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第28届全国中学生物理竞赛决赛试题及答案


28 届决赛试题及答案

第 28 届全国中学生物理竞赛决赛试题

一、 (15 分)在竖直面内将一半圆形光滑导轨固定在 A、B 两点,导轨直径 AB=2R,AB 与竖直方向间的夹角为 60° , 在导轨上套一质量为 m 的光滑小圆环, 一劲度系数为 k 的 轻而细的光滑弹性绳穿过圆环,其两端系与 A、B 两点,

A

O θ C C' 图 28 决—1 60° B D

如图 28 决—1 所示。当圆环位于 A 点正下方 C 点时,弹性绳刚好为原长。现将 圆环从 C 点无初速度释放,圆环在时刻 t 运动到 C'点,C'O 与半径 OB 的夹角为 θ,重力加速度为 g.试求分别对下述两种情形,求导轨对圆环的作用力的大小: (1)θ=90° (2)θ=30°

二、 (15 分)如图 28 决—2 所示,在水平地面上有一质 量为 M、长度为 L 的小车,车内两端靠近底部处分别固 定两个弹簧,两弹簧位于同一直线上,其原长分别为 l1 和 l2,劲度系数分别为 k1 和 k2;两弹簧的另一端分别放
k1 m1 L m2 k2

图 28 决—2

着一质量为 m1、m2 的小球,弹簧与小球都不相连。开始时,小球 1 压缩弹簧 1 并保持整个系统处于静止状态,小球 2 被锁定在车底板上,小球 2 与小车右端 的距离等于弹簧 2 的原长。 现无初速释放小球 1, 当弹簧 1 的长度等于其原长时, 立即解除对小球 2 的锁定;小球 1 与小球 2 碰撞后合为一体,碰撞时间极短。 已知所有解除都是光滑的;从释放小球 1 到弹簧 2 达到最大压缩量时,小车移 动力距离 l3.试求开始时弹簧 1 的长度 l 和后来弹簧 2 所达到的最大压缩量 Δl2.

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三、 (20 分)某空间站 A 绕地球作圆周运动,轨道半径为
转移轨道

B

rA=6.73× 106m.一人造地球卫星 B 在同一轨道平面内作圆周
地球

A

运动,轨道半径为 rB=3rA/2,A 和 B 均沿逆时针方向运行。 现从空间站上发射一飞船 (对空间站无反冲) 前去回收该卫
图 28 决—3

星,为了节省燃料,除了短暂的加速或减速变轨过程外,飞船在往返过程中均 采用同样形状的逆时针椭圆转移轨道,作无动力飞行。往返两过程的椭圆轨道 均位于空间站和卫星的圆轨道平面内,且近地点和远地点都分别位于空间站和 卫星的轨道上,如图 28 决—3 所示。已知地球半径为 Re=6.38× 106m,地球表面 重力加速度为 g=9.80m/s2.试求: (1)飞船离开空间站 A 进入椭圆转移轨道所必须的速度增量 ΔvA,若飞船在远 地点恰好与卫星 B 相遇, 为了实现无相对运动的捕获, 飞船所需的速度增量 ΔvB. (2)按上述方式回收卫星,飞船从发射到返回空间站至少需要的时间,空间站 A 至少需要绕地球转过的角度。

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四、 (15 分)摩尔质量为 μ 的某种理想气体,从左向右流过一内壁光滑的长直水 平绝热导管,导管内横截面的面积为 S,一摩尔绝对温度为 T 的该气体的内能为 5RT/2,式中 R 为普适气体常量。 (1)将一加热装置固定放置在管得中部,以恒定功率 W 给气体加热,如图 28 决—4(a)所示。假设该装置对气流的阻力可以忽略,当气流稳定后,管中气 体虽然在加热装置附近的状态不均匀,但随着与加热装置距离的增加而逐渐趋 于均匀。在加热装置左边均匀稳流区域中,气体的压强为 P0,温度为 T0,向右 流动的速度为 v0.已知加热装置右边均匀稳流区域中气体的压强为 P1,试求该区 域气体的温度 T1. (2)现将管中的加热装置换成一多空塞,如图 28 决—4(b)所示。在气流稳 定后,多孔塞左边气体的温度和压强分别为 T0 和 P0,向右流动的速度为 v0;多 孔塞右边气体的压强为 P2 (P2<P0) .假设气体在经过多孔塞的过程中与多孔塞没 有任何形式的能量交换,求多孔塞右边气体的流速 v2.
v0 P0 , T 0
加 热 装 置

P1 图 28 决—4

v0 P0,T0

多 孔 塞

P2

(a)

(b)

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五、 (15 分)如图 28 决—5 所示,一个三棱镜 ABC 的顶角 α 小 于 90° .假设光线在纸面内以任意入射角入射到 AB 面上的 D 点, 经一次折射后, 又入射到 AC 面上, 且能在 AC 面上发生全反射。
B D

A α

C 图 28 决—5

已知光线在 AC 面上发生全反射的临界角为 Θ(Θ<45° ) ,AC 边足够长。试求下 列两种情形下分别求三棱镜顶角 α 的取值范围: (1)如果光线仅从 AB 面上法线的下方入射; (2)如果光线仅从 AB 面上法线的上方入射。

