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解排列组合应用题的21种策略


解排列组合应用题的 21 种策略
排列组合问题是高考的必考题,它联系实际生动有趣,但题型多样,思路 灵活,不易掌握,实践证明,掌握题型和解题方法,识别模式,熟练运用,是解 决排列组合应用题的有效途径;下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 1.相邻问题捆绑法: 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列. 例 1. A, B, C, D, E 五人并排

站成一排,如果 A, B 必须相邻且 B 在 A 的右边, 那么不同的排法种数有( A、60 种 B、48 种 ) C、36 种 D、24 种

解析: 把 A, B 视为一人, 且 B 固定在 A 的右边, 则本题相当于 4 人的全排列,
4 A4 ? 24

种,答案: D .

2.相离问题插空排: 元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规 定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例 2.七人并排站成一行, 如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是 ( ) A、1440 种 B、3600 种 C、4820 种
A55

D、4800 种
A62

解析:除甲乙外,其余 5 个排列数为 不同的排法种数是
5 2 A5 A6 ? 3600

种,再用甲乙去插 6 个空位有

种,

种,选 B .

3.定序问题缩倍法: 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法. 例 3. A, B, C, D, E 五人并排站成一排,如果 B 必须站在 A 的右边( A, B 可以 不相邻)那么不同的排法种数是( A、24 种 B、60 种 ) C、90 种 D、120 种

解析: B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同,所以题设的排法只是 5

1/9

1 5 A5 ? 60 个元素全排列数的一半,即 2 种,选 B .

4.标号排位问题分步法: 把元素排到指定位置上, 可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元 素,如此继续下去,依次即可完成. 例 4.将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格里,每格填一个 数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有( A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种 )

解析:先把 1 填入方格中,符合条件的有 3 种方法,第二步把被填入方格的 对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一 种填法,共有 3× 3× 1=9 种填法,选 B . 5.有序分配问题逐分法: 有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法. 例 5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需 2 人承担,乙丙各需一人承担,从 10 人中选出 4 人承担这三项任务,不同的选法种数是( A、1260 种 B、2025 种 C、2520 种 ) D、5040 种

解析:先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务,再从剩下的 8 人中选 1 人承担 乙项任务,第三步从另外的 7 人中选 1 人承担丙项任务,不同的选法共有
2 1 1 C10 C8C7 ? 2520

种,选 C .

(2)12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口 4 人, 则不同的分配方案有( A、
4 4 C12 C84C4

) B、
4 4 3C12 C84C4





C、

4 3 C12 C84 A3



4 4 C12 C84C4 3 D、 A3 种

答案: A . 6.全员分配问题分组法: 例 6.(1)4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去,每所学校至少去一名,则 不同的保送方案有多少种?
2/9

解析:把四名学生分成 3 组有

C42

种方法,再把三组学生分配到三所学校有

A33

种,故共有

2 3 C4 A3 ? 36

种方法.

说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. (2)5 本不同的书,全部分给 4 个学生,每个学生至少一本,不同的分法 种数为( ) B、240 种 C、120 种 D、96 种

A、480 种 答案: B .

7.名额分配问题隔板法: 例 7:10 个三好学生名额分到 7 个班级,每个班级至少一个名额,有多少种 不同分配方案? 解析:10 个名额分到 7 个班级,就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分 成 7 堆,每堆至少一个,可以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板,每一种 插法对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为 8.限制条件的分配问题分类法: 例 8.某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国 西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方 案? 解析:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情 况: ①若甲乙都不参加,则有派遣方案 甲有 3 种方法,然后安排其余学生有 参加同理也有
3 3 A8

C96 ? 84

种.

A84

种;②若甲参加而乙不参加,先安排
3 3 A8

A83

方法,所以共有

;③若乙参加而甲不

种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有 7 种方法,然后再安
A82

排其余 8 人到另外两个城市有 数为

种,共有

7 A82

方法.所以共有不同的派遣方法总

3 3 A84 ? 3 A8 ? 3 A8 ? 7 A82 ? 4088

种.

9.多元问题分类法: 元素多, 取出的情况也多种, 可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数,
3/9

最后总计. 例 9(1)由数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的六位数,其中个位 数字小于十位数字的共有( A、210 种 B、300 种 ) C、464 种 D、600 种
A55

解析:按题意,个位数字只可能是 0,1,2,3,4 共 5 种情况,分别有
1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 A4 A3 A3 , A3 A3 A3 , A2 A3 A3 , A3 A3

个,

个,合并总计 300 个,选 B .

(2)从 1,2,3…,100 这 100 个数中,任取两个数,使它们的乘积能被 7 整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种? 解析: 被取的两个数中至少有一个能被 7 整除时, 他们的乘积就能被 7 整除, 将 这 100 个 数 组 成 的 集 合 视 为 全 集 I, 能 被 7 整 除 的 数 的 集 合 记 做
A ? ?7,14, 21,?98?

