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精选高难度压轴填空题------函数(一) 2


1.已知函数 f ( x) ? 4 x 2 ? 2( p ? 2) x ? 2 p 2 ? p ? 1 在区间 [ ?1,1] 上至少存在一个实数 c ,使

3 f (c) ? 0 ,则实数 p 的取值范围是________ ( ?3, ) 2
解析:反面考虑,补集思想, ?

? f (?1) ? 0 3 ? p ? ?3,

p ? 2 ? f (1) ? 0

2. 设函数 f ( x) ? ax3 ? 3x ? 1( x ? R) , 若对于任意的 x ? ?? 1,1? 都有 f ( x) ? 0 成立, 则实数

a 的值为

4

解析: 2008 年高考题, 本小题考查函数单调性的综合运用. 若 x=0, 则不论 a 取何值, f ? x ? ≥0 显然成立;当 x>0 即 x ?? ?1,1? 时, f ? x ? ? ax3 ? 3x ? 1 ≥0 可化为, a ? 设 g ? x? ?

3 1 ? x 2 x3

3 ?1 ? 2 x ? 3 1 ? 1? ? 3 ,则 g ' ? x ? ? , 所以 g ? x ? 在区间 ? 0, ? 上单调递增,在区 2 4 x x x ? 2?

间 ? ,1? 上单调递减,因此 g ? x ?max ? g ? ? ? 4 ,从而 a ≥4;
3 当 x<0 即 ? ?1,0? 时,f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 ≥0 可化为 a ?

?1 ? ?2 ?

?1? ?2?

3 ?1 ? 2 x ? 3 1 ?0 ? 3 ,g ' ? x ? ? 2 x x x4

g ? x ? 在区间 ? ?1,0? 上单调递增,因此 g ? x ?ma n ? g ? ?1? ? 4 ,从而 a ≤4,综上 a =4
? f (?1) ? 0 ?a ? 4 ? 特殊方法:抓住 ? 1 ?? f( )?0 ?a ? 4 ? ? 2
3.函数 f ( x) ? mx ? (m ? 3) x ? 1 的 图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧,则实数
2

m 的取值范围为_______ m ? 1
?? ? 0 ? 解析:显然 m ? 0 成立,当 m ? 0 时, ? m ? 3 ? 0 ? m ?1 ? ?0 ? ? 2m
4. 设 函 数 y ? f ( x) 在 (??,??) 内 有 定 义 . 对 于 给 定 的 正 数 K , 定 义 函 数

? f ( x), f ( x) ? K ?x ,取函数 f ( x) ? 2 ? x ? e ,若对任意的 x ? (??,??) ,恒有 f k ( x) ? ? ? K , f ( x) ? K
f k ( x) ? f ( x) ,则 K 的取值范围是_______ K ? 1
解析: 2009 湖南理, 由定义知, 若对任意的 x ? (??,??) , 恒有 f k ( x) ? f ( x) 即为 f ( x) ? K

恒 成 立 , 即 求 f ( x) 的 最 大 值 , 由 f '( x) ? 1 ? e? x ? 0, 知 x ? 0 , 所 以 x ? (??, 0) 时 , 即 f ( x) 的 值 域 是 f '(x )? 0, 当 x ? (0,?? )时 , f '(x )? 0, 所 以 f ( x)ma x ? f (0)? 1,

(??,1]
5. 已知函数 f ( x) ? loga (2? ax )的图象和函数 g ( x) ? log1 (a ? 2x )( a ? 0, a ? 1 ) 的图象
a

关于直线 y ? b 对称( b 为常数) ,则 a ? b ?

2

解析: f ( x) ? g ( x) ? 2b ? loga (2 ? ax) ? loga (a ? 2 x) ? 2b , x ? 1, b ? 0; x ? 1, a ? 2 6. 已知定义在 R 上的函数 F ( x) 满足 F ( x ? y) ? F ( x) ? F ( y) , 当 x ? 0 时,F ( x) ? 0 . 若
2 ? ? F (2kx ? x ) ? F (k ? 4) 对任意的 x ? [0,1] ,不等式组 ? 均成立,则实数 k 的取值范围 2 ? ? F ( x ? kx) ? F (k ? 3)



. (?3, 2)

解析: F (0) ? 0 ,令 y ? ? x 得 F ( x) 奇函数,设 x1 ? x2 , F ( x2 ? x1 ) ? F ( x2 ) ? F (? x1 )

? F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? 0 , F ( x) 减函数,

? 2 ? f (0) ? 0 x ? 2kx ? (k ? 4) ? 0 ? ? ? ?3 ? k ? 4 ? ? F (1) ? 0 ?2kx ? x ? k ? 4 ? ? ?? ? 2 ? x2 ? 3 4 ? x ? kx ? k ? 3 ? k ? ? t ? ? 2(1 ? t ? 2) ? k ? 2 ? x ?1 t ?
2

7. 已知函数 y ? 1 ? x ?

x ? 3 的最大值为 M ,最小值为 m ,则

m 2 的值为_____ M 2

解析:法一:平方 ; 法二:向量 (1,1), ( 1 ? x , x ? 3) 数量积 8. 设函数 f ( x ) ? x ? 1 ? 2 19 解析:令 x ? 1 ? t, g (t ) ? t ? 2 (t ? 0) 画出 y ? t , y ? 2 图象,它们在第一象限有两个交
3 t
3 t
3 x ?1

的四个零点分别为 x1、x2、x3、x4 , f ( x1 +x2 +x3 +x4 ) ?

.

点,则 x ? 1 ? t1 , x ? 1 ? t 2 ? x1 ? 1 ? t1 , x2 ? 1 ? t1 , x3 ? 1 ? t 2 , x4 ? 1 ? t 2

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 4, f (4) ? 19
9. 定义在 R 上的函数 y ? f ( x) ,若对任意不等实数 x1 , x2 满足

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,且 x, y x1 ? x2

满足不等式 f ( x2 ? 2 x) ? f (2 y ? y 2 ) ? 0 成立.函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于点 (1, 0) 对称, 则当 1 ? x ? 4 时,

y 1 1] 的取值范围为________ [- , x 2

解析: x 2 ? y 2 ? 2( x ? y) , (1) x ? y ? 0 时,

?x ? y ? 0 y 1 y ? 1 成立; (2)? ? - ? ?1 x 2 x ?x ? y ? 2

?x ? y ? 0 ? (3) ? x ? y ? 2 无解 ?1 ? x ? 4 ?
10. 已知 a ? 0, a ? 1 ,若函数 f ( x) ? loga (ax2 ? x) 在 [3,4] 是增函数,则 a 的取值范围是 ________ (1,??)

1 ? ?a ? 6 ? 1 1 1 ? 3 时,?a ? 1 ? 4 时, ? a ?1; 解析:g ( x) ? ax2 ? x 对称轴是 x ? , 当 当 2a 2a 2 a ? g (3) ? 0 ? ? 1 ? ?a ? 8 ? ?0 ? a ? 1 ? ? ? g (4) ? 0 ? ?
11. 若直角坐标平面内两点 P, Q 满足条件:① P, Q 都在函数 f ( x) 图象上;② P, Q 关于原 点对称,则称点对 ( P, Q) 是函数 f ( x) 的一个“友好点对” (点对 ( P, Q) 与 (Q, P) 看作同一

?2 x 2 ? 4 x ? 1, x ? 0 ? 个“友好点对” ).已知函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f ( x) 的“友好点对”有____ ? x ,x ? 0 ?e
个 2个 解析:数形结合,即看 y ?

2 , x ? 0 关于原点对称函数 y ? ?2e x , x ? 0 与 x e

-1 -1

y ? 2x 2 ? 4x ? 1, x ? 0 有 几 个 交 点 。 y ? ?2e ?1 ? ?1 ,故有 2 个交点

当 x ? ?1 时 ,

? 2 x3 1 , x ? ( ,1] ? 2 ?π ? ? x ?1 12. 已知函数 f ( x) ? ? ,函数 g ?x ? ? a sin? x ? ? 2a ? 2 (a>0),若存在 ?6 ? ? 1 1 1 ?? x ? , x ? [0, ] 6 2 ? 3 1 4 x1、x2 ?[0,1] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是________ [ , ] 2 3

?1 [ ,1] ? ?6 ? [0,1] , 解析:即两函数在 [0,1] 上值域有公共部分,先求 f ( x) 值域 ? ? ?[0, 1 ] ? 6 ?

