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安徽省铜陵一中高二上学期期中考试数学试题


安徽省铜陵一中 2012-2013 学年高二上学期期中考试数学 试题
( 考试内容:必修 2 考试时间:120 分钟 满分:150 分)
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的). 1.直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角是( ) .

A.


? 6

B.

? 3
) C.

C.

2? 3

D.

5? 6

2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么 原平面图形的面积是( A. 2 ? 2 B.

1? 2 2

2? 2 2

D. 1 ? 2 y B

3.如图,已知 A(4,0) 、 B(0,4) ,从点 P(2,0) 射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点, 则光线所经过的路程是( A. 2 10 B.6 ) C. 3 3 D. 2 5 O

P

A

x

4.如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? BC ? 2 , AA1 ? 1 , 则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为( A. C. )

10 5 2 6 5
( )

B. D.

15 5 6 3
A

5. 一个正方体的展开图如图所示,A、B、C、D 为原正方体的顶点,则在原来的正方体中 A. AB // CD C. AB ? CD B. AB 与 CD 相交 D. AB 与 CD 所成的角为 60?
D

C

B

6. 直线 y ? 3x 绕原点逆时针旋转 900 ,再向右平移1个单位,所得到的直线为( A. y ? ?

)

1 x ?1 3
)

B. y ? ?

1 1 x? 3 3

C. y ? 3x ? 3

D. y ?

1 x ?1 3

7.设点 A(-1,2),B(2,-2),C(0,3),且点 M(a,b)(a ? 0)是线段 AB 上一点,则直线 MC 的斜率 k 的 取值范围是( A . [?

5 ,1] 2

B.[-1, ?

5 ] 2

C. [ ?

5 ,0] ? (0,1) 2

D. (??, ? ] ? [1, ??)

5 2

8..给出下列命题:①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直
第 1 页 共 11 页

②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直。其中正确命题的个数为( A.0 个 B.1 个 ) C.2 个 D.3 个 )

9. 如图所示, 在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面△ABC 中, A=90°, BC1⊥AC , C1 作 C1H⊥ ∠ 且 过 底面 ABC,垂足为 H,则点 H 在( A.直线 AC 上 B.直线 AB 上 C.直线 BC 上 D.△ABC 内部 10.如图,在三棱柱 ABC ? A ' B ' C ' 中,若 E 、 F 分别 为 AB 、 AC 的中点,平面 EB ' C ' F 将三棱柱分成体积 为 V1 、 V2 的两部分,那么 V1 : V2 为( A.3:2 C.8:5 B.7:5 D.9:5 )

C' A' V1 F A E
第12题

B' C B V2

二.填空题(每小题 5 分,共计 25 分)
11.与直线 2x+y-1=0 关于点(1,0)对称的直线的方程是 12. 若一正方体的棱长等于 2,则该正方体外接球的体积_______ 13.正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的各棱长都为 1, M 为 CC1 的中点, 则点 B1 到截面 A1 BM 的距离为 .

14、某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是

.

15.如图,平面中两条直线 l 1 和 l 2 相交于点 O,对于平面上任意一 点 M,若 x , y 分别是 M 到直线 l 1 和 l 2 的距离,则称有序非负实数对(x , y) 是点 M 的“ 距离坐标 ” 。已知常数 p≥0, q≥0,给出下列三个命题: .. ①若 p=q=0,则“距离坐标”为(0,0)的点有且只有 1 个; ②若 pq=0, 且 p+q≠0,则“距离坐标”为( p, q) 的点有且只有 2 个; ③ 若 pq≠0,则“距离坐标”为 ( p, q) 的点有且只有 4 个. 上述命题中,正确命题的是 . (写出所有正确命题的序号) O l1 ·M l2

三.解答题(本大题共 6 小题,共计 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16、 (本题满分 12 分) 已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆) ,根据图中标出的数据: ⑴求这个组合体的表面积;
第 2 页 共 11 页

⑵若组合体的底部几何体记为 ABCD-A1B1C1D1,如图,其中 A1B1BA 为正方形. ①求证:A1B⊥平面 AB1C1D; ②若 P 为棱 A1B1 上一点,求 AP+PC1 的最小值. D1 C1

C A1 D B1

A

B

18、(本题 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱 A1 A 垂直于底面

ABC , A1 A ? 2 , AC ? CB ? 1 , ?BCA ? 90? , M 、 N 分别是

C1 B1 A1 N C B M

AB 、 A1 A 的中点.
(1)求证: A1 B ? CM (2)求直线 BN 与平面 A1 BC 所成角正弦值。

A

19.(本小题满分 13 分) 如图, 四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, 底面 ABCD 为直角梯形, AB∥CD, BA⊥AD, CD=2AB. 且 (1) AB=AD= a ,直线 PB 与 CD 所成角为 45? , 若 ①求四棱锥 P-ABCD 的体积; ②求二面角 P-CD-B 的大小; (2)若 E 为线段 PC 上一点,试确定 E 点的位 得平面 EBD 垂直于平面 ABCD,并说明理 置,使 由.

