( A. ①②

) C. ①③ D. ①②③ )

B. ②③

7. 三点 A ( m ,2)、 B (5,1)、 C (-4,2 m )在同一条直线上,则 m 的值为( A. 2 B.

7 2

C. -2 或

7 2


D. 2 或

7 2

8. 直线 ax ? y ? 1 ? 0 ( a ? R )恒过的定点为( A. (0,0) B.(1,0)
2 2

C. (0,1)

D. (0,-1) )

? 9. 若 P ? 2, 1? 为圆 ? x ? 1? ? y ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是(
A. x ? y ? 3 ? 0 B. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 3 ? 0 ) C. 4?a
2

D. x ? y ? 3 ? 0

10. 棱长为 a 的正方体的外接球的表面积为( A. 9?a
2

B. 6?a

2

D. 3?a

2

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填在答题卷的相应位置上) 11. 在空间直角坐标系中,已知点 A (4,2,3) ,点 B (6,-1,4),则 | AB | =___________. 12. 若 P 是 ?ABC 所在平面外一点,且 PA ? PB ? PC ,则 P 点在平面 ABC 内的射影是

?ABC 的__________.(外心、内心、重心、垂心)
13. 已知两点 P1 (4,9) P2 (6,3) , ,则以 P1 P2 为直径的圆的一般方程为_______________. .. 14. 过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是_________________. 15. 棱长都是 a 的正三棱锥的高是_______________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的三个顶点 A (-1,-2) B (2,0) C (1,3). , , (1) 求 AB 边上的高 CD 所在直线的方程; (2) 求 ?ABC 的面积.

17. (本小题满分 12 分)

如 图 , 四 边 形 BC C B1 是 圆 柱 的 轴 截 面 . AA1 是 圆 柱 的 一 条 母 线 , 已 知 AB ? 2 , 1

AC ? 2 2 , AA1 ? 3 .
(1)求证: AC ⊥ BA1 ; (2)求圆柱的侧面积.

B1 A1

C1

B A

C

18. (本小题满分 12 分) 如图, 正方形 ABCD 的边长为 4, 沿对角线 BD 将 ?BCD 折起, 使二面角 C ? BD ? A 为 直二面角. (1)求证: AC ? BC ;
D C

(2)求三棱锥 C ? ABD 的体积.
C

O A

O

D B

O B A

19. (本小题满分 12 分) 已知方程 x ? y ? 2(m ? 3) x ? 2(2m ? 1) y ? 8m ? 2 ? 0 ( m ? R )表示一个圆.
2 2 2

(1)求 m 的取值范围; (2)求该圆半径 r 的取值范围.

20. (本小题满分 13 分) 已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线 4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相 切. (1)求圆的方程; (2)试讨论直线 ax ? y ? 5 ? 0 ( a ? R )与该圆的位置关系.

21.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, ABCD 是正方形, PD ? 平面 ABCD , PD ? AB ? 2 ,

E , F , G 分别是 PC, PD, BC 的中点.
(1)求证:平面 PAB // 平面 EFG ; (2)求证:平面 EFG ⊥平面 PAD ; (3)在线段 PB 上确定一点 Q ,使 PC ? 平面 ADQ ,并给出证明.
P F D G A B E C

宿州市十三校 2012-2013 学年度第一学期期中考试 高二数学(文科)试卷评分细则
一、选择题: (本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分)

题号 选项

1 C

2 A

3 B

4 B

5 C

6 B

7 D

8 C

9 B

10 D

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.

14

12.

外心

13.

x 2 ? y 2 ? 10 x ? 12 y ? 51 ? 0

14. x ? y ? 3 ? 0或2 x ? y ? 0 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分) 16. 解: (1) 依题意: k AB ?

15.

6 a 3

0?2 2 ? ; 2 ?1 3

………………………………(2 分) ∴ k CD ? ?

由 AB ? CD 得: k AB ? k CD ? ?1, 直线 CD 的方程为: y ? 3 ? ?

3 ; ……………(4 分) 2

3 ( x ? 1) ,即: 3x ? 2 y ? 9 ? 0 .…………(6 分) 2
…………………………(10 分) ………………………………(12 分)

(2) 方法一: AB ? (3,2) , AC ? ( 2,5) ;

S ?ABC ?

1 11 | 3 ? 5 ? 2 ? 2 |? . 2 2

方法二: | AB |?

(2 ? 1) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 13 ,

直线 AB 的方程为:

y ? 2 x ?1 ,即: 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 ;…………(8 分) ? 0 ? 2 2 ?1
2

| CD |?

| 2 ?1 ? 3 ? 3 ? 4 | 2 ? ( ?3)
2

?

11 13 ; ………………………………(10 分) 13

S ?ABC ?