?2 ? 2 a ? 1 3 ? g ( x) ? [?2a ? 2,2 ? a] ,故 ? 3 2 2? a ? 0 ? 2 ?
2 13. 设 f ?x? ? x ? ax , x f ( x) ? 0, x ? R ? x f ( f ( x)) ? 0, x ? R ? ? ,则满足条件

?

? ?

?

的所有实数 a 的取值范围为_______________ 0 ? a ? 4 解 析 : f ( x) ? 0 ? x ? 0 或 x ? ?a ; f ( f ( x)) ? 0 ? f ( x) ? 0 或 f ( x) ? ?a , 由

f ( x) ? 0 ? x ? 0 或 x ? ?a ,则 f ( x) ? ?a 即 x 2 ? ax ? a ? 0 无解或根为 0 或 ? a ,
? ? 0 ? 0 ? a ? 4 ,或 a ? 0
14. 如图为函数 f ( x) ? x (0 ? x ? 1) 的图象,其在点 M (t ,f (t )) 处的切线为 l , l 与 y 轴 和直线 y ? 1 分别交于点 P、Q,点 N(0,1) , 若△PQN 的面积为 b 时的点 M 恰好有两个,则 b 的取值范围为 解析:令 t ? x(0 ? x ? 1), b ? S ? ? .? ,

?1 8 ? ? ? 4 27 ?
y N M P O x Q

1 1 (1 ? x)( 2 x ? x 2 ) 2 2

1 (2 ? x)( 2 x ? x 2 ) , g ( x) ? 4b ? x 3 ? 4 x 2 ? 4x 4 32 g ' ( x) ? ( x ? 2)(3x ? 2) , 1 ? 4b ? 27 1 3 , g ( x) ? x 2 ? 2bx ? 4 ,若对任意 x1 ? (0,2) ,存在 15. 已知函数 f ( x) ? ln x ? x ? 4 4x ?

x2 ? [1,2] ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则实数 b 的取值范围为_______ b ?
解析:即 f ( x) min ? g ( x) min ,求导易得 f ( x ) min ? f (1) ? 当 b ? 1 时, g ( x) 增, g ( x) min

14 2

1 , g ( x) 对称轴是 x ? b 2 1 9 ? g (1) ? 5 ? 2b ? ? b ? 矛盾; 2 4

2 当 1 ? b ? 2 时, g ( x) min ? g (b) ? 4 ? b ?

1 14 ; ?2?b? 2 2
1 15 ?b?2 ?b? 2 8

当 b ? 2 时, g ( x) 减, g ( x) min ? g (2) ? 8 ? 4b ?

16. 已知函数 f ( x) 定义在正整数集上,且对于任意的正整数 x ,都有 f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1)

? f ( x) ,且 f (1) ? 2, f (3) ? 6 ,则 f (2009 ) ? _______ 4018
解析:实际上是等差数列问题
x 18. 若关于 x 的方程 a ? 1 ? 2a ? 0 有两个相异的实根,则实数 a 的取值范围是

____ (0, )
x 解析:数形结合 a ? 1 ? 2a ,对 a 分 0 ? a ? 1 和 a ? 1 讨论

1 2

x 19. 已知函数 f(x)= ,若函数 y=f(x+2)-1 为奇函数,则实数 a=________-2 x+a 解析: f ( x ? 2) ? 1 ?

x?2 ?a ?1 ? ,显然 a ? ?2 x?2?a x?2?a

有人说 a ? 0 可以吗?不行!此时, f ( x) ? 1( x ? 0) ,显然 y=f(x+2)-1 定义域不关 于原点对称! 20. 已知可导函数 f ( x)( x ? R) 的导函数 f ?( x ) 满足f ?( x) ? f ( x) ,则当 a ? 0 时,

f (a)和 ea f (0) ( e 是自然对数的底数)大小关系为
解析:构造函数 F ( x) ?

f (a) ? e a f (0)

f ( x) e x ( f ' ( x) ? f ( x)) , F ' ( x ) ? ? 0 , F ( x) 增, ex (e x ) 2

f (a ) f (0) ? 0 ? f (0) ea e
21. 若对任意的 x ? D ,均有 f1 ( x) ? f ( x) ? f 2 ( x) 成立,则称函数 f ( x) 为函数 f 1 ( x ) 到函 数

f 2 ( x)







D

















.









f ( x) ? (k ? 1) x ? 1, g ( x) ? 0, h( x) ? ( x ? 1) ln x 且 f ( x) 是 g ( x) 到 h( x) 在区间 [1,2e] 上的
“折中函数” ,则实数 k 的值是_______2 解析:即要求 0 ? (k ? 1) x ? 1 ? ( x ? 1) ln x 在 [1,2e] 恒成立.对于左边: x ? 1 时, k ? 2 ,

1 ( x ? 1) ln x ? 1 ,故 k ? 2 ;右边: k ? 1 ? ,对右边函数求导后得增 2e x 函数,则 k ? 1 ? 1 ? k ? 2 ,综上, k ? 2
x ? 2e 时, k ? 1 ?
23. 设函数 f ( x ) 的定义域为 D,如果存在正实数 k ,使对任意 x ? D ,都有 x ? k ? D ,且

f ( x ? k ) ? f ( x) 恒成立,则称函数 f ( x) 为 D 上的“ k 型增函数” .已知 f ( x ) 是定义在 R
上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ?| x ? a | ?2a ,若 f ( x ) 为 R 上的“ 2011 型增函数” ,则 实数 a 的取值范围是 .a ?

2011 6

解析:本题类似于第 24 题,但由于函数不同,方法截然不同,本题对 a 分正负 0 三种情况 -3a 3a 讨论,利用数形结合较好。 (1)当 a ? 0 时,如图 单调递增显然成立; ( 2) 2a a -a a -a 5a

当 a ? 0 时,f ( x) ? x , 显然递增成立; (3) 当 a ? 0 时, 如图 只要保证左边平移 2011 后图象全部在原来图象上方即可,注意到图中两直线的平行,且距 离为 5a ? (?a) ? 6a ,故必须且只需 6a ? 2011 ? a ?

2011 6

24. 设函数 f ( x ) 的定义域为 D ,若存在非零实数 l ,使得对于任意 x ? M (M ? D) ,有

x ? l ? D ,且 f ( x ? l ) ? f ( x) ,则称 f ( x) 为 D 上的 l 高调函数,如果定义域是 [0, ??) 的
函数 f ( x) ? ( x ? 1) 为 [0, ??) 上的 m 高调函数,那么实数 m 的取值范围是
2

[2,??)