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六、 (20 分)一电荷量为 q 的点电荷产生的电场在距离它为 r 处的电场强度的大 小为 E ? k
e

q r2

,式中 ke 为常量;一条长直导线中通有电流 i 时,它产生的磁场在与
m

导线相距为 r(远小于长直导线的长度)处的磁感应强度的大小为 B ? k km 也为常量。 上述两常量比值的平方根
ke km

2i r

,式中

可用如图 28 决—6 所示的实验装置, 通过低频

(约几百赫兹)的电场和磁场来测定。图中 A、B 表示水平放置的、电容为 C1 的平行板电容器的极板,极板为正方形,边长为 a1(极板间距远小于 a1) 。极板 B 固定,极板 A 悬挂在天平臂一端的挂钩上,M、N 为两根水平放置的平行长直 金 属 细 杆 , 长 度 均 为 a2 , 两 杆 间 的 距 离 为 h (h<<a2) 。杆 N 固定,杆 M 悬挂于天平臂的另一 挂钩上。C2 为一个已知电容器的电容,K 是电键。 交流电源的电压 u 与时间 t 的关系为 u=U0cos2πft,
A B C1 a1 u K 图 28 决—6 M J N C2 J a2 h

其中 f 表示交流电的频率。各部分通过导线如图链接。已知在电键 K 打开时, 天平已调节至平衡。接通电源后,天平将失去平衡。通过调节交流电源的频率, 可使天平重新达到平衡(注意:天平具有惯性,实际上是交流电的平均效果使 天平平衡) ,试求
ke km

的表达式。 【图中的双线可视为刚性绝缘杆,单线视为导线,

曲线表示柔软无质量的导线。不考虑电场、磁场的边缘效应。不考虑导线磁场 对 M 和 N 的影响。 】

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七、 (20 分)两个劲度系数均为 k 的相同的轻质金属弹簧,上端固定在水平绝缘 横杆上,竖直下垂,下端与一质量为 m 的匀质刚性
u

金属杆连接,金属杆的长度为 l,杆长与两弹簧的 间距相等。将金属杆置于磁感应强度为 B 的匀强磁 场中,磁场方向垂直于纸面向内。杆、弹簧和交流

k

u

k B

C L (b)

l (a)

图 28 决—7

电源 u 构成一闭合电路,金属杆和弹簧的电阻可忽略;且回路电流的磁场远弱 于外磁场 B,如图 28 决—7(a)所示。在图 28 决—7(b)中,一电感和一电容 并连后接到同样地交流电源 u 上。若在图 28 决—7 所示的两回路中,在任何时 刻,通过电源的电流都一样。试将图(b)中的电容 C 和电感 L 用图(a)中的 装置的已知参量表示。

八、 (20 分) 朱棣文等三位科学家因成功实现中性原子的磁光俘获而获得了 1997 年诺贝尔物理学奖。对以下问题的研究有助于理解磁光俘获的机理(注意:本 问题所涉及的原子的物理特性参数,实际上都是在对大量原子或同一原子的多 次同类过程进行平均的意义上加以理解的) 。 (1)已知处于基态的某静止原子对频率为 ν0 的光子发生共振吸收,并跃迁到它 的第一激发态,如图 28 决—8(a)所示。然而,由于热运动,原子都处于运动 中。假设某原子一速度 v0 运动,现用一束激光迎头射向该原子,问恰能使该原 子发生共振吸收的激光频率 ν 为多少?经过共振吸收,该原子的速率改变了多 少?(hν0<<mc2,m 是原子质量,h=6.63× 10-34J?s)

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(2 ) 原子的共振吸收是瞬时的, 但跃迁到激发态的原子一般不会立即回到基态, 而会在激发态滞留一段时间,这段时间称为该能级的平均寿命。已知所考察原 子的第一激发态的平均寿命为 τ.若该原子能对迎头射来的激光接连发生共振吸 收,且原子一旦回到基态,便立即发生共振吸收,如此不断重复,试求该原子 在接连两次刚要发生共振吸收时刻之间的平均加速度。注意:原子从激发态回 到基态向各个方向发射光子的机会均等,由于碰撞频率极高,因而由此而引起 原子动量改变的平均效果为零。 (3)设所考察的原子以初速度 v0 沿 z 轴正向运动,一激光束沿 z 轴负向迎头射 向该原子,使它发生共振吸收。在激光频率保持不变的条件下,为了使该原子 能通过一次接着一次的共振吸收而减速至零,为此可让该原子通过一非均匀磁 场 B(z),实现原子的磁光俘获,如图 28 决—8(c)所示。由于处于磁场中的原 子与该磁场会发生相互作用,从而改变原子的激发态能量,如图 28 决—8(b) 所示。当磁感应强度为 B 时,原来能量为 E 的能级将变为 E+ΔE,其中 ΔE=μB, μ 是已知常量。试求磁感应强度 B 随 z 变化的关系式。 (4)设质量为 m=1.0× 10-26kg 的锂原子初速度 v0=1.2× 103m?s-1,静止时的共振吸 收 频 率 为
第一激发态

ν0=4.5× 1014Hz, 第一 发态的平均寿命 τ=5.3× 10-8s. 为 使 所 察的原子按(3)中

线圈 ΔE h v0 激光



ν0

ν0+

基态

B=0 (a)

B≠0 (b) 图 28 决—8

L (c)

z

考 所

描述的过程减速为零,原子通过的磁场区域应有多长?

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