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2.3.1 直线与平面垂直的判定 习题课(人教A版必修2)


2.3

直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1 直线与平面垂直的判定

1.下面四个命题,其中真命题的个数是( B ) ①垂直于同一直线的两条直线平行;②垂直于同一直线的 两个平面平行;③平行于同一平面的两个平面平行;④平行于

同一直线的两条直线平行.
A.2 个 C.4 个 B.3 个 D.1 个

解析:②、③、④正确.

2.下列命题(a、b 表示直线,α表示平面)中的真命题是(

A )

a∥b? ? ??a⊥α A. b⊥α? ? a⊥b? ? ??a⊥α C. b∥α? ?

a∥b? ? ??a∥α B. b?α? ? a⊥α? ? ??b∥α D. a⊥b? ?

3.直线 l 和平面α内无数条直线垂直,则(

D )

A.l 和α相互平行
B.l 和α相互垂直 C.l 在α内 D.不确定

解析:直线 l 和平面α内无数条直线垂直,可能是 l∥α,
l ?α,或 l 和α相交(也可能垂直),即 l 和α的位置关系不确定.

重点

线面垂直的判定

1.判定直线和平面是否垂直,通常有三种方法:
(1)定义法:如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直, 则直线 l 与平面α互相垂直,记作 l⊥α.l-平面α的垂线,α -直线 l 的垂面,它们的唯一公共点 P 叫做垂足(线线垂直→线 面垂直); (2)一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条 直线与该平面垂直.用符号语言表示为:若 l⊥m,l⊥n,m∩n =B,m?α,n?α,则 l⊥α;

(3)若两条平行直线中的一条垂直于平面,则另一条也垂直
于这个平面.

2.根据线面垂直的定义知:线面垂直可以得到大量线线
垂 直;由线面垂直的判定定理知:要得到线面垂直就需要线线垂 直.要深切体会线面垂直与线线垂直的相互转化. 3.定理:过一点有且只有一条直线与已知平面垂直,过 一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

线面垂直判定定理的应用 例 1:已知:如图 1,空间四边形 ABCD 中,AB=AC,DB =DC,取 BC 中点 E,连接 AE、DE,求证:BC⊥平面 AED. 证明:∵AB=AC,DB=DC,E 为BC 中点,

∴AE⊥BC,DE⊥BC.
又∵AE 与DE 交于E,∴BC⊥平面AED. 由判定定理可知要证明直 线垂直平面,只需证明直线与平面内的任意两 条相交直线垂直即可. 图1

1-1.如图 2,在四棱锥 P-ABCD 中,PA ⊥底面 ABCD,AC ⊥CD,E 是 PC 上的任一点(除 P 和 C 点外),证明:CD⊥AE.

图2 证明:在四棱锥 P-ABCD 中, ∵PA ⊥底面 ABCD,CD?平面 ABCD, ∴PA ⊥CD. 又∵AC⊥CD,PA ∩AC=A. ∴CD⊥平面 PAC. 而 AE?平面 PAC,∴CD⊥AE.

线面垂直判定定理的应用 例 2:如图 3,已知 PA ⊥⊙O 所在平面,AB 为⊙O 直径, C 是圆周上任一点,过 A 作 AE⊥PC 于 E, 求证:AE⊥平面 PBC. 证明:∵PA ⊥⊙O 所在平面,

BC?⊙O 所在平面,∴PA ⊥BC,
∵AB 为⊙O 直径, ∴AC⊥BC, 又 PA ∩AC=A, ∴BC⊥平面 PAC, 又 AE?平面 PAC,∴BC⊥AE, ∵AE⊥PC, PC∩BC=C,∴AE⊥平面 PBC. 图3

2-1.PA 是垂直于以 AB 为直径的圆所在的平面,C 为圆上
异于 A、B 的任一点,则下列关系不正确的是( B )

A.PA ⊥BC
C.BC⊥平面 PAC

B.AC⊥PB D.PC⊥BC

例 3:如图 5,a∥b,点 P 在 a、b 所确定的平面外,PA ⊥a
于点 A,AB⊥b 于点 B,求证:PB⊥b. 错因剖析:没有正确使用线面垂直的判定定理.

正解:∵PA ⊥a,a∥b,∴PA ⊥b.
又∵AB⊥b,且 PA ∩AB=A, ∴b⊥平面 PAB. 又∵PB?平面 PAB,∴PB⊥b. 图5

3-1.P 为△ABC 所在平面外一点,O 为 P 在平面 ABC 上的

射影.
外心 (1)若 PA =PB=PC,则 O 是△ABC 的_____;

垂心 (2)若 PA 、PB、PC 两两互相垂直,则 O 是△ABC 的_____.

解析:(1)如图 6,∵PO⊥平面 ABC, ∴PA 、PB、PC 在平面 ABC 上的射影分别是 OA、OB、OC.

又∵PA =PB=PC,∴OA=OB=OC. ∴O 是△ ABC 的外心.

图4

(2)如图 7,

∵PO⊥平面 ABC,
∴OA 是 PA 在平面 ABC 上的射影.

又∵PA ⊥PB,PA ⊥PC,
∴PA ⊥平面 PBC.

又∵BC?平面 PBC,
∴PA ⊥BC.∴OA⊥BC.

图5 同理可证 OB⊥AC.
∴O是△ ABC 的垂心.故填垂心.



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