解析:即存在实数 m 使得对 ?x ? [0,??) 都有 ( x ? m ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 恒成立,即

m(2 x ? m ? 2) ? 0 恒成立,当 m ? 0 时, m ? 2 ? 2 x 恒成立,即 m ? 2 ;当 m ? 0 时,
m ? 2 ? 2 x 恒成立,而 2 ? 2 x 无最小值,此时 m 不存在
注:本题和第 23 题定义相同 26. 已 知 f ( x) ? log3 x ? 2 ( x ? [1,9]) , 则 函 数 y ? [ f ( x)]2 ? f ( x 2 ) 的 最 大 值 是 _____________.13 解析:注意定义域[1,3] 27. 已知奇函数 f ( x) ? log a

x?m (a ? 0且a ? 1) 在区间 (a ? 3, r ) 上的值域为 (1, ??) ,则 x?2

x?2 4 ? 1? 在 (2,??) 上恒正且 x?2 x?2 单 调 递 减 , 在 (??,?2) 上 恒 负 , 故 f ( x) 在 (2,??) 上 单 调 递 减 , 则
解析:由奇函数可求出 m ? 2 ,当 a ? 1 时, g ( x) ?

a ? r ?2 或 5 ? 2 2

4 ? ?a ? f (r ) ? 1 ?1 ? ? a ? r ? 2 同理,当 0 ? a ? 1 时, g ( x) 在 (??,?2) 上 ?? r?2 ? f ( a ? 3 ) ? ?? ? ? ?a ? 3 ? 2 ? 0 ? a ?1 ?a ? f (a ? 3) ? 1 ? 恒正,且单调递增,则 ? ? ?a ? 5 ? f (r ) ? ?? ? ?r ? 2 ? 0 28. 已 知 函 数 f ( x) 的 导 函 数 f ' ( x) ? 2 x ? 9 , 且 f (0) 的 值 为 整 数 , 当 x ? (n, n ? 1] (n ? N *) 时, f ( x) 的值为整数的个数有且只有 1 个,则 n ? ________4 2 解析:设 f ( x) ? x ? 9 x ? c , c 为整数,由此得 f (n ? 1) ? f (n) ? 2n ? 8 ,显然当 n ? 4 时, f (n ? 1) ? f (n) ? 2n ? 8 ? 2 ,不符合题意;当 n ? 4 时, f (4) ? f (5) ? c ? 20 ,注 9 81 81 , c ? 20] 上整 意到二次函数 f ( x) ? x 2 ? 9 x ? c ,顶点 f ( ) ? c ? ,显然在区间 [c ? 2 4 4 数只有 c ? 20 ,适合题意,故 n ? 4
29. 若函数 f ( x) ? x ? 2a x ? 4a ? 3 的零点有且只有一个,则实数 a ?
2 2
2 2

3 2

解 析 :令 x ? t , 则 f ( x) ? t ? 2at ? 4a ? 3 必 有一 个 0 根 ,且 另 一根 为负 根, 由

f (0) ? 0 ? a ? ?

3 3 ,经验证 a ? 2 2

30. 已知定义域为 D 的函数 f(x),如果对任意 x∈D,存在正数 K, 都有∣f(x)∣≤K∣x∣成 立 , 那 么 称 函 数 f(x) 是 D 上 的 “ 倍 约 束 函 数 ” , 已 知 下 列 函 数 : ①f(x)=2x② f ( x ) = 2sin( x ? 束函数的序号是

?
4

) ;③ f ( x) = x ? 1 ;④ f ( x) =

x ,其中是“倍约 x ? x ?1
2

①③④

解 析 : ① 2x ? 2 x ; ② 数 形 结 合 不 可 能 存 在 k 使 | 2 sin( x ? ③

?
4

) |? k | x | 恒 成 立 ;

x ?1 ? k x ? k 2 ?

x ?1 x 1 ( x ? 1) 成立;④ 2 ?kx ?k ? 2 2 x x ? x ?1 x ? x ?1
1

31. 若函数 f ( x) ? a x (a ? 1) 的定义域和值域均为 [m, n] ,则 a 的取值范围是 __ (1 , e e ) _
x 解析:等价于方程 a ? x 有两解 m, n ,即 x ln a ? ln x 有两解, ln a ?

g ' ( x) ?

1 ? ln x 1 ? 0 ,当 x ? e 时有最大值,故 0 ? ln a ? g (e) ? 2 e x

ln x ? g ( x) , x

32. 已知定义在 R 上的函数 f ( x), g ( x)满足

f ( x) ? a x , 且f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x), g ( x)
1023 1024

f (1) f (?1) 5 f ( n) ? ? , 则数列{ } 的前 10 项的和是 g (1) g (?1) 2 g ( n)
解析:令 h( x) ?

1 5 f ( x) ?1 ,则由条件知 h' ( x) ? 0 ,故 0 ? a ? 1 , a ? a ? ,得 a ? 2 2 g ( x) 3 1 2 33. 已知函数 f ( x) ? log a (ax ? x ? ) (a ? 0, a ? 1) 在 [1, ] 上恒正,则实数 a 的取值范 2 2 1 8 3 围是______________ ( , ) ? ( ,?? ) 2 9 2 3 1 2 解析:分类讨论.当 0 ? a ? 1 时,有条件知 g ( x) ? ax ? x ? 在 [1, ] 上值域 ? (0,1) ,即 2 2 1 ? x? ? 1 1 1 a ? 2 2 ? ? ( ? 1) 2 ? ? 3 1 ? 2 x 2 1 2 x 0 ? ax 2 ? x ? ? 1 在 [1, ] 上恒成立,则 ? , ? [ ,1] 2 2 x 3 1 ? x? ?a ? 2 ? 1 ( 1 ? 1) 2 ? 1 2 ? 2 x 2 x ? 3 1 8 1 1 1 1 ? ? a ? ;当 a ? 1 时, ax 2 ? x ? ? 1 在 [1, ] 上恒成立,即 a ? ( ? 1) 2 ? ,得 2 2 9 2 2 x 2 3 a? 2 ?3? x ? a( x ? 0) 34. 已知函数 f ( x) ? ? 若关于 x 的方程 f ( x) ? x 有且仅有二个不等实根, ? f ( x ? 1)( x ? 0) 则实数 a 的取值范围是__________ [2,3)

3-a

。。 。
1 2 3

?1 ? a ? 0 ? 解析:数形结合。若 1 ? a ? 0 ,则 ?3 ? a ? 0 ?3 ? a ? 1 ?

1-a

3-a

。 。 。
1 2 3

1-a

若 0 ? 1 ? a ? 1 ,则必须 ?
2

?0 ? 1 ? a ? 1 ?0 ? a ? 1 矛盾! ?? ?1 ? 3 ? a ? 2 ?1 ? a ? 2
1 2

35. 函数 f(x)=|x -a| 在区间[-1,1]上的最大值 M(a)的最小值是

? ?1 ? a(a ? 0) 2 ? ? 1 ? x ? a(a ? 0) ? 解析: f ( x) ? ? 2 ,画图可知, M (a) ? ?1 ? a(0 ? a ? ) 2 ? ? ? x ? a (a ? 0) 1 ? a(a ? ) ? 2 ? 3 2 36. 若关于 x 的方程 x ? ax ? x 有不同的四解,则 a 的取值范围为
2 2

a?2

3 2 解析: 首先可知 x ? 0 ,x ? ax ? x ? 0 即 x ? 0, x 2 ? ax ? 1 ? 0, x 2 ? ax ? 1 ? 0 共有四个

不 同 解 , 而 x ? ax ? 1 ? 0 的 ? ? a ? 4 ? 0 , 有 两 个 不 同 解 , 但 正 根 只 有 一 个

a ? a2 ? 4 2 (负根舍去) ,且不为 0;则方程 x ? ax ? 1 ? 0 必有两不相等正根,则 x? 2 2 ? ? a ?4 ?0 ? a ? 2
37. 已 知 a, b, c 为 正 整 数 , 方 程 ax ? bx ? c ? 0 的 两 实 根 为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , 且
2

| x1 |? 1,| x2 |? 1 ,则 a ? b ? c 的最小值为_______.11

? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0, ? b ? 解析:依题意,可知 ? x1 ? x2 ? ? ? 0,从而可知 x1 , x2 ? (?1,0) ,所以有 a ? c ? x1 x2 ? ? 0, ? a ?
? ?b 2 ? 4ac ? 0, ?b 2 ? 4ac, ? ? ? ?b ? a ? c, 又 a, b, c 为正整数,取 c ? 1 ,则 ? f (?1) ? a ? b ? c ? 0, ? ?c ? a. c ? ? x1 x2 ? ? 1. a ?
a ? 1 ? b ? a ? b , 所 以 a 2 ? b2 ? 4ac ? 4a ? a ? 4 . 从 而 a ? 5 , 所 以

b2 ? 4ac ? 20 .
又 b ? 5 ? 1 ? 6 ,所以 b ? 5 ,因此 a ? b ? c 有最小值为 11 . 下面可证 c ? 2 时, a ? 3 ,从而 b ? 4ac ? 24 ,所以 b ? 5 .
2

又 a ? c ? b ? 5 ,所以 a ? c ? 6 ,所以 a ? b ? c ? 11 . 综上可得, a ? b ? c 的最小值为 11. 38. 已知 a ? 0 , 设函数 f ( x) ?

