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高考数学数列综合题课件


数列综合题

一.等差数列与等比数列的综合 【例 1】 (2006 年福建卷) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N* ). (I)求数列 ?an ? 的通项公式;
b ?1 b b ?1 b ?1 * (II) 若数列{bn}滿足 4 1 4 2 ? 4 n ? (an ? 1) n (n ? N ), 证 明:数列{bn}是等差数列; an n 1 a1 a2 n ? (n ? N* ). (Ⅲ)证明: ? ? ? ? ... ? 2 3 a2 a3 an ?1 2

??an ? 1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列.
? an ? 1 ? 2n.

【分析及解】 (I)? an ?1 ? 2an ? 1(n ? N* ), ? an ?1 ? 1 ? 2(an ? 1), 即
an ? 2n ? 1(n ? N* ).

b ?1 b b ?1 b ?1 * (II)证法 1. 4 1 4 2 ? 4 n ? (an ? 1) n (n ? N ),

? 4(b1 ?b2 ???bn )?n ? 2nbn .
? 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn ,

2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn ?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn ?1.

① ② ③ ④

②-①,得 2(bn?1 ? 1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn , 即 (n ? 1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0,

nbn? 2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0.
③-④,得 即
nbn? 2 ? 2nbn ?1 ? nbn ? 0,
bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,

??bn ? 是等差数列。

? bn ? 2 ? bn ?1 ? bn ?1 ? bn (n ? N* ),

证法 2.同证法 1,得 令 n ? 1, 得 b1 ? 2.

(n ? 1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0

? bn ?1 ? bn ? d ,??bn ? 是等差数列。

设 b2 ? 2 ? d (d ? R), 下面用数学归纳法证明 bn ? 2 ? (n ? 1)d . (1)当 n ? 1, 2 时,等式成立。 (2)假设当 n ? k (k ? 2) 时, bk ? 2 ? (k ? 1)d , 那么 k 2 k 2 bk ?1 ? bk ? ? [2 ? (k ? 1)d ] ? ? 2 ? [(k ? 1) ? 1]d . k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 这就是说,当 n ? k ? 1 时,等式也成立。 根据(1)和(2) ,可知 bn ? 2 ? (n ? 1)d 对任何 n ?N* 都成立。

ak 2k ? 1 2k ? 1 1 (III)? ? k ?1 ? ? , k ? 1, 2,..., n, ak ?1 2 ? 1 2(2k ? 1 ) 2 2 an a1 a2 n ? ? ? ... ? ? . a2 a3 an ?1 2

ak 2k ? 1 1 1 ? ? k ?1 ? ? ak ?1 2 ? 1 2 2(2k ?1 ? 1) 1 1 1 1 1 ? k ? ? . k , k ? 1, 2,..., n, 2 3.2 ? 2k ? 2 2 3 2 a a a n 1?1 1 1 ? ? 1 ? 2 ?? ? n ? ? ? ? 2 ??? n ? a2 a3 an ?1 2 3 ? 2 2 2 ? ?

n 1? 1 ? n 1 ? ?1 ? n ? ? ? , 2 3? 2 ? 2 3 a n 1 a a n ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? n ? (n ? N* ). 2 3 a2 a3 an ?1 2 ?

【例 2】(2005 年· 湖北卷· 19) 文 设数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn=2n2 , {bn } 为等比数列,且 a1 ? b1 , b2 (a2 ? a1 ) ? b1 . (Ⅰ)求数列 {a n } 和 {bn } 的通项公式;
an (Ⅱ)设 c n ? ,求数列 {c n } 的前 n 项和 Tn. bn

【分析及解】 (Ⅰ)当 n ? 1时, a1 ? S1 ? 2; 当n ? 2时, a n ? S n ? S n?1 ? 2n 2 ? 2(n ? 1) 2 ? 4n ? 2, 故 {an}的 通 项公 式为 an ? 4n ? 2,即{an }是a1 ? 2, 公差d ? 4 的 等差数列.
1 设 {bn } 的公比为 q, 则 b2 ? a2 ? a1 ? ? b1qd ? b1 , d ? 4,? q ? . 4 1 2 n ?1 {bn } 的通项公式为 bn ? n?1 . 故 bn ? b1q ? 2 ? n ?1 ,即 4 4

(Ⅱ)? c n ? a n ? 4n ? 2 ? (2n ? 1)4 n ?1 ,
bn 2 4 n ?1

? Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 1 ? 3 ? 41 ? 5 ? 4 2 ? ? ? (2n ? 1)4 n ?1 , 4Tn ? 1? 4 ? 3 ? 4 2 ? 5 ? 43 ? ? ? (2n ? 3)4 n ?1 ? (2n ? 1)4 n 两式相减得
3Tn ? ?1 ? 2(41 ? 4 2 ? 4 3 ? ? ? 4 n ?1 ) ? (2n ? 1)4 n 1 ? [(6n ? 5)4 n ? 5] 3 1 ?Tn ? [(6n ? 5)4 n ? 5]. 9

【例 3】 如图, n 2 个( n ? 4) 正数排成 n 行 n 列方阵,其中每一行的数成等差数列, 每 一列的数成等比数列,并且所有公比 都相 等, 3 1 . 设 a24 ? 1 , a 42 ? , a 43 ? . 8 16 (Ⅰ) 求公比 q 的值; (Ⅱ) 求 a1k ( 1 ? k ? n) 的值; (Ⅲ)求 S n ? a11 ? a22 ? a33 ? ? ? ann 的值.

? a11 , a12 , a13 , a14 ,? , a1n ? ? ? a21 , a22 , a23 , a24 ,? , a2 n ? ? ? a31 , a32 , a33 , a34 ,? , a3n ? ? ? ? a41 , a42 , a43 , a44 ,? , a4 n ? ?????????? ? ? ? ? a , a , a , a ,? , a ? nn ? ? n1 n 2 n3 n 4

【分析及解】(Ⅰ) ? a44 ? a43 ? a43 ? a42 , 1 ? a 44 ? 2a43 ? a 42 ? . 4 a 44 1 1 2 q ? ? , q? . 则 a 24 4 2 (Ⅱ) ? a24 ? a14 q, ?a14 ? 2 . 3 3 ? a 43 ? a13 q , ? a13 ? . 2 1 1 d1 ? a14 ? a13 ? . a11 ? a13 ? 2d1 ? . 则 2 2 1 1 1 ? a1k ? ? (k ? 1) ? ? k . 2 2 2

(Ⅲ) ? akk ? a1k q

k ?1

1 1 ? S n ? 1? ? 2 ? 2 2 2 1 1 Sn ? 1? 2 2 2 两式相减得 1 1 1 1 1 1 1 Sn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2 n ?1 Sn ? 1 ? n . 2

?1? ? k ?? ? , ?2? 1 1 1 ? 3? 3 ? 4 ? 4 ? ? ? n ? n 2 2 2 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? ? n ? 1? ? n ? n ? n?1 2 2 2 2

k

【例 4】 数列 {a n } 满足下列关系式:a1 ? 2a; (a ? 0, a 是常数) ,
a2 a n ? 2a ? ; a n ?1

(Ⅰ)用数学归纳法证明: an ? a ; 1 (Ⅱ) 若数列 {bn } 满足关系式 bn ? .证明数列 {bn } 是等差 an ? a 数列; (Ⅲ)求 lim a n .
n??

