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函数的单调性与导数教案设计


1.3.1 函数的单调性与导数教案设计
藤州中学 黎石燕
一、教材分析 1、教材的地位和作用 “函数单调性与导数”是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修 1-1 第三章《导数及其应用》的内容。本节的教学内容属导数的应用,是在学生学习了导 数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容,学好它既可加深对导数的理解,又 可为后面研究函数的极值和最值打好基础。

由于学生在高一已经掌握了单调性的定义,并能用定义判定在给定区间上函数 的单调性。通过本节课的学习,应使学生体验到,用导数判断单调性要比用定义判断 简捷得多(尤其对于三次和三次以上的多项式函数,或图象难以画出的函数而言) , 充分展示了导数解决问题的优越性。 根据新课标要求和教材的分析,并结合学生的认知特点,确定如下几个方面为 本课的教学目标: 2、教学目标 知识与技能:1.探索函数的单调性与导数的关系 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间 过程与方法:1.通过本节的学习,掌握用导数研究单调性的方法 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合 思想、转化思想。 情感态度与价值观:通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结, 培养学生的探索精神,引导学生养成自主学习的学习习惯。 教学重点:探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。 教学难点:探索函数的单调性与导的关系。 3、教学方法:引导式、启发式 【教学过程】 一.回顾与思考 1、函数单调性的定义是什么? 2、判断函数的单调性有哪些方法?比如判断 y=x 的单调性,如何进行?(分别用定 义法、图像法完成)
2

3、如果遇到函数:y=x -3x 和 f ( x) ? 2x3 ? 3x2 ? 24 x ? 1 等函数时怎么判断单调性
3

呢?还有其他方法吗? 从已学过的知识(判断二次函数的单调性)入手,提出新的问题(判断三次函数的单 调性) ,引起认知冲突,激发学习的兴趣。 【设计意图】 :通过复习回顾,巩固旧知,学生疑惑,逐步浮现本节课的探讨任务。 二.新知探究 函数的单调性与导数之间的关系

【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解 函数的增与减、 增减的快与慢以及函数的最大值或最小值 等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可 以对数量的变化规律有一个基本的了解. 函数的单调性与 函数的导数一样都是反映函数变化情况的, 那么函数的单 调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢? 【设计意图】 :为学生提供一个联想的“源”,巧妙设 问,把学习任务转移给学生;让学生完成对函数单调性与 导数关系的第一次认识,明确研究课题。 【思考】 如图(1) ,它表示跳水运动中高度 h 随时间 t 变化的函数
2 的图像,图( 2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化 h( t ) ? ? 4 . 9 t ? 6 .t5 ? 1 0

的函数 v(t ) ? h (t ) ? ?9.8t ? 6.5 的图像. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入
'

水这两段时间的运动状态有什么区别? 【引导】 随着时间的变化,运动员离水面的高度的变化有什么趋势?是逐渐增 大还是逐步减小? 【探究】通过观察图像,我们可以发现: (1)运动员从起点到最高点,离水面的高度 h 随时 间 t 的增加而增加,即 h(t ) 是增函数.相应地,

v( t ) ? h' ( t ) ? 0.
(2)从最高点到入水,运动员离水面的高 h 随时间

t 的增加而减少,即 h(t ) 是减函数.相应地,

v(t ) ? h' (t ) ? 0 【设计意图】:

问题是思维的源泉,让学生在独立思 考中产生强

烈的问题意识,从而激发学生的求知欲,实现课堂的有效导入。 (二)情景设计让 学生们回忆高台跳水的过程,以学生熟悉的“高台水”的例子,引导学生围绕本节课 的重点展开探究。 【思考】 导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率,函数图象上每个点处的切 线的斜率都是变化的,那么函数的单调性与导数有什么关系呢? 【引导】可先分析函数的单调性与导数的符号之间的关系. 【探究】观察下面函数的图象,探讨函数的单调性与其导数正负的关系. (1)函数 y ? x 的定义域为 ,并且在定义域上是 ,其导数 ; (2)函数 y ? x 的定义域为
2

,在 ( ??,0) 上单调

) 上单调 ,在 (0, ??



