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湖南省衡阳八中2013-2014学年高一下学期6月五科联赛试题 数学


衡阳市八中 2014 年上期五科联赛试卷 高一数学
生注意:本试卷共 21 道小题,满分 100 分,时量 120 分钟,请将答案写在答题卡上. 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的,把答案填在答题卡的相应位置.21 教育网 1、数列 2,5,8,11,…,则 23 是这个数列的 A.第 5

项 B.第 6 项 C.第 7 项 D.第 8 项

2、已知 ?ABC 中 a ? 4, b ? 4 3, A ? 30? ,则 B 等于 A、60° B.60°或 120° C.30° D.30°或 150° 3、在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 3 : 4 : 5 ,则 cos A 的值为 A、

3 5

B、

4 5

C、 0

D、 1

4、已知数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? A.50 B.51

1 (n ? N * ) ,则 a101 的值为 2
C.52 D.5321cnjy.com

5、若互不等的实数 a, b, c 成等差数列, c, a, b 成等比数列,且 a ? 3b ? c ? 10 ,则 a ? A. ?4 B. ?2 C. 2 D. 4
www.21-cn-jy.com

6、等差数列 {an } 的通项公式 an ? 2n ? 1 ,设数列 {

1 } ,其前 n 项和为 S n ,则 S n 等于 an ?an ?1
D.以上都不对
?

A.

2n 2n ? 1

B.

n 2n ? 1

C.

n 2n ? 1

7、在 ?ABC 中的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 ?B ? 60 且a, b, c 成等比数列,则 ?ABC 的形 状为 A. A.28 直角三角形 B. 等腰三角形 B.48 C. 等边三角形 C.36 D. 不确定 D.522·1·c·n·j·y 8、等比数列 {an } 的前 m 项和为 4,前 2m 项和为 12,则它的前 3m 项和是

???? ??? ? 9、在 Rt ?ABC 中, D 为 BC 的中点,且 AB ? 6,AC ? 8 ,则 AD?BC 的值为
A、 ?28 B、 28 C、 ?14 D、 14

10、 设等差数列 ?an ? 满足

sin 2 a3 cos 2 a6 ? sin 2 a6 cos 2 a3 ? 1 ,公差 d ? (?1, 0) ,当且仅当 n ? 9 时,数 sin(a4 ? a5 )

列 ?an ? 的前 n 项和 S n 取得最大值,求该数列首项 a1 的取值范围【来源:21·世纪·教育·网】

A

(

7? 4? , ) 6 3
?

B ? , ? 6 3 ? ?

? 7? 4? ?

C (

4? 3? , ) 3 2

D?

? 4? 3? ? , ? 3 2 ? ?

二. 填空题:共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分,把答案填在答题卡的相应位置. 11. 已知向量 a ? (4, x) , b ? (2, 4) ,若 a ? b ,则 x = 12. 已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 ?a9=3a6 ,则 a6 = 13. 若数列{ an }的前 n 项和 S n ? n 2 ? 3n ,则

?

?

?

; ;

a4 ? a5 ? a6 的值为 a1 ? a2 ? a3



14.数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? 3an ? 2(n ? N * ) ,则 {an } 的通项公式为



15.在 ?ABC 中的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,重心为 G ,若 2aGA ? 3bGB ? 3cGC ? 0 ;则 ; 三、解答题(本大题共 6 小题,共 55 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 8 分) 在等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 . (1)求数列 {an } 的通项公式. (2) 若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项, 试求数列 {bn } 的前错误! 项和 S n 未找到引用源。 误!未找到引用源。 . 错

??? ?

??? ?

????

?

cos B ?

17. (本小题满分 8 分) 设向量 a ? ( 3 sin x,sin x), b ? (cos x,sin x), x ? ?0, (1)若 | a |?| b | ,求 x 的值 (2)设函数 f ( x) ? a ? b ,求 f ( x) 的取值范围

?

?

?

?

? ?? ? 2? ?

? ?

18. (本小题满分 8 分) 已知 ?ABC 三个内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 且 c ? 3a sin C ? c cos A , (1)求角 A (2)若 a = 2 3 , ?ABC 的面积为 3 错误!未找到引用源。,求 ?ABC 的周长.