【分析及解】 (Ⅰ)用数学归纳法. 当 n ? 1时,由 a1 ? 2a 得 a1 ? a ? 2a ? a ? a ? 0,? a1 ? a , 即 n ? 1时,结论成立. 假设 n ? k 时结论成立,即, a k ? a, 则当 n ? k ? 1 时 ? a2 ? a 2 a?a k ? a ? a k ?1 ? a ? ? 2a ? ? ? a ? a ? ? ?0 ? ? ak ? ak ak ? ∴ a k ?1 ? a ,即 n ? k ? 1时,结论成立。 因此,对所有自然数 n ,都有 an ? a .

? a ?a n ?1 ? a ? a2 ? a2 ? 2a ? ??a ? a? ? ? 0, (Ⅱ)? a n ? a ? ? ? a n ?1 ? a n ?1 a n ?1 ? a n ?1 a n?1 ? a ? a 1 ? bn ? ? ? , a n ? a a?a n?1 ? a ? a?a n ?1 ? a ? 1 1 1 ? ? bn?1 , 即 bn ? ? a a n?1 ? a a 1 ? bn ? bn?1 ? 是一个常数,即数列{ bn }是等差数列. a (Ⅲ)∵{ bn }是等差数列,其通项为 1 n 1 1 1 1 ? ? (n ? 1) ? ? , ? bn ? b1 ? ( n ? 1) ? ? ? ( n ? 1) ? a a a a1 ? a a a a 1 a lim ? a n ? a ? , 于是 n ?? a n ? a an ? a ? ? , n bn n

【例 5】 A 是四元实数集合,将 A 的元素两两相加, 得到六个和数从小到大排列构成公差为 1 的等差数列
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ,并且 x1 x2 , x3 x4 ? 4, x5 x6 ? 2 成等比数

列. 求集合 A .

【分析及解】 数列 ∴ ∵ ∴



x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 , x6 是以 1 为公差的等差

xk ? x1 ? k ? 1

?k

? 1,2,3,4,5,6?
2

x1 x 2 , x3 x 4 ? 4, x5 x6 ? 2 成等比数列

x1 ? ? x1 ? 1? ? ?? x1 ? 4?? x1 ? 5? ? 2? ? ?? x1 ? 2?? x1 ? 3? ? 4?

2 x1 ? x1 ? 2 ? 0 ? x1 ? 1, 或x1 ? ?2 , 设集合 A ? ?a, b, c, d ? 其中a ? b ? c ? d , 比较和数,得 a?d a?b ? a?c ? ?b?d ?c?d . b?c 若 a ? d ? b ? c ,则 x ?1 ? a? 1 , ? 2 ? ? a ? d ? x1 ? 3, ? b ? x1 ? 1 , ? b ? c ? x ? 2, ? ? 1 2 ?? ? ?(b ? d ) ? ( a ? b) ? d ? a ? 4, ? c ? x1 ? 3 , ? (c ? d ) ? (b ? d ) ? c ? b ? 1, ? 2 ? ? x ?7 ?d ? 1 . ? 2

若 a ? d ? b ? c ,则
x ?2 ? a? 1 , ? 2 ? ? a ? d ? x1 ? 2, ?b ? x1 ? 2 , ? b ? c ? x ? 3, ? ? 1 2 ?? ? ?(b ? d ) ? (a ? b) ? d ? a ? 4, ? c ? x1 ? 4 , ? (c ? d ) ? (b ? d ) ? c ? b ? 1, ? 2 ? ? x1 ? 6 ?d ? . ? 2 把 x1 ? 1, ? 2 代入,可得四个结果 ? 1 3 5 7? ? 3 1 1 5? A ? ?0,1,2,4?, ?? , , , ?, ?? ,? , , ?, ?? 2,0,1,2? ? 2 2 2 2? ? 2 2 2 2?

【例 6】已知数列{an}的前 n 项和 Sn ? 1 ? ka n ? k ? 0, n ? N? ? (Ⅰ)用 n、k 表示 an . (Ⅱ)数列 ?bn ? 对任意正整数 n,均有

? bn?1 ? bn?2 ? lg a1 + ? bn?2 ? bn ? lg a3 + ? bn ? bn?1 ? lg a5 ? 0 求证:数列 ?bn ? 为等差数列.
x x (Ⅲ)在(Ⅰ),(Ⅱ)中, k ? 1, bn ? n ? 1 , n ? ? ai bi 求证: n ? 3. 设
i ?1 n

【分析及解】
1 (Ⅰ) ∵ Sn ? 1 ? ka n ,? a 1 ? 1 ? ka 1 ,? a 1 ? , k ?1 an k ? 又 a n ? S n ? S n ?1 ? ka n ?1 ?ka n, ∴ ( n ≥2) , a n ?1 k ? 1
1 ? k ? k n ?1 ?a n ? ? (n ? N* ). ? ? k ?1? k ?1 ? (k ? 1) n (Ⅱ)设数列 ?a n ?的公比为 q,则条件等式可化为:
n ?1

(2b n?1 ?b n ?b n?2 ) lg q ? 0, ? q ? 1,? 2b

所以数列 ?a n ?是等差数列.

n ?1

? b n ?b n ? 2 ,

n ?1 (Ⅲ)由题意知 a n b n ? n , 2 2 3 4 n ?1 xn ? ? 2 ? 3 ??? n , 2 2 2 2 1 2 3 n n ?1 1 ①× 得, x n ? ? 3 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 ,
1 1 1 ? n ?1 ? 1 ①-②得, x n ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n ?1 . 2 2 2 ? 2 ?2
1 1 ? n ?1 ?1 ∴ x n ? 2 ? ? 1 ? 2 ? ? ? n?1 ? ? n . 2 2 ? 2 ?2

① ②

1 n ?1 n?3 ? 2 ? 1 ? n-1 ) ( ? n ? 3 ? n <3. 2 2 2

二.数列与函数的综合 【例 1】 (2006 年安徽卷)数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 (Ⅰ)写出 S n 与 Sn?1 的递推关系式 ? n ? 2 ? ,并求 S n 关于 n 的 表达式; (Ⅱ) f n ? x ? ? 设 项和 Tn .
Sn n ?1 x , bn ? f n/ ? p ?? p ? R ? ,求数列 ?bn ? 的前 n n
1 a1 ? , 2 Sn ? n2 an ? n ? n ? 1? , n ? 1, 2, ???

