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山东省德州市某中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题


2015 级高一数学期中测试题

2015.11

第I卷(选择题 共60分) 一、选择题(共 12 题,每题 5 分,共 60 分,每小题给出选项中只有一项是符合题目要求) 1.下列函数与 y=x 表示同一函数的是( ) A. y ?

? x?

2

B. y ?

3

x

3

C. y ?

x

2

D. y ?

x2 x

2.函数 y ? x2 ? 6x 的减区间是(



A . ( ?? ,2) B. [2, ?? ) C. [3, ?? ) D. ( ?? ,3) 3. 已知集合 M ? {( x, y) | x ? y ? 2} ,N ? {( x, y) | x ? y ? 4} , 那么集合 M ? N 为 ( ) A. x ? 3 , y ? ?1
2

B. (3,-1)

C. {3,-1} )

D. {(3,?1)}

4. 若 f ? 2x ? 1? ? x ? 2x ,则 f ? 2 ? 的值为(

3 3 B. 4 4 5.函数 y ? 1 ? x ? x 的定义域为( A. {x | x ? 1} B. {x | x ? 0}
A. ?
x

C. 0 )

D. 1

C. {x | 0 ? x ? 1} D.{x | x ? 1 或 x ? 0} 6. 如果指数函数 y= (a ? 2) 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是( ) A.a>2 B.a<3 C.2<a<3 D.a>3

7. 在映射 f : A ? B中 , A ? B ? {( x, y) | x, y ? R},且 f : ( x, y) ? ( x ? y, x ? y) ,则 A 中的元素 (?1,2) 在集合 B 中的像为( A. (?1,?3) B. (1,3) ) C. (3,1) ) D.(2,3) ) D. (?3,1)

8.函数 f ( x) ? 2 x ? 3 的零点所在区间为( A.( ? 1,0) B.(0,1) C.(1,2)

9. 已知 ab ? M ( a >0, b >0, M ≠1), logM b ? x , 则 log M a 的值为( A. 1 ? x B. 1 ? x
2 2

C.

1 x

D. x ? 1

10.若二次函数 f ( x) ? 2ax ? 4a x ? b 对任意的实数x都满足 f (3 ? x) ? f (3 ? x) ,则实 数a的值为 ( ) A.

3 2

B.-
x

3 2

C.-3 ) y 1 x 0

D.3

?1? 11. 函数 y ? ? ? 的图像是( ?2?
y 1 0 x y 1 0

y 1 x 0
1

x

A

B

C

D

12.若函数 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数,且在 (0, ??) 内是增函数,又 f (2) ? 0 ,则不等式 ) xf ( x) ? 0 的解集为( A. (?2, 0) ? (2, ??) B. (??, ?2) ? (0, 2) C. (??, ?2) ? (2, ??) D. (?2,0) ? (0,2) 第 II 卷(非选择题 二.填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.集合 A ? {x ? 5 ? x ? 3}, B ? {x x ? ?2 或 x ? 4} , A ? (C R B) ? ______________ 14. 函数 f ( x) ? ? 共 90 分)

?? 2 x ? 3 ( x ? 2)
?x ?2

( x ? 2)

,则 f [ f (?3)] 的值为

15.已知 f ( x) 是定义域为 R 奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x2 ? x ,则 f (1) =_________ 16. 给出下列四个命题: ①函数 y ?| x | 与函数 y ? ( x ) 2 表示同一个函数; ②奇函数的图像一定通过平面直角坐标系的原点; ③函数 y ? 3( x ? 1) 的图像可由 y ? 3x 的图像向右平移 1 个单位得到; ④若函数 f ( x) 的定义域为 [0,2] ,则函数 f (2 x) 的定义域为 [0,4] ;
2 2

在区间 ?a, b? 上至少有一实根; 其中正确命题的序号是

⑤设函数 f ?x ? 是在区间 ?a, b? 上图像连续的函数,且 f ?a ? ? f ?b? ? 0 ,则方程 f ?x ? ? 0 . (填上所有正确命题的序号)

三.解答题(17 题 10 分,其余每题 12 分,共 70 分) 17. (本题满分 10 分)计算下列各式的值
9 2

(1)

3

a

a ?3 ?

3

a ?7 3 a13

8 ? 3 log3 2
(2)

2 3

ln e ? log4

1 64

18. (本题满分 12 分) 已知集合 A ? {x | 3 ? x ? 7} , B ? {x | 2 ? x ? 10} , C ? {x | x ? a}, 全集为实数集 R。 (1)求 A ? B , (CR A) ? B ; (2)若 A ? C ? ? ,求 a 的取值范围。

2

19.(本题满分 12 分)

已知函数f ? x ? 是定义在 ? 0, ? ? ? 上的增函数,且满足条件 f ? 2 ? ? 1, f ? xy ? ? f ? x ? ? f ? y ? , (1)求f ?1? , f ? 4 ? ;

? 2 ? 若f ? x ? ? f ? x ? 3? ? 2, 求x的取值范围.

20.(本题满分 12 分) 某企业在 2008 年对某产品的投入成本为 1 元/件,出厂价为 1.2 元/件.年销售量为 10000 件.2009 年为适应市场需求,提高产品档次,每件产品投入成本增加的比例为 x ? 0 ? x ? 1? , 出厂价相应提高的比例为 0.75 x ,同时预计销售量增加的比例为 0.8 x . (Ⅰ)写出 2009 年预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; (Ⅱ)为使 2009 年的年利润达到最大,求 x 的值. (III)为使 2009 年的年利润比 2008 年有所增加,则 x 应在什么范围内?