1 1 11 13 11 | AB || CD |? ? 13 ? ? .……………………(12 分) 2 2 13 2

17. 解: (1) 证明:依题意: AB ? AC ; ∵ AA1 ? 平面ABC ,∴ AA1 ? AC , ………………………(2 分) 又 ∵ AB ? AA1 ? A ,∴ AC ? 平面AA1 B1 B , ………………(4 分) ∵

BA1 ? 平面AA1 B1 B ,∴ AC ? BA1 . ?
0

……………………(6 分)

(2) 在 Rt?ABC 中, AB ? 2 , AC ? 2 2 , ?BAC ? 90 ∴ BC ? 2 3 , 18. 解: (1) 证明:∵

S 侧 ? 2 3? ? 3 ? 6 3? .

……………………(12 分)

CO ? BD , 平面BCD ? 平面ABD ,

CO ? 平面BCD , 平面BCD ? 平面ABD ? BD , ?
∴ CO ? 平面ABD ; ……………………………………(3 分)

∵ 正方形 ABCD 边长为 4, ∴ CO ? OA ? 2 2 , 在 Rt?COA 中, AC ?

CO 2 ? AO 2 ? (2 2 ) 2 ? (2 2 ) 2 ? 4 ,

∴ AC ? BC .(也可证 ?COA ≌ ?COB ) ……………………(6 分) (2)

1 1 16 2 VC ? ABD ? ? ? 4 2 ? 2 2 ? . 3 2 3

………………………(12 分)

19. 解: (1) 依题意:

4(m ? 3) 2 ? 4(2m ? 1) 2 ? 4(8m 2 ? 2) ? 0
2

………………(2 分)

即: ? 12m ? 8m ? 32 ? 0 , 解得: ? ∴ (2) r ?

4 ? m? 2, 3
……………………(6 分)

m 的取值范围是( ?

4 ,2). 3

1 4(m ? 3) 2 ? 4(2m ? 1) 2 ? 4(8m 2 ? 2) 2

1 25 ? ? 3m 2 ? 2m ? 8 ? ? 3(m ? ) 2 ? 3 3


……………………(9 分)

5 3 4 , ∴ 0?r? , m ?( ? ,2) 3 3 ? 5 3? ∴ r 的取值范围是 ? 0, ………………………………(12 分) ?. ? 3 ? ?
20. 解: (1) 设圆心 C( a ,0) a ? Z , ,

? 5, 4 2 ? 32 27 得: a ? 1或a ? (舍去) , 2
依题意: ∴
2 2

| 4a ? 29 |

………………………………(2 分) ………………………………(4 分) ……………………(6 分)

圆 C 的标准方程为: ( x ? 1) ? y ? 25 .

(2) 设圆心 C 到直线 ax ? y ? 5 ? 0 的距离为 d , 则 d ? ① ② 若 若

| a?5| a2 ?1



|a?5| a2 ?1 |a?5| a2 ?1 |a?5| a2 ?1

? 5, 即 0 ? a ?

5 时, d ? r ,直线与圆相离; ………(8 分) 12

? 5 , 即 a ? 0或a ? ? 5 , 即 a ? 0或a ?

5 时, d ? r ,直线与圆相切;……(10 分) 12
5 时, d ? r ,直线与圆相交. ……(12 分) 12





∴ 当0 ? a ?

5 5 时,直线与圆相离;当 a ? 0或a ? 时,直线与圆相切; 12 12 5 当 a ? 0或a ? 时,直线与圆相交. ……………………(13 分) 12

21. 解: (1)证明:∵ 又 ∵ ∴

E、G 分别是 PC、BC 的中点,
EG ? 平面 PAB ,

∴ EG ∥ PB ,

PB ? 平面 PAB , ?
……………………………(2 分)

EG ∥平面 PAB ,

同理可证: EF ∥平面 PAB , ∵

EG ? EF ? E , ∴ 平面 PAB ∥平面 EFG . ……………(4 分)


(2)证明: ∵ PD ? 平面ABCD , 又 DC ? AD , ∴

PD ? DC ,

PD ? AD ? D ,
……………………………(6 分)

DC ? 平面PAD ,


∵ EF ∥ CD ,

EF ? 平面PAD

EF ? 平面 EFG , ?
(3)



平面EFG ? 平面PAD . ……………(8 分)
………………………………(9 分)

Q 为 PB 的中点.

证明:连接 AQ、DE、QE , 平面 ADQ 即为平面 ADEQ , ∵ PD ? 平面ABCD , 又 AD ? DC , ∴ ∴

PD ? AD ,

DC ? PD ? D ,


AD ? 平面PCD ,

AD ? PC . ……………………(11 分)
………………………………(12 分)

∵ PD ? CD , ∴

DE ? PC ,

∵ AD ? DE ? D , 且 AD , DE ?平面 ADQ , ? ∴

PC ? 平面 ADQ .

…………………………(14 分)

注:若学生采用其他解法,可酌情给分.


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