【分析及解】 (Ⅰ)由 Sn ? n2 an ? n ? n ? 1? ? n ? 2 ? 得:
Sn ? n 2 ( Sn ? Sn ?1 ) ? n ? n ? 1? ,即 (n2 ? 1) Sn ? n2 Sn?1 ? n ? n ? 1? ,
n ?1 n Sn ? Sn?1 ? 1 ,对 n ? 2 成立。由 n n ?1 3 2 n ?1 n n n ?1 Sn ? Sn?1 ? 1 , Sn?1 ? Sn?2 ? 1 , ? , S2 ? S1 ? 1 . 2 1 n n ?1 n ?1 n?2 n ?1 相加得: Sn ? 2S1 ? n ? 1, n n2 1 又 S1 ? a1 ? ,所以 Sn ? ,当 n ? 1 时,也成立。 n ?1 2

所以

Sn n?1 n n?1 / n (Ⅱ)由 f n ? x ? ? x ? x ,得 bn ? f n ? p ? ? np 。 n n ?1 而 Tn ? p ? 2 p 2 ? 3 p3 ? ? ? (n ? 1) p n?1 ? np n ,
pTn ? p 2 ? 2 p3 ? 3 p 4 ? ? ? (n ? 1) p n ? np n?1 ,

p(1 ? p n ) (1 ? P)Tn ? p ? p 2 ? p 3 ? ? ? p n?1 ? p n ? np n?1 ? ? np n?1 1? p
n ?1 n?2 p (1 ? p n ) np n ?1 p ? ? n ? 1? p ? np Tn ? ? ? 2 2 1? p ?1 ? p ? ?1 ? p ?

【例 2】(2004 年· 天津卷· 21) 已知定义在 R 上的函数 f (x) 和数列 {a n } 满足下列条件: a1 ? a, an ? f (an?1 )( n ? 2, 3, 4, ...), a 2 ? a1 , f (a ) ? f (a ) ? k (a ? a )( n ? 2, 3, 4, ...) ,
n n ?1 n n ?1

其中 a 为常数,k 为非零常数. (Ⅰ)令 bn ? a n ?1 ? a n (n ? N*) ,证明数列 {bn } 是等比数列; (Ⅱ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅲ)当 | k |? 1 时,求 lim a n .
n??

【分析及解】 (Ⅰ)由 b1 ? a2 ? a1 ? 0 ,可得 b2 ? a3 ? a2 ? f (a2 ) ? f (a1 ) ? k (a2 ? a1 ) ? 0 . 由数学归纳法可证 bn ? a n ?1 ? a n ? 0 (n ? N*) . 由题设条件,当 n ? 2 时 bn a n ?1 ? a n f (a n ) ? f (a n ?1 ) k (a n ? a n ?1 ) ? ? ? ?k bn ?1 a n ? a n ?1 a n ? a n ?1 a n ? a n ?1 因此,数列 {bn } 是一个公比为 k 的等比数列.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn ? k n ?1b1 ? k n ?1 (a2 ? a1 )(n ? N*)
1 ? k n ?1 (n ? 2) 当 k ? 1 时, b1 ? b2 ? ... ? bn ?1 ? (a 2 ? a1 ) 1? k 当 k ? 1 时, b1 ? b2 ? ... ? bn ?1 ? (n ? 1)( a 2 ? a1 ) (n ? 2) . b1 ? b2 ? ... ? bn ?1 ? (a 2 ? a1 ) ? (a3 ? a 2 ) ? ... ? (a n ? a n ?1 ) ? a n ? a1 1 ? k n ?1 所以,当 k ? 1 时, a n ? a1 ? (a 2 ? a1 ) (n ? 2) . 1? k 上式对 n ? 1也成立。所以,数列 {a n } 的通项公式为 1 ? k n?1 an ? a ? ( f (a) ? a) (n ? N*) 1? k 当 k ? 1 时, a n ? a1 ? (n ? 1)( a 2 ? a1 )

(n ? 2) .

上式对 n ? 1也成立,所以,数列 {a n } 的通项公式为 a n ? a ? (n ? 1)( f (a) ? a) (n ? N*) , (Ⅲ)当 | k |? 1 时
? 1 ? k n ?1 ? f (a) ? a lim an ? lim ? a ? ( f ( a ) ? a ) ?a? ? n ?? n ?? 1? k ? 1? k ?

【例 3】 (2000 年,京皖春季卷) ? ? 1? ? f1 ? x ?, x ? ?0, 2 ? ? ? ? ,其中 已知函数 f ? x ? ? ? ? f 2 ? x ?, x ? ? 1 ,1? ?2 ? ? ? ? ?
1? ? f1 ?x ? ? ?2? x ? ? ? 1 , f 2 ?x ? ? ?2 x ? 2 . 2? ? ?1 ? (Ⅰ) 设 y ? f 2 ?x ?, x ? ? ,1? 的反函数为 y ? g ? x ? , ?2 ? a1 ? 1, a 2 ? g ?a1 ? , ?, a n ? g ?a n?1 ? ,求数列 ?a n ? 的通项公式,并求
lim a n ;
n??

2

? 1? (Ⅱ) 若 x0 ? ?0, ? , x1 ? f1 ?x0 ?, f 2 ?x1 ? ? x0 ,求 x 0 ? 2?

【分析及解】
x ?1 ? (Ⅰ)因为 y ? f 2 ?x ?, x ? ? ,1? 的反函数为 y ? 1 ? , x ? ?0,1? , 2 ?2 ? 2 1? 2? 1 则有 a n ? 1 ? a n ?1 , 即 a n ? ? ? ? a n ?1 ? ? , 3 2? 3? 2 2? 2 1 1 ? 数列 ?a n ? ? 是以 a1 ? 1 ? ? 为首项, ? 为公比的等比数 3? 3 3 2 ? 列. 2 1? 1? an ? ? ? ? ? 3 3? 2? 2 lim a n = . 所以, n?? 3
n ?1

,

2 1? 1? an ? ? ? ? ? 3 3? 2?

n ?1

.

(Ⅱ) 由已知
?1 ? x1 ? ? ,1? , ?2 ?

1? ? ? 1? x 0 ? ?0, ? , x1 ? f1 ?x0 ? ? ? 2? x0 ? ? ? 1 , 2? ? ? 2?

2

2 2 ? ? ? 1? 1? ? f 2 ?x1 ? ? ?2?? 2? x0 ? ? ? 1? ? 2 ? 4? x0 ? ? ? x0 2? 2? ? ? ? ? ? ? 1 2 4 x0 ? 5 x0 ? 1 ? 0 ,解得 x0 ? 1, x0 ? , 整理得 4 1 ? 1? x0 ? . 由 x 0 ? ?0, ? 得 4 ? 2?