N ,那么 M ? N ?
解析: f ( x) ? 2008?

2009 x ?1 ? 2007 ? sin x( x ? [?a, a]) 的最大值为 M , 最小值为 2009 x ? 1 . 4016

2009x ? 1 2009x ? 1 ? sin x ,注意到 和 sin x 都为奇函数,故对函 2009x ? 1 2009x ? 1 2009x ? 1 ? sin x 为奇函数,而 f ( x) ? 2008? g ( x) ,在 数 f ( x) 考虑构造新函数 g ( x) ? 2009x ? 1 区间 [?a, a] 上由奇函数的对称性知 g (? x) ? g ( x) ? 0 ,故 M ? N ? 2008 ? 2 ? 4016
39. 已 知 a ? 0 , 若 函 数 f ( x) ? ____ {1}

( x ? a)2 在 [ ?1,1] 上 为 增 函 数 , 则 a 的 取 值 集 合 为 x2 ? 1

2( x ? a)(1 ? ax) ? 0 在 [ ?1,1] 上恒成立,即 g ( x) ? ax2 ? (a 2 ? 1) x ? a ? 0 2 2 ( x ? 1) ? g (?1) ? 0 在 [ ?1,1] 上恒成立 ? ? ? a ?1 ? g (1) ? 0
解析: f ' ( x) ?

? x 2 ? 1, x ? 0, 2 40. 已知函数 f ( x) ? ? 则满足不等式 f (1 ? x ) ? f (2 x) 的 x 的取值范围是 x ? 0, ? 1, ____ (?1, 2 ? 1)

解析:注意函数 f ( x) 的图象和单调性,则 ? 41. 已知函数 f ? x ? ?

2 ? ?1 ? x ? 2 x 2 ? ?1 ? x ? 0

? x ? (?1, 2 ? 1)

x?3 a ? ?1 在 ?1, ?? ? 上是增函数,则实数 a 的取值范围为 x?a a?3 解析: f ( x) ? x ? a ? ,当 a ? ?3 显然成立,当 a ? ?3 时, ? 3 ? a ? ?1 x?a ?(3a ? 1) x ? 4a ( x ? 1) 42. 已知函数 f(x)= ? 在 R 不是单调函数 ,则实数 a 的取值范围是 ...... log x ( x ? 1) a ?
1 1 7 3 解析:当 a ? 1 时, loga x 和 (3a ? 1) x ? 4a 都递增,则当 x ? 1 时, 3a ? 1 ? 4a ? 7a ? 1 ? 0 , 显然不是单调递增函数, 适合题意; 当 0 ? a ? 1 时, 从反面考虑, ?3a ? 1 ? 0 1 1 1 1 由于 loga x 递减,若函数递减,则 ? ? ? a ? ,此时有 (0, ) ? [ ,1) 7 3 7 3 ?7a ? 1 ? 0
【答案】 (0, ) ? [ ,1) ? (1,?? ) 43. 已知 f ( x) ?| x 2 ? 1 | ? x 2 ? kx ,若关于 x 的方程 f ( x) ? 0 在 (0,2) 有两个不同的解,则

k 的取值范围是 7 【答案】 ? ? k ? ?1 2
解析: f ( x) ? ?

.

?kx ? 1,0 ? x ? 1
2 ?2 x ? kx ? 1, x ? 1

,画图象,当 k ? 0 时,显然在 (0,2) 上不可能有两解,

1 2 ? (0,1) , 即 k ? ?1 时, 只需要 2 x ? kx ? 1 ? 0 在 (1,2) k 7 7 有且只有一个根, 即 f (1) ? f (2) ? 0 ? ? ? k ? ?1 , 此时得到 ? ? k ? ?1 ; 当 k ? ?1 时 2 2
当 k ? 0 时, 若 kx ? 1 ? 0 ? x ? ? 两 根 相 等 都 是 1 , 不 合 题 意 ; 当 ? 1 ? k ? 0 时 , kx ? 1 ? 0 在 (0,1] 无 解 , 则 要 求

f ( x) ? 2 x 2 ? kx ? 1在 [1,2) 有两个不等实根,但此时 x1 ? x 2 ? ?
2

1 ? 0 不合题意 2

44. 已知 a ? 0, b ? 0, c ? 0, 且 b 2 ? 4ac ? b ? 2ac ,则 b ? 4ac 的最小值为__________4
2 2 2 解析: b ? 4ac ? b ? 2ac ? ac ? b ? 1 ? b ? 4ac ? (b ? 2)

2 而 b ? 2ac ? 0 ? b ? 2(b ? 1) ? 0 ? b ? 2 ,又 b ? 0 ,故 (b ? 2) ? 4

45. 已知 f ( x) ? 2 可以表示成一个奇函数 g ( x) 与一个偶函数 h( x) 之和,若关于 x 的不等
x

17 6 x ?x x ?x 2x ?2 x x 2 ?2 2 ?2 2 ?2 (2 ? 2 ? x ) 2 ? 2 , g ( x) ? ?? 解析: h( x) ? ,则 a ? ? x 2 2 2 ? 2?x 2 x ? 2?x 17 3 15 2 x ?x x 令 2 ? 2 ? t ,则由 2 ? [2,4] ,得 t ? [ , ] , a ? ?(t ? ) ,故 a ? ? 6 2 4 t
式 ag ( x) ? h(2 x) ? 0 对于 x ? [1, 2] 恒成立,则实数 a 的最小值是 _____ ?

46. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数, 若 方 程 f(x)=m(m>0) 在 区 间 ?? 8,8? 上 有 四 个 不 同 的 根 x1 , x2 , x3 , x4 , 则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________. -8

-8 解析:数形结合 47. 设函数 f ( x) ?

-6

-4

-2

0

6 2 4

8 类似 54 题

ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的定义域为 D ,若所有点 (s, f (t ))(s, t ? D) 构成

一个正方形区域,则 a 的值为_______-4 解析:由题意知 f ( x) 的值域 [0,

?? ?? ] 与其定义域区间长度相同,即 x1 ? x2 ? 4a 4a

?

? ?? ? ? a ? ?4 a 4a

48. 函数 f ( x) ? x 3 ? 3x ? 1 , A ? {x | t ? x ? t ? 1} , B ? {x || f ( x) |? 1} ,集合 A ? B 只 含有一个元素,则实数 t 的取值范围是__________ (0, 3 ? 1) 解析:直接解不等式 | f ( x) |? 1 。 49. 已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ?1? ? 2 , f ? ? x ? ? 1 ,则不等式 f x 2 ? x 2 ? 1 的解集为 __ _ ? ??, ?1?

? ?

?1, ???

解析:由 f ? ? x ? ? 1 ? f ' ( x) ? 1 ? 0 ? F ( x) ? f ( x) ? x 减函数,
f x2 ? x2 ? 1 ?

? ?

f ( x 2 ) ? x 2 ? f (1) ? 1 ? x 2 ? 1
9 (? ,2) 4

50. 存在 x ? 0使得不等式 x 2 ? 2? | x ? t | 成立, 则实数t 的取值范围是

2 2 2 解析:数形结合或者存在 x ? 0 使 | t ? x |? 2 ? x ? x ? x ? 2 ? t ? ? x ? x ? 2 成立。

51. 已知函数 f(x)= ?

?(2a ? 1) x ? 3a ? 4, x ? t ,无论 t 取何值,函数 f(x)在区间(-∞,+∞) x3 ? x, x ? t ?
1 2

总是不单调.则 a 的取值范围是___________ a ?

3 解析:因必存在 t 使 y ? x ? x 在 x ? t 时为增函数,故若 a ?

1 ,则 x ? t 时 2

f ( x) ? (2a ? 1) x ? 3a ? 4 也单调递增,与任意 t 都不单调矛盾,当 a ?

