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2.2.2 第一课时(对数函数的概念、图象和性质)


第一课时 (概念、图象和性质)
资中县龙结中学高一数学组

一、知识探究 在本章开始我们研究了生物死亡年数问题: 生 物体内碳14含量P与死亡年数t之间的函数解析式是 t P ? 1 ? 5 7 3 0 , 根据指数与对数的关系可得 t = l o g 1
P = ? ? ?2 ?
5730

2


t是P的函数吗? 如果是函数,你知道叫什么函数? t是P的函数. 它正是我们马上要学习的对数函数.

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二、对数函数的概念 一般地,函数y=logax(a>0且a≠1)叫做对数函数,其 中x是自变量,函数的定义域为(0, +∞).
函 数 y = log 2x、 y = log 1x是 对 数 函 数 吗 ? 你 知 道
2

它们的图象是怎样的吗?你知道它们有哪些性质吗? 这两个函数的图象有怎样的对称关系?

它们是对数函数.

我们先画出图象,再从图象探究它们的性质和它们的关系.

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三、知识探究

函数名称 y=log2x

0.5 -1

1 0

2 1

4 2

8 3

16 4

y=log0.5x
y 2 1

1
y

0

-1

-2
y 2 1 x

-3

-4
y=log2x
P(x,y)

y = log 2 x

y = log 1x

2 1

2

O 12 4

x

O 1 2 4

O 12

x 4(x,-y) P
1 2

y=log 1 x
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三、知识探究 从图象上可以看出:

共同特征:它们都过点(1,0),都在y轴的右方且无限
接近y轴. 不同特征:从左至右,第一个图象在上升, 第二个图象在下降. 对称关系:它们的图象关于x轴对称. 这说明:

它们的自变量的值都大于0;
第一个是增函数,第二个是减函数.

这两个函数的自变量的值相等时,函数值互为相反数.
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四、对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象和性质

a的 范围
y 0<a<1

图象

O
y

a>1

O

各区间 取值 当x>1时, x=1 y<0; (1,0) x 当0<x<1 y = log a x 时, y>0. (0,+∞) R (1,0) 当x>1时, x=1 y>0; y = log ax 当0<x<1 (1,0) x 时,y<0.

值 定义域 域

性 过 定点

质 单调性 在R上 是 减函数 在R上 是 增函数

注意:底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
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五、典型例题
例 1 ( 1 ) 函 数 y = l o g ( a -1 )x 是 减 函 数 , 则 a 的 取 值 范 围 是 ( D ) B. a > 1且 a ≠ 2 C. 0 < a < 1 D.1 < a < 2 1 lg(3x + 1) {x ∣ < x < 1} (2)函 数 f(x)= 的 定 义 域 是 _ _ _ _ _ 3_ _ _ _ _ _ _ _ . _ 1- x 2 ( 3 ) 函 数 y = l o g 1( x - 6 x + 1 7 ) 的 值 域 是 ( C )
2

A. a > 1

A. R

B.[8, + ∞ )

C .( - ∞ , - 3 ]

D.[-3, + ∞ )

分析: (1) 由题意可得0<a-1<1, 所以1<a<2,故选D.
3x + 1 > 0 解 得 - 1 < x < 1. (2)由 题 意 可 得 , 3 1- x > 0

?

(3)∵ x 2 - 6x + 17 = (x - 3)2 + 8≥ 8 ∴log 1(x 2 - 6x + 17)≤ log 1 8.

∴y≤-3, 故选C.

2

2

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五、典型例题
例2 求下列函数的定义域和值域 (1)y = log ax (3)y =
3 2

( 2 ) y = l o g a( 4 - x ) (4)y = l o g 0 . 1( 4 x - 3 )

l o g 2( 3 x - 5 )

解: (1) 由x2>0得x≠0 ∴此函数的定义域为{x︱x≠0}.
∵ x > 0 ,由 对 数 函 数 的 值 域 知 y ? R .
2

∴此函数的值域为R. (2) 由4-x>0得x<4 ∴此函数的定义域为{x︱x<4}.
∵ 4 - x > 0 , 由对数函数的值域知y∈R.
∴ 此 函 数 的 值 域 为 R.

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五、典型例题 (3) 由题意可得3x-5>0,即 x >
∴ 此 函 数 的 定 义 域 为{ x∣x > 5 3 }.
5 3 .

∵3x-5>0, ∴l o g 2( 3 x - 5 )? R . ∴此函数的值域为R.

∴ y ? R.

4x - 3 > 0 4x - 3 > 0 , ∴ 0 < 4 x - 3≤ 1, (4) 由 题 意 可 得 l o g 0 . 1( 4 x - 3 ) 0 ≥
∴ < x≤ 1 . ∴ 此 函 数 的 定 义 域 为{ x∣ < x≤ 1 } . 4 4 3 由 < x≤ 1 可 得 l o g 0 . 1( 4 x - 3 ) 0 ∴y≥0. ≥ 4 3 3

?

?

∴此函数的值域为[0, +∞).
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六、课堂小结 1.对数函数的概念: 2.对数函数的图象和性质:

3.底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.

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七、巩固提升 课堂练习 课堂作业 第73页练习第1、2题 第74页A组第7题

第82页A组第5题

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