【例 4】已知函数 f ( x) ? ln(2 ? x) ? ax 在区间 (0,1) 上是 单调递增函数, (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若数列 ?a n ?满足
a1 ? c ? (0,1),且an?1 ? ln(2 ? an ) ? an (n ? N* ) ,

求证: 0 ? an ? an?1 ? 1 ; (Ⅲ)若数列 ?bn ? 满足
b1 ? d ? (0,1),且bn?1 ? 2 ln(2 ? bn ) ? bn (n ? N* ) ,

问数列 ?bn ? 是否是单调数列,并证明你的结论.

【分析及解】 f ?( x) ?

1 ?a x?2

(Ⅰ)由于 f ( x)在(0,1) 上是增函数, ? f ?( x) ? 0 在 x ? (0,1) 恒成立,
1 1 在 x ? (0,1) ? a ? 0 在 x ? (0,1) 上恒成立 ? a ? ? x?2 x?2 1 ? ? 上恒成立 ? a ? ? ? ? 在 x ? ? 0,1? 上成立. ? x ? 2 ? max



而当 x ? (0,1) 时,
1 1 1 1 ?? ? ?? ?1. x?2 2 2 x?2 1 ? ? 于是, x ? ? 0,1? 时, ? ? ? ?1, ? x ? 2 ? max

?2 ? x ? 2 ? ?1 ? ?1 ?

?a ? 1 .

(Ⅱ)由题意得: a1 ? c ? (0,1) , 假设当 n ? k 时, a k ? (0,1) , 则当 n ? k ? 1 时, a k ?1 ? ln(2 ? a k ) ? a k

? a k ? (0,1) ? (2 ? a k ) ? (1,2) ? ln(2 ? a k ) ? 0, ak ? 0 ? a k ?1 ? 0 . 又 ? f ( x) ? ln(2 ? x) ? x在(0,1) 上 为 单 调 递 增 函 数 ( 此 时 f ?( x) ? 0 ? f ( x) 在 (0,1) 上是单调递增函数) ? f (a k ) ? f (1) ? a k ?1 ? ln(2 ? a k ) ? a k ? 1.
? 0 ? an ? 1, n ? N* .

?

?

又 a n ?1 ? a n ? ln(2 ? a n ) ? 0 ? a n ?1 ? a n ? 1 ? a n ?1 ? a n ? 0 , 故 1 ? an ?1 ? an ? 0 .

(Ⅲ)设 h( x) ? 2 ln(2 ? x) ? x , 2 则 y? ? ? 1在x ? (0,1) 上恒小于 0, x?2 所以 h( x) ? 2 ln(2 ? x) ? x 在 (0,1) 上单调递减函数. ? 0 ? b1 ? 1 ? 1 ? h(1) ? h(b1 ) ? h(0) ? 2
? 0 ? b1 ? 1 ? b2 ? 2? 0 ? 2 ? b2 ? 1, ? ln(2 ? b2 ) ? 0.

则由 b1 ? d ? (0,1) 得: b2 ? 2 ln(2 ? b1) ? d ? b2 ? b1 ? b2 ? d ? 2 ln(2 ? d ) ? 0 , ? b2 ? b1 . 而 b3 ? 2 ln(2 ? b2 ) ? b2 ? b3 ? b2 ? 2 ln(2 ? b2 ) ? b3 ? b2 ? 0 ? b3 ? b2 .
? b2 ? b1 且b3 ? b2 .故 ?bn ? 不是单调数列.

三.递推公式与通项公式

【例 1】 (2006 年陕西卷) 已知正项数列 ?an ? ,其前 n 项和 S n 满足
2 10Sn ? an ? 5an ? 6, 且 a1 , a2 , a15 成等比数列,求数列 ?an ?

的通项 an .

2 【分析及解】∵ 10Sn ? an ? 5an ? 6,

① ②

∴ 10a1 ? a12 ? 5a1 ? 6, ,解之得 a1 ? 2 或 a1 ? 3 .
2 2 由①-②得 10an ? ? an ? an ?1 ? ? 6 ? an ? an ?1 ? ,

2 10Sn ?1 ? an ?1 ? 5an ?1 ? 6, ? n ? 2 ?



? a n ?an?1 ?? a n ?an?1 ? 5? ? 0 ,
∴ a n ?an ?1 ? 5 ? n ? 2 ? .

∵ a n ? an?1 ? 0 ,

当 a1 ? 3 时 , a3 ? 13, a15 ? 73 . 此 时 a1 , a3 , a15 不 成 等 比 数 列 ∴ a1 ? 3 ;
2 当 a1 ? 2 时, a3 ? 12, a15 ? 72 ,此时有 a3 ? a1a15 , ∴ a1 ? 2 , ∴ an ? 5n ? 3 .

【例 2】 (2006 年江苏卷)设数列 {a n } 、 {bn } 、 {cn } 满足: , bn ? an ? an?2 , cn ? a n ? 2a n?1 ? 3a n?2 (n=1,2,3,…) 证明: {a n } 为等差数列的充分必要条件是 {cn } 为等差数列且
bn ? bn ?1 (n=1,2,3,…)

【分析及解】 1? 必要性:设数列 {a n } 是公差为 d 1 的等差数列,则: bn?1 ? bn ? (an?1 ? an?3 ) ? (a n ? a n ? 2 ) = (a n?1 ? a n ) ? (a n?3 ? a n? 2 ) = d 1 - d 1 =0, ∴ bn ? bn ?1 (n=1,2,3,…)成立; 又
cn?1 ? cn ? (an?1 ? an ) ? 2 (a n ? 2 ? a n ?1 ) ? 3(a n?3 ? a n? 2 ) =6 d 1(常数).

∴数列 {cn } 为等差数列。

2 ? 充分性:设数列 {c n } 是公差为 d 2 的等差数列,且 bn ? bn ?1 ∵ c n ? a n ? 2a n?1 ? 3a n? 2 ① ∴ c n ? 2 ? a n ? 2 ? 2a n ?3 ? 3a n ? 4 ② ①-②得:c n ? c n ? 2 ? (a n ? a n ? 2 ) ? 2(a n ?1 ? a n ?3 ) ? 3(a n ? 2 ? a n ? 4 ) ? bn ? 2bn ?1 ? 3bn ? 2
∵ c n ? c n ? 2 ? (c n ? c n ?1 ) ? (c n ?1 ? c n ? 2 ) ? ?2d 2 ∴ bn ? 2bn ?1 ? 3bn ? 2 ? ?2d 2 从而有 bn ?1 ? 2bn ? 2 ? 3bn ?3 ? ?2d 2 ④-③得: (bn ?1 ? bn ) ? 2(bn ? 2 ? bn ?1 ) ? 3(bn ?3 ? bn ? 2 ) ? 0 ∵ (bn ?1 ? bn ) ? 0 , bn ? 2 ? bn ?1 ? 0 , bn ?3 ? bn ? 2 ? 0 ,. ③ ④ ⑤