52. 设函数 f ( x) ?| x | x ? bx ? c,则下列命题中正确命题的序号有 ①③④. (请将你认为正确命题的序号都填上) ①当 b ? 0 时, 函数 f ( x ) 在 R 上是单调增函数; ②当 b ? 0 时, 函数 f ( x ) 在 R 上有最小值; ③函数 f ( x ) 的图象关于点 (0, c ) 对称; 解析:数形结合(分 b ? 0, b ? 0, b ? 0) 53. 若函数 f ( x) ? ④方程 f ( x) ? 0 可能有三个实数根.

1 显然 f ( x) 不单调 2

cx (a, b, c ? R ) (a, b, c, d ? R) , 2 x ? ax ? b 其图象如图所示,则 a ? b ? c ? 5 . 学科

y 2

网a 解析:奇函数得 a ? 0 ,再由 f (1) ? 2, f ' (1) ? 0 ? b ? 1, c ? 4

?1

?2

1

x

54. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,在[0,2]上 f ( x ) 是增函 数 , 则 下 列 结 论 : ① 若 0 ? x1 ? x2 ? 4且x1 ? x2 ? 4 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ; ② 若

0 ? x1 ? x2 ? 4, 且 x1 ? x2 ? 5, 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ③若方程 f ( x) ? m 在[-8,8]内恰有四个不 同的角 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ?8 ,其中正确的有 个 3

-8 解析:类似第 46 题.

-6

-4

-2

0

6 2 4

8

由图看出①③显然正确,对于②,若 x1 ? 2 显然成立,当 x1 ? 2 ,则 x2 ? 3 ? 4 ? x1 ? 2 , 注意在[2,4]单调递减,则 f ( x1 ) ? f (4 ? x1 ) ? f ( x2 ) ,故②也成立 55. 已 知 函 数 f ( x) ? a ln x ? (a ? 1) x 2 ? 1 是 减 函 数 , 则 对 于 任 意 的 x1 , x2 ? (0,??) ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 的充要条件是
解析: f ' ( x) ?

. a ? ?1

2(a ? 1) x 2 ? a ? 0( x ? 0) 恒成立,显然 a ? 0 ,设 0 ? x1 ? x2 ,则 x

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4( x2 ? x1 ) ? ?k ? 4 ? k ? ?4 ? f ' ( x) ? ?4 恒成立,即
f ' ( x) ? 2(a ? 1) x 2 ? a ? ?4( x ? 0) 恒成立,即 2(a ? 1) x 2 ? 4x ? a ? 0( x ? 0) 恒成立,又 x
1 ? 0 ,故必须 a ?1

a ? 0 ,而对称轴 x ? ?

? ? 16 ? 8(a ? 1)a ? 0 ? a 2 ? a ? 2 ? 0 ? a ? ?1
另法:设 0 ? x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? 4 x1 ? f ( x2 ) ? 4 x2 ,构造函数 F ( x) ? f ( x) ? 4 x ,显然

它在 x ? 0 时是单调减函数,故 F ' ( x) ? 0 ? 2(a ? 1) x 2 ? 4x ? a ? 0 ,以下同法一 56. 函数 f ( x) ? 2x ? 3 ,若 0 ? 2a ? b ? 1 ,且 f (2a) ? f (b ? 3) ,则 T ? 3a ? b 的取值
2

范围是____________ ( ?

5 ,0 ) 16

2a 解 析 : 如 图 ,

1.5

b+3

2a ? b ? 3 ? 3 ? b ? ?2a

, ,

1 4 1 1 1 5 T ? 3a 2 ? 2a ? 3(a ? ) 2 ? (0 ? a ? ) ? T ? (? ,0) 3 3 4 16 0 ? 2a ? b ? 1 ? 2a ? ?2a ? 1 ? a ?

57. 设 m ? N ,若函数 f ( x) ? 2 x ? m 10 ? x ? m ? 10 存在整数零点,则 m 的取值集合 为 . ?0,3,14,30?
2

解析:令 10 ? x ? t ? 0 , x ? 10 ? t 当 m ? 0 时,显然适合题意;当 m ? 0 时,由于

x,? Z m ? N ,故 t ? N ,由 2(10 ? t 2 ) ? mt ? m ? 10 ? 0 ? 2t 2 ? mt ? m ? 30 ? 0

?m?

30 ? t 2 30 ? (n ? 1) 2 28 ? ? ? 2n ? 4 (n ? t ? 1) ,则 n 可能取 1,2,4,7,14,28, t ?1 n n

分别检验 m 值,可得结论 【注】关于整数问题,一般有两种途径:1、转化为分子被分母整除问题(本题即是) ;2、 可以先利用不等关系求出整数的一个范围,然后再一一验证.
3 2 58. 已 知 函 数 f ( x) ? x ? x 在 x ? 1 处 切 线 的 斜 率 为 b , 若 g ( x) ? b ln x ?

a ,且 x

g ( x) ? x 2 在 (1,??) 上恒成立,则实数 a 的取值范围是__________ a ? ?1
2 3 2 解 析 : 易 得 b ? 1 , g ( x) ? x ? a ? x ln x ? x ? h( x) , h' ( x) ? ln x ? 1 ? 3x ? 0 对

(1,??) 恒成立(为什么?可以再次求导判断) ,故 a ? h(1) ? ?1
59. 若函数 f ? x ? ?

1 3 x ? a 2 x 满足: 对于任意的 x1 , x2 ??0,1? 都有 | f ? x1 ? ? f ? x2 ? |? 1恒成 3

立,则 a 的取值范围是___________. ? ?

2 ? ? 2 3, 3 3 ? ? 3 ?

解析:对于任意的 x1 , x2 ??0,1? 都有 | f ? x1 ? ? f ? x2 ? |? 1恒成立,即为最大值与最小值的差

? 1 。而 f ' ( x) ? ( x ? a)(x ? a) ,若 a ? 0 , f ( x) 草图为

?a

a

再分 a ? 1 与 a ? 1 讨论即可,对 a ? 0 同理可得 法二:直接分 | a |? 1 和 a ? 1 讨论即可 60. 已 知 g ? x? ? m x ? 2 , f ? x? ? x ?
2

3x 2 ? 4 , 若 对 任 意 的 x1 ? [?1,2] , 总 存 在 x2

1 x2 ?[1, 3] ,使得 g ? x1? ? f ? x2 ? ,则 m 的取值范围是__________ ( ? ,1) 2
解析:即为 g ( x) 的最小值大于 f ( x) 的最小值。 61. 对任意实数 a , b , 定义:F (a, b) ?

1 5 3 如果函数 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? x ? , (a ? b? | a ? b |), 2 2 2
1

h( x) ? ? x ? 2 ,那么函数 G( x) ? F ( F ( f ( x), g ( x)),h( x)) 的最大值等于

? ?h ( x ) x ? 1 ? 1 ? 解析:直接化为分段函数,分为三段 f ( x) ? ? g ( x) x ? ? 2 ? 1 ? f ( x) ? ? x ? 1 ? 2 ?
62. 设 x1 , x 2 是 a x ? bx ? 1 ? 0 的 两 实 根 ; x3 , x 4 是 ax ? bx ? 1 ? 0 的 两 实 根 。 若
2 2 2

x3 ? x1 ? x2 ? x4 ,则实数 a 的取值范围是____________ a ? 1 f ( x) ? a 2 x 2 ? bx ? 1

x3

x1

x2

x4

g ( x) ? ax2 ? bx ? 1
解析:若 a ? 0 ,如图

g ( x1 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? ax1 ? a 2 x1

2

2

? a ? 1 ;若 a ? 0 ,则 g ( x2 ) ? 0 ? f ( x2 ) ? 0 ? a ? 1 ,矛盾

63. 偶函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,当 x ≥0 时, f ( x) ? 2 x ? x 2 ,设函 y ? f ( x), x ? [a, b] 的值域为 [ ? , ? ] 则 b 的值为_ 解析:a= ?

