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福建省师大附中2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题(实验班)


福建师大附中 2015-2016 学年实验班第一学期期末模块考试卷 高二数学(实验班)必修 5
本试卷共 4 页. 满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项:试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷. 第 I 卷 共 60 分 一、选择题:本大题有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. 1.若 P 是平面 ? 外一点,A 为平面 ? 内一点, n 为平面 ? 的一个法向量,则点 P 到平面 ? 的距离是 (

?



??? ? ? A. PA ? n

??? ? ? PA ? n B. ??? ? PA

??? ? ? PA ? n C. ? n

??? ? ? PA ? n D. ??? ? ? PA n


2 2.命题“ ?x0 ? R , x0 ? 1 ? 0 或 x0 ? x0 ? 0 ”的否定形式是(

2 A. ?x0 ? R , x0 ? 1 ? 0 或 x0 ? x0 ? 0 B. ?x ? R , x ? 1 ? 0 或 x 2 ? x ? 0 2 C. ?x0 ? R , x0 ? 1 ? 0 且 x0 ? x0 ? 0 D. ?x ? R , x ? 1 ? 0 且 x 2 ? x ? 0

3.下列有关命题的说法正确 的是
2 2 A. “若 x ? a 且 x ? b ,则 x ? (a ? b) x ? ab ? 0 ”的否命题为: “若 x ? a 且 x ? b ,则 x ? (a ? b) x ? ab ? 0 ”

B. “ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的根的逆命题是真命题
2

C.命题“ ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ”
2 2

D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题 4.如图,空间四边形 ??? C 中,?? ? a ,?? ? b ,?C ? c ,点 ? 在 ?? 上,

????

?

??? ?

?

??? ?

?



???? ? ???? ? 2 ???? ?? ? ?? ,点 ? 为 ? C 中点,则 ?? 等于( ) 3 1? 2? 1? 2? 1? 1? 1? 1? 1? 2? 2? 1? ? a ? b ? c C. a ? b ? c A. a ? b ? c B. D. a ? b ? c 2 3 2 3 2 2 2 2 2 3 3 2 ??? ? ???? o o 5. 在三棱锥 A ? BCD 中, AB ? AC ? AD ? 2, ?BAD ? 90 ,?BAC ? 60 ,则 AB ? CD 等于 (
B.2 C.-2 3 D.2 3

) . A .- 2

6.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90°,AA1=2, AC=BC=1 ,则异面直线 A1B 与 AC 所成角的余弦值是 ( ). A.

6 5
2

B.

6 4

C.
2

6 3
2

D.

6 6

7.已知抛物线 y ? 8x ,点 Q 是圆 C : x ? y ? 2 x ? 8 y ? 13 ? 0 上任意一点,记抛物线上任意 一点到直线 x ? ?2 的距离为 d ,则 PQ ? d 的最小值为( A.5 B.4 C.3 D.2 )

8.已知抛 物线 C : y 2 ? 4x 的焦点为 F,直线 y ? 3 ( x ? 1) 与 C 交于 A,B(A 在 x 轴上方)两点.若
1

AF ? m FB ,则 m 的值为(

) D.3 )

A. 3

B.

3 2

C.2

9.与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 和圆 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 9 都相切的圆的圆心轨迹是( A.椭圆和双曲线 B.两条双曲线 C.双曲线的两支 D.双曲 线的一支

10.直线 过抛物线 x =2py(p>0 )的焦点,且与抛物线交于 A、B 两点,若线段 AB 的长是 6,AB 的中点到 x 轴的 距离是 1,则此抛物线方程是( ) 2 2 2 2 A.x =12y B.x =8y C.x =6y D.x =4y 11. 已知椭圆和双曲线焦点 F1 , F2 相同, 且离心率互为倒数, P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点, 当 ?F 1 PF2 ? 60? 时,椭圆的离心率为( A )

2

3 3

B

3 2

C

2 2

D

1 2

12.设椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 e ,过 F2 的直线与椭圆的交于 A, B 两点, a 2 b2
) D. 6 ? 4 2