∴由⑤得: bn ?1 ? bn ? 0 (n=1,2,3,…) , 由此,不妨设 bn ? d 3 (n=1,2,3,…) ,则 a n ? a n ? 2 ? d 3 (常数) 故 c n ? a n ? 2a n ?1 ? 3a n ? 2 ? 4a n ? 2a n ?1 ? 3d 3 ⑥ 从而 cn ?1 ? 4a n ?1 ? 2a n ? 2 ? 3d 3 ? 4a n ?1 ? 2a n ? 5d 3 ⑦ ⑦-⑥得: cn ?1 ? cn ? 2(a n ?1 ? a n ) ? 2d 3 , 1 故 a n ?1 ? a n ? (c n ?1 ? c n ) ? d 3 ? 1 d 2 ? d 3 (常数) (n=1,2,3,…) , 2 2 ∴数列 {a n } 为等差数列。 综上所述: {a n } 为等差数列的充分必要条件是 {c n } 为等差数列且 bn ? bn ?1

【例 3】 (2006 年全国卷 II) 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 且方程 x 2 ? an x ? an ? 0 有一根 为 Sn ? 1 , n ? 1,2,3,? (Ⅰ)求 a1,a2; (Ⅱ) {a n } 的通项公式.

【分析及解】 (Ⅰ)当 n=1 时, x 2 ? a1 x ? a1 ? 0 有一根为 S1-1=a1-1, 1 2 于是 ? a1 ? 1? ? a1 ? a1 ? 1? ? a1 ? 0 ,解得 a1 ? . 2 1 当 n=2 时, x 2 ? a2 x ? a2 ? 0 有一根为 S2 ? 1 ? a2 ? , 2 2 1? 1? 1 ? ? 于是 ? a2 ? ? ? a2 ? a2 ? ? ? a2 ? 0 ,,解得 a2 ? . 2? 2? 6 ? ?

(Ⅱ)由题设 ? Sn ? 1? ? an ? S n ? 1? ? an ? 0 ,
2



2 Sn ? 2Sn ? 1 ? an Sn ? 0 ,.

当 n≥2 时, an ? Sn ? Sn?1 ,代入上式得 Sn?1Sn ? 2Sn ? 1 ? 0 1 1 1 2 由(Ⅰ)知 S1 ? a1 ? ,, S2 ? a1 ? a2 ? ? ? . 2 2 6 3 3 由①可得 S3 ? . 4 n 由此猜想: Sn ? ? n ? N? ? . n ?1



下面用数学归纳法证明这个结论. (i) n ? 1 时已知结论成立.
k (ii)假设 n ? k 时结论成立,即 Sk ? , k ?1 1 k ?1 当 n=k+1 时,由①得 Sk ?1 ? ,即 Sk ?1 ? , 2 ? Sk k ?2 故 n=k+1 时结论也成立. n 综上,由(i)、(ii)可知 Sn ? 对所有正整数 n 都成立. n ?1 n n ?1 1 ? ? 于是当 n≥2 时, an ? Sn ? Sn?1 = , n ?1 n n ? n ? 1?

1 1 又 n=1 时, a1 ? ? ,所以 2 1? 2 1 n ? N? ? . ?an ? 的通项公式 an ? ? n ? n ? 1?

【例 4】(2004 年· 重庆文 22) 5 5 2 设 a1 ? 1, a2 ? , an?2 ? an?1 ? an , (n ? 1, 2,??) 3 3 3 (Ⅰ)令 bn ? an ?1 ? an , (n ? 1, 2......) 求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {nan } 的前 n 项和 S n .

【分析及解】 (Ⅰ)因 bn ?1 ? a n ? 2 ? a n ?1
5 2 ? a n ?1 ? a n ? a n ?1 3 3 2 ? (a n ?1 ? a n ) 3 2 ? bn 3

故 {bn } 是公比为

2 2 的等比数列,且 b1 ? a2 ? a1 ? , 故 3 3 n ?2? bn ? ? ? (n ? 1, 2,?) ?3?

?2? (II)由 bn ? an ?1 ? an ? ? ? 得 ?3? an ? a1 ? ( an ? an ?1 ) ? ? an ?1 ? an ? 2 ?? ? (a2 ? a1 )

n

?2? ?? ? ?3?

n ?1

? 2? ?? ? ? 3?

注意到 a1 ? 1, 可得, a n

2 n ?1 ? ? 2 ? 2? ? 2? ??? ? ? ? ? 2 ?1 ? ? ? ? 3 ? 3? ? 3? ? ? ? ? n 2 ? 3 ? n ?1 (n ? 1,2, ?) 3 n?2

? n ? 2 n ?1 ? 记数列 ? ? 的前 n 项和为 Tn,则 3n ?1 ? ?
2 ?2? Tn ? 1 ? 2 ? ? ? ? n ? ? ? 3 ?3? 2 Tn ? 3
2 n ?1

,
n

2 ?2? ?2? ? 2 ?? ? ?? ? n ?? ? 3 ?3? ?3?
2

1 2 ?2? ?2? ?2? Tn ? 1 ? ? ? ? ??? ? ? ? n? ? 两式相减得, 3 3 ?3? ?3? ?3? n n ? ?2? ? ? 2? ? 3 ?1 ? ? ? ? ? n ? ? , ?3? ? ? 3? ? ? ? n n ? (3 ? n)2n ?2? ? ?2? 故 Tn ? 9 ?1 ? ? ? ? ? 3n ? ? ? 9 ? 3n ?1 ?3? ? ?3? ? ? ? 然而 S n ? a1 ? 2a2 ? ? ? nan ? 3(1 ? 2 ? ? ? n) ? 2Tn

n ?1

n

3 (3 ? n)2n ?1 ? n(n ? 1) ? ? 18 n ?1 2 3

【例 5】(2004 年· 全国卷 I.理.22) 已知数列 {a n }中a1 ? 1 ,且
a 2 k ? a 2 k ?1 ? ?? 1?
k

, a2 k ?1 ? a2 k ? 3k

其中 k ? 1,2,3,? (I)求 a3 ,a5 ; (II)求 ?a n ?的通项公式.

【分析及解】 (I) a2 ? a1 ? ? ?1? ? 0, a3 ? a2 ? 31 ? 3 ,
1

a4 ? a3 ? ? ?1? ? 4, a5 ? a4 ? 32 ? 13.
2

所以, a3 ? 3, a5 ? 13. (II) a2 k ?1 ? a2 k ? 3k ? a2 k ?1 ? ? ?1? ? 3k
k

所以 同理

a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? ? ?1? ? 3k ,
k

a2 k ?1 ? a2 k ?3 ? ? ?1?

k ?1

? 3k ?1

…… a3 ? a1 ? ? ?1? ? 3 所以

? a2k ?1 ? a2k ?1 ? ? ? a2 k ?1 ? a2 k ?3 ? ? ? ? ? a3 ? a1 ?