1 a

1 b

____ . b ? ?1

1 1? 5 ,b=-1,对 b 正负讨论,画图后, ? ? 1 ? b ? ?1, b ? 0 2 b

1 ? f (a) ? ? ? 1 1 ? b 当 b ? 0 时,? ? 0,? ? 0 ? a ? 0 , f ( x) 在 [ a, b] 上递减,故 ? 得 a , b 是方 1 b a ? f (b ) ? ? ? a ?
3 2 程 x ? 2 x ? 1 ? 0 两根,但求导后发现该方程只有一根,不合题意;当 b ? ?1 时,

1 ? ? f (a) ? ? 5 ?1 ? 1 1 ? ?a ? ? a 0 ? ? ? 1,0 ? ? ? 1 ,故 ? ?? 2 b a ? f (b) ? 1 ?b ? ?1 ? ? b ?
64. 若函数 f ( x ) ? 解析: f ( x ) ?

x 3 ( a ? 0 )在 ?1, ?? ? 上的最大值为 ,则 a 的值为 x ?a 3
2

3 ?1

1 x? a x

,当 a ? 1 时,

1 3 1 3 ? ? a ? 3 ? 1 ,当 a ? 1 时, ? 1? a 3 3 2 a

?a?

x?m 为奇函数, 当 x ? (a ? 3, r ) 时, 函数 f ( x) 取值范围为 (1,??) , x?2 则 a ? r ? _______ 2 或 5 ? 2 2 x?2 解析:法一:由奇函数定义易得 m ? 2 ,故 f ( x ) ? log a ,当 a ? 1 时,由 f ( x) ? 1 得 x?2 x?2 2a ? 2 2a ? 2 log a ?1? 2 ? x ? ) ,而由于 x 与 f ( x) 之间是一一对应,故 ( 2, x?2 a ?1 a ?1 2a ? 2 ,2) ? (a ? 3, r ) ? a ? 3 ? 2 2 ? (a ? 3, r ) ? a ? 5, r ? 3 ; 同理, 当 0 ? a ? 1 时,( a ?1
65. 已知 f ( x) ? log a

3 (舍去) 4

r ? ?2 ? a ? r ? 5 ? 2 2
法二:当 a ? 1 时, x ? (2,??) 上 f ( x) 单调递减,且 f ( x) ? 0 ,而奇函数决定 x ? (??,?2) 时 ,

f ( x) ? 0 , 要 使 得 值 域 是 (1,??) , 必 有 (a ? 3, r ) ? (2,??) , 故

? f (a ? 3) ? ?? ?a ? 5 ;当 0 ? a ? 1 时,同理先由单调性看 ?? ? ? f (r ) ? 1 ?r ? 3
2 66. 函数 y ? x ? 1 和函数 y ? x ? k 的图象恰有三个交点,则 k 的值为_______1 或

5 4

解析:如图,

明显过点 (?1,0) 或与中间相切两种位置

2 67. 设 函 数 f ( x) ? x ? ax ? a ? 3 , g ( x) ? ax ? 2a . 若 存 在 x0 ? R , 使 得 f ( x0 ) ? 0 与

g ( x0 ) ? 0 同时成立,则实数 a 的取值范围是_______ a ? 7
解析:先考察简单函数 g ( x) ? ax ? 2a ? a( x ? 2) ,对 a 分正负讨论 当 a ? 0 时,要使 g ( x0 ) ? 0 ,则 x0 ? 2 ,即要求存在 x0 ? 2 ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,而 f ( x) 对 称轴为 x?

a a ? 2 ? a ? 4 时 , f ( x) 在 (??,2) 减 函 数 , 则 必 须 最 小 值 ,当 2 2 a a f (2) ? 0 ? a ? 7 ;当 ? 2 ? 0 ? a ? 4 时, f ( ) ? 0 ? a ? ?2 或 a ? 6 不成立;同理, 2 2

当 a ? 0 时, 要求 f ( x) 在 (2,??) 上存在 x0 使得 f ( x0 ) ? 0 , 则 f (2) ? 0 ? a ? 7 与 a ? 0 矛 盾 68. 已 知 f ( x) ? log3 x ? 2 ( x ? [1,9]) , 则 函 数 y ? [ f ( x)] ? f ( x ) 的 最 大 值 是
2 2

_____________.13 解析:注意复合函数定义域 [1,3] 69. 若不等式 a+

x2 ? 1 1 log x ≥ 2 2 在 x∈( , 2)上恒成立, 则实数 a 的取值范围为 x 2 x2 ? 1 1 log x + 2 2 ,在 x∈( ,2)上恒成立.而函数 x 2

a ?1

解析:不等式即为 a≥ ?

1 ? x, ? x ? 1 , ? x2 ? 1 1 ? log x 2 f ( x) = ? +2 2 =? 画出图象,所以 f ( x) 在( ,2)上的最大值 x 2 ? 1 ,1 ≤ x ? 2 ? ?x 为 1,所以 a≥1.

70. 设 a ? 0, a ? 1 ,函数 f ( x) ? a lg( x 解集为_________ (2,3)

2

?2 x ?3)

有最大值,则不等式 loga ( x 2 ? 5x ? 7) ? 0 的

解析:由于 lg( x 2 ? 2 x ? 3) 有最小值 lg 2 ,故 0 ? a ? 1 71. 已知关于 x 的不等式组 1 ? kx ? 2 x ? k ? 2 有唯一实数解,则实数 k 的取值集合是
2

_________. k ? 1 或 k ?

1? 5 2

2 2 解析: 数形结合, 若k ? 0, 则 kx ? 2 x ? k ? 2 只有一个零点, 若k ? 0, 则 kx ? 2 x ? k ? 1

只有一个零点. 72. 设 函 数 f ( x) ? x x ? a , 若 对 于 任 意 x1 , x 2 ? [3,??), x1 ? x2 , 不 等 式

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 x1 ? x2

. a?3

解析:有条件知 f ( x) 在 [3,??) 上是增函数,画出函数图象(分 a ? 0, a ? 0 ) 73. 定义在 [1, ??) 上的函数 f(x)满足:①f(2x)=cf(x)(c 为正常数);②当 2≤x≤4 时,

f(x)=1-|x-3|.若函数的所有极大值点均落在同一条直线上,则 c=

1或2

1 解析:数形结合 注 意 到 f (3) ? 1, f ( ) ?

2

4

8 当 c ? 1 显然成立

3 2

1 1 f (3) ? ; f (6) ? cf (3) ? c 而 这 三 点 共 线 , 故 可 解 得 c c

c ? 1, c ? 2 ,严格意义上还要验证 c ? 2 时是否满足题意,即充分性验证,这里略.
74. 已知三次函数 f ( x) ? 3 解析:由题意 f ?( x) ? ax2 ? bx ? c ≥0 在 R 上恒成立,则 a ? 0 ,△ ? b2 ? 4ac ≤0. ∴
a ? b ? c a2 ? ab ? ac a 2 ? ab ? 1 b2 1 ? b ? 1 ( b )2 ≥ ? a 4 a 4 ? b?a ab ? a2 b ab ? a 2
a ?1

a 3 b 2 a?b?c 的最小值为 x ? x ? cx ? d (a ? b) 在 R 上单调递增,则 3 2 b?a

1? t ? t 2 2 4 ? 1 (t ? 2) ? 1 (t ? 1 ? 3) ? 1 (t ? 1 ? 9 ? 6) ≥3. 令 t ? b (t ? 1) a ? b ? c ≥ t ?1 4 t ?1 4 t ?1 4 t ?1 a b?a
2

1

(当且仅当 t ? 4 ,即 b ? 4a ? 4c 时取“=” 75. 定义在 R 上的函数 f(x)的图象过点 M(-6,2)和 N(2,-6) ,对任意正实数 k,有

f(x+k)<f(x)成立, 则当不等式| f(x-t)+2|<4 的解集为(-4, 4)时, 实数 t 的值为
解析:

. 2

? 6 ? f ( x ? t ) ? 2 ? f (2) ? f ( x ? t ) ? f (?6) ? ?6 ? x ? t ? 2 ? t ? 6 ? x ? t ? 2

?t ? 6 ? ?4 ?t ?2 ? ?t ? 2 ? 4
76. 设周期函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,若 f ( x) 的最小正周期为 3,且满足 f (1) >- 2, f (2) =m-

3 ,则 m 的取值范围是 m

. (?? , ?1)

(0 , 3)

解析: f (1) ? f (?2) ? ?m ?