而 y? ? ( x 2 )? ? 2 x ,当 x ? 0 时,其导数 其导数 。

;当 x ? 0 时,其导数

;当 x ? 0 时,

(3)函数 y ? x3 的定义域为
3 2

,在定义域上为

; ;

而 y? ? ( x )? ? 3x ,若 x ? 0 ,则其导数 (4) 函数 y ? 单调

,当 x ? 0 时,其导数

1 ,0) 上单调 , ?? ) 上 的定义域为 (??,0) (0, ??) , 在 ( ?? , 在 (0 x 1 1 而 y ? ? ( )? ? ? 2 ,因为 x ? 0 ,显然 y? ? 0 . x x

【总结】以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明,在区间 ( a , b) 内,如果函 数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递增,那么 内单调递减,那么 . ;如果函数 y ? f ( x) 在这个区间

【设计意图】:此处主要是从学生的已有认知出发,即从学生熟悉的几个简单常见函 数的图象出发,直观感知函数的单调性与导数的正负值之间的关系,验证前面已有的 感知. 【思考】函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系? 【探究】如图,导数 f ' ( x0 ) 表示函数 f ( x ) 在点 ( x0 , y0 ) 处 的切线的斜率. 在 x ? x0 处, f ( x0 ) ? 0 ,切线是“
'

”式的,

这时,函数 f ( x ) 在 x0 附近单调

; ”式的,这时,函数 f ( x ) 在 x1 附近

在 x ? x1 处, f ' ( x0 ) ? 0 ,切线是“ 单调 . 知识归纳

函数的单调性与导数的关系:在某个区间 ( a , b) 内, 如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内 如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内 特别的,如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是 . ;

【教师强调】:应正确理解“某个区间”的含义,它必须是在定义域内的某个区间。 考虑到本节课容量较大, 这里没有提到函数在个别点处导数为零不影响单调性的情况 (如 y= x 在 x=0 处) ,这一问题将在第二课时探究。 【设计意图】: 引导学生对一般情况进行归纳、总结,得出结论。培养学生积极主 动的学习态度及 表达能力,体验知识的形成过程,体会数形结合思想的渗透。 三.典例分析 例 1.已知导函数 f ( x) 的下列信息:
' 当 1 ? x ? 4 时, f ( x) ? 0 ; '
3

当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;
'

当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ( x) ? 0
'

试画出函数 y ? f ( x) 图像的大致形状.
' 解:当 1 ? x ? 4 时, f ( x) ? 0 ,可知 y ? f ( x) 在此区间内单调递增; ' 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;可知 y ? f ( x) 在此区间内单调递减;

当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点” .
'

综上,函数 y ? f ( x) 图像的大致形状如上图所示. 本题是一道开放性的题目,学生的答案也许图象可能向“内”弯曲,可能向“外”弯 曲,也可能是条直线. 举典例进行说明:左图是折线图,右图是平滑的曲线(在黑板 画)然后提出问题:两种做法是否都行呢?解决办法: 让学生回顾前面所学习,导 数为零的点的附近图象应该几乎没有升降变化,而“折点”附近图象升降变化很大, 让学生再次动手操作,得到正确图如上图. 【设计意图】让学生通过此题加深理解导函数是如何影响原函数的。这是今后利用 导函数研究函数的必备技能。这里让学生切实理解,为今后学习扫清障碍! 例 2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间. (1) f ( x) ? x3 ? 3x ; (2) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3

(3) f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) ; (4) f ( x) ? 2x3 ? 3x2 ? 24 x ? 1 由学生归纳教师补充: 求解函数 y ? f ( x) 单调区间的步骤:
' ' (1)确定函数 y ? f ( x) 的定义域; (2)求导数 y ? f ( x) ;

(3)解不等式 f ( x) ? 0 ,得到函数的单调递增区间;
'

(4)解不等式 f ( x) ? 0 ,得到函数的单调递减区间; .
'

设计意图: 求单调区间是导数的一个重要应用,也是本节重点. 通过例 2(1) ,引 导学生得出用导数法求单调区间的解题步骤,并给学生示范; 通过例 2(2) , (3) 让学生在练习,并展示学生结果,进一步规范解题步骤;通过例 2(4) ,回答本节刚 开始提出的问题,解决学生的疑惑.体会用导数解决函数单调性时的有效性、优越性. 四【课堂训练】(根据时间灵活选作) 1、判断下面函数的单调性,并求出单调区间 3 2 x (1)y=3x -3x (2) y=3e -3x (3) y=x ln x

2、函数 y=xcosx-sinx 在下列哪个区间内是增函数(

)

? 3? A. ( , ) 2 2 3? 5? C. ( , ) 2 2

B . (? , 2? ) D. (2? , 3? )

3 .设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如右图,则导函数 f′(x)的图象可能是 ( )

【设计意图】通过课堂练习来及时巩固所学,形成技能。

五.小结通过这节课的学习,你都学到了什么?{学生谈收获} 【设计意图】:总结所学知识,并养成总结的学习习惯 六、作业设计 课本 31 页,A 组 1,2 【设计意图】:通过作业,再次对本节课进行强化,以便查漏补缺. 七、板书设计 附:板书设计 函数的单调性与导数 一、 二、 函数单调性与导数的关系 三、 例题讲解 利用导数求单调性的步骤 例 1: 例 2: 课堂练习 四、 多媒体

八、课后教学反思


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