=(3k+3k-1+…+3)+[(-1)k+(-1)k-1+…+(-1)], 3 1 由此得 a2k+1-a1= (3k-1)+ [(-1)k-1], 2 2

3 k ?1 1 ? (?1) k ? 1. 于是 a2k+1= 2 2 a2k = a2k-1+(-1)k 3k 1 3k 1 k -1 = ? (-1)k -1+(-1)k = ? ? ?1? ? 1 . 2 2 2 2 ?a n ?的通项公式为:

当 n 为奇数时,an = 3

n ?1 2

2
n

? (?1)

n ?1 2

1 ? ? 1; 2

n 32 1 2 当 n 为偶数时, a n ? ? (?1) ? ? 1. 2 2

四.数列与存在性问题

【例 1】 (2006 年广东卷) 已知公比为 q(0 ? q ? 1) 的无穷等比数列 {a n } 各项的和为 9,无 穷等比数列 ?an2 ? 各项的和为
81 . 5

(Ⅰ)求数列 {a n } 的首项 a1 和公比 q ; (Ⅱ)对给定的 k (k ? 1,2,3,? ? ?, n) ,设 T (k ) 是首项为 a k ,公差为
2ak ? 1 的等差数列.求数列 T (2) 的前 10 项之和;

(Ⅲ)设 bi 为数列 T (i ) 的第 i 项, S n ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn ,求 S n , 并求正整数 m(m ? 1) ,使得 lim (注: 无穷等比数列各项的和即当 n ? ? 时该无穷数列前 n 项和的 极限)
Sn 存在且不等于零. m n ?? n

? a1 ?a1 ? 3 ?1 ? q ? 9 ? ? 【分析及解】 (Ⅰ)依题意可知, ? ?? 2 q? a 21 81 ? ? ? 3 ? ?1 ? q 2 5 ?

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知 , a n ? 3 ? ? 2 ? ? ? ?3?

n ?1

, 所 以 数 列 T ( 2) 的 的 首 项 为

t1 ? a 2 ? 2 ,公差 d ? 2a2 ? 1 ? 3 , 1 ( 2) S10 ? 10 ? 2 ? ? 10 ? 9 ? 3 ? 155 ,即数列 T 的前 10 项之和为 2 155.

(Ⅲ) bi = ai ? ?i ? 1??2ai ? 1? = ?2i ? 1?ai ? ?i ? 1? = 3?2i ? 1?? 2 ? ? ? ?3?
n?n ? 1? ?2? , S n ? 45 ? ?18 n ? 27 ?? ? ? 2 ?3?
n

i ?1

? ?i ? 1?

45 18 n ? 27 ? 2 ? n?n ? 1? Sn , lim m = lim m ? ? ? ? m m n ?? n n?? n n 2n ?3?
n

1 n n 当 m=2 时, lim Sm =- ,当 m>2 时 lim Sm =0,所以 m=2 n?? n n?? n 2

【例 2】
an ? 1 n ? 1 ? , bn ? a n ? n. 数列 ?a n ?, ?bn ?满足: a 2 ? 6, a n ?1 n ?1 (Ⅰ)试求出 b1 , b2 , b3 , b4 , 并猜想出数列 ?bn ? 的通项公式;

(Ⅱ)证明你的猜想;
? an ? (Ⅲ)是否存在唯一的实数 p ,使数列 ? ? 成等差数列. ? pn ? 1?

an ? 1 n ? 1 ? 【分析及解】 (Ⅰ)由 a2 ? 6, 及 得 a n ?1 n ?1 a1 ? 1 1 ? 1 6 ?1 2 ?1 ? , a3 ? 15; 同理 a 4 ? 28. ? , a1 ? 1; a3 3 6 2 由 bn ? a n ? n 得 b1 ? 2, b2 ? 8, b3 ? 18, b4 ? 32.

猜想: bn ? 2n 2 . (Ⅱ)用数学归纳法. (1)当 n ? 1时, b1 ? 2 ? 2 ? 12 , 猜想成立; n ? 2 时, b2 ? 8 ? 2 ? 2 2 , 猜想成立; (2)假设 n ? k ?k ? 2? 时, 猜想成立,即 bk ? 2k 2 , 则 a k ? 2k 2 ? k. 那么, n ? k ? 1 时,有 ak ? 1 k ? 1 ? , a k ?1 k ?1
2k 2 ? k ? 1 k ? 1 ? , a k ?1 k ?1
2

a k ?1 ? 2?k ? 1? ? ?k ? 1?

即 bk ?1 ? 2?k ? 1? , ? n ? k ? 1时, 猜想成立;
2

由(1),(2),对 n ? N ? , bn ? 2n 2 成立.

an , 若 ?cn ? 成等差数列,则 c1 , c 2 , c3 成等差数列, (Ⅲ) 设 c n ? pn ? 1 6 1 15 ? ? 即 2c2 ? c1 ? c3 , 2 ? ,解得 p ? ?2. 2 p ?1 p ?1 3p ?1

2n 2 ? n ? ?n, c n ?1 ? c n ? ?1, 因此 p ? ?2. 时, 于是 c n ? 1 ? 2n an ? ? ?c n ? ? 成等差数列. pn ? 1? ?

【例 3】数列{ a n }的前 n 项和 S n 满足: Sn ? 2an ? 3n(n ? N* ) . (Ⅰ)求数列{ a n }的通项公式 a n ; (Ⅱ)数列{ a n }中是否存在三项,它们可以构成等差数列? 若存在,请求出一组适合条件的项;若不存在,请说明理由

【分析及解】 (Ⅰ)当 n ? N* 时有: S n ? 2a n ? 3n,? S n?1 ? 2a n?1 ? 3(n ? 1), 两式相减得: an?1 ? 2an?1 ? 2an ? 3, ? an?1 ? 2an ? 3 , ∴ an ?1 ? 3 ? 2(an ? 3) ,又 a1 ? S1 ? 2a1 ? 3 , ∴ a1 ? 3, a1 ? 3 ? 6 ? 0 . ∴数列{ a n ? 3 }是首项 6,公比为 2 的等比数列. 从而 an ? 3 ? 6 ? 2n ?1 ,∴ an ? 3 ? 2n ? 3 .

(Ⅱ)假设数列{ a n }中存在三项 a r , a s , at , (r ? s ? t ) ,它们可 以构成等差数列, a r ? a s ? at ,?只能是 ar ? at ? 2a s ,
? (3 ? 2 r ? 3) ? (3 ? 2 t ? 3) ? 2(3 ? 2 s ? 3) ,

即 2 r ? 2t ? 2 s ?1 .∴ 1 ? 2t ?r ? 2s ?1?r.(*) ? r ? s ? t , r 、 s 、 t 均为正整数, ∴(*)式左边为奇数右边为偶数,不可能成立. 因此数列{ a n }中不存在可以构成等差数列的三项.

【例 4】 已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? ax 在区间(0,1)上是单调递增函 数. (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; 1 (Ⅱ) a 取最小值时, 当 数列 {a n } 满足:a1 ? b, an?1 ? f (an ) , 2 若 b ? (0,1) ,求证: an ? (0,1) ; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在正实数 p ,使得 an ? p 0? ? 2 对一切正整数 n 都成立?若存在 p ,则求出 p an ? p 的取值范围;若不存在,请说明理由.

