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郑州市2013-2104学年下学期期末高二数学理科试题及答案


2013—2014 学年下期期末学业水平测试
高中二年级 数学(理科) 参考答案
一、选择题 1.C;2.B;3.C;4.B;5.C;6.D;7.B;8.C;9.D;10.C; 11.B;12. A. 二、填空题 13.1;14. 0.9; 15 ②③ ;16. (1 ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ? 25 ? 26 ) ? (1 ? 127)

. 三、解答题 17. 解:设 z=x ? yi (x、y ? R), z ? 2i ? x ? ? y ? 2? i 为实数,得 y ? ?2. ………2 分

z x ? 2i 1 1 1 ? ? ( x ? 2i )(1 ? i ) ? ( x ? 2) ? ( x ? 2)i 为实数,得 x ? 2. ??5 分 1? i 1? i 2 2 2
∵ ? z ? ai ? ? 4a ? a
2

?

2

? ? 4 ? a ? 2 ? i,

∴解得 2<a<4. ………………9 分

即实数 a 的取值范围是(2,4)???.10 分 18. a5 ? 1,
4 7 ? a4 ? a5C5 , ………………4 分

a4 ? 2. …………..6 分
(x ? a4 6 2 ) ? ( x ? 2 )6 展开式中二项式系数最大的项为第四项,………………10 分 2 x x

3 3 T4 ? C6 x (?2)3 ( x?2 )3 ? ?160x?3. .………………12 分

19. 解: 原不等式等价于 (a ? b ? 2c)2 ? 4. ………………2 分 即证 a2 ? b2 ? 2c2 ? 2ab ? 2 2ac ? 2 2bc ? 4, ………………4 分 即证 c2 ? 2ab ? 2 2ac ? 2 2bc ? 3, ………………6 分 又 c2 ? 2ab ? 2 2ac ? 2 2bc ? c2 ? a2 ? b2 ? ( 2a)2 ? c2 ? ( 2b)2 ? c2 ? 3 成立,

当且仅当a ? b ?

c 时,等号成立.………11 分 2

所以 (a ? b ? 2c) ? 2. ………………12 分 20. 解析:(Ⅰ)由题可知在选做“不等式选讲”的 18 位同学中,要选取 3 位同学.…2 分 令事件 A 为“这名班级学习委员被抽到”;事件 B 为“两名数学科代表被抽到”,则 P(A∩B) ? P(A) ?
2 C17 . ………………4 分 3 C18

C3 3 , 3 C18

所以 P(B|A) ?

P(A∩B) C 3 2 1 . …………..6 分 ? 23 ? ? P(A) 136 C17 17×16

(Ⅱ)由表中数据得 K2 的观测值 k ?

42×(16×12-8×6)2 252 ? 55 ≈4.582>3.841. 24×18×20×22 所以,据此统计有 95%的把握认为选做“几何类”或“代数 类”与性别有关...12 分
3 1 2 C12 C4 C12 121 ? ? . ………………4 分 3 3 C16 C16 140

21.(Ⅰ)P ?

k k 3? k (Ⅱ) ξ 的可能取值为 0,1,2,3,则 ? ~ B(3, ) ,因此 P (? ? k ) ? C3 ( ) ( ) .…3 分

1 4

1 4

3 4

27 ;………………5 分 1 1 3 2 有 P(? ? 0) ? ( 3 ) 3 ? 27 ; P (? ? 1) ? C 3 ( ) ?
4 64

4 4

64

1 3 9 ; 1 1 .………………7 分 P(? ? 2) ? C32 ( ) 2 ? P(? ? 3) ? ( ) 3 ? 4 4 64 4 64

ξ 的分布列为:

ξ
P
所以 E? = 3 ?

0
27 64

1
27 64

2
9 64

3
1 64

1 ? 0.75 . ………………12 分 4

22. 函数满足 f (1) ? 2, 则 a ? 1. ……………………1 分 由 原 式 得 g ( x) ? 1 ?

1 ? ln x ln x , g ?( x) ? 2 , 可 得 g ( x) 在 (0,1] 上 递 减 , 在 [1, ??) 上 递 增 , 所 以 x x

g ( x)min ? g (1) ? 0. …………….4 分
(Ⅱ) f ?( x) ? 2ax ? ln x,( x ? 0). 令 f ?( x) ? 0 得 2a ? 设 h( x ) ?

ln x , x

ln x 1 , 则 h( x) max ? h(e) ? , x e 1 所以 a ? 时,函数 f ( x ) 在 (0, ??) 单调递增. ………………6 分 2e 1 1 当0 ? a ? 时, g ( x) ? 2ax ? ln x, ( x ? 0) g ?( x) ? 2a ? , 2e x 1 1 1 g ?( x) ? 0, x ? , x ? (0, ), g ?( x) ? 0 x ? ( , ??), g ?( x) ? 0. 2a 2a 2a 1 1 1 1 ? 0, f ?( x) ? 0 必有根, f ( x) 必有极值, 故x? 时取得极小值即最小值,而当 0 ? a ? 时, g ( ) ? 1 ? ln 2a 2e 2a 2a 1 在定义域上不单调,所以 a ? ……………8 分 2e 1+ ln x (Ⅲ)由(Ⅰ)知 g ( x) ? 1 ? 在 (0,1] 上递减, x 1 1 ? ln m 1 ? ln n ? m ? n ? 1 时, g (m) ? g (n)即 ? . e m n 1 m 1 ? ln m . ………………12 分 而 ? m ? n ? 1 时 ?1 ? ln m ? 0,?1 ? ln m ? 0 ? ? e n 1 ? ln n


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