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和差化积公式的推导和三角函数的学习方法


和差化积公式:
sinθ +sinφ =2sin[(θ +φ )/2]cos[(θ -φ )/2] sinθ -sinφ =2cos[(θ +φ )/2]sin[(θ -φ )/2] cosθ +cosφ =2cos[(θ +φ )/2]cos[(θ -φ )/2] cosθ -cosφ =-2sin[(θ +φ )/2]sin[(θ -φ )/2]

/>和差化积公式由积化和差公式变形得到,积化和 差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过 加减运算推导而得。 推导过程:
sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ , sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ

把两式相加得到:
sin(α +β )+sin(α -β )=2sinα cosβ 所以,sinα cosβ =[sin(α +β )+sin(α -β )]/2

同理,把两式相减,得到:
cosα sinβ =[sin(α +β )-sin(α -β )]/2

cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ , cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ 把两式相加,得到:cos(α +β )+cos(α -β )=2cosα cosβ 所以,cosα cosβ =[cos(α +β )+cos(α -β )]/2

同理,两式相减,得到
sinα sinβ =-[cos(α +β )-cos(α -β )]/2

这样,得到了积化和差的四个公式:
sinα cosβ =[sin(α +β )+sin(α -β )]/2 cosα sinβ =[sin(α +β )-sin(α -β )]/2 cosα cosβ =[cos(α +β )+cos(α -β )]/2 sinα sinβ =-[cos(α +β )-cos(α -β )]/2

有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变 形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四 个公式中的 α +β 设为 θ ,α -β 设为 φ ,
那么 α =(θ +φ )/2,β =(θ -φ )/2

把 α ,β 分别用 θ ,φ 表示就可以得到和差化积的 四个公式:

sinθ +sinφ =2sin[(θ +φ )/2]cos[(θ -φ )/2] sinθ -sinφ =2cos[(θ +φ )/2]sin[(θ -φ )/2] cosθ +cosφ =2cos[(θ +φ )/2]cos[(θ -φ )/2] cosθ -cosφ =-2sin[(θ +φ )/2]sin[(θ -φ )/2]

积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为 另两个三角函数值的和乘以常数的形式,所以使用积 化和差公式可以达到降次的效果。 在历史上,对数出现之前,积化和差公式被用来 将乘除运算化为加减运算,运算需要利用三角函数表。 运算过程:将两个数通过乘、除 10 的方幂化为 0 到 1 之间的数,通过查表求出对应的反三角函数值, 即将原式化为 10^k*sinα sinβ 的形式,套用积化和 差后再次查表求三角函数的值,并最后利用加减算出 结果。 对数出现后,积化和差公式的这个作用由更加便 捷的对数取代。

学习方法

公式该记住,题该多做点。画画图形分析一下,不 难的学数学是学一种思想,不想英语,语文那样靠背 就能解决问题的,要懂得举一反三,不要老做同一种 类型的题目, 理解为什么那么做, 我这样做为什么错, 我为什么不会,多问几个为什么就解决问题了,关键 靠自己。,还有一个很重要的,数行结合,掌握好这 个也是很重要的一点多做题。 上课认真听讲。 买一些课外书来看。 但不要太多。 王后雄教材全解不错。 本章教学目标 1.(1)任意角的概念以及弧度制.正确 表示象限角、区间角、终边相同的角,熟练地进行角 度制与弧度制的换算. (2)任意角的三角函数定义,三角函数的符号变化规 律,三角函数线的意义. 2.(1)同角三角函数的基本关系和诱导公式. (2)已知三角函数值求角. 3.函数 y=sinx、y=cosx、 y=tanx 以及 y=Asin(ω x+φ )的图像和“五点法”作 图、图像法变换,理解 A、ω 、φ 的物理意义. 4.三角函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期 性. 5.两角和与差的三角函数、倍角公式,能正确地运用 三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等 证明. 本章包括任意角的三角函数、两角和与差的三角函数、 三角函数的图像和性质三部分. 三角函数是中学数学的重要内容,它是解决生产、科 研实际问题的工具,又是进一步学习其他相关知识和

高等数学的基础,它在物理学、天文学、测量学以及 其他各种应用技术学科中有着广泛的应用. 核心知识 一、本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角 的三角函数的概念,同角三角函数之间的基本关系, 正弦、 余弦的诱导公式, 两角和与差及二倍角的正弦、 余弦、正切,正弦、余弦、正切函数的图像和性质, 以及已知三角函数值求角. 二、根据生产实际和进一步学习数学的需要,我们引 入了任意大小的正、负角的概念,采用弧度制来度量 角,实际上是在角的集合与实的集合 R 这间建立了这 样的一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数 (即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数 也都有唯一的一个角(角的弧度数等于这个实数)与 它对应.采用弧度制时, 弧长公式十分简单: l=|α | r(l 为弧长,r 为半径,α 为圆弧所对圆心角的弧度 数),这就使一些与弧长有关的公式(如扇形面积公式 等)得到了简化. 三、在角的概念推广后,我们定义了任意角的正弦、 余弦、正切、余切、正割、余割的六种三角函数.它 们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.由于 角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,三角 函数可以看成是以实数为自变量的函数. 四、同角三 角函数的基本关系式是进行三角变换的重要基础之 一,它们在化简三角函数式和证明三角恒等式等问题 中要经常用到,必须熟记,并能熟练运用. 五、掌握了诱导公式以后,就可以把任意角的三角函 数化为 0°~90°间角的三角函数. 六、以两角和的余弦公式为基础推导得出两角和与差

的正弦、 余弦、 正切公式, 以及二倍角的正弦、 余弦、 正切公式,掌握这些公式的内在联系及推导的线索, 能够帮助我们理解和记忆这些公式,这也是学好本单 元知识的关键. 七、利用正弦线、余弦线可以比较精确地作出正弦函 数、余弦函数的图像,可以看出,因长度在一个周期 的闭区间上有五个点(即函数值最大和最小的点以及 函数值为零的点)在确定正弦函数、余弦函数图像的 形状时起着关键的作用. 学习本章知识,要从两个方面加以注意:一是三角函 数的图像及性质,函数图像是函数的一种直观表示方 法,它能形象地反映函数的各类基本性质,因此对三 个基本三角函数的的图像要掌握,它能帮助你记忆三 角函数的性质, 此外还要弄清 y=Asin(ω x+φ )的图像 与 y=sinx 图像的关系,掌握“A”、“ω ”、“φ ” 的确切含义.对于三角函数的性质,要紧扣定义,从 定义出发,导出各三角函数的定义域、值域、符号、 最值、单调区间、周期性及奇偶性等.二是三角函数 式的变换.三角函数式的变换涉及公式较多,掌握这 些公式要做到如下几点:一要把握各自的结构特征, 由特征促记忆,由特征促联想,由特征促应用;二是 要从这些公式的导出过程抓内在联系,抓变化规律, 这样才能在选择公式时灵活准确.同时还要善于观察 三角函数式在代数结构、函数名称、角的形式等三个 方面的差异,根据差异选择公式,根据差异确定变换 方向和变换方法.,一点经验希望能对你有帮助。 三角函数这一部分知识其实主要是考察几个基本公 式之间的灵活运用 而且,按找教学大纲要求,三角函数方面难度不会很

高。 倒数关系: 商的关系: 平方关系: tanα ·cotα =1 sinα ·cscα =1 cosα ·secα =1 sinα /cosα =tanα =secα /cscα cosα /sinα =cotα =cscα /secα sin2α +cos2α =1


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