若 ?F1 AB 是以 A 为顶点的等腰直角三角形,则 e 2 ? ( A. 3 ? 2 2 B. 5 ? 3 2 C. 9 ? 6 2

第Ⅱ卷 共 90 分 二、填空题:本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷的相应位置.
2 13.已知命题: “存在 x ? [1, 2] ,使 x ? 2 x ? a ? 0 ”为真命题,则 a 的取值范围是___



14. 与双曲线 程是___ .

x2 y 2 x2 ? y 2 ? 1 有相同渐近线,且与椭圆 ? ? 1 有共同焦点的双曲线方 2 8 2

15. 如图,直角坐标系 x?oy 所在的平面为 ? ,直角坐标系 xoy 所在的平面为 ? ,且二 面 角

? ? y轴-? 的 大 小 等 于 30 ? . 已 知 ? 内 的 曲 线 C ? 的 方 程 是

3( x/ ? 2 3)2 ? 4 y2 ? 36 ? 0 ,则曲线 C ? 在 ? 内的射影在坐标系 xoy 下的曲线方程是________ .
x2 y2 ? 1(m ? 2) 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,若 PF1 PF2 ? 2 3m ,则该椭 圆离 16.已知 F1 , F2 是椭圆 2 ? 2 m m ?4
心率的取值范围为 .

三、解答题:本大题有 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知命题 p :方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线;命题 q : 1 ? m ? t ? 1 ? m ( m ? 0 ), t ? 2 t ? 10
2

若 ?p 是 ?q 的充分非必要条件,试求实数 m 的取值范围. 18. (本小题满分 10 分) 抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(1,2), A (x 1 , y 1 ) , B (x 2 , y 2 ) 均在抛物线上 .(1)求该抛物线方 程; (2)若 AB 的中点坐标为 (1,?1) ,求直线 AB 方程.

19.(本小题满分 12 分)

AB ? 1 , AA D 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 侧面 ABB1 A 1 为矩形, 1的 1 ? 2 , 为 AA
中点, BD 与 AB1 交于点 O , CO ? 侧面 ABB1 A (2)若 1; 1 .(1)证明: BC ? AB

OC ? OA ,求直线 C1D 与平面 ABC 所成角的正弦值.
20. (本小题满分 12 分)
? 直四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,底面 ABCD 为菱形,且 ?BAD ? 60 , A 1 A ? AB, E 为 BB1 延

长线上的一点, D1E ? 面 D1 AC .设 AB ? 2 .(Ⅰ)求二面角 E ? AC ? D1 的大小; (Ⅱ)在 D1E 上是否存在一点 P ,使 A 1P// 面 EAC ?若存在,求 D 1 P : PE 的值;不存在,说明理由. 21.(本小题满分 12 分) 如下图所示,点 F1 (?1,0) , F2 (1,0) ,动点 M 到点 F2 的距离是

y M P

2 2 ,线段 MF1 的中垂线交 MF2 于点 P .
(Ⅰ)当点 M 变化时,求动点 P 的轨迹 G 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? m 与轨迹 G 交于 M 、 N 两点,直线

F2 M 与 F2 N 的倾斜角分别为 ? 、 ? ,且 ? ? ? ?? ,求证:直
线 l 经过定点,并求该定点的坐标. 22. (本小题满分 14 分) 如图,已知 F 为抛物线 y ? 4 x 的焦点,点 A,B,C 在该抛物
2

F 1

O

F2

x

线上,其中 A,C 关于 x 轴对称( A 在第一象限) ,且直线 BC 经过点 F . ( Ⅰ ) 若 ? ABC 的 重 心 为 G 3 , 4 , 求 直 线 AB 的 方 程 ; (Ⅱ)设

?2 3?

S? ABO ? S1,S? CFO ? S2 ,其中 O 为坐标原点,求 S12 ? S22 的最小值.

3

福建师大附中 2015-2016 学年高二实验班第一学期期末模块考试卷参考答案 .C2.D 3.D4.B5.A6.D7.C8.D9.B10.B11.A12.C

3. [-8, 14. ? ?)