3 ? ?2 m
1 的图象交点的横 x

77. 方程 x 2 + 2 x -1=0 的解可视为函数 y=x+ 2 的图象与函数 y=

9 坐标. 若 x 4 + ax -9=0 的各个实根 x1 ,x 2 , ?,xk (k≤4)所对应的点 ( xi, ) (i=1, 2, ?, xi

k)均在直线 y=x 的同侧,则实数 a 的取值范围是

. (?? , ?24)

(24 , ??)

解析: 数形结合, 如图

方程 x 4 + ax -9=0 的根是函数 y ?

9 与函 x 9 x

3 数 y ? x ? a 的交点横坐标,要求在直线 y ? x 同侧,当 a ? 0 时,即要求 y ? x 与 y ? 3 ? 的交点(-3,-3)在 y ? x ? a 下方,即 (?3) ? a ? ?3 ? a ? 24; a ? 0 时同理可得

4x ? k ? 2x ?1 78. 函数 f ( x) ? ,若对于任意实数 x1 , x2 , x3 均存在以 f ( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 ) 4x ? 2x ?1
为三边边长的三角形,则实数 k 的取值范围是___________ ?

1 ?k?4 2

解析: 即要求 2 f ( x) min ? f ( x) max ,f ( x) ? 1 ?

(k ? 1)2 x ? 1? 4x ? 2x ?1

k ?1 , 以下对 k ? 1 1 x 2 ? x ?1 2

正负性讨论即可
2 ? ? x ? 2ax ? 3 ? a ? 0 x 79. 关于 的不等式组 ? 解集为 A , Z 为整数集,且 A ? Z 共有两个 ? ? x ?1 ? 2 7 元素,则实数 a 的取值范围为_________ ( ,3] 5

解析: x ? 1 ? 2 ? ?3 ? x ? 1,故对于抛物线要么 (?2,?1) ? ( x1 , x2 ) 或 (?1,0) ? ( x1 , x2 ) 80.设关于 x 的不等式 ax2 ? 8(a ? 1) x ? 7a ? 16 ? 0 最多有 6 个整数解, 且 0 是其中一个解, 则整数 a 的值为_______-2 解析: 7 a ? 16 ? 0 ? a ? ?
2

16 ,且 a ? 0 ,则整数 a 可能的值为-2 或-1,然后验证 7
2

81. 若 函 数 f ( x) ? x ? 2a x ? 4a ? 3 的 零 点 有 且 只 有 2 个 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 . {?1} ? (?



3 3 , ) 2 2

解析:令 t ? x ,转化为方程 t 2 ? 2at ? 4a 2 ? 3 ? 0 有且只有一个正根一个负根,当 ? ? 0 时, a ? ?1 ;当 ? ? 0 时, 4a 2 ? 3 ? 0
82. 若函数

f ( x) ? x 3 ? ax2 (a ? 0) 在区间 (

20 ,?? ) 上是增函数,则使方程 f ( x) ? 1000 3 1000 ,12,13 , x ? 10,11 x2

有整数解的实数 a 的个数是_________4 解析:易得 0 ? a ? 10 , f ( x) ? 1000 ? a ? x ?
83. 已知函数

f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? ... ? x ? 2011? x ? 1 ? x ? 2 ? ... ? x ? 2011,且

f (a 2 ? 3a ? 2) ? f (a ? 1) ,则满足条件的所有整数 a 的和是_______6
解析:易得 f ( x) 为偶函数,故 f (a 2 ? 3a ? 2) ? f (a ? 1) 有以下几种可能:(1)

a 2 ? 3a ? 2 ? a ? 1 ? a ? 1 或 a ? 3 ;(2) a 2 ? 3a ? 2 ? 1 ? a ? a ? 1 ;(3)画出数轴,
利用绝对值的几何意义可知,在区间 [ ?1,1] 所有的函数值都相等,故

?? 1 ? a 2 ? 3a ? 2 ? 1 ?a?2 ? ?? 1 ? a ? 1 ? 1
84. 对 于 连 续 函 数 f ( x ) 和 g ( x) ,函 数 f ( x) ? g ( x) 在 闭 区 间 [ a ,b ] 上的最 .大 .值 .称 为 f ( x ) 与 g ( x) 在 闭 区 间 [ a ,b ] 上的“绝对差” ,记为
a ? x ?b

? ( f ( x), g ( x)). 则

1? x ? 4

? ( x ?1,

1

2 2 x ? x) ? 9

13 9

1 ? x ? 4 时, 解析:

1 2 1 2 ? 0, 而 x 2 ? x ? 0 , ? x ? x2 故 h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? x?4 9 x ?1 9

h' ( x ) ?

? x( x ? 2)(4 x ? 7) 13 ,当 x ? 2 时 h( x) max ? 9( x ? 1) 2 9

85. 定义区间 (c, d ),[c, d ), (c, d ],[c, d ] 的长度均为 d ? c(d ? c) 已知实数 a ? b ,则满足

1 1 ? ? 1 的 x 构成的区间的长度之和为___________2 x?a x?b
解析:法一:特值法,取 a ? 1, b ? ?1

法二:

2 x ? ( a ? b) ? 1, 当 x ? a 或 x ? b 时,f ( x) ? x 2 ? (a ? b ? 2) x ? (a ? b ? ab) ? 0 ( x ? a)(x ? b)

f (a) ? b ? a ? 0 , f (b) ? a ? b ? 0 ,设 f ( x) ? 0 两根为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则 f ( x) ? 0 的
解集为 [a, x2 ] ,区间长度为 x2 ? a ;当 b ? x ? a 时,同理可得 f ( x) ? 0 区间为 [b, x1 ] 长度 为 x1 ? b ,由韦达定理知, x1 ? x2 ? a ? b ? 2 ,故结论成立
86. 已知函数

f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 的导函数是 g ( x) ,设 x1 , x2 是方程

g ( x ) ? 0的两根.若 a ? b ? c ? 0 , g (0) ? g (1) ? 0 ,则 | x1 ? x2 | 的取值范围为
____ ?

?2 ? ,?? ? ?3 ?

解析:

g ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ? 3ax2 ? 2bx ? (a ? b) , g (0) ? g (1) ? 0 ? (a ? b)(2a ? b) ? 0
b b b b 2 b 3 2 3 ? (1 ? )( 2 ? ) ? 0 ? ? ?1 或 ? ?2 , x1 ? x2 ? ( ? ) ? a a a a 3 a 2 4
87. 已知定义在 R 上的可导函数 y ? f ( x) 的导函数为

f / ( x) ,满足 f / ( x) ? f ( x) 且

y ? f ( x ? 1) 为偶函数, f (2) ? 1,则不等式 f ( x) ? ex 的解集为 ______ (0, ??)
解析: f (0) ? 1,

f ' ( x) ? f ( x ) e x f ' ( x) ? f ( x)e x f ( x) f ( x) ? 0 ? ? 0 ? [ x ]'? 0 ? x 递减 x x 2 e (e ) e e

f ( x) f (0) ? 0 ?1 ex e
1 1 1 x , ) ,则正整数 n ? _____2 88. 已知方程 ( ) ? x 3 的解 x0 ? ( n ?1 n 2
解析: x
1 x 1

1 1 1 1 ? ,令 t ? ,则 ( ) t ? , t ? (n, n ? 1) 解为 t ? 1,2 t 8 x 8
m 2 n ?1

89. 已知 m, n ? R ,且 m ? 2n ? 2 ,则 m ? 2 ? n ? 2

的最小值为_________4

解析:法一:即求函数 f ( x) ? x ? 2 x ? (2 ? x) ? 2 2? x 的最小值,注意到 f (1 ? x) ? f (1 ? x) , 不妨设 x ? [1,??) , f ' ( x) ? 2 x ? x ? 2 x ln 2 ? 2 2? x ? (2 ? x) ? 2 2? x ln 2

? 2 x (1 ? x ln 2) ?