21.(本题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x) ? ? x ? 2ax ? 1 ? a 在区间 ?0,1? 上有最大值 2 ,求实数 a 的值
2

22. (本题满分 12 分) 已知定义域为 R 的函数 f ( x ) ?

?2 x ? a

2x ? 1

是奇函数
3

(1)求 a 值; (2)证明该函数在定义域 R 上是单调减函数; (3)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范 围;
2 2

题号 答案

1 B

2 D

3 D
x

4 A

5 C
x ?1

6 C

7 D

8 C

9 A

10 D

11 D

12 D

(4)设关于 x 的函数 f (4 ? b) ? f (?2

) 有零点,求实数 b 的取值范围;

2015 级高一数学期中测试题答案 一.选择题(12×5 分=60 分) 二.填空题(4×5 分=20 分) 13. {x ? 5 ? x ? 4} 三.解答题 17. 解:(1) 14.

1 8

15.-3

16.③ ⑤

1 ------------------------------------(5 分) (2) -4 --------------------------------------(10 分)

18.解(1)因为 A ? {x | 3 ? x ? 7} , B ? {x | 2 ? x ? 10} , 所以 C R A ? {x | x ? 3或x ? 7} , 因此 A ? B ? {x | 2 ? x ? 10} ,------------------(3 分)

(CR A) ? B ? {x | 2 ? x ? 3或7 ? x ? 10} 。------------------(6 分)
(2)若 A ? C ? ? ,则 a ? 3 (注:有等号扣 2 分) -----------(12 分) 19.解: (1)f(1)=0;--------------(2 分) f(4)=2--------------(4 分) (2)由 f ?x ? ? f ?x ? 3? ? f ?4? ------------------------------------(6 分)

f x 2 ? 3x ? f ?4?

?

?

----------------------------------(8 分)

? x?0 ? ? x?3?0 ? x ? x ? 3? ? 4 ?

------------------------------------(11 分)

??x x ? 4?--------------------------------------(12 分)
20. 解:(Ⅰ) y ? ? ?1.2 ?1 ? 0.75 x ? ? ?1 ? x ? ? ? ? 10000 ?1 ? 0.8 x ? -------(3 分)

? ?800 x2 ? 600 x ? 2000 , ( 0 ? x ? 1 ).----------------(6 分)(化
简结果 2 分定义域 1 分)

4

(Ⅱ)

3 ? 4225 ? (找出对称轴可得分) y ? ?800x ? 600x ? 2000 ? ?800 ? x ? ? ? 8? 2 ?
2

2

所以当 x ?

3 时,年利润达到最大值. ----------------(8 分) 8
? y ? ?1.2 ? 1? ? 10000, 0 ? x ? 1. ?

(III)为使 2009 年的年利润比 2008 年有所增加,则 ?

即?

??800 x 2 ? 600 x ? 0, ? 0 ? x ? 1.
3 4

-------(10 分)

解之得 0 ? x ?

------------(12 分)

21. 函数 f ( x) 的对称轴为: x ? a , -------------(1 分) 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 [0,1] 上递减,? f (0) ? 2 ,即 1 ? a ? 2,? a ? ?1 ; 当 a ? 1 时, f ( x ) 在 [0,1] 上递增,? f (1) ? 2 ,即 a ? 2 ; ………4 分 ………7 分

2 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 [0, a ] 递增,在 [a,1] 上递减,? f (a) ? 2 ,即 a ? a ? 1 ? 2 ,

解得: a ?

1? 5 与 0 ? a ? 1 矛盾;-------------(10 分) 2
-------------(12 分)

综上: a ? ?1 或 a ? 2

22.解: (1)由题设,需

1? 2 ?a f (0) ? ?12 ? 0,? a ? 1,? f ( x) ? 1? 2x
x

经验证, f ( x ) 为奇函数,? a ? 1 -------------------------------------(2 分) (2)证明:任取

x , x ? R, x ? x , ?x ? x ?x ? 0 ,
1 2 1 2 2 1

由(1)

?y ? f ( x 2) ? f ( x1) ?

1? 2 x2 1? 2 x2

?

1? 2 x1 1? 2 x1

?

2(2 x1 ? 2 x2 ) (1? 2 x1 )(1? 2 x2 )

? x1 ? x 2,? 0 ? 2 x1 ? 2 x 2 ,? 2 x1 ? 2 x 2 ? 0, (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x 2 ) ? 0

??y ? 0

? 该函数在定义域 R 上是减函数-------------------------------------(6 分)
(3)由 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 得 f (t ? 2t ) ? ? f (2t ? k ) ,
2 2

2

2

? f ( x) 是奇函数
5

? f (t 2 ? 2t ) ? f (k ? 2t 2 ) ,---------------------------(7 分)
由(2) , f ( x ) 是减函数? 原问题转化为 t ? 2t ? k ? 2t
2 2 2

即 3t ? 2t ? k ? 0 对任意 t ? R 恒成立 -----------------------------(8 分)

?? ? 4 ? 12k ? 0, 得 k ? ? 即为所求--- --------------------------(9 分)
(4)原函数零点的问题等价于方程 f (4x ? b) ? f (?2x?1 ) ? 0 由(3) ,4 ?b ? 2
x x ?1

1 3

,即方程 b ? 4 ? 2
x

x ?1

有解--------(10 分)

? 4 x ? 2 x?1 ? (2 x ) 2 ? 2 ? 2 x ? (2 x ? 1) 2 ? 1 ? ?1,--------(11 分)
?当b ? [?1,??) 时函数存在零点-------------------------(12 分)

6


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