共 有 14 个 元 素 , 不 能 被 7 整 除 的 数 组 成 的 集 合 记 做 共有 86 个元素;由此可知,从 A 中任取 2 个元素的取法有
1 1 C14 C86

A ? ?1, 2,3, 4,? ,100?
2 C14

,从 A 中任取一个,又从 A 中任取一个共有
2 1 1 C14 ? C14 C86 ? 1295

,两种情形共符合要求的

取法有

种.

(3)从 1,2,3,…,100 这 100 个数中任取两个数,使其和能被 4 整除的 取法(不计顺序)有多少种? 解析:将
I ? ?1, 2, 3 ? ,100 ?

分成四个不相交的子集,能被 4 整除的数集

A ? ?4, 8,12, ? 100 ? ;能被 4 除余 1 的数集 B ? ?1,5,9,?97? ,能被 4 除余 2 的数



C ? ?2, 6,?,98?

,能被 4 除余 3 的数集

D ? ?3, 7,11,? 99?

,易见这四个集合中

每一个有 25 个元素;从 A 中任取两个数符合要;从 B, D 中各取一个数也符合要 求;从 C 中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合要求;所以符合要求 的取法共有
2 1 1 2 C25 ? C25 C25 ? C25

种.

10.交叉问题集合法: 某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式
n( A? B) ? n( A)? n( B)? n( A ? . B )
4/9

例 10.从 6 名运动员中选出 4 人参加 4× 100 米接力赛,如果甲不跑第一棒, 乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案? 解析:设全集={6 人中任取 4 人参赛的排列} ,A={甲跑第一棒的排列} , B={乙跑第四棒的排列} ,根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:
4 3 3 2 n( I ) ? n( A) ? n( B) ? n( A ? B) ? A6 ? A5 ? A5 ? A4 ? 252 种.

11.定位问题优先法: 某个或几个元素要排在指定位置, 可先排这个或几个元素; 再排其它的元素。 例 11.1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不 同的排法有多少种? 解析:老师在中间三个位置上选一个有
A44
1 A3

种,4 名同学在其余 4 个位置上有

种方法;所以共有

1 4 A3 A4 ? 72

种。.

12.多排问题单排法: 把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。 例 12.(1)6 个不同的元素排成前后两排,每排 3 个元素,那么不同的排法 种数是( A、36 种 ) B、120 种 C、720 种 D、1440 种

解析: 前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成 6 个不同的元素排成一 排,共
6 A6 ? 720

种,选 C .

(2)8 个不同的元素排成前后两排,每排 4 个元素,其中某 2 个元素要排 在前排,某 1 个元素排在后排,有多少种不同排法? 解析:看成一排,某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个,有 个元素排在后半段的四个位置中选一个有 有
A55
1 A4

A42

种,某 1

种,其余 5 个元素任排 5 个位置上

种,故共有

1 2 5 A4 A4 A5 ? 5760

种排法.

13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: 例 13.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台, 其中至少要甲型和乙 型电 视机各一台,则不同的取法共有 ( A、140 种 B、80 种 ) C、70 种
5/9

D、35 种

解析 1:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种 型号的电视机,故不同的取法共有
3 3 3 C9 ? C4 ? C5 ? 70

种,选. C

解析 2:至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况:甲型 1 台乙型 2 台;甲型 2 台乙型 1 台;故不同的取法有 14.选排问题先取后排: 从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定的位置上,可用先取 后排法. 例 14.(1)四个不同球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒中,则恰有一个空 盒的放法有多少种? 解析:先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有 在四个盒中每次排 3 个有
3 A4 1 1 2 C52C4 ? C5 C4 ? 70

台,选 C .

C42

种,再排:

种,故共有

2 3 C4 A4 ? 144

种.

(2)9 名乒乓球运动员,其中男 5 名,女 4 名,现在要进行混合双打训练, 有多少种不同的分组方法? 解析: 先取男女运动员各 2 名, 有 中排法,故共有
2 2 C52C4 A2 ? 120
2 C52C4

种, 这四名运动员混和双打练习有

A22

种.

15.部分合条件问题排除法: 在选取的总数中,只有一部分合条件,可以从总数中减去不符合条件数,即 为所求. 例 15.(1)以正方体的顶点为顶点的四面体共有( A、70 种 B、64 种 C、58 种 D、52 种
C84



解析:正方体 8 个顶点从中每次取四点,理论上可构成

四面体,但 6 个

表面和 6 个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体,所以四面体实际共有
C84 ? 12 ? 58

个.