7 ? y2 x2 ? ? 1 15. ( x ? 3)2 ? y 2 ? 9 16.[ 2 4 2

3

,

3 ]. 3

7.解析:由命题 p 得 (t ? 2)(t ? 10) ? 0 2分 4分

∴ ?2 ? t ? 10

由命题 q 得∴ t ? (1 ? m,1 ? m)

由题意及逆否命题的等价性可知

q ? p ,即 (1 ? m,1 ? m) ? (?2,10)

6分

?1 ? m ? ?2 ? 1 ? m ? 10 (不同时取等号)及 m ? 0 得 0 ? m ? 3 ∴由 ?

8分

∴所求 m 的取值范围为 0 ? m ? 3 .

10 分

8.解析: (1)设抛物线方程为 y 2 ? 2 px ,把 P 点坐标代入得 22 ? 2 p , p ? 2 , 2分

∴抛物线方程为 y 2 ? 4 x ;

2 2 (2)∵ A (x 1 , y 1 ) , B (x 2 , y 2 ) 均在抛物线上,∴ y1 ? 4 x1 , y2 ? 4 x2 ,两式相减得: ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 4( x1 ? x2) ,AB 的

中 点 坐 标 为 (1,?1) , 所 以 y1 ? y2 ? ?2 , ∴ k AB ?

1 y1 ? y2 1 1 ? ? ? , ∴ 直 线 AB 方 程 为 y ? 1 ? ? (x ? 1), 即 2 x1 ? x2 y1 ? y2 2

? 2 y ? 1? 0.10 分

9.解: (1)证明: 由题意 tan ?ABD ?

? AD 2 AB 2 ,注意到 0 ? ?ABD, ?AB1 B ? ,所以 ?ABD ? ?AB1B , ? , tan ?AB1B ? ? 2 AB 2 BB1 2
?
2
,

所以 ?ABD ? ?BAB1 ? ?AB1 B ? ?BAB1 ? 3分

所以 AB1 ? BD ,

BD 与 CO 交于点 O ,所以 AB1 ? 面CBD , 又 CO ? 侧面 ABB 1A 1 ,? AB 1 ? CO. 又
6分

又因为 BC ? 面CBD ,所以 BC ? AB1

2)如图,分别以 OD, OB1 , OC 所在的直线为 x, y, z 轴,以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz

4

z
C
B

C1

B1
O
A

y

D

x

A1

则 A(0, ?

3 6 3 2 3 6 , 0) , B(? , 0, 0) , C (0, 0, ) , B1 (0, , 0) , D( , 0, 0) , 3 3 3 3 6

又因为 CC1 ? 2 AD ,所以 C1 (

???? ?

????

6 2 3 3 , , ). 3 3 3

8分

所以 AB ? (?

??? ?

??? ? ???? ? 6 3 3 3 6 2 3 3 , ,0) , AC ? (0, , ) , DC1 ? ( , , ). 3 3 3 3 6 3 3

设平面 ABC 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则根据 AB ? n ? 0, AC ? n ? 0 可得 n ? (1, 2, ? 2) 是平面 ABC 的一个法向量,设直线 C1D 12 分

?

??? ? ?

??? ? ?

?

???? ? ? | DC1 ? n | 3 55 ? ? ? 与平面 ABC 所成角为 ? ,则 sin ? ? ???? . 55 | DC1 || n |

0. 解 : ( Ⅰ ) 设

AC 与 BD 交 于 O , 如 图 所 示 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O ? xyz , 则

A(

(0,1, h),, 3 , 0B , 0 ) ,? C( 0 , 1 , D 0 ? ) , 1 ( D ?3 设 , E0 , 2 0? )

( 0 ,

1 , 0 ) ,

( 0 ,

1 , 2 ) ,

则 D1E ? (0,2, h), CA ? (2 3,0,0), D1 A ? ( 3,1, ?2),

???? ?

??? ?

???? ?

? D1E ? 平面 D1 AC,

? D1E ? AC, D1E ? D1 A, ? 2 ? 2h ? 0,? h ? 1, 即 E (0,1,3) 2 分
令 z ? ?1 ? 平面

?? ??? ? ???? ? ??? ? ?? x?0 m ? CA, ? D1E ? (0,2,1), AE ? (? 3,1,3) 设平面 EAC 的法向量为 m ? ( x, y, z) 则由 ?? ??? ? 得 ? 3x ? y ? 3z ? 0 m ? AE , ?? EAC 的一个法向量为 m ? (0,3, ?1)

?? ???? ? ???? ? ?? ???? ? m ? D1 E 2 ???? ? ? 又平面 D1 AC 的法向量为 D1 E ? (0, 2,1),? cos ? m, D1 E ?? ?? , | m | ? | D1E | 2
?