【分析及解】 (Ⅰ)? f ?( x) ? ?3x 2 ? a , f (x) 在(0,1)上是增函数 ? f ? ? x ? ? 0, x ? ? 0,1? 恒成立
? f ? ?1? ? 0, ??a ? 3 ? 0 ? ? ? x ? ? 0, x ? ? 0,1? ? ? ? f min ?? ? a ? 3. ? f ? ? 0 ? ? 0. ? a ? 0 ? 即 a 的取值范围为: a ? ?3,??? .

a (Ⅱ) (Ⅰ) 由 知: min ? 3, f ( x) ? ? x 3 ? 3x , n?1 ? ? a

以下用数学归纳法证明: an ? (0,1) .

1 3 3 an ? an . 2 2

当 n ? 1 时, a1 ? b ? (0,1) 为已知, 1 2 设 n ? k 时, ak ? (0,1) ,则 ak ?1 ? ak (3 ? ak ) ? 0 . 2 ? f (x) 在(0,1)上递增,且由归纳假设知: 0 ? ak ? 1, 1 1 1 则 f ? 0 ? ? f ? ak ? ? f ?1? , 即 0 ? a k ?1 ? 1 2 2 2 所以 n ? k ? 1 时, a k ?1 ? (0,1) 成立, 从而当 n?N * 时,总有 an ? (0,1) .

(Ⅲ)由(Ⅱ)知, an ? (0,1) , a 3 1 2 1 1 2 ? n?1 ? ? a n ? (3 ? a n ) ? (3 ? 1) ? 1 . an 2 2 2 2 故 a n ?1 ? a n ,当 n?N * 时, a n 为增函数. a ?p ? 2 对任意 n?N * 都成立, 假定存在 p ,使 0 ? n an ? p 1 必有 an ? p 且 an ? p ? 2(an ? p) ,解得 p ? a n , 3 1 ? an ? a1 ? b ,只须 p ? b . 3 an ? p 1 ? 2 对一切 n?N * 都 于是存在正实数 p ? b ,使得 0 ? an ? p 3 成立.

【例 5】 已知数列 ?an ?中, a1 ? 1 ,且点 P?an , an ?1 ??n ? N ? ? 在 直线 x ? y ? 1 ? 0 上, (Ⅰ) 求数列 ?an ?的通项公式; 若函数 1 1 1 ?n ? N ? , n ? 2? , f ?n ? ? ? ??? n ? a1 n ? a2 n ? an 求函数 f ?n ? 最小值; 1 (Ⅲ) 设 bn ? , S n 表示数列 ?bn ? 的前 n 项和,试问:是否存在 an 关于 n 的整式 g ?n ? ,使得 S1 ? S2 ? ? ? Sn ?1 ? ?Sn ? 1?g ?n ? 对于 (Ⅱ)

一切不小于 2 的自然数 n 恒成立?若存在,写出 g ?n ? 的解析式, 并加以证明, 若不存在,说明理由.

【分析及解】
x ? y ? 1 ? 0 上,则

(Ⅰ) 因为点 P?an , an ?1 ??n ? N ? ? 在直线
an ? an?1 ? 1 ? 0 .

于是,数列 ?an ?是以 a1 ? 1 为首项,1 为公差的等差数列, an ? n . 1 1 1 (Ⅱ) f ? n ? ? , ? ??? n ?1 n ? 2 2n
1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?0, 2n ? 1 2 n ? 2 n ? 1 2 n ? 1 2 n ? 2 所以, f ? n ? 是一单调增数列,又由 n ? 2 可知, f ? 2 ? 最小. f ? n ? 1? ? f ? n ? ? 1 1 7 7 ,? f ? n ?min ? 而 f ? 2? ? ? ? . 3 4 12 12

an ?1 ? an ? 1 .

(Ⅲ) 由 bn ?

1 1 1 1 1 ,得 Sn ? ? ? ? ? ? ,从而 n 1 2 3 n 1 S n ? S n ?1 ? , n nS n ? ? n ? 1? S n ?1 ? S n ?1 ? 1,
? ? ? ? 2S2 ? S1 ? S`1 ? 1,

(n ? 1) Sn?1 ? ? n ? 2 ? S n?2 ? S n?2 ? 1,

以上诸式相加得 nSn ? S1 ? S`1 ? S2 ? ? ? Sn?1 ? n ? 1, 即 S`1 ? S2 ? ? ? Sn?1 ? n( Sn ? 1) ? g (n) ? ( Sn ? 1) , 所以存在满足等式的 g (n) ? n.

五.其它数列综合题

【例 1】已知直线 ax ? by 中, a, b 为 1,2,3,?, n 中任取 的两个数,且 a ? b ,所有不同形式的直线,其斜率构成 数集 ?a n ?( a, b 取不同的值即为形式不同的直线) (Ⅰ)求 ?a n ?的所有项的和 S n ;
n 1 (Ⅱ)设数列 bn ? ,求 lim ? bk , n ?? Sn k ?1

【分析及解】 (Ⅰ) ? ax ? by 中, a, b 从 1,2,3,?, n 中任取,且 a ? b, a 直线的斜率为 , b a 所以,数集 ?a n ?由所有形如 的真分数组成. b 1 1 2 1 2 3 1 2 n ?1 即 ?a n ?的所有项为 , , , , , ,?, , ,?, . 2 3 3 4 4 4 n n n 1 2 n ?1 n ?1 设 cn ? ? ? ? ? , ? n n n 2 n 1 2 3 n ? 1 n ? n ? 1? ? S n ? ? ci ? ? ? ? ? ? ? ? n ? 2? 2 2 2 2 4 i ?1

(Ⅱ)由 bn ?
bn ?

1 得, Sn

4 1? ? 1 ? 4? ? ? n?n ? 1? ? n ?1 n ?

?n ? 2? .

b1 ? b2 ? ? ? bn ?? 1? ? 1 1? 1 ?? ? 1 ? 4 ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? . 2 ? ? 2 3? ? n ? 1 n ?? ?? 1? ? ? 4?1 ? ? n? ? n 1? ? ? lim ? bk ? lim 4?1 ? ? ? 4. n ?? n ?? n? ? k ?1

【例 2】 已知等差数列 ?an ? 中, 公差 d ? 0 , 其前 n 项和为 S n , 且满足: a2 a3 ? 45, a1 ? a4 ? 14. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

Sn (Ⅱ)通过公式 bn ? 构造一个新的数列 ?bn ? ,若 ?bn ? 也是 n?c 等差数列,求非零常数 c; bn n ? N? 的最大值. (Ⅲ)求 f ? n ? ? ? n ? 25? bn?1

?

?