第 3 页 共 11 页

20. (本题满分 13 分) 两条互相平行的直线分别过点 A(6,2)和 B(-3,-1), 并且各自绕着 A,B 旋转,如果两条平行直线间的距离为 d. 求: (1)d 的变化范围; (2)当 d 取最大值时两条直线的方程。
P

21. (本题满分 13 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,
E

PA ? 底面 ABCD, AB ? AD, AC ? CD, ?ABC ? 60?,

PA ? AB ? BC, E 是 PC 的中点.
(1)证明 CD ? AE ; (2)证明 PD ? 平面 ABE ;

A C B

D

(3)求二面角 A ? PD ? C 的正切值.(本小题理科学生做,文科学生不做)

铜陵市一中 2012-2013 学年第一学期期中考试 高二数学答题卷
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案

1

2

3

5

5

6

7

8

9

10

二、填空题(本大题共 5 小题,每题 5 分,合计 25 分) 11.直线的方程是 12.球的体积是
第 4 页 共 11 页



13.点 B1 到截面 A1 BM 的距离为 15. 正确的命题是

14.该三棱锥的表面积是



三、解答题(本大题共 6 题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. ⑴求这个组合体的表面积; ⑵若组合体的底部几何体记为 ABCD-A1B1C1D1,如图,其中 A1B1BA 为正方形. ①求证:A1B⊥平面 AB1C1D; ②若 P 为棱 A1B1 上一点,求 AP+PC1 的最小值. D1 C1

D A1 B1

C

A

B

17. (1)求 AB 边所在的直线方程。 (2)求中线 AM 的长。 (3)求点 C 关于直线 AB 对称点的坐标。

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18. (1)求证: A1 B ? CM (2)求直线 BN 与平面 A1 BC 所成角正弦值。 A1 N

C1 B1

C A M

B

19. (1) AB=AD= a ,直线 PB 与 CD 所成角为 45? , 若 ①求四棱锥 P-ABCD 的体积; ②求二面角 P-CD-B 的大小; (2)若 E 为线段 PC 上一点,试确定 E 点的位置, 使得平面 EBD 垂直于平面 ABCD,并说明理由.

第 6 页 共 11 页

20.: (1)d 的变化范围; (2)当 d 取最大值时两条直线的方程。

P

21.(1)证明 CD ? AE ; (2)证明 PD ? 平面 ABE ;
E

(3)求二面角 A ? PD ? C 的正切值.(本小题理科学生 科学生不做)。
A C B D

做, 文

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铜陵市一中 2012-2013 学年第一学期期中考试 高二数学试题参考答案
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案

1 D

2 A

3 A

4 A

5 D

6 B

7 D

8 B

9 B

10 B

二、填空题(本大题共 5 小题,每题 5 分,合计 25 分) 11.直线的方程 2x+y-3=0 12.球的体积 4 3?

13.点 B1 到截面 A1 BM 的距离为

2 2

14.该三棱锥的表面积是 30 ? 6 5 。

15. 正确的命题是①②③ 三、解答题(本大题共 6 题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.解: ⑴此组合体的下部为长方体, 上部为半个圆柱: S ? 40? ? 16? ? 240 ? 64 ? 2 ? 56? ? 368 -----6 分 ⑵①在长方体中,AD⊥面 A1B1BA, 又 A1B ? 面 A1B1BA,所以 AD⊥A1B, 又 A1B1BA 是边长为 8 的正方形, 所以 A1B⊥AB1,而 AB1 ? AD=A, 所以 A1B⊥面 AB1C1D.----------9 分 ②将上底面展开,与面 A1B1BA 共面时, 连结 C1A 交 A1B1 于点 P,即 AC1 为最 短 距 离 . 此 时 长 度
A1

D1

C1

D B1

C

A

B



8 2 ? 18 2 ? 2 97 . --------------------------12 分.
17.解: (1)由两点式得 AB 边所在的直线方程为:

x ? 2 y ?1 = 4 2
即 2x—y+3=0??????????????????????3 分 (2)由中点坐标公式得 M(1,1)
2 ∴|AM|= 1 ? (3 ? 1) = 5 ????????????????6 分

(3)设 C 点关于直线 AB 的对称点为 C′(x′,y′) 则 CC′⊥AB 且线段 CC′的中点在直线 AB 上。

? y? ? 3 ? x? ? 4 ? 2 ? ?1 ? 即? ? 2 ? x? ? 4 ? y ? ? 3 ? 3 ? 0 ? ? 2 2

第 8 页 共 11 页

解之得 x′= ?