19. (本小题满分 9 分) 在火车站 A 北偏东 30? 方向的 C 处有一电视塔,火车站正东方向的 B 处有一小汽车,测得 BC 距离 31km, 该小汽车从 B 处以 60 公里每小时的速度前往火车站,20 分钟后到达 D 处,测得离电视塔 21km,问小汽车 到火车站还需要多长时间 21 世纪教育网版权所有 C 北

A

D

B

20. (本小题 满分 9 分) 设数列 ?an ? 为等差数列,且 a5 ? 14 , a7 ? 20 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ? 2n ? 1( n ? N ? ) ,

(1)求数列 ?an ? ,?bn ? 的通项公式; (2)若 cn ? an ? bn , n ? 1, 2,3,? ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

21.(本小题满分 13 分) 设数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,对一切 n ? N * ,点 ? ? n,

? ?

Sn ? a ? 都在函数 f ( x) ? x ? n 的图象上 n ? 2x

(1)求 a1 , a 2 , a3 , 归纳数列 ?a n ? 的通项公式(不必证明); (2)将数列 ?a n ? 依次按 1 项、2 项、3 项、4 项循环地分为( a1 ), ?a 2 , a3 ) , ?a 4 , a5 , a 6 ) ,

?a7 , a8 , a9 , a10 ) ; ?a11 ) , ?a12 , a13 ? , ?a14 , a15 , a16 ) , ?a17 , a18 , a19 , a 20 ) ; ?a 21 ) ,…..,
分别计算各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为 ?bn ? , 求 b5 ? b100 的值; (3)设 An 为数列 ?

? a n ? 1? an ? 3 对一切 ? 的前 n 项积,若不等式 An a n ? 1 ? f (a ) ? 2a ? an ?

n ? N * 都成立,其中 a ? 0 ,求 a 的取值范围

衡阳市八中 2014 年上期五科联赛考试高一数学

参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.

题 号 答 案

1 D

2 B

3 B

4 C

5 A

6 B

7 C

8 A

9 C

10 C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分. 11. 2 12. 3 13. 2 14. 3n ? 1 15.

1 12

三、解答题:本大题共 5 小题,共 52 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.解: (1)

? an为等比数列且

a4 3 =q ? 8; a1

? q ? 2, an ? 2?2n ?1 ? 2n
? a3 ? b3 ? 23 ; a5 ? b5 ? 25 , 又因为b n为等差数列 ? b5 ? b3 ? 2d ? 24;? d ? 12
(2) a1 ? a3 ? 2d ? ?16;

所以S n ? ?16n ?

n(n ? 1) 12 ? 6n 2 ? 22n 2

? ? ? ?? (1) ?| a |?| b |,? ( 3 sin x )2 ? (sin x )2 ? cos2 x ? sin2 x ,x ? ? 0, ? ? 2? 17: 1 ? ? sin x ? , 故x= 2 6

3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 ? 1 ? ? ? 5? ? ? ?? (2) ? sin(2 x ? ) ? , 又 ? x ? ? 0, ? ;? 2 x ? ? ? ? , ; 6 2 6 ? 6 6 ? ? 2? ? ? 3? 故f ( x ) ? ? 0, ? ? 2?
由c ? 3a sin C ? c cos A及正弦定理得
18 解 sin C ? 3 sin A sin C ? sin C cos A, 又因为 sin C ? 0

? ? 因为f ( x ) ? a ?b = 3 sin x cos x ? sin 2 x ?

? 1 ? ? 7? 2? ? sin( A ? )= , ? A ? ? , 故A= 6 2 6 6 6 3
1 三角形面积公式为S = bc sin A ? 3, 故bc ? 4 2 2 2 由余弦定理:a ? b ? c 2 ? 2bc cos A; 得b+c ? 4 ? 周长为4 ? 2 3
19.由条件 ?A = 60? ,设 ?ACD ? ? , ?CDB ? ? , 在 ?BCD 中,由余弦定理得 cos ? ?