【分析及解】 (Ⅰ)∵{an}为等差数列,∴ a1 ? a4 ? a2 ? a3 ? 14. 又 a2 a3 ? 45, ∴ a2 , a3 是方程 x 2 ? 14 x ? 45 ? 0 的两个实根, 又公差 d ? 0 ,所以 a2 ? a3 , 解方程可求得 a2 ? 5, a3 ? 9 ,
? a1 ? d ? 5 ?a1 ? 1 ∴? . ?? ? a1 ? 2d ? 9 ?d ? 4

∴ an ? 4n ? 3 .

n(n ? 1) ? 4 ? 2n 2 ? n . 2 Sn 1 6 15 2n2 ? n ∴ bn ? = ,即 b1= ,b2= ,b3= , n?c n?c 2?c 3? c 1? c 6 1 15 又 ?bn ? 也是等差数列, b1 ? b3 ? 2b2 , 2? ∴ 即 = ? , 2 ? c 1? c 3 ? c 1 2n 2 ? n 解得 c ? ? (舍去 c = 0),此时 bn ? ? 2n , ?bn ? 成等差 1 2 n? 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 Sn ? n ?1 ?

1 数列,故 c ? ? . 2

2n (Ⅲ) f (n) = (n ? 25)(2n ? 2)

1 n = 2 = n ? 26n ? 25 n ? 25 ? 26 n 1 1 ≤ = . 2 25 ? 26 36 1 25 当且仅当 n ? , n = 5 时取等号, f ? n ? )的最大值为 . 即 ∴ n 36

An ?n, an ?, Bn ?n, bn ?, C n ?n ? 1,0? ,对所有 n ? N? ,满足

【例 3】已知数列 ?a n ?, ?bn ?, ?c n ?及点

(1) bn?1 ? bn ? 6; (2) a1 ? a, b1 ? b; (3) 存在实数 ? ? 0 ,使 An An ?1 ? ? Bn C n . (Ⅰ) 用 a, b, n?n ? 2? 表示 a n ;

(Ⅱ) 当 a ? b ? 0 时,在 a 6 与 a 7 两项中,至少有一项是数列 ?a n ?

的最小项,试求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)设 a 为正整数,在(Ⅱ)的条件下,试证: 数列 ?a n ?中的最小 项为 a 6 与最小项为 a 7 的概率相等.

【分析及解】 (Ⅰ) 由条件(1),数列 ?bn ? 是以 b1 ? b 为首项, 6 为 公差的等差数列,于是 bn ? b ? 6?n ? 1? , a n ?1 ? a n bn ? 0 ? 由条件(3), , ?n ? 1? ? n n ? ?n ? 1? a n ?1 ? a n ? bn . 即 所以有 a n = a1 ? ?a2 ? a1 ? ? ?a3 ? a2 ? ? ? ? ?an ? an?1 ? = a1 ? b1 ? b2 ? ? ? bn?1 ?n ? 1??b ? b ? 6?n ? 1?? =a? 2 = a ? ?n ? 1?b ? 3?n ? 1??n ? 2? = 3n 2 ? ?b ? 9?n ? 6 ? a ? b ?n ? 2? .

(Ⅱ)由 a ? b ? 0 得 a n ? 3n 2 ? ?a ? 9?n ? 6 ? 2a 考虑到二次函数 f ?x ? ? 3x 2 ? ?a ? 9?x ? 6 ? 2a a?9 的图象是开口向上且对称轴为 x ? 的抛物线,由题设, 在 a 6 6 与 a 7 两项中,至少有一项是数列 ?a n ?的最小项,则有 11 a ? 9 15 ?x? ? , 2 6 2 所以, 24 ? a ? 36 .

(Ⅲ) 因为 a n ?1 ? a n ? 6n ? ?a ? 6?,及 30 ? a ? 6 ? 42 ,则有 (1) 当 6n ? 30 ,即 n ? 5 时, a n ?1 ? a n .于是
a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 ? a6

由(1),(2)可知,数列中的最小项应为 min ?a6 , a7 ?. 由 a7 ? a6 ? 30 ? a 及 24 ? a ? 36 , a 为正整数,则
a ? ?24,25,26,?,35,36? 当 a ? ?24,25,26,27,28,29?时, a 6 为最小项;

(2) 当 6n ? 42, 即 n ? 7 时, a n ?1 ? a n ,于是 a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? ?

当 a ? 30 时, a 6 = a 7 ;

当 a ? ?31,32,33,34,35,36?时, a 7 为最小项 数列 ?a n ?中的 a 6 为最小项的概率为 p1 ? 概率为 p 2 ? 概率相等.
7 , a 7 为最小项的 13

7 ,所以数列 ?a n ?中的最小项为 a 6 与最小项为 a 7 的 13

【例 4】已知 a ? 0, a ? 1 。数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,它满足
an ?1 1 ? 1 ? .数列 ?bn ? 中, bn ? an ? lg an 条件 Sn a (Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式。 an ? 1 (Ⅱ)求 lim n ?? a n ?1 ? 1 (Ⅲ)若对一切 n?N 都有 bn ? bn?1 ,求 a 的取值范围.

a ?1 1 ? 1 ? , ? Sn = 【分析及解】 (Ⅰ)∵ Sn a
n

a ? a n ? 1? a ?1

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ?

a ? a1 ? 1?

a ?1 a ? a n ? 1? a ? a n ?1 ? 1? ? ? an 当 n ? 1 时, an ? S n ? S n ?1 ? a ?1 a ?1 ∴ an ? a n n ? N?

? a.

?

?

(Ⅱ)当 0 ? a ? 1时,

an ? 1 an ?1 0 ?1 lim ? lim n ?1 ? ? ?1 n ?? a n ?? a ?1 0 ?1 n ?1 ? 1
n

?1? 1? ? ? an ? 1 an ?1 ? a ? ? 1? 0 ? 1 ? lim n ?1 ? lim 当 a ? 1 时 , lim n n ?? a ? 1 n ?? a ? 1 n ?? a?0 a ?1? n ?1 a?? ? ?a?

(Ⅲ) bn ? a n ? lg a n a n lg a n ? na n lg a 由 bn ? bn ?1 ? na n lg a ? ? n ? 1? a n ?1 lg a 可得 当 0 ? a ? 1时, lg a ? 0 ,则 n ? ? n ? 1? a, 即 a ?
? n 1 ? n ?1 2 n , n ?1

? n ? N? ? , 0 ? a ? 1,? 0 ? a ?

n 对 一 切 n ? N? 都 n ?1

1 成立,此时得 0 ? a ? . 2

当 a ? 1 时, lg a ? 0 ,则 n ? ? n ? 1? a, 即 a ?

n , n ?1

n ? ? 1? n ? N ? ? , a ? 1 , n ?1 n 对一切 n ? N? 都成立,此时得 a ? 1 . ?a ? n ?1 由以上可知,对一切 n ? N ? 都有 bn<bn+1 的 a 的取值范围是 1 0 ? a ? 或 a ? 1. 2


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