(2)四面体的顶点和各棱中点共 10 点,在其中取 4 个不共面的点,不同的 取法共有( A、150 种 ) B、147 种 C、144 种
6/9

D、141 种

解析:10 个点中任取 4 个点共有

4 C10

种,其中四点共面的有三种情况:①在
C64

四面体的四个面上,每面内四点共面的情况为

,四个面共有

4 4C6

个;②过空

间四边形各边中点的平行四边形共 3 个;③过棱上三点与对棱中点的三角形共 6 个.所以四点不共面的情况的种数是 16.圆排问题单排法: 把 n 个不同元素放在圆周 n 个无编号位置上的排列,顺序(例如按顺时钟) 不同的排法才算不同的排列,而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为 是相同的,它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分,下列 n 个普通 排列:
4 4 C10 ? 4C6 ? 3 ? 6 ? 141

种.

a1 , a2 , a3 ?, an ; a2 , a3 , a4 ,?, an ,?; an , a1,?, an?1

在圆排列中只算一种, 因为旋转

n! 后可以重合,故认为相同,n 个元素的圆排列数有 n 种.因此可将某个元素固定

展成单排,其它的 n-1 元素全排列. 例 16.5 对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有多少种不同站法? 解析:首先可让 5 位姐姐站成一圈,属圆排列有
A44

种,然后在让插入其间,

5 每位均可插入其姐姐的左边和右边, 有 2 种方式, 故不同的安排方式 24 ? 2 ? 768

种不同站法.
1 m An 说明:从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有 m 种不同排法.

17.可重复的排列求幂法: 允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可逐 一安排元素的位置,一般地 n 个不同元素排在 m 个不同位置的排列数有 m 种方 法. 例 17.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习共有多少种不同方法? 解析:完成此事共分 6 步,第一步;将第一名实习生分配到车间有 7 种不同 方案,第二步:将第二名实习生分配到车间也有 7 种不同方案,依次类推,由分 步计数原理知共有 7 种不同方案.
7/9
6 n

18.复杂排列组合问题构造模型法: 例 18.马路上有编号为 1,2,3…,9 九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不 能关掉相邻的二盏或三盏, 也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多 少种? 解析: 把此问题当作一个排对模型,在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮 的灯
C53

种方法,所以满足条件的关灯方案有 10 种.

说明:一些不易理解的排列组合题,如果能转化为熟悉的模型如填空模型, 排队模型,装盒模型可使问题容易解决. 19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法: 例 19.设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的盒子 现将这 5 个球投入 5 个盒子要求每个盒子放一个球, 并且恰好有两个球的号码与 盒子号码相同,问有多少种不同的方法? 解析:从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有
C52

种,还剩下 3 个球与 3 个盒子

序号不能对应,利用枚举法分析,如果剩下 3,4,5 号球与 3,4,5 号盒子时, 3 号球不能装入 3 号盒子,当 3 号球装入 4 号盒子时,4,5 号球只有 1 种装法, 3 号球装入 5 号盒子时, 4, 5 号球也只有 1 种装法, 所以剩下三球只有 2 种装法, 因此总共装法数为
2C52 ? 20

种.

20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法: 例 20.(1)30030 能被多少个不同偶数整除? 解析:先把 30030 分解成质因数的形式:30030=2× 3× 5× 7× 11× 13;依题意偶 因数 2 必取,3,5,7,11,13 这 5 个因数中任取若干个组成成积,所有的偶因 数为
0 1 3 5 C5 ? C5 ? C52 ? C5 ? C54 ? C5 ? 32

个.

(2)正方体 8 个顶点可连成多少队异面直线? 解析: 因为四面体中仅有 3 对异面直线,可将问题分解成正方体的 8 个顶点 可构成多少个不同的四面体, 从正方体 8 个顶点中任取四个顶点构成的四面体有
C84 ? 12 ? 58

个,所以 8 个顶点可连成的异面直线有 3× 58=174 对.
8/9

21.利用对应思想转化法: 对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法, 它可以将复杂的问题转化为 简单问题处理. 例 21.(1)圆周上有 10 点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少 个? 解析: 因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点,一个圆的内 接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点,于是问题就转化为圆周上的 10 个点可以确定多少个不同的四边形,显然有 这些点为端点的弦相交于圆内的交点有
4 C10 4 C10

个,所以圆周上有 10 点,以

个.

(2)某城市的街区有 12 个全等的矩形组成,其中实线表示马路,从 A 到 B 的最短路径有多少种?
B

A

解析:可将图中矩形的一边叫一小段,从 A 到 B 最短路线必须走 7 小段,其 中:向东 4 段,向北 3 段;而且前一段的尾接后一段的首,所以只要确定向东走 过 4 段的走法,便能确定路径,因此不同走法有
C74

种.

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