∴二面角 E ? AC ? D1 大小为 45 6 分

Ⅱ)设 D1P ? ? PE ? ? ( D1E ? D1P), 得 D1 P ?

???? ?

??? ?

???? ? ???? ?

???? ?

? ? ???? 2? ? D1 E ? (0, , ), 1? ? 1? ? 1? ?

5

???? ????? ???? ? 2? ? ? ?1 ? ? A1 P ? A1 D1 ? D1 P ?? (? 3, ?1, 0) ? (0, , ) ? (? 3, , ) 10 分 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? ???? ?? ? ?1 ? 3 ? (?1) ? ? 0,? ? ? , ? A1P// 面 EAC ,? A1 P ? m,?? 3 ? 0 ? 3 ? 1? ? 1? ? 2

? 存在点 P 使 A1P// 面 EAC, 此时 D1P : PE ? 3: 2 12 分

1.(Ⅰ)连接 PF1 ,由 | MF2 |? 2 2 ,∴ | PM | ? | PF2 | ? 2 2 ,又∵ | PM |?| PF1 | ,∴ | PF | F1F2 | ? 2 ,由 1 | ? | PF2 |? 2 2 ?

椭圆的定义可知动点 P 的轨迹 G 的方程为

x2 ? y 2 ? 1.4 分 2

? x2 ? ? y2 ? 1 2 ( Ⅱ ) 依 题 意 ?2 , 消 去 y , 得 : ( 2 k 2 ? 1x) ? ?y? k? x m ?
4km 2m 2 ? 2 , x x ? ??6 分 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

k4m ? x

2 2 m ?

设 M ? 2 0 ( x1, y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) , 则

1 ? x 2? ?

又 k F2 M ?

kx1 ? m kx ? m kx1 ? m kx2 ? m , 依 题 意 得 : kF2 M ? kF2 N ? 0 , 即 : , kF2 N ? 2 ? ?0 , 化 简 得 : x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1

2m 2 ? 2 4km ? (m ? k )(? 2 ) ? 2m ? 0 , kx1 x2 ? (m ? k )( x1 ? x2 ) ? 2m ? 0 ∴ 2k ? 2 2k ? 1 2k ? 1

整理得: m ? ?2k ??11 分

∴直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,因此直线 l 经过定点,该定点坐标为 (2, 0) .?????12 分

2.解: (Ⅰ)设 A? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ? ,C ?x1, ? y1 ? 则 ?ABC 的重心为 G ?

? 2 x1 ? x2 y2 ? , ? ,于是 3? ? 3

2 x1 ? x2 ? y2 ? 4

9 1 ? ? x2 ? 4, ? x1 ? 解得 , 2 4 故直线 AB 的方程: 4 x ? 5 y ? 4 ? 0 ;6 分 ? ? y ? 4 ? 2 ? ? y1 ? 1

(Ⅱ)设直线 BC:x ? 1 ? my ,联立方程 y 2 ? 4 x 得, y 2 ? 4my ? 4 ? 0 ,则 ? y1 y2 ? ?4 ,即 y1 y2 ? 4

2 2 再设直线 AB:y ? kx ? n ,联立方程 y ? 4 x 得, ky ? 4 y ? 4n ? 0 ,则 y1 y2 ?

4n ? 4 ,即 n ? k k

故直线 AB : y ? k ? x ?1? ,即直线 AB 过定 点 E ? ?1 , 0?

9分

∴ S? ABO ? S1 ?
2 2

1 1 1 OE ? y2 ? y1 ? y2 ? y1 S? CFO ? S2 ? OF ? y1 ? y12 2 2 2

于是 S1 ? S2 ?

1 1 2 2 y12 ? y22 ? 8 1 16 2 y ? y ? y1 ? ? (2 y12 ? 2 ? 8) ? 2 1? 4 4 4 4 y1
14 分
6

? 1? 16 2 2 y12 ? 2 ? 8 ? ? ? ? ? 2 2 ?2. 4? y1 ?

7



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