12 5

y′=

31 12 31 即 C′点坐标为( ? , )????12 分 5 5 5

18、证明: (1)? M为AB的中点, CM ? AB, 又 ? AA1 ? 面ABC,? AA1 ? CM ?

? CM ? 面AA1 B1 B,? CM ? A1 B -------------------6 分
(2) 过N作NH ? A1C交A1C于H ,? ?BCA ? 90 ,? BC ? 面AA1C1C
0

? BC ? NH ,? NH ? 面A1 BC, 则?NBH为所求的角
在Rt?NBH中, ?NBH ? sin NH 15 --------------12 分 ? BN 15
0

19.解: (1)?AB∥CD, ? ?PBA 是 PB 与 CD 所成的角,则? ?PBA ? 45 所以在直角三角形 PAB 中,PA=AB=a

1 1 VP ? ABCD ? ? PA ? S ABCD ? a 3 ------------3 分 3 2

? AB ? AD, CD // AB,? CD ? AD, 又PA ? ABCD,? PA ? CD,? CD ? PAD ? CD ? PD
??PDA是二面角P ? CD ? B的平面角,在直角三角形 PDA 中,PA=AD=a
? ?PDA ? 45 0 ,即二面角P ? CD ? B为45 0 ---------7 分
(2)当点 E 在线段 PC 上,且 PE:EC=2:1 时,平面 EBD 垂直平面 ABCD 理由如下:连 AC、BD 交于 O 点,连 EO. 由△AOB∽△COD,且 CD=2AB ∴CO=2AO ∴PE:EC=AO:CO =1:2 ∴PA∥EO ??????????11 分 ∵PA⊥底面 ABCD, ∴EO⊥底面 ABCD. 又 EO 在平面 EBD 内, ∴平面 EBD 垂直于平面 ABCD ??????????13 分

20.(1)方法一:①当两条直线的斜率不存在时,即两直线分别为 x=6 和 x=-3,则它们之间的距 离为 9. ??????2 分

②当两条直线的斜率存在时,设这两条直线方程为

l1:y-2=k(x-6),l2:y+1=k(x+3),
即 l1:kx-y-6k+2=0,l2:kx-y+3k-1=0, ??????4 分 |3k-1+6k-2| 3|3k-1| ∴d= = . k2+1 k2+1 即(81-d )k -54k+9-d =0.
第 9 页 共 11 页
2 2 2

∵k∈R,且 d≠9,d>0, ∴Δ =(-54) -4(81-d )(9-d )≥0,即 0<d≤3 10且 d≠9. ??????9 分 综合①②可知,所求 d 的变化范围为(0,3 10].
2 2 2

方法二:如图所示,显然有 0<d≤|AB|. 而|AB|= ? 6+3?
2

+?

2+1?

2

=3 10.

故所求的 d 的变化范围为(0,3 10]. (2)由图可知,当 d 取最大值时,两直线垂直于 AB. 2-? -1? 1 而 kAB= = , 6-? -3? 3 ∴所求直线的斜率为-3. 故所求的直线方程分别为

y-2=-3(x-6),y+1=-3(x+3),即 3x+y-20=0 和 3x+y+10=0-?13 分
21. (1)证明:∵PA⊥底面 ABCD,CD ? 平面 ABCD ∴PA⊥CD 又 AC⊥CD,AC ? PA=A ∴CD⊥平面 PAC,又 AE ? 平面 PAC ∴CD⊥AE (2)证明: ∵PA⊥底面 ABCD,AB ? 平面 ABCD ∴PA⊥AB 又 AD⊥AB,AD ? PA=A ∴AB⊥平面 PAD,又 PD ? 平面 PAD ∴AB⊥PD o 由 PA=AB=BC,∠ABC=60 则△ABC 是正三角形 ∴AC=AB ∴PA=PC ∵E 是 PC 中点 ∴AE⊥PC 由(1)知 AE⊥CD,又 CD ? PC=C ∴AE⊥平面 PCD ∴AE⊥PD 又 AB⊥PD,AB ? AE=A ∴PD⊥平面 ABE (3)过 E 点作 EM⊥PD 于 M 点连结 AM 由(2)知 AE⊥平面 PCD ∴AM⊥PD

??????(理 3 分) (文 5 分)

??????(理 8 分) (文 13 分)

第 10 页 共 11 页

∠AME 是二面角 A-PD-C 的正切值 设 AC=a

AD ? PA ? a

2 a 3 PD ? 4 7 ?1 ? 3 3

在 Rt⊿AEM 中

AM ?

PA ? AD ? PD 2 a 2

a?

2 a 3 ? 2 a 7 7 a 3

AE ?

EM ? AM 2 ? AE 2 ?

4 1 8?7 1 ? a? a? a 7 2 14 14

2 a AE 1 tan ?AME ? ? 2 ? ?14 ? 7 EM 2 1 a 14

??????理 13 分

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