(2)

CD 2 ? BD 2 ? BC 2 1 ?? 2CD ? BD 7

? sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

4 3 5 3 ? ? ? . ? sin ? ? sin( ? ? 60 ) ? sin ? cos 60 ? cos ? sin 60 = .在 7 14

?ADC 中,由正弦定理,得 AD ?
20.解:

CD ? sin ? 15 ? 15 ( km )? ? 60 ? 15 (分钟) sin A 60

? an为等差数列则a7 ? a5 ? 2d ? 6, 故d ? 3 ? an ? a5 ? (n ? 5)d ? 14 ? (n ? 5)3 ? 3n ? 1 又 ? S n ? 2n ? 1满足等比数列求和的性质且q =2,b1 ? S1 ? 2 ? bn ? b1q n ?1 ? 2?2n ?1 ? 2n

? an ? 3n ? 1, bn ? 2n 则Cn ? (3n ? 1)?2n ?Tn ? 2?21 ? 5?22 ? 8?23 ? 11?2 4 ? ? ? (3n ? 1)?2 n 2Tn ?
(2)

2?22 ? 5?23 ? 8?24 ? 11?25 ? ? ? (3n ? 1)?2 n ?1

将上式相减得-Tn =2?21 +3 (22 +23 +24 + ? 2 n ) ? (3n ? 1)?2 n ?1 22 (1 ? 2n ?1 ) ? (3n ? 1)?2n ?1 1? 2 ? (3n ? 4)?2n ?1 ? 8 ? 4 ? 3(

21.解:(1)因为点 (n,

Sn a ) 在函数 f ( x) ? x ? n 的图象上, n 2x Sn an 1 故 ,所以 S n ? n 2 ? an . ? n? n 2n 2 1 令 n ? 1 ,得 a1 ? 1 ? a1 ,所以 a1 ? 2 ; 2 1 令 n ? 2 ,得 a1 ? a2 ? 4 ? a2 ,所以 a2 ? 4 ; 2 1 令 n ? 3 ,得 a1 ? a2 ? a3 ? 9 ? a3 ,所以 a3 ? 6 . 2
(2)因为 an ? 2n ( n ? N* ),所以数列 ?an ? 依次按 1 项、2 项、3 项、4 项循环地分为(2),

由此猜想: an ? 2n

(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20);(22),(24,26),(28,30,32),(34,36, 38,40);(42),…. 每一次循环记为一组.由于每一个循环含有 4 个括号, 故 b100 是第 25 组中 第 4 个括号内各数之和.由分组规律知,由各组第 4 个括号中所有第 1 个数组成的数列是等差数列,且 公差为 20. 同理,由各组第 4 个括号中所有第 2 个数、所有第 3 个数、所有第 4 个数分别组成的数列也 都是等差数列,且公差均为 20. 故各组第 4 个括号中各数之和构成等差数列,且公差为 80. 注意到第一 组中第 4 个括号内各数之和是 68,21· cn· jy· com 所以 b100 ? 68 ? 24 ? 80 ? 1988 .又 b5 =22,所以 b5 ? b100 =2010.………………8 分

an ? 1 1 1 1 1 ? 1 ? ,故 An ? (1 ? )(1 ? ) ?? ? (1 ? ) , an an a1 a2 an 1 1 1 所以 An an ? 1 ? (1 ? )(1 ? ) ?? ? (1 ? ) 2n ? 1 . a1 a2 an a ?3 a a ?3 3 又 f (a) ? n , ?a? n ? n ?a? 2a 2a 2a 2a a ?3 故 An an ? 1 ? f (a ) ? n 对一切 n ? N* 都成立,就是 2a
(3)因为

1 1 1 3 对一切 n ? N* 都成立.……………9 分 )(1 ? ) ?? ? (1 ? ) 2n ? 1 ? a ? a1 a2 an 2a 3 1 1 1 设 g (n) ? (1 ? )(1 ? ) ?? ? (1 ? ) 2n ? 1 ,则只需 [ g (n)]max ? a ? 即可. 2a a1 a2 an (1 ?

4 n 2 ? 8n ? 3 g (n ? 1) 1 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 3 ? ? 1, ? (1 ? )? ? ? g ( n) an ?1 2n ? 1 2n ? 2 2n ? 1 4 n 2 ? 8n ? 4 3 所以 g (n ? 1) ? g (n) ,故 g ( n) 是单调递减,于是 [ g (n)]max ? g (1) ? . 2 3 3 令 ,………………………………………………………………………12 分 ?a? 2 2a (a ? 3)(2a ? 3) 3 即 ? 0 ,解得 ? ? a ? 0 ,或 a ? 3 . a 2
由于 综上所述,使得所给不等式对一切 n ? N* 都成立的实数 a 的取值范围是 (?

3 , 0) ? ( 3, ??) . 2


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