4 1 [1 ? (2 ? x) ln 2] ? x {( 2 x ) 2 (1 ? x ln 2) ? 4[1 ? (2 ? x) ln 2]} x 2 2

?

4[1 ? (2 ? x) ln 2] 1 4[1 ? (2 ? x) ln 2] 而 x ? [1,??) , [(2 x ) 2 ? ], (2 x ) 2 ? 4 , 1 ? x ln 2 1 ? x ln 2 2 (1 ? x ln 2)
x

单调递减,故

4[1 ? (2 ? x) ln 2] ? 4 , f ' ( x) ? 0 , f ( x) ? f (1) ? 4 1 ? x ln 2

法二:利用切比雪夫不等式,即 a1 ? a2 ? ... ? an , b1 ? b2 ? ... ? bn ,则 a1bn ? a2 bn?1 ?

1 (a1 ? a 2 ? ... ? a n )( b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? a1b1 ? a 2 b2 ? ... ? a n bn n 1 m 2 n ?1 ? (m ? 2n)( 2 m ? 2 2 n ) ? 2 m ? 2 2 n ? 2 2 m ? 2 n ? 4 则m?2 ? n?2 2 ... ? a n b1 ?
90. 已知 f ( x) ? x2 ? 2x ? c, f1 ( x) ? f ( x), f n ( x) ? f ( f n?1 ( x))(n ? 2, n ? N * ) ,若函数

y ? f n ( x) ? x 不存在零点,则 c 的取值范围是____________ c ?
c? 解析: 当 f ( x) ? x 无解时,

9 4

9 2 , 此时 f ( x) ? x 恒成立, 则 f ( x) ? 2 f ( x) ? c ? x ? f ( x) 4 2 即 f ( x) ? 3 f ( x) ? c ? x ? 0 此时仍无解,由数学归纳法, y ? f n ( x) ? x 无零点。 9 而当 c ? 时, f ( x) ? x 有解,则 y ? f n ( x) ? x 存在零点。 4
91. 指数函数 y ? a 和对数函数 y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 的图象分别为 C1 , C2 ,点 M 在曲
x

线 C1 上,线段 OM (O 为原点)交曲线 C1 于另一点 N . 若曲线 C 2 上存在一点 P ,使点 P 的

横坐标与点 M 的纵坐标相等,点 P 的纵坐标是点 N 横坐标的 2 倍,则点 P 的横坐标为 __________4 解析:设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) , y1 ? a 1 , y2 ? a 2 ,
x x

y1 y 2 a x1 a x2 ? ? ? x1 x2 x1 x2 a 2 x2 a x2 ? x1 ? ? a x2 ? 3 x2 2


P( y1 ,2x2 ) ? (a ,2x2 ) ? 2x2 ? loga a ? x1
x1 x1



y1 ? a x1 ? a 2 x2 ? 4
92. 已知函数 f ( x) 满足 f (a ? b 2 ) ? f (a) ? 2 f 2 (b) 对 a, b ? R 恒成立,且 f (1) ? 0 ,则

f (2011 ) ? ______1005.5
解析: f (0) ? 0 ,令 a ? 0, b ? 1, f (1) ? 2 f (1) ? f (1) ?
2

1 ;令 b ? 1 , 2

f (a ? 1) ? f (a) ? 2 f 2 (1) ? f (a) ?
93. 设函数 f ( x) ? ?

1 2

?2 x ,

x ? 0,

?log 2 x, x ? 0

,若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? af ( x) ? 0 恰有三个不同的实 ____. a 0 ? a ? 1

数解,则实数 a 的取值范围为___

?

?

解析: f ( x) ? 0 ? log2 x ? 0 ? x ? 1 , f ( x) ? a 只要数形结合即可看出 94. 函数 y ? f ( x) ( x ? R, x ? 0) 满足(1) f (2 x) ? 2 f ( x) ; (2)当 2 ? x ? 4 时, ___. 12 f ( x) ? 1 ? x ? 3 .则集合 S ? {x f ( x) ? f (36)}中的最小元素是______ 9 9 解析: f (36) ? 2 f (18) ? 4 f (9) ? 8 f ( ) ? 16 f ( ) ? 4 ,画出函数草图,如图 2 4

8 4 2 1 2 4 8 16 32

95. 二次函数 f ( x ) 的二次项系数为负,且对任意实数 x ,恒有 f ( x) ? f (4 ? x) ,

1 2 1 5 2 2 2 解析:对称轴为 x ? 2 ,而 1 ? 3x ? 2 , 1 ? x ? x ? ?( x ? ) ? ? 2 ,故 2 4

f (1 ? 3x2 ) ? f (1 ? x ? x2 ) ,则 x 的取值范围是

. (?? ,? ) ? (0,?? ) .

1 ? 3x 2 ? 1 ? x ? x 2

96. 若 关 于 x 的 不 等 式 x2 ? 2 ? x ? t 至 少 有 一 个 负 数 解 , 则 实 数 t 的 取 值 范 围 是 ____ ? ?

? 9 ? , 2 ? ____ ? 4 ?

解析:数形结合 x ? t ? 2 ? x

2

与抛物线左边相切到过(0,2)点 97. 已知 a ? 0, a ? 1 ,若函数 f ( x) ? loga (ax2 ? x) 在 [3,4] 是增函数,则 a 的取值范围是 ________ (1,??)

1 ? ?a ? 6 ? 1 1 1 ? 3 时,?a ? 1 ? 4 时, ? a ?1; 解析:g ( x) ? ax2 ? x 对称轴是 x ? , 当 当 2a 2a 2a ? g (3) ? 0 ? ? 1 ? ?a ? 8 ? ?0 ? a ? 1 ? ? ? g (4) ? 0 ? ?
98. 若直角坐标平面内两点 P, Q 满足条件:① P, Q 都在函数 f ( x) 图象上;② P, Q 关于原 点对称,则称点对 ( P, Q) 是函数 f ( x) 的一个“友好点对” (点对 ( P, Q) 与 (Q, P) 看作同一

?2 x 2 ? 4 x ? 1, x ? 0 ? 个“友好点对” ) .已知函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f ( x) 的“友好点对”有____ ? x ,x ? 0 ?e
个 2个 解析:数形结合,即看 y ?

2 , x ? 0 关于原点对称函数 y ? ?2e x , x ? 0 与 x e

-1 -1

y ? 2x 2 ? 4x ? 1, x ? 0 有 几 个 交 点 。 y ? ?2e ?1 ? ?1 ,故有 2 个交点

当 x ? ?1 时 ,

99. 设 f ?x? ? x 2 ? ax , x f ( x) ? 0, x ? R ? x f ( f ( x)) ? 0, x ? R ? ? ,则满足条件 的所有实数 a 的取值范围为_______________ 0 ? a ? 4 解 析 : f ( x) ? 0 ? x ? 0 或 x ? ?a ; f ( f ( x)) ? 0 ? f ( x) ? 0 或 f ( x) ? ?a , 由

?

? ?

?

f ( x) ? 0 ? x ? 0 或 x ? ?a ,则 f ( x) ? ?a 即 x 2 ? ax ? a ? 0 无解或根为 0 或 ? a ,
? ? 0 ? 0 ? a ? 4 ,或 a ? 0
100. 如图为函数 f ( x) ?

x (0 ? x ? 1) 的图象,其在点 M (t ,f (t )) 处的切线为 l , l 与 y

轴和直线 y ? 1 分别交于点 P、Q,点 N(0,1) , 若△PQN 的面积为 b 时的点 M 恰好有两个,则 b 的取值范围为 解析:令 t ? x(0 ? x ? 1), b ? S ? ? .? ,

?1 8 ? ? ? 4 27 ?
y N M P O x Q

1 1 (1 ? x)( 2 x ? x 2 ) 2 2

1 ? (2 ? x)( 2 x ? x 2 ) , g ( x) ? 4b ? x 3 ? 4 x 2 ? 4x 4 32 g ' ( x) ? ( x ? 2)(3x ? 2) , 1 